كرة الوحدة

في الرياضيات ، الكرة الوحدة هي كرة نصف قطرها وحدة واحدة : وهي مجموعة النقاط التي تبعد مسافة إقليدية تساوي 1 عن نقطة مركزية ما في الفضاء ثلاثي الأبعاد . وبشكل أعم، فإن الوحدة${\displaystyle n}$-sphere هو ⁠​${\displaystyle n}$كرة نصفقطرها وحدة واحدة في${\displaystyle (n+1)}$الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد - ؛ دائرة الوحدة هي حالة خاصة، وحدة${\displaystyle 1}$الكرة في المستوى . الكرة ( المفتوحة )هي المنطقة داخل كرة الوحدة، وهي مجموعة النقاط التي تبعد مسافة أقل من 1 عن المركز.

تُسمى الكرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل في الفضاء بالكرة الوحدة (القياسية). يمكن تحويل أي كرة إلى الكرة الوحدة من خلال عملية إزاحة وتغيير الحجم ، لذا غالبًا ما يمكن اختزال دراسة الكرات بشكل عام إلى دراسة الكرة الوحدة.

تُستخدم الكرة الوحدة غالبًا كنموذج للهندسة الكروية نظرًا لانحناء مقطعها الثابت الذي يساوي 1، مما يُبسط الحسابات. في علم المثلثات ، يُطلق على طول القوس الدائري على دائرة الوحدة اسم الراديان ، ويُستخدم لقياس المسافة الزاوية ؛ أما في علم المثلثات الكروية، فتُسمى مساحة سطح الكرة الوحدة بالستراديان، وتُستخدم لقياس الزاوية المجسمة .

في سياقات أكثر عمومية، فإن كرة الوحدة هي مجموعة النقاط التي تبعد مسافة 1 عن نقطة مركزية ثابتة، حيث يمكن استخدام معايير مختلفة كمفاهيم عامة لـ "المسافة"، وكرة الوحدة (المفتوحة) هي المنطقة الموجودة في الداخل.

في الفضاء الإقليدي لـ${\displaystyle n}$الأبعاد ، الـ${\displaystyle (n-1)}$الكرة ذات الأبعاد n هي مجموعة جميع النقاط${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$والتي تحقق المعادلة $${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$$

الوحدة المفتوحة${\displaystyle n}$الكرة هي مجموعة جميع النقاط التي تحقق المتباينة$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1,}$$ووحدة مغلقة${\displaystyle n}$الكرة هي مجموعة جميع النقاط التي تحقق المتباينة $${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.}$$

الحجم والمساحة

المعادلة الكلاسيكية للكرة الوحدة هي معادلة القطع الناقص بنصف قطر يساوي 1، دون أي تغييرات على${\displaystyle x}$- ,​${\displaystyle y}$- ، أو${\displaystyle z}$- المحاور: $${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$$

حجم كرة الوحدة في الفضاء الإقليدي${\displaystyle n}$يظهر الفضاء ، ومساحة سطح كرة الوحدة، في العديد من الصيغ التحليلية المهمة . حجم كرة الوحدة${\displaystyle n}$-ball ، والتي نرمز إليها${\displaystyle V_{n},}$يمكن التعبير عنها باستخدام دالة غاما . $${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi) )^{(n-1)/2}}/{n!!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~odd,} \end{cases}}}$$ أين${\displaystyle n!!}$هو مضروب العدد المزدوج .

الحجم الفائق لـ${\displaystyle (n-1)}$كرة الوحدة ذات الأبعاد n ( أي " مساحة" حدود ⁠${\displaystyle n}$كرة الوحدة ذات الأبعاد )، والتي نرمز إليها${\displaystyle A_{n-1},}$يمكن التعبير عنها على النحو التالي $$// 1\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{(n-2)!!}&\mathrm {if~} n\geq 1\mathrm {~is~odd.} \end{حالات}}}$$ على سبيل المثال،${\displaystyle A_{0}=2}$هي "مساحة" حدود كرة الوحدة${\displaystyle [-1,1]\subset \mathbb {R} }$وهو ما يحسب النقطتين ببساطة. ثم${\displaystyle A_{1}=2\pi }$هي "مساحة" حدود القرص الواحد، وهو محيط دائرة الوحدة.${\displaystyle A_{2}=4\pi }$هي مساحة حدود كرة الوحدة${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}}$، وهي مساحة سطح الكرة الوحدة${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}}$.

مساحات السطح والأحجام لبعض قيم ⁠${\displaystyle n}$وهي كالتالي:

⁠${\displaystyle n}$⁠	${\displaystyle A_{n-1}}$(مساحة السطح)		${\displaystyle V_{n}}$(مقدار)
0			${\displaystyle (1/0!)\pi ^{0}}$	1
1	${\displaystyle 1(2^{1}/1!!)\pi ^{0}}$	2	${\displaystyle (2^{1}/1!!)\pi ^{0}}$	2
2	${\displaystyle 2(1/1!)\pi ^{1}=2\pi }$	6.283	${\displaystyle (1/1!)\pi ^{1}=\pi }$	3.141
3	${\displaystyle 3(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=4\pi }$	12.57	${\displaystyle (2^{2}/3!!)\pi ^{1}=(4/3)\pi }$	4.189
4	${\displaystyle 4(1/2!)\pi ^{2}=2\pi ^{2}}$	19.74	${\displaystyle (1/2!)\pi ^{2}=(1/2)\pi ^{2}}$	4.935
5	${\displaystyle 5(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/3)\pi ^{2}}$	26.32	${\displaystyle (2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/15)\pi ^{2}}$	5.264
6	${\displaystyle 6(1/3!)\pi ^{3}=\pi ^{3}}$	31.01	${\displaystyle (1/3!)\pi ^{3}=(1/6)\pi ^{3}}$	5.168
7	${\displaystyle 7(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/15)\pi ^{3}}$	33.07	${\displaystyle (2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/105)\pi ^{3}}$	4.725
8	${\displaystyle 8(1/4!)\pi ^{4}=(1/3)\pi ^{4}}$	32.47	${\displaystyle (1/4!)\pi ^{4}=(1/24)\pi ^{4}}$	4.059
9	${\displaystyle 9(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/105)\pi ^{4}}$	29.69	${\displaystyle (2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/945)\pi ^{4}}$	3.299
10	${\displaystyle 10(1/5!)\pi ^{5}=(1/12)\pi ^{5}}$	25.50	${\displaystyle (1/5!)\pi ^{5}=(1/120)\pi ^{5}}$	2.550

حيث القيم العشرية الموسعة لـ${\displaystyle n\geq 2}$يتم تقريب الأرقام إلى الدقة المعروضة.

التكرار

ال${\displaystyle A_{n}}$القيم تحقق شرط التكرار: $${\displaystyle A_{0}=2}$$$${\displaystyle A_{1}=2\pi }$$$${\displaystyle A_{n}={\frac {2\pi }{n-1}}A_{n-2}}$$لـ​${\displaystyle n>1}$⁠ .

ال${\displaystyle V_{n}}$القيم تحقق شرط التكرار: $${\displaystyle V_{0}=1}$$$${\displaystyle V_{1}=2}$$$${\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}}$$لـ​${\displaystyle n>1}$⁠ .

الأبعاد ذات القيم الحقيقية غير السالبة

القيمة${\textstyle 2^{-n}V_{n}=\pi ^{n/2}{\big /}\,2^{n}\Gamma {\bigl (}1+{\tfrac {1}{2}}n{\bigr )}}$عند القيم الحقيقية غير السالبة لـ${\displaystyle n}$يُستخدم أحيانًا لتطبيع مقياس هاوسدورف. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

أنصاف أقطار أخرى

مساحة سطح ⁠${\displaystyle (n-1)}$كرة نصف قطرها${\displaystyle r}$هو​${\displaystyle A_{n-1}r^{n-1}}$وحجم​${\displaystyle n}$كرة ذات نصف قطر${\displaystyle r}$هو​${\displaystyle V_{n}r^{n}.}$ على سبيل المثال، المنطقة هي${\displaystyle A_{2}=4\pi r^{2}}$للسطح ثنائي الأبعاد للكرة ثلاثية الأبعاد ذات نصف القطر${\displaystyle r.}$ الحجم هو${\displaystyle V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}$للكرة ثلاثية الأبعاد ذات نصف القطر ⁠ ${\displaystyle r}$⁠ .

الكرة المفتوحة ذات الوحدة في فضاء متجه معياري${\displaystyle V}$مع الوضع الطبيعي${\displaystyle \|\cdot \|}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}}$$

هو الجزء الداخلي الطوبولوجي للكرة المغلقة ذات الوحدة لـ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }$$${\displaystyle \{x\in V:\|x\|\leq 1\}}$$

أما الأخير فهو اتحاد منفصل للأول وحدودهما المشتركة، وهي وحدة المجال لـ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }$$${\displaystyle \{x\in V:\|x\|=1\}}$$

يعتمد "شكل" كرة الوحدة كليًا على المعيار المختار؛ فقد تحتوي على "زوايا"، وقد تبدو على سبيل المثال كما يلي:${\displaystyle [-1,1]^{n}}$في حالة المعيار الأقصى في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ . يحصل المرء على كرة مستديرة بشكل طبيعي ككرة الوحدة المتعلقة بمعيار فضاء هيلبرت المعتاد ، استنادًا في الحالة ذات الأبعاد المحدودة على المسافة الإقليدية ؛ وحدودها هي ما يقصد به عادة كرة الوحدة .

يترك ${\displaystyle x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}$عرّف المعتاد${\displaystyle \ell _{p}}$-norm لـ${\displaystyle p\geq 1}$مثل: $${\displaystyle \|x\|_{p}={\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}$$

ثم${\displaystyle \|x\|_{2}}$هو المعيار المعتاد لفضاء هيلبرت . ${\displaystyle \|x\|_{1}}$يُطلق عليه اسم معيار هامينغ، أو${\displaystyle \ell _{1}}$-norm . الحالة${\displaystyle p\geq 1}$يُعد ذلك ضرورياً في تعريف${\displaystyle \ell _{p}}$المعيار، حيث يجب أن تكون الكرة الوحدوية في أي فضاء معياري محدبة كنتيجة لمتباينة المثلث .${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$يرمز إلى المعيار الأقصى أو${\displaystyle \ell _{\infty }}$-معيار من​${\displaystyle x}$⁠ .

لاحظ أنه بالنسبة للمحيطات أحادية البعد${\displaystyle C_{p}}$من بين الكرات ثنائية الأبعاد، لدينا: $${\displaystyle C_{1}=4{\sqrt {2}}}$$هي القيمة الدنيا. $${\displaystyle C_{2}=2\pi }$$$${\displaystyle C_{\infty }=8}$$هي القيمة القصوى.

• كرة
• ⁠${\displaystyle n}$-سفير​
• جسم كروي
• القطع الناقص الفائق
• دائرة الوحدة
• قرص الوحدة
• حزمة المماس الموحد
• مربع الوحدة

• ماهلون م. داي (1958) الفضاءات الخطية المعيارية ، الصفحة 24، سبرينغر-فيرلاغ .
• ديزا، إي . ديزا، م. (2006)، قاموس المسافات ، إلسفير، ISBN 0-444-52087-2تمت مراجعته في النشرة الإخبارية للجمعية الرياضية الأوروبية 64 (يونيو 2007) ، ص  57. تم تنظيم هذا الكتاب على شكل قائمة بالمسافات من أنواع عديدة، مع وصف موجز لكل منها.

• فايستين، إريك دبليو. “وحدة المجال” . عالم الرياضيات .