عدد معقد منقسم

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 75 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر ، يعتمد العدد المركب المنقسم (أو العدد الزائدي ، ويُعرف أيضًا بالعدد المعقد المزدوج ) على وحدة زائدية j تحقق ما يلي:ج2=1{\displaystyle j^{2}=1}، أينج≠±1{\displaystyle j\neq \pm 1}العدد المركب المنفصل له مركبتان حقيقيتان x و y ، ويكتبz=x+yج.{\displaystyle z=x+yj.}مرافق العدد z هو​z*=x-yج.{\displaystyle z^{*}=x-yj.}منذج2=1،{\displaystyle j^{2}=1,}حاصل ضرب العدد z في مرافقه هوشمال(z):=zz*=x2-y2،{\displaystyle N(z):=zz^{*}=x^{2}-y^{2},}شكل تربيعي متساوي الخواص .

المجموعة D لجميع الأعداد المركبة المنقسمةz=x+yج{\displaystyle z=x+yj}لـ​x،y∈R{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }يشكل جبرًا على حقل الأعداد الحقيقية . عددان مركبان منقسمان w و z لهما حاصل ضرب wz يحققشمال(wz)=شمال(w)شمال(z).{\displaystyle N(wz)=N(w)N(z).} إن تركيب N على حاصل الضرب الجبري يجعل ( D ، +، ×، *) جبر تركيبي .

جبر مماثل قائم علىR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}وعمليات الجمع والضرب على مستوى المكونات ،(R2،+،×،xy)،{\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},+,\times ,xy),}حيث xy هي الصيغة التربيعية على​R2،{\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}يشكل أيضًا فضاءً تربيعيًا . تماثل الحلقةد→R2x+yج↦(x-y،x+y){\displaystyle {\begin{aligned}D&\to \mathbb {R} ^{2}\\x+yj&\mapsto (x-y,x+y)\end{aligned}}} هو تماثل قياس للفضاءات التربيعية .

للأعداد المركبة المنقسمة أسماء أخرى عديدة؛ انظر قسم  المرادفات أدناه. راجع مقالة "متغير المحرك" للاطلاع على دوال العدد المركب المنقسم.

تعريف

العدد المركب المنفصل هو زوج مرتب من الأعداد الحقيقية، مكتوب على الصورة

z=x+جy{\displaystyle z=x+jy}

حيث x و y أعداد حقيقية ، والوحدة الزائدية j ، وهي ليست عددًا حقيقيًا بل كمية مستقلة، تحقق ما يلي :

ج2=+1{\displaystyle j^{2}=+1}

في مجال الأعداد المركبة، تحقق الوحدة التخيلية i ما يلي:أنا2=-1.{\displaystyle i^{2}=-1.}إن تغيير الإشارة يميز الأعداد المركبة المنقسمة عن الأعداد المركبة العادية.

تُسمى مجموعة جميع هذه الأعداد z بالمستوى المركب المنقسم . ويتم تعريف جمع وضرب الأعداد المركبة المنقسمة بواسطة

(x+جy)+(u+جv)=(x+u)+ج(y+v)(x+جy)(u+جv)=(xu+yv)+ج(xv+yu).{\displaystyle {\begin{aligned}(x+jy)+(u+jv)&=(x+u)+j(y+v)\\(x+jy)(u+jv)&=(xu+yv)+j(xv+yu).\end{aligned}}}

هذا الضرب تبادلي ، وتجميعي ، ويوزع على الجمع.

المرافق، والمعامل، والشكل الثنائي الخطي

كما هو الحال بالنسبة للأعداد المركبة، يمكن تعريف مفهوم المرافق المركب المنفصل . إذا

z=x+جy ،{\displaystyle z=x+jy~,}

ثم يُعرَّف مرافق z على النحو التالي:

z*=x-جy .{\displaystyle z^{*}=x-jy~.}

المرافق هو عملية انعكاسية تحقق خصائص مشابهة للمرافق المركب . أي،

(z+w)*=z*+w*(zw)*=z*w*(z*)*=z.{\displaystyle {\begin{aligned}(z+w)^{*}&=z^{*}+w^{*}\\(zw)^{*}&=z^{*}w^{*}\\\left(z^{*}\right)^{*}&=z.\end{aligned}}}

المعيار التربيعي لعدد مركب منقسمz=x+جy{\displaystyle z=x+jy}يُعطى بالصيغة التربيعية المتناحية

‖z‖2=zz*=z*z=x2-y2 .{\displaystyle \lVert z\rVert ^{2}=zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}~.}

له خاصية الجبر التركيبي :

‖zw‖=‖z‖‖w‖ .{\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert ~.}

ومع ذلك، فإن هذا الشكل التربيعي ليس موجبًا تمامًا ولكنه بالأحرى له إشارة (1، -1) ، لذا فإن المعيار ليس معيارًا .

يُعطى الشكل الثنائي الخطي المرتبط به بواسطة

⟨z،w⟩=Rهـ⁡(z*w)=Rهـ⁡(zw*)=xu-yv ،{\displaystyle \langle z,w\rangle =\operatorname {\mathrm {Re} } \left(z^{*}w\right)=\operatorname {\mathrm {Re} } \left(zw^{*}\right)=xu-yv~,}

أينz=x+جy{\displaystyle z=x+jy}وw=u+جv.{\displaystyle w=u+jv.}هنا، يتم تعريف الجزء الحقيقي بواسطةRهـ⁡(z)=12(z+z*)=x{\displaystyle \operatorname {\mathrm {Re} } (z)={\tfrac {1}{2}}(z+z^{*})=x}ثم يكون التعبير الآخر عن مربع المعامل هو

‖z‖2=⟨z،z⟩ .{\displaystyle \lVert z\rVert ^{2}=\langle z,z\rangle ~.}

بما أن هذه الصيغة الثنائية الخطية ليست موجبة التحديد، فهي ليست جداءً داخليًا ؛ ومع ذلك، يُشار إليها غالبًا باسم الجداء الداخلي غير المحدد . وثمة إساءة استخدام مماثلة للغة تتمثل في اعتبار المعامل معيارًا.

يكون العدد المركب المنفصل قابلاً للعكس إذا وفقط إذا كان مقياسه غير صفري (‖z‖≠0{\displaystyle \lVert z\rVert \neq 0}الأعداد التي تأخذ الشكل x ± jx ليس لها معكوس وتُسمى متجهات صفرية . يُعطى المعكوس الضربي لعنصر قابل للعكس بالصيغة التالية :

z-1=z*‖z‖2 .{\displaystyle z^{-1}={\frac {z^{*}}{{\lVert z\rVert }^{2}}}~.}

الأساس القطري

يوجد عنصران غير تافهين متساويان في القوة معطى بواسطةهـ=12(1-ج){\displaystyle e={\tfrac {1}{2}}(1-j)}وهـ*=12(1+ج).{\displaystyle e^{*}={\tfrac {1}{2}}(1+j).}تعني خاصية التكرار أنهـهـ=هـ{\displaystyle ee=e}وهـ*هـ*=هـ*.{\displaystyle e^{*}e^{*}=e^{*}.}كلا العنصرين فارغان:

‖هـ‖=‖هـ*‖=هـ*هـ=0 .{\displaystyle \lVert e\rVert =\lVert e^{*}\rVert =e^{*}e=0~.}

من الملائم غالبًا استخدام e و e * ​​كأساس بديل للمستوى المركب المنقسم. يُسمى هذا الأساس بالأساس القطري أو الأساس الصفري . يمكن كتابة العدد المركب المنقسم z في الأساس الصفري على النحو التالي:

z=x+جy=(x-y)هـ+(x+y)هـ* .{\displaystyle z=x+jy=(x-y)e+(x+y)e^{*}~.}

إذا رمزنا إلى العددz=أهـ+بهـ*{\displaystyle z=ae+be^{*}}بالنسبة للأعداد الحقيقية a و b ، فإن الصفر هو ( 0، 0) ، والواحد هو ( 1، 1) ، ويتم إعطاء عملية الجمع المركب المنفصل بواسطة (أ1،ب1)+(أ2،ب2)=(أ1+أ2،ب1+ب2) ،{\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)+\left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}\right)~,} وتُعطى عملية الضرب المركب المنفصل بالصيغة التالية: (أ1،ب1)(أ2،ب2)=(أ1أ2،ب1ب2) .{\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}a_{2},b_{1}b_{2}\right)~.}

يُعطى المرافق المركب المنفصل في الأساس القطري بالصيغة التالية: (أ،ب)*=(ب،أ){\displaystyle (a,b)^{*}=(b,a)} والمربع المعياري بواسطة

‖(أ،ب)‖2=أب.{\displaystyle \lVert (a,b)\rVert ^{2}=ab.}

التماثل

يربط هذا المخطط التبادلي تأثير المتجه الزائدي على D بتطبيق الضغط σ على ⁠R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}⁠

انطلاقاً من الأساس {e, e*}، يتضح أن الأعداد المركبة المنقسمة متماثلة حلقياً مع المجموع المباشر ⁠R⊕R{\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }مع تعريف الجمع والضرب بشكل ثنائي.

يمكن استدعاء الأساس القطري لمستوى الأعداد المركبة المنقسمة باستخدام زوج مرتب ( x ، y ) لـz=x+جy{\displaystyle z=x+jy}وإجراء عملية رسم الخرائط

(u،v)=(x،y)(111-1)=(x،y)S .{\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=(x,y)S~.}

أما الصيغة التربيعية فهيuv=(x+y)(x-y)=x2-y2 .{\displaystyle uv=(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}~.}بالإضافة إلى،

(ضرب بالعصا⁡أ،سينه⁡أ)(111-1)=(هـأ،هـ-أ){\displaystyle (\cosh a,\sinh a){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=\left(e^{a},e^{-a}\right)}

وبالتالي يتم جعل القطعين الزائدين المُعَلمين متوافقين مع S.

تأثير المقلوب الزائدي​هـبج{\displaystyle e^{bj}\!}ثم يتوافق ذلك، في ظل هذا التحويل الخطي، مع عملية ضغط

σ:(u،v)↦(رu،vر)،ر=هـب .{\displaystyle \sigma :(u,v)\mapsto \left(ru,{\frac {v}{r}}\right),\quad r=e^{b}~.}

على الرغم من انتمائهما لنفس فئة التشاكل في فئة الحلقات ، فإن المستوى المركب المنقسم والمجموع المباشر لخطين حقيقيين يختلفان في موقعهما في المستوى الديكارتي . يتكون التشاكل، كتطبيق مستوٍ، من دوران عكس عقارب الساعة بمقدار 45 درجة وتمدد بمقدار √2 . وقد تسبب التمدد تحديدًا في بعض الأحيان في حدوث لبس فيما يتعلق بمساحات القطاعات الزائدية . في الواقع، تتوافق الزاوية الزائدية مع مساحة قطاع فيR⊕R{\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }المستوى مع "دائرة الوحدة" الخاصة به المعطاة بواسطة{(أ،ب)∈R⊕R:أب=1}.{\displaystyle \{(a,b)\in \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} :ab=1\}.}القطع الزائد المتقلص{ضرب بالعصا⁡أ+جسينه⁡أ:أ∈R}{\displaystyle \{\cosh a+j\sinh a:a\in \mathbb {R} \}}مساحة الجزء من المستوى المركب المنقسم لا تتجاوز نصف مساحة القطاع الزائدي المقابل. وقد يستمر هذا الالتباس عندما لا يتم التمييز بين هندسة المستوى المركب المنقسم وهندسة ⁠R⊕R{\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }⁠ .

الهندسة

  القطع الزائد ذو الوحدة: ‖ z ‖ = 1
  القطع الزائد المترافق: ‖ z ‖ = −1
  الخطوط المقاربة: ‖ z ‖ = 0

يُطلق على الفضاء المتجهي الحقيقي ثنائي الأبعاد الذي يحتوي على جداء مينكوفسكي الداخلي اسم فضاء مينكوفسكي ذي البعد (1 + 1) ، ويُرمز إليه غالبًا بـR1،1.{\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}.}⁠ بقدر ما هو الحال في هندسة المستوى الإقليدي ⁠R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}يمكن وصفها باستخدام الأعداد المركبة، هندسة مستوى مينكوفسكيR1،1{\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}}يمكن وصفها باستخدام الأعداد المركبة المنقسمة.

مجموعة النقاط

{z:‖z‖2=أ2}{\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert ^{2}=a^{2}\right\}}

يمثل قطعًا زائدًا لكل قيمة غير صفرية لـ a فيR.{\displaystyle \mathbb {R} .}يتكون القطع الزائد من فرع أيمن وفرع أيسر يمران بالنقطتين ( a , 0) و (-a , 0) . تُسمىالحالة a = 1 بالقطع الزائد الواحدي .ويُعطى القطع الزائد المرافق بالصيغة التالية :

{z:‖z‖2=-أ2}{\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert ^{2}=-a^{2}\right\}}

مع فرع علوي وفرع سفلي يمران عبر (0، a ) و (0، -a ) . يفصل بين القطع الزائد والقطع الزائد المرافق خطان مقاربان قطريان يشكلان مجموعة العناصر الصفرية:

{z:‖z‖=0}.{\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert =0\right\}.}

هذان الخطان (يُطلق عليهما أحيانًا المخروط الصفري ) متعامدان فيR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}ولها ميول ±1.

يُقال إن العددين المركبين المنفصلين z و w متعامدان زائديًا إذا كان ⟨ z , w ⟩ = 0. وبينما يُشابه هذا الشرط التعامد العادي، لا سيما كما هو معروف في حساب الأعداد المركبة العادية، إلا أنه أكثر دقة. ويُشكّل هذا الشرط أساس مفهوم المستوى الفائق المتزامن في الزمكان.

الصيغة المماثلة لصيغة أويلر للأعداد المركبة المنقسمة هي

خبرة⁡(جθ)=ضرب بالعصا⁡(θ)+جسينه⁡(θ).{\displaystyle \exp(j\theta )=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta ).}

يمكن اشتقاق هذه الصيغة من متسلسلة قوى باستخدام حقيقة أن دالة cosh لها قوى زوجية فقط، بينما دالة sinh لها قوى فردية. [ 2 ] بالنسبة لجميع القيم الحقيقية للزاوية الزائدية θ، فإن العدد المركب المنفصل λ = exp( jθ ) له معيار يساوي 1 ويقع على الفرع الأيمن للقطع الزائد الواحدي. تُسمى أعداد مثل λ بالمتجهات الزائدية .

بما أن λ له معامل يساوي 1، فإن ضرب أي عدد مركب منقسم z في λ يحافظ على معامل z ويمثل دورانًا زائديًا (يُسمى أيضًا تعزيز لورنتز أو تحويل الضغط ). يحافظ الضرب في λ على البنية الهندسية، حيث يأخذ القطوع الزائدة إلى نفسها والمخروط الصفري إلى نفسه.

تشكل مجموعة جميع تحويلات المستوى المركب المنقسم التي تحافظ على المعامل (أو ما يعادله، الجداء الداخلي) زمرة تسمى الزمرة المتعامدة المعممة O(1, 1) . تتكون هذه الزمرة من الدورانات الزائدية، التي تشكل زمرة فرعية يُرمز لها بـ SO + (1, 1) ، بالإضافة إلى أربعة انعكاسات منفصلة معطاة بواسطة

z↦±z{\displaystyle z\mapsto \pm z}وz↦±z*.{\displaystyle z\mapsto \pm z^{*}.}

الخريطة الأسية

خبرة:(R،+)→Sيا+(1،1){\displaystyle \exp \colon (\mathbb {R} ,+)\to \mathrm {SO} ^{+}(1,1)}

إن إرسال θ إلى الدوران بواسطة exp( jθ ) هو تماثل المجموعة لأن الصيغة الأسية المعتادة تنطبق:

هـج(θ+ϕ)=هـجθهـجϕ.{\displaystyle e^{j(\theta +\phi )}=e^{j\theta }e^{j\phi }.}

إذا لم يقع العدد المركب المنقسم z على أحد الأقطار، فإن z له تحليل قطبي .

الخصائص الجبرية

باعتبارها جبرًا تربيعيًا ، يمكن وصف الأعداد المركبة المنقسمة بأنها خارج قسمة حلقة متعددة الحدود .R[x]{\displaystyle \mathbb {R} [x]}بواسطة مثالي ، في هذه الحالة يتم توليده بواسطة متعدد الحدودx2-1،{\displaystyle x^{2}-1,}

R[x]/(x2-1).{\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1).}

صورة x في خارج القسمة هي الوحدة الزائدية j . وبناءً على هذا الوصف، يتضح أن الأعداد المركبة المنقسمة تُشكّل جبرًا تبديليًا على الأعداد الحقيقية. هذا الجبر ليس حقلًا لأن العناصر الصفرية غير قابلة للعكس. جميع العناصر الصفرية غير الصفرية هي قواسم للصفر .

بما أن الجمع والضرب عمليتان متصلتان بالنسبة للطوبولوجيا المعتادة للمستوى، فإن الأعداد المركبة المنقسمة تشكل حلقة طوبولوجية .

يشكل جبر الأعداد المركبة المنقسمة جبرًا تركيبيًا لأن

‖zw‖=‖z‖‖w‖ {\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert ~}

لأي عددين z و w .

يتضح من التعريف أن حلقة الأعداد المركبة المنقسمة متماثلة مع حلقة المجموعة .R[ج2]{\displaystyle \mathbb {R} [C_{2}]}من المجموعة الدورية C 2 على الأعداد الحقيقيةR.{\displaystyle \mathbb {R} .}⁠

عناصر عنصر الوحدة في مجموعة الوحدات في D لها أربعة جذور تربيعية: لنقلص=خبرة⁡(q)،  q∈د.ثم±خبرة⁡(q2){\displaystyle p=\exp(q),\ \ q\in D.{\text{then}}\pm \exp({\frac {q}{2}})}هي الجذور التربيعية لـ p . علاوة على ذلك،±جخبرة⁡(q2){\displaystyle \pm j\exp({\frac {q}{2}})}وهي أيضًا الجذور التربيعية لـ p .

العناصر المتطابقة1±ج2{\displaystyle {\frac {1\pm j}{2}}}هي جذورها التربيعية، والجذر التربيعي لـs1±ج2،  s>0، يكون s1±ج2{\displaystyle s{\frac {1\pm j}{2}},\ \ s>0,\ {\text{is}}\ {\sqrt {s}}{\frac {1\pm j}{2}}}

تمثيلات المصفوفة

باستخدام مفاهيم المصفوفات وضرب المصفوفات ، يمكن تمثيل الأعداد المركبة المنقسمة في الجبر الخطي. يمكن تمثيل الوحدة الحقيقية 1 والوحدة الزائدية j بأي زوج من المصفوفات I و J بحيث تحقق I² = J² = I و IJ = JI = J مع J ≠ ± I. عندئذٍ ، يمكن تمثيل العدد المركب المنقسم a + bj بالمصفوفة aI + bJ ، ويمكن اشتقاق جميع قواعد حساب الأعداد المركبة المنقسمة من قواعد حساب المصفوفات .

الخيار الأكثر شيوعًا هو تمثيل 1 و j بواسطة مصفوفة الوحدة I من الرتبة 2 × 2 والمصفوفة J ،

أنا=(1001)،ج=(0110).{\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad J={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}

عندئذٍ يمكن تمثيل أي عدد مركب منقسم a + bj بالصيغة التالية:

أأنا+بج=(أببأ).{\displaystyle aI+bJ={\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}}.}

بشكل عام، أي مصفوفة حقيقية القيم من الرتبة 2 × 2 ذات أثر يساوي صفرًا ومحدد يساوي سالب واحد تربيعًا يساوي I ، لذلك يمكن اختيارها لـ J. على أي حال، det( aI + bJ ) = a² - b² ، وهو مربع القيمة المطلقة للعدد المركب المنفصل.

ويمكن أيضًا استخدام مصفوفات أكبر؛ على سبيل المثال، يمكن تمثيل 1 بواسطة مصفوفة الوحدة 4 × 4 ويمكن تمثيل j بواسطة مصفوفة ديراك γ 0 .

تاريخ

يعود استخدام الأعداد المركبة المنقسمة إلى عام 1848 عندما كشف جيمس كوكل عن التيسارينات . [ 3 ] استخدم ويليام كينغدون كليفورد الأعداد المركبة المنقسمة لتمثيل مجاميع اللف المغزلي. أدخل كليفورد استخدام الأعداد المركبة المنقسمة كمعاملات في جبر الكواترنيون الذي يُسمى الآن الكواترنيونات الثنائية المنقسمة . أطلق على عناصره اسم "المحركات"، وهو مصطلح يوازي فعل "الدوار" للعدد المركب العادي المأخوذ من مجموعة الدائرة . بتوسيع هذا التشبيه، نجد أن دوال متغير المحرك تختلف عن دوال متغير مركب عادي .

منذ أواخر القرن العشرين، يُنظر إلى عملية الضرب المركب المنفصل على أنها تعزيز لورنتز لمستوى الزمكان . [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] في هذا النموذج، يُمثل العدد z = x + y j حدثًا في مستوى مكاني-زماني، حيث يُقاس x بالثواني و y بالثواني الضوئية . يتوافق المستقبل مع ربع الأحداث { z  : | y | < x } ، والذي له تحليل قطبي مركب منفصلz=ρهـأج{\displaystyle z=\rho e^{aj}\!}ينص النموذج على أنه يمكن الوصول إلى النقطة z من نقطة الأصل بالدخول إلى إطار مرجعي ذي سرعة a والانتظار لمدة ρ ثانية. معادلة التقسيم المركب هـأج هـبج=هـ(أ+ب)ج{\displaystyle e^{aj}\ e^{bj}=e^{(a+b)j}} يوضح التعبير عن نواتج الضرب على القطع الزائد الواحدي خاصية جمع السرعات للسرعات المتوازية. وتعتمد تزامن الأحداث على السرعة a . {z=σجهـأج:σ∈R}{\displaystyle \{z=\sigma je^{aj}:\sigma \in \mathbb {R} \}} هو خط الأحداث المتزامنة مع الأصل في إطار المرجع بسرعة a .

يكون الحدثان z و w متعامدين زائديين عندماz*w+zw*=0{\displaystyle z^{*}w+zw^{*}=0}⁠ . الأحداث الأساسية exp( aj ) و j exp( aj ) هي متعامدة زائدية وتقع على محاور إطار مرجعي تكون فيه الأحداث المتزامنة مع الأصل متناسبة مع j exp( aj ) .

في عام ١٩٣٣، استخدم ماكس زورن الأعداد الثمانية المنقسمة ولاحظ خاصية الجبر التركيبي . أدرك أن بناء كايلي-ديكسون ، المستخدم لتوليد جبر القسمة، يمكن تعديله (باستخدام العامل غاما، γ ) لإنشاء جبر تركيبي آخر، بما في ذلك الأعداد الثمانية المنقسمة. وقد واصل أدريان ألبرت وريتشارد د. شيفر وآخرون تطوير ابتكاره. [ ١٠ ] يُنشئ العامل غاما، مع R كحقل أساسي، الأعداد المركبة المنقسمة كجبر تركيبي. وفي مراجعة لألبرت في مجلة "المراجعات الرياضية" ، كتب إن إتش مكوي أنه كان هناك "تقديم لبعض الجبر الجديد من الرتبة ٢e على F ، والذي يُعمم جبر كايلي-ديكسون". [ ١١ ] إن اعتبار F = R و e = ١ يُطابق الجبر المذكور في هذه المقالة.

في عام 1935، طور جي سي فيجنو وأ. دورانيونا واي فيديا الجبر الهندسي المعقد ونظرية الوظيفة في أربع مقالات في Contribución a las Ciencias Físicas y Matemáticas ، جامعة لابلاتا الوطنية ، جمهورية الأرجنتين (بالإسبانية). قدمت هذه المقالات التفسيرية والتربوية الموضوع لتقدير واسع النطاق. [ 12 ]

في عام 1941 استخدم إي إف ألين الحساب الهندسي المركب المنفصل لإثبات القطع الزائد ذي النقاط التسع لمثلث مرسوم داخل zz ∗ = 1. [ 13 ] 

في عام ١٩٥٦، نشر ميتشيسلاف فارموس كتاب "حساب التقريبات" في نشرة الأكاديمية البولندية للعلوم (انظر الرابط في قسم المراجع). وقد طوّر نظامين جبريين، أطلق على كل منهما اسم "الأعداد التقريبية"، ويُشكّل النظام الثاني منهما جبرًا حقيقيًا. [ ١٤ ] راجع د. هـ. ليمر المقال في مجلة "المراجعات الرياضية" ولاحظ أن هذا النظام الثاني متماثل مع "الأعداد المركبة الزائدية"، وهو موضوع هذا المقال.

وفي عام 1961 واصل وارموس شرحه، مشيرًا إلى مكونات العدد التقريبي على أنها نقطة المنتصف ونصف قطر الفترة المشار إليها.

المرادفات

استخدم مؤلفون مختلفون أسماءً متنوعة للأعداد المركبة المنقسمة. ومن هذه الأسماء:

  • ( حقيقي ) تيزارين ، جيمس كوكل (1848)
  • المحركات ( الجبرية ) ، دبليو كيه كليفورد (1882)
  • الأعداد المركبة الزائدية ، جي سي فينيو (1935)، جي كري (1949) [ 15 ]
  • الأعداد الثنائية الحقيقية ، يو. بينسيفينجا (1946)
  • الأعداد الزائدية الحقيقية ، ن. سميث (1949) [ 16 ]
  • الأعداد التقريبية ، وارموس (1956)، للاستخدام في تحليل الفترات
  • الأرقام المزدوجة ، IM Yaglom (1968)، Kantor و Solodovnikov (1989)، Hazewinkel (1990)، Rooney (2014)
  • الأعداد الزائدية ، دبليو. ميلر و ر. بوهنينغ (1968)، [ 17 ] ج. سوبتشيك (1995)
  • الأعداد المركبة غير الطبيعية ، دبليو. بنز (1973)
  • الأرقام المحيرة ، ب. فيلستاد (1986) وبودياك وليكلير (2009)
  • المركب المضاد أو الزائدي ، كارمودي (1988)
  • أرقام لورنتز ، إف آر هارفي (1990)
  • الأعداد شبه المركبة ، ف. أنتونوتشيو (1994)
  • الأعداد المعقدة ، Cruceanu، Fortuny & Gadea (1996)
  • الأعداد المركبة المنقسمة ، ب. روزنفيلد (1997) [ 18 ]
  • أرقام الزمكان ، ن. بورتا (2000)
  • أرقام الدراسة ، ب. لونستو (2001)
  • اثنان من الأعداد المركبة ، س. أولاريو (2002)
  • الثنائيات المنقسمة ، ك. مكريمون (2004)

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ فلاديمير ف. كيسيل (2012) هندسة تحويلات موبيوس: التأثيرات الإهليلجية والقطع المكافئ والقطع الزائد لـ SL(2,R) ، الصفحات 2، 161، مطبعة إمبريال كوليدج، رقم ISBN 978-1-84816-858-9
  2. ↑ جيمس كوكل (1848) حول مفهوم جديد في الجبر ، المجلة الفلسفية 33:438
  3. ↑ جيمس كوكل (1849) حول تصور جديد في الجبر 34:37-47، مجلة لندن-إدنبرة-دبلن الفلسفية (3) 33 :435-9، رابط من مكتبة التراث البيولوجي .
  4. ↑ فرانشيسكو أنتونوتشيو (1994) التحليل شبه المركب والفيزياء الرياضية
  5. ^ F. كاتوني، د. بوكاليتي، ر. كاناتا، ف. كاتوني، إي. نيشيلاتي، ب. زامبيتي. (2008) رياضيات مينكوفسكي الزمكان ، بيركهاوزر فيرلاغ ، بازل. الفصل الرابع: حساب المثلثات في مستوى مينكوفسكي. رقم ISBN 978-3-7643-8613-9.
  6. ^ فرانشيسكو كاتوني. دينو بوكاليتي؛ روبرتو كاناتا؛ فينتشنزو كاتوني؛ باولو زامبيتي (2011). “الفصل الثاني: الأرقام الزائدية”. هندسة مينكوفسكي الزمكان . سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. رقم ISBN 978-3-642-17977-8.
  7. ↑ فيلستاد، بول (1986)، "توسيع النسبية الخاصة عبر أعداد بيربلكس"، المجلة الأمريكية للفيزياء ، 54 (5): 416-422 ، Bibcode : 1986AmJPh..54..416F ، doi : 10.1119/1.14605
  8. ↑ لويس كوفمان (1985) "التحولات في النسبية الخاصة"، المجلة الدولية للفيزياء النظرية 24:223-36.
  9. ↑ Sobczyk, G.(1995) Hyperbolic Number Plane , also published in College Mathematics Journal 26:268–80.
  10. ↑ روبرت ب. براون (1967) حول جبر كايلي-ديكسون المعمم ، مجلة المحيط الهادئ للرياضيات 20(3):415-22، رابط من مشروع إقليدس .
  11. ↑ مراجعة NH McCoy (1942) لكتاب "الأشكال التربيعية التي تسمح بالتركيب" بقلم AA Albert، المراجعات الرياضية #0006140
  12. ^ Vignaux، J. (1935) “Sobre el numero complejo hiperbolico y su relacion con la Geometria de Borel”، مساهمة في Estudio de las Ciencias Fisicas y Matematicas ، الجامعة الوطنية دي لا بلاتا، جمهورية الأرجنتين
  13. ↑ ألين، إي إف (1941) "حول مثلث مرسوم داخل قطع زائد مستطيل"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية 48(10): 675-681
  14. ↑ م. وارموس (1956) "حساب التقريبات" مؤرشف بتاريخ 2012-03-09 في Wayback Machine ، نشرة الأكاديمية البولندية للعلوم ، المجلد 4، العدد 5، الصفحات 253-257، MR 0081372 
  15. ↑ كري، جورج سي. (1949). نظرية الأعداد لنظام الأعداد المركبة الزائدية (رسالة ماجستير). جامعة ماكجيل.
  16. ↑ سميث، نورمان إي. (1949). مقدمة في نظرية الأعداد الزائدية (رسالة ماجستير). جامعة ماكجيل.
  17. ↑ ميلر، ويليام؛ بونينغ، روشيل (1968). "الأعداد الغاوسية، والقطع المكافئ، والقطع الزائد". مُعلِّم الرياضيات . 61 (4): 377-382 . doi : 10.5951/MT.61.4.0377 . JSTOR 27957849 . 
  18. ↑ روزنفيلد، ب. (1997) هندسة زمر لي ، صفحة 30، دار نشر كلوير الأكاديمية، رقم ISBN 0-7923-4390-5

للمزيد من القراءة

  • Bencivenga، Uldrico (1946) "Sulla Rappresentazione Engineeringa delle algebre doppie dotate di modulo"، Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli ، Ser (3) v.2 No7. السيد 0021123 . 
  • والتر بنز (1973) Vorlesungen uber Geometrie der Algebren ، سبرينغر
  • NA Borota, E. Flores, and TJ Osler (2000) “Spacetime numbers the easy way”, Mathematics and Computer Education 34: 159–168.
  • NA Borota and TJ Osler (2002) "وظائف متغير الزمكان"، الرياضيات وتعليم الحاسوب 36: 231-239.
  • K. Carmody, (1988) "الرباعيات الدائرية والزائدية، والأوكتونيات، والسيدينيات" ، الرياضيات التطبيقية والحساب 28:47-72.
  • ك. كارمودي، (1997) "الرباعيات الدائرية والزائدية، والأوكتونيات، والسيدينيات - نتائج إضافية"، الرياضيات التطبيقية والحساب 84:27-48.
  • ويليام كينغدون كليفورد (1882) الأعمال الرياضية ، محرر AW Tucker، الصفحة 392، "ملاحظات إضافية حول الثنائيات الرباعية"
  • V.Cruceanu, P. Fortuny & PM Gadea (1996) A Survey on Paracomplex Geometry , Rocky Mountain Journal of Mathematics 26(1): 83–115, link from Project Euclid .
  • دي بوير، ر. (1987) "قائمة الأرقام المعقدة المعروفة أيضًا باسم قائمة الأرقام المعقدة"، المجلة الأمريكية للفيزياء 55 (4): 296.
  • أنتوني أ. هاركين وجوزيف ب. هاركين (2004) هندسة الأعداد المركبة المعممة ، مجلة الرياضيات 77(2):118–29.
  • إف. ريس هارفي. سبينورات ومعايرات. دار النشر الأكاديمية، سان دييغو. 1990. رقم ISBN 0-12-329650-1. يحتوي على وصف للجبر المعياري في التوقيع غير المحدد، بما في ذلك أرقام لورنتز.
  • Hazewinkle, M. (1994) "الأعداد المزدوجة والثنائية"، موسوعة الرياضيات ، Soviet/AMS/Kluwer، Dordrect.
  • كيفن مكريمون (2004) لمحة عن جبر جوردان ، الصفحات 66، 157، سلسلة Universitext، سبرينغر، رقم ISBN 0-387-95447-3MR 2014924 
  • C. Musès, "الأعداد الفائقة التطبيقية: المفاهيم الحسابية"، الرياضيات التطبيقية والحساب 3 (1977) 211-226.
  • C. Musès, "Hypernumbers II—مفاهيم إضافية وتطبيقات حسابية"، Appl. Math. Comput. 4 (1978) 45–66.
  • أولاريو، سيلفيو (2002) الأعداد المركبة في N بُعد ، الفصل 1: الأعداد المركبة الزائدية في بُعدين، الصفحات 1-16، سلسلة دراسات الرياضيات من نورث هولاند رقم 190، دار النشر إلسيفير ISBN 0-444-51123-7.
  • بودياك، روبرت د. وكيفن ج. ليكلير (2009) "النظريات الأساسية للجبر للمحيرة"، مجلة الرياضيات الجامعية 40 (5): 322-35.
  • إسحاق ياغلوم (1968) الأعداد المركبة في الهندسة ، ترجمة إي. بريمروز من الأصل الروسي لعام 1963، دار النشر الأكاديمية ، ص  18-20.
  • ج. روني (2014). "الأعداد المركبة المعممة في الميكانيكا". في: ماركو سيكاريلي وفيكتور أ. جلازونوف (محرران). التطورات في نظرية وتطبيق الروبوتات والمُعالِجات: وقائع ندوة رومانسي 2014، الندوة العشرون لـ CISM-IFToMM حول نظرية وتطبيق الروبوتات والمُعالِجات . علم الآليات والآلات. المجلد  22. سبرينغر. الصفحات 55-62 . doi : 10.1007/978-3-319-07058-2_7 . ISBN  978-3-319-07058-2.