رقم التقبيل

مشكلة لم تُحل في الرياضيات

ما هو الحد الأقصى لعدد التقبيل الممكن للكرات ذات الأبعاد

n

في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد

(n + 1)

؟

في الهندسة ، يُعرَّف عدد التلامس في فضاء رياضي بأنه أكبر عدد من الكرات غير المتداخلة (أي ذات نصف قطر 1) التي يمكن ترتيبها في ذلك الفضاء بحيث تلامس كل منها كرة مشتركة . بالنسبة لترتيب معين للكرات في فضاء معين، يمكن تعريف عدد التلامس لكل كرة على حدة بأنه عدد الكرات التي تلامسها. في حالة الترتيب الشبكي ، يكون عدد التلامس متساوياً لجميع الكرات؛ أما في حالة ترتيب عشوائي للكرات، فقد يختلف عدد التلامس من كرة إلى أخرى.

ومن الأسماء الأخرى المستخدمة لمصطلح "رقم التقبيل" رقم نيوتن (نسبة إلى مبتكر المشكلة)، ورقم الاتصال .

بشكل عام، تسعى مسألة عدد التقبيل إلى إيجاد أكبر عدد ممكن من التقبيل للكرات ذات البعد $n$ في الفضاء الإقليدي ذي البعد $(n + 1)$ . وتتوافق الكرات العادية مع الأسطح المغلقة ثنائية الأبعاد في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

يُعدّ إيجاد عدد التقبيل عندما تقتصر مراكز الكرات على خط مستقيم (الحالة أحادية البعد) أو مستوى (الحالة ثنائية البعد) أمرًا بسيطًا. أما إثبات حل للحالة ثلاثية الأبعاد، فرغم سهولة تصورها ونمذجتها في العالم المادي، فقد استعصى على علماء الرياضيات حتى منتصف القرن العشرين. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} وتُعدّ الحلول في الأبعاد الأعلى أكثر صعوبة بكثير، ولم يُحلّ منها بدقة سوى عدد قليل جدًا. أما بالنسبة للحالات الأخرى، فقد حددت الدراسات حدودًا عليا ودنيا بناءً على تسلسل مجموع مربعات البرامج شبه المحددة ، ولكن دون التوصل إلى حلول دقيقة. ^{[ 3 ]}

أشهر أغاني التقبيل

بُعد واحد

في بُعد واحد، ^{[ 4 ]} يكون عدد التقبيل 2:

بعدين

في بُعدين، يكون عدد التقبيل 6:

البرهان : لنفترض دائرة مركزها $C$ تمسها دوائر مراكزها $C1 ، C2 ، ...$ ولنعتبر الأشعة $CC1 .$ تنطلق هذه الأشعة جميعها من نفس المركز $C ، لذا$ $فإن$ مجموع الزوايا بين الأشعة المتجاورة يساوي 360 درجة.

لنفترض جدلاً أن هناك أكثر من ست دوائر متلامسة. عندئذٍ، على الأقل شعاعان متجاوران، ولنقل $CC1$ $وCC2، يفصل بينهما زاوية أقل من 60°. القطع المستقيمة CC1 لها نفس الطول - 2r$ $-$ لجميع $قيم i$ . $لذلك ،$ فإن $المثلث$ $△$ CC1C2 $متساوي$ $الساقين$ $،$ وطول $ضلعه الثالث$ - C1C2 - أقل من 2r $. وبالتالي$ $،$ ^تتقاطع الدائرتان 1 و2 - وهذا $تناقض$ ^. $[$ ⁵ $]$

الأبعاد الثلاثة

يُمكن تحقيق العدد 12 المتناظر للغاية في ثلاثة أبعاد عن طريق محاذاة مراكز الكرات الخارجية مع رؤوس مجسم عشريني الوجوه منتظم . وهذا يترك مسافة تزيد قليلاً عن 10% من نصف القطر بين كرتين متجاورتين.

في ثلاثة أبعاد، يبلغ عدد التلامس 12، لكن تحديد القيمة الصحيحة كان أصعب بكثير مما هو عليه في البعدين الأحادي والثنائي. من السهل ترتيب 12 كرة بحيث تلامس كل منها كرة مركزية، مع وجود مساحة كبيرة متبقية، وليس من الواضح استحالة إضافة كرة ثالثة عشرة. (في الواقع، توجد مساحة إضافية كبيرة لدرجة أن أي كرتين من الكرات الخارجية الاثنتي عشرة يمكنهما تبادل مكانيهما بحركة مستمرة دون أن تفقد أي منهما اتصالها بالكرة المركزية). كان هذا موضوع خلاف شهير بين عالمي الرياضيات إسحاق نيوتن وديفيد غريغوري . اعتقد نيوتن، بشكل صحيح، أن الحد هو 12؛ بينما اعتقد غريغوري أنه يمكن إضافة كرة ثالثة عشرة. قُدِّمت بعض البراهين غير المكتملة التي تُثبت صحة نظرية نيوتن في القرن التاسع عشر، وأبرزها برهان رينهولد هوب ، لكن أول برهان صحيح (وفقًا لبراس وموزر وباتش) لم يظهر إلا في عام 1953 على يد شوت وفان دير فاردن . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 6 ]}

تُشير الذرات الاثنتا عشرة المجاورة للكرة المركزية إلى الحد الأقصى لعدد التناسق في بنية بلورية تكون فيها جميع الذرات متساوية الحجم (كما هو الحال في العنصر الكيميائي). ويُلاحظ عدد التناسق 12 في البنية المكعبة المتراصة أو السداسية المتراصة .

أبعاد أكبر

في أربعة أبعاد، يبلغ عدد التلامس 24. وقد أثبت ذلك أوليغ موسين عام 2003. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} سابقًا، كان يُعتقد أن الإجابة إما 24 أو 25: فمن السهل إنتاج رزمة من 24 كرة حول كرة مركزية (يمكن وضع الكرات عند رؤوس خلية مكونة من 24 خلية ذات مقياس مناسب متمركزة عند نقطة الأصل)، ولكن، كما هو الحال في الحالة ثلاثية الأبعاد، هناك مساحة كبيرة متبقية - بل أكثر من ذلك في حالة $n = 3$ - لذا كان الوضع أقل وضوحًا.

أتاح وجود شبكة $E8$ شديدة التناظر وشبكة Leech تحديد عدد التقارب لـ $n = 8$ (أي 240) ولـ $n = 24$ (أي 196560). ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} $أما$ عدد التقارب في $n$ بُعد فهو غير معروف لقيم $n$ الأخرى .

إذا اقتصرت الترتيبات على الترتيبات الشبكية ، حيث تقع مراكز الكرات جميعها على نقاط في شبكة ، فإن عدد التقارب المحدود هذا معروف للأبعاد $من 1$ إلى 9 و $24$ $.$ [ ^{11 ] أما} بالنسبة للأبعاد 5 و6 و7، فإن الترتيب ذو أعلى عدد تقارب معروف حتى الآن هو الترتيب الشبكي الأمثل، ولكن لم يُستبعد وجود ترتيب غير شبكي ذي عدد تقارب أعلى.

بعض الحدود المعروفة

يُبيّن الجدول التالي بعض الحدود المعروفة لعدد التقبيل في أبعاد مختلفة. ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} الأبعاد التي يُعرف فيها عدد التقبيل مُدرجة بخط غامق.

الأبعاد	الحد الأدنى	الحد الأعلى
1	2
2	6
3	12
4	24 ^{[ 7 ]}
5	40	44
6	72	77
7	126	134
8	240
9	306	363
10	510	553
11	604 ^{[ 14 ]}	868
12	841 ^{[ 15 ]}	1355
13	1154	2064
14	1932	3174
15	2564	4853
16	4320	7320
17	5730	10978
18	7654	16406
19	11948 ^{[ 16 ]}	24,417
20	19,448	36195
21	29,768	53,524
22	49,896	80,810
23	93,150	122,351
24	196,560
25	197,056 ^{[ 17 ]}	265,006
26	198,550 ^{[ 17 ]}	367,775
27	200,044 ^{[ 17 ]}	522,212
28	204,520 ^{[ 17 ]}	752,292
29	209,496 ^{[ 17 ]}	1,075,991
30	220,440 ^{[ 17 ]}	1,537,707
31	238,350 ^{[ 17 ]}	2,213,487
32	345,408 ^{[ 18 ]}	3,162,316

تعميم

يمكن تعميم مسألة عدد التقبيل لتشمل إيجاد أكبر عدد من النسخ المتطابقة غير المتداخلة لأي جسم محدب والتي تلامس نسخة معينة من الجسم. توجد صيغ مختلفة للمسألة، اعتمادًا على ما إذا كان المطلوب من النسخ أن تكون متطابقة مع الجسم الأصلي فقط، أو أنها نسخ متطابقة منه، أو أنها مُزاحة بواسطة شبكة. على سبيل المثال، بالنسبة للهرم الرباعي المنتظم ، من المعروف أن كلاً من عدد تقبيل الشبكة وعدد تقبيل الإزاحة يساويان 18، بينما عدد تقبيل التطابق لا يقل عن $56.$ ^{[ 19 ]}

الخوارزميات

توجد عدة خوارزميات تقريبية على رسوم بيانية التقاطع ، حيث تعتمد نسبة التقريب على عدد النقاط المتلامسة. ^{[ 20 ]} على سبيل المثال، توجد خوارزمية تقريبية من الدرجة 10 تعمل في زمن متعدد الحدود لإيجاد أكبر مجموعة فرعية غير متقاطعة من مجموعة مربعات الوحدة المدورة.

بيان رياضي

يمكن صياغة مسألة عدد التقبيل على أنها وجود حل لمجموعة من المتباينات . ليكن $x <sub>n</sub>$ مجموعة من متجهات الموضع $ذات البعد$ $N$ لمراكز الكرات. الشرط الذي يسمح لهذه المجموعة من الكرات بالالتفاف حول الكرة المركزية دون تداخل هو: ^[²¹^]

$\exists x\ \left\{\forall _{n}\{x_{n}^{\textsf {T}}x_{n}=1\}\land \forall _{m,n:m\neq n}\{(x_{n}-x_{m})^{\textsf {T}}(x_{n}-x_{m})\geq 1\}\right\}.$

وبالتالي، يمكن التعبير عن المسألة لكل بُعد في النظرية الوجودية للأعداد الحقيقية . مع ذلك، تستغرق الطرق العامة لحل المسائل بهذا الشكل وقتًا أُسّيًا على الأقل ؛ ولهذا السبب لم تُحل هذه المسألة إلا حتى أربعة أبعاد. باستخدام متغيرات إضافية $y و nm$ ، يمكن تحويلها إلى معادلة رباعية واحدة في $N(N-1)/2+DN$ المتغيرات: ^{[ 22 ]}

$\exists xy\ \left\{\sum _{n}\left(x_{n}^{\textsf {T}}x_{n}-1\right)^{2}+\sum _{m,n:m<n}{\Big (}(x_{n}-x_{m})^{\textsf {T}}(x_{n}-x_{m})-1-(y_{nm})^{2}{\Big )}^{2}=0\right\}.$

لذا، فإن حل هذه الحالة في $فضاء ذي 5$ أبعاد وعدد متجهات $N = 40 + 1$ يُكافئ تحديد وجود حلول حقيقية لكثير حدود من الدرجة الرابعة في 1025 متغيرًا. أما في فضاء $ذي 24$ بُعدًا وعدد متجهات $N = 196560 + 1$ ، فإن معادلة الدرجة الرابعة ستحتوي على 19,322,732,544 متغيرًا. ويمكن التعبير عن ذلك بطريقة أخرى باستخدام هندسة المسافة، وذلك من خلال مربعات المسافات $R<sub> mn</sub>$ بين مركزي الكرتين $m$ و $n .$

$\exists R\ \{\forall _{n}\{R_{0n}=1\}\land \forall _{m,n:m<n}\{R_{mn}\geq 1\}\}.$

يجب استكمال ذلك بشرط أن يكون محدد كايلي-مينجر مساوياً للصفر لأي مجموعة من النقاط التي تشكل $(D + 1)$ -simplex في $D$ أبعاد، لأن هذا الحجم يجب أن يكون صفراً. $R_{mn}=1+y_{mn}^{2}$ تُعطي هذه الطريقة مجموعة من المعادلات متعددة الحدود الآنية بدلالة $y$ فقط ، والتي يجب حلها لإيجاد القيم الحقيقية فقط. الطريقتان متكافئتان تمامًا، لكن لكل منهما استخدامات مختلفة. على سبيل المثال، في الحالة الثانية، يمكن تغيير قيم $y$ عشوائيًا بمقادير صغيرة لمحاولة تقليل قيمة متعددة الحدود بدلالة $y$ .

انظر أيضاً

ملحوظات

1 2 كونواي، جون هـ .؛ نيل جيه إيه سلون (1999). تعبئة الكرات، والشبكات ، والمجموعات (الطبعة الثالثة ). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص 21. ISBN 0-387-98585-9.
1 2 براس، بيتر؛ موسر، دبليو أو جيه؛ باتش ، يانوس (2005). مشاكل البحث في الهندسة المتقطعة . سبرينغر. ص 93. ISBN 978-0-387-23815-9.
↑ ميتلمان، هانز د.؛ فالنتين، فرانك (2010). "حدود برمجة شبه محددة عالية الدقة للأعداد المتلامسة". الرياضيات التجريبية . 19 (2): 174-178 . arXiv : 0902.1105 . doi : 10.1080/10586458.2010.10129070 . S2CID 218279 .
لاحظ أنه في بُعد واحد، تُمثل "الكرات" أزواجًا من النقاط تفصل بينها مسافة وحدتين. (البعد الرأسي في الرسم التوضيحي أحادي البُعد هو مجرد دلالة). على عكس الأبعاد الأعلى، من الضروري تحديد أن الأجزاء الداخلية للكرات (الفترات المفتوحة بطول وحدتين) لا تتداخل حتى تكون كثافة التعبئة محدودة.
↑ انظر أيضًا إلى اللمة 3.1 في: Marathe, MV; Breu, H.; Hunt, HB; Ravi, SS; Rosenkrantz, DJ (1995). "Simple heuristics for unit disk graphs". Networks . 25 (2): 59. arXiv : math/9409226 . doi : 10.1002/net.3230250205 .
↑ زونغ، تشوانمينغ (2008). "عدد التقبيل، وعدد الحجب، وعدد التغطية لجسم محدب". في: غودمان، جاكوب إي؛ باتش، جينوس؛ بولاك، ريتشارد (محررون). دراسات استقصائية في الهندسة المنفصلة والحسابية: بعد عشرين عامًا (المؤتمر الصيفي البحثي المشترك لجمعية الرياضيات الأمريكية، ومعهد الرياضيات التطبيقية، وجمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية، 18-22 يونيو 2006، سنوبيرد، يوتا) . الرياضيات المعاصرة. المجلد 453. بروفيدنس، رود آيلاند: جمعية الرياضيات الأمريكية. الصفحات 529-548 . doi : 10.1090/conm/453/08812 . ISBN 9780821842393MR 2405694 . .
1 2 أ. ر. موسين (2003). "مسألة الكرات الخمس والعشرين". مجلة الرياضيات الروسية 58 ( 4): 794-795 . Bibcode : 2003RuMaS..58..794M . doi : 10.1070/RM2003v058n04ABEH000651 . S2CID 250839515 .
↑ بفندر، فلوريان؛ زيغلر، غونتر م. (سبتمبر 2004). "الأعداد المتلامسة، وتعبئة الكرات، وبعض البراهين غير المتوقعة" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية : 873-883 ..
^ ليفنشتاين ، فلاديمير آي. (1979). "O granitsahs для упаковок в n-mernom евклидовом постранстве" [ على حدود العبوات في الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n ] . دوكلادي أكاديمي ناوك SSSR (بالروسية). 245 (6): 1299 – 1303.
↑ أودليزكو، أ.م .؛ سلون، ن.ج.أ. (1979). "حدود جديدة لعدد الكرات الوحدوية التي يمكن أن تلامس كرة وحدوية في n بُعدًا" . مجلة نظرية التوافيق . السلسلة أ. 26 (2): 210-214 . doi : 10.1016/0097-3165(79)90074-8 .
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "تقبيل الأرقام" . عالم الرياضيات .
↑ "جدول حدود أعداد التقبيل" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 21-06-2024.
↑ ماتشادو، فابريسيو سي؛ أوليفيرا، فرناندو إم. (2018). "تحسين حد البرمجة شبه المحددة لعدد التقبيل من خلال استغلال تناظر كثيرات الحدود". الرياضيات التجريبية . 27 (3): 362-369 . arXiv : 1609.05167 . doi : 10.1080/10586458.2017.1286273 . S2CID 52903026 .
^ بيانكي، فيديريكو؛ كوون، يونغشان؛ بابو، أنيش؛ زو ، جيمس (9 يونيو 2026). “تسخير الذكاء الجماعي لعملاء الذكاء الاصطناعي في البرية من أجل اكتشافات جديدة”. أرخايف : 2606.10402 [ cs.CL ].
↑ https://arxiv.org/abs/2606.18984
↑ https://arxiv.org/abs/2603.10425
1 2 3 4 5 6 7 ما، تشنغدونغ؛ ثيو تاو، تشاوي؛ لي، بينغيو؛ ليو، مينغهاو؛ تشن، هاوجون؛ ماو، زيهاو؛ تشنغ، يوان؛ تشي، يوان؛ يانغ ، ياودونغ (17 نوفمبر 2025). “العثور على أرقام التقبيل من خلال التعلم المعزز النظري للعبة”. أرخايف : 2511.13391 [ cs.LG ].
↑ https://cohn.mit.edu/kissing-numbers/
↑ لاغارياس، جيفري سي؛ زونغ، تشوانمينغ (ديسمبر 2012). "ألغاز في تعبئة رباعيات الأوجه المنتظمة" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية : 1540-1549 .
↑ كامر، فرانك؛ ثولي، تورستن (يوليو 2012). "خوارزميات التقريب لرسوم بيانية التقاطع" . Algorithmica . 68 (2): 312–336 . doi : 10.1007/s00453-012-9671-1 . S2CID 3065780 .
↑ تتراوح الأرقام $m$ و $n$ من 1 إلى $N$ ؛ $~x=(x_{n})_{N}$ هي سلسلة متجهات الموضع $N.$ كشرط وراء المُكمِّم العالمي الثاني ( $\forall$ لا يتغير ) إذا تم تبديل $m$ و $n$ ، يكفي أن يمتد هذا الكمي فوق $m,n:m<n$ . ولتبسيط الأمر، يُفترض أن أنصاف أقطار الكرة هي 1/2.
↑ فيما يتعلق بالمصفوفة $y=(y_{mn})_{N\times {N}}$ لا نحتاج إلا إلى العناصر التي يكون فيها $m < n$ . أو، بصورة مكافئة، يمكن افتراض أن المصفوفة متناظرة عكسيًا. على أي حال، تحتوي المصفوفة فقط على $N(N-1)/2$ متغيرات قياسية حرة. بالإضافة إلى ذلك، توجد متجهات $x$ $n$ $ذات أبعاد$ $N$ ؛ وهذه المتجهات تُقابل مصفوفة. $x=(x_{nd})_{N\times D}$ من $N$ متجه عمودي.

مراجع

كوهن، هنري؛ لي، أنكي (2024). "تحسين أعداد التقبيل في سبعة عشر إلى واحد وعشرين بُعدًا". arXiv : 2411.04916 [ math.MG ].
تي. أستي ودي. وير، السعي وراء التعبئة المثالية (منشورات معهد الفيزياء، لندن، 2000) ISBN 0-7503-0648-3
جدول أعلى أرقام التقبيل المعروفة حاليًا، والذي يحتفظ به غابرييل نيبي ونيل سلون (الحدود الدنيا)
باشوك، كريستين ؛ فالنتين، فرانك (2008). "حدود عليا جديدة لأعداد التقبيل من البرمجة شبه المحددة". مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية . 21 (3): 909-924 . arXiv : math.MG/0608426 . Bibcode : 2008JAMS...21..909B . doi : 10.1090 / S0894-0347-07-00589-9 . MR 2393433. S2CID 204096 .

روابط خارجية

غرايم، جيمس (10 أكتوبر 2018). "تقبيل الأرقام" (فيديو) . يوتيوب . برادي هاران . مؤرشف من الأصل بتاريخ 12 ديسمبر 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 أكتوبر 2018 .

[Conway-1] 1 2 كونواي، جون هـ .؛ نيل جيه إيه سلون (1999). تعبئة الكرات، والشبكات ، والمجموعات (الطبعة الثالثة ). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص 21. ISBN 0-387-98585-9.

[Brass-2] 1 2 براس، بيتر؛ موسر، دبليو أو جيه؛ باتش ، يانوس (2005). مشاكل البحث في الهندسة المتقطعة . سبرينغر. ص 93. ISBN 978-0-387-23815-9.

[Mittlemann-3] ميتلمان، هانز د.؛ فالنتين، فرانك (2010). "حدود برمجة شبه محددة عالية الدقة للأعداد المتلامسة". الرياضيات التجريبية . 19 (2): 174-178 . arXiv : 0902.1105 . doi : 10.1080/10586458.2010.10129070 . S2CID 218279 .

[4] لاحظ أنه في بُعد واحد، تُمثل "الكرات" أزواجًا من النقاط تفصل بينها مسافة وحدتين. (البعد الرأسي في الرسم التوضيحي أحادي البُعد هو مجرد دلالة). على عكس الأبعاد الأعلى، من الضروري تحديد أن الأجزاء الداخلية للكرات (الفترات المفتوحة بطول وحدتين) لا تتداخل حتى تكون كثافة التعبئة محدودة.

[5] انظر أيضًا إلى اللمة 3.1 في: Marathe, MV; Breu, H.; Hunt, HB; Ravi, SS; Rosenkrantz, DJ (1995). "Simple heuristics for unit disk graphs". Networks . 25 (2): 59. arXiv : math/9409226 . doi : 10.1002/net.3230250205 .

[6] زونغ، تشوانمينغ (2008). "عدد التقبيل، وعدد الحجب، وعدد التغطية لجسم محدب". في: غودمان، جاكوب إي؛ باتش، جينوس؛ بولاك، ريتشارد (محررون). دراسات استقصائية في الهندسة المنفصلة والحسابية: بعد عشرين عامًا (المؤتمر الصيفي البحثي المشترك لجمعية الرياضيات الأمريكية، ومعهد الرياضيات التطبيقية، وجمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية، 18-22 يونيو 2006، سنوبيرد، يوتا) . الرياضيات المعاصرة. المجلد 453. بروفيدنس، رود آيلاند: جمعية الرياضيات الأمريكية. الصفحات 529-548 . doi : 10.1090/conm/453/08812 . ISBN 9780821842393MR 2405694 . .

[Musin-7] 1 2 أ. ر. موسين (2003). "مسألة الكرات الخمس والعشرين". مجلة الرياضيات الروسية 58 ( 4): 794-795 . Bibcode : 2003RuMaS..58..794M . doi : 10.1070/RM2003v058n04ABEH000651 . S2CID 250839515 .

[8] بفندر، فلوريان؛ زيغلر، غونتر م. (سبتمبر 2004). "الأعداد المتلامسة، وتعبئة الكرات، وبعض البراهين غير المتوقعة" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية : 873-883 ..

[9] ليفنشتاين ، فلاديمير آي. (1979). "O granitsahs для упаковок в n-mernom евклидовом постранстве" [ على حدود العبوات في الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n ] . دوكلادي أكاديمي ناوك SSSR (بالروسية). 245 (6): 1299 – 1303.

[10] أودليزكو، أ.م .؛ سلون، ن.ج.أ. (1979). "حدود جديدة لعدد الكرات الوحدوية التي يمكن أن تلامس كرة وحدوية في n بُعدًا" . مجلة نظرية التوافيق . السلسلة أ. 26 (2): 210-214 . doi : 10.1016/0097-3165(79)90074-8 .

[11] وايسشتاين، إريك دبليو. "تقبيل الأرقام" . عالم الرياضيات .

[12] "جدول حدود أعداد التقبيل" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 21-06-2024.

[Machado-13] ماتشادو، فابريسيو سي؛ أوليفيرا، فرناندو إم. (2018). "تحسين حد البرمجة شبه المحددة لعدد التقبيل من خلال استغلال تناظر كثيرات الحدود". الرياضيات التجريبية . 27 (3): 362-369 . arXiv : 1609.05167 . doi : 10.1080/10586458.2017.1286273 . S2CID 52903026 .

[14] بيانكي، فيديريكو؛ كوون، يونغشان؛ بابو، أنيش؛ زو ، جيمس (9 يونيو 2026). “تسخير الذكاء الجماعي لعملاء الذكاء الاصطناعي في البرية من أجل اكتشافات جديدة”. أرخايف : 2606.10402 [ cs.CL ].

[15] ttps://arxiv.org/abs/2606.18984

[16] ttps://arxiv.org/abs/2603.10425

[packingstar2025-17] 1 2 3 4 5 6 7 ما، تشنغدونغ؛ ثيو تاو، تشاوي؛ لي، بينغيو؛ ليو، مينغهاو؛ تشن، هاوجون؛ ماو، زيهاو؛ تشنغ، يوان؛ تشي، يوان؛ يانغ ، ياودونغ (17 نوفمبر 2025). “العثور على أرقام التقبيل من خلال التعلم المعزز النظري للعبة”. أرخايف : 2511.13391 [ cs.LG ].

[18] ttps://cohn.mit.edu/kissing-numbers/

[19] لاغارياس، جيفري سي؛ زونغ، تشوانمينغ (ديسمبر 2012). "ألغاز في تعبئة رباعيات الأوجه المنتظمة" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية : 1540-1549 .

[20] كامر، فرانك؛ ثولي، تورستن (يوليو 2012). "خوارزميات التقريب لرسوم بيانية التقاطع" . Algorithmica . 68 (2): 312–336 . doi : 10.1007/s00453-012-9671-1 . S2CID 3065780 .

[21] تتراوح الأرقام $m$ و $n$ من 1 إلى $N$ ؛ $~x=(x_{n})_{N}$ هي سلسلة متجهات الموضع $N.$ كشرط وراء المُكمِّم العالمي الثاني ( $\forall$ لا يتغير ) إذا تم تبديل $m$ و $n$ ، يكفي أن يمتد هذا الكمي فوق $m,n:m<n$ . ولتبسيط الأمر، يُفترض أن أنصاف أقطار الكرة هي 1/2.

[22] فيما يتعلق بالمصفوفة $y=(y_{mn})_{N\times {N}}$ لا نحتاج إلا إلى العناصر التي يكون فيها $m < n$ . أو، بصورة مكافئة، يمكن افتراض أن المصفوفة متناظرة عكسيًا. على أي حال، تحتوي المصفوفة فقط على $N(N-1)/2$ متغيرات قياسية حرة. بالإضافة إلى ذلك، توجد متجهات $x$ $n$ $ذات أبعاد$ $N$ ؛ وهذه المتجهات تُقابل مصفوفة. $x=(x_{nd})_{N\times D}$ من $N$ متجه عمودي.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

تتقاطع

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

11 ] أما

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[

[ 22 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗