الفضاء ذو ​​الأبعاد الثمانية

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 23 صور
الموسوعة الحرة

الفضاء الثماني الأبعاد (8D) هو سلسلة من n عددًا حقيقيًا (عندما n = 8) يمكن فهمها على أنها موقع في فضاء ذي n بُعد . غالبًا ما تُدرس هذه الفضاءات كفضاءات متجهة ، دون أي مفهوم للمسافة. الفضاء الإقليدي الثماني الأبعاد هو فضاء ثماني الأبعاد مزود بالمقياس الإقليدي .

وبشكل أعم، قد يشير المصطلح إلى فضاء متجهي ثماني الأبعاد فوق أي حقل ، مثل فضاء متجهي مركب ثماني الأبعاد، والذي يحتوي على 16 بُعدًا حقيقيًا. وقد يشير أيضًا إلى متعدد شعب ثماني الأبعاد مثل الكرة الثمانية ، أو مجموعة متنوعة من الإنشاءات الهندسية الأخرى.

الهندسة

8-متعدد الوجوه

يُطلق على متعدد السطوح في ثمانية أبعاد اسم متعدد السطوح 8. وأكثرها دراسةً هي متعددات السطوح المنتظمة ، والتي لا يوجد منها سوى ثلاثة في ثمانية أبعاد : متعدد السطوح البسيط 8 ، ومكعب 8 ، ومتعدد السطوح المتعامد 8. وهناك عائلة أوسع هي متعددات السطوح المنتظمة 8 ، المُنشأة من مجالات التناظر الأساسية للانعكاس، حيث يُحدد كل مجال بواسطة زمرة كوكسيتر . ويُحدد كل متعدد سطوح منتظم بواسطة مخطط كوكسيتر-دينكين الحلقي . ويُعد نصف المكعب 8 متعدد سطوح فريدًا من عائلة D8 ، بينما تُعد متعددات السطوح 421 و 241 و 142 من عائلة E8 .

متعددات الوجوه المنتظمة والمتجانسة في ثمانية أبعاد (معروضة كإسقاطات متعامدة في كل مستوى من مستويات تناظر كوكسيتر )
8​ب 8د 8
altN=8-simplex8-simplex {3,3,3,3,3,3,3}altN=8-cubeمكعب ثماني {4،3،3،3،3،3،3}altN=8-orthoplex8-orthoplex {3,3,3,3,3,3,4}مكعب نصف دائري 8 h{4,3,3,3,3,3,3}
E 8
4 21 {3,3,3,3,3 2,1 }2 41 {3,3,3 4,1 }1 42 {3,3 4,2 }

7-كرة

الكرة ذات الأبعاد السبعة أو الكرة الفائقة في ثمانية أبعاد هي سطح ذو سبعة أبعاد متساوي البعد عن نقطة ما، مثل نقطة الأصل. رمزها S 7 ، وتعريفها الرسمي هو للكرة ذات الأبعاد السبعة بنصف قطر r . S7={x∈R8:‖x‖=ر}.{\displaystyle S^{7}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{8}:\|x\|=r\right\}.}

حجم الفضاء المحصور بهذه الكرة ذات البعد 7 هو V8=π424R8{\displaystyle V_{8}\,={\frac {\pi ^{4}}{24}}\,R^{8}} which is 4.05871 × r8, or 0.01585 of the 8-cube that contains the 7-sphere.

Kissing number problem

The kissing number problem has been solved in eight dimensions, thanks to the existence of the 421 polytope and its associated lattice. The kissing number in eight dimensions is 240.

Octonions

The octonions are a normed division algebra over the real numbers, the largest such algebra. Mathematically they can be specified by 8-tuplets of real numbers, so form an 8-dimensional vector space over the reals, with addition of vectors being the addition in the algebra. A normed algebra is one with a product that satisfies

‖xy‖≤‖x‖‖y‖{\displaystyle \|xy\|\leq \|x\|\|y\|}

for all x and y in the algebra. A normed division algebra additionally must be finite-dimensional, and have the property that every non-zero vector has a unique multiplicative inverse. Hurwitz's theorem prohibits such a structure from existing in dimensions other than 1, 2, 4, or 8.

Biquaternions

The complexified quaternionsC⊗H{\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} }, or "biquaternions," are an eight-dimensional algebra dating to William Rowan Hamilton's work in the 1850s. This algebra is equivalent (that is, isomorphic) to the Clifford algebraCℓ2(C){\displaystyle C\ell _{2}(\mathbb {C} )} and the Pauli algebra. It has also been proposed as a practical or pedagogical tool for doing calculations in special relativity, and in that context goes by the name Algebra of physical space (not to be confused with the Spacetime algebra, which is 16-dimensional.)

References

  • H.S.M. Coxeter:
    • H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6Wiley::Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. CoxeterArchived 2016-07-11 at the Wayback Machine
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • Table of the Highest Kissing Numbers Presently Known maintained by Gabriele Nebe and Neil Sloane (lower bounds)
  • Conway, John Horton; Smith, Derek A. (2003), On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, A. K. Peters, Ltd., ISBN 1-56881-134-9. (Review).
  • Duplij, Steven [in Ukrainian]; Siegel, Warren; Bagger, Jonathan, eds. (2005), Concise Encyclopedia of Supersymmetry And Noncommutative Structures in Mathematics and Physics, Berlin, New York: Springer, ISBN 978-1-4020-1338-6 (Second printing)