ضرب المصفوفات

إذا كانت A مصفوفة من الرتبة m × n و B مصفوفة من الرتبة n × p ، $$\begin{pmatrix} \mathbf {A} = \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}, \quad \mathbf {B} = \begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{np}\\\end{pmatrix}}}$$يُعرَّف حاصل ضرب المصفوفة C = AB ( المشار إليه بدون علامات الضرب أو النقاط) بأنه مصفوفة m × p ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}$${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1p}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{m1}&c_{m2}&\cdots &c_{mp}\\\end{pmatrix}}}$$ بحيث $${\displaystyle c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},}$$ for i = 1, ..., m and j = 1, ..., p .

أي المدخل ⁠${\displaystyle c_{ij}}$يتم الحصول على ناتج الضرب بضرب عناصر الصف i من المصفوفة A والعمود j من المصفوفة B حدًا بحد، ثم جمع نواتج الضرب هذه . بعبارة أخرى ،${\displaystyle c_{ij}}$⁠ هو حاصل الضرب النقطيللصف i من A والعمود j من B.

لذلك، يمكن كتابة AB أيضًا على النحو التالي:$${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+\cdots +a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+\cdots +a_{1n}b_{n2}&\cdots &a_{11}b_{1p}+\cdots +a_{1n}b_{np}\\a_{21}b_{11}+\cdots +a_{2n}b_{n1}&a_{21}b_{12}+\cdots +a_{2n}b_{n2}&\cdots &a_{21}b_{1p}+\cdots +a_{2n}b_{np}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{11}+\cdots +a_{mn}b_{n1}&a_{m1}b_{12}+\cdots +a_{mn}b_{n2}&\cdots &a_{m1}b_{1p}+\cdots +a_{mn}b_{np}\\\end{pmatrix}}}$$

وبالتالي فإن حاصل ضرب AB يتم تعريفه إذا وفقط إذا كان عدد الأعمدة في A يساوي عدد الصفوف في B ، ^{[ 1 ]} في هذه الحالة n .

في معظم الحالات، تكون المدخلات أعدادًا، ولكنها قد تكون أي نوع من الكائنات الرياضية التي تُعرَّف لها عمليتا الجمع والضرب، وتكون تجميعية ، بحيث يكون الجمع تبديليًا ، والضرب توزيعيًا بالنسبة للجمع. على وجه الخصوص، قد تكون المدخلات مصفوفات بحد ذاتها (انظر مصفوفة الكتل ).

متجه${\displaystyle \mathbf {x} }$من الطول${\displaystyle n}$يمكن اعتبارها متجهًا عموديًا ، يتوافق مع${\displaystyle n\times 1}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {X} }$يتم تقديم إدخالاتهم بواسطة${\displaystyle \mathbf {X} _{i1}=\mathbf {x} _{i}.}$لو${\displaystyle \mathbf {A} }$هو${\displaystyle m\times n}$المصفوفة، حاصل ضرب المصفوفة في المتجه ويرمز له بـ${\displaystyle \mathbf {Ax} }$إذن يكون المتجه${\displaystyle \mathbf {y} }$وهذا، عند النظر إليه كمتجه عمودي، يساوي${\displaystyle m\times 1}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {AX} .}$في تدوين الفهرس، يُعادل هذا ما يلي:

${\displaystyle y_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}.}$

إحدى طرق النظر إلى هذا هي افتراض التغييرات من متجه "بسيط" إلى متجه عمودي والعودة إلى المتجه العادي وتركها ضمنية.

وبالمثل، متجه${\displaystyle \mathbf {x} }$من الطول${\displaystyle n}$يمكن اعتبارها متجه صف ، يتوافق مع أ${\displaystyle 1\times n}$المصفوفة. ولتوضيح المقصود بمتجه الصف، جرت العادة في هذا السياق على تمثيله كمنقولة متجه العمود؛ وبالتالي، سنرى رموزًا مثل${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} .}$الهوية${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {x} )^{\mathrm {T} }}$صحيح. في تدوين الفهرس، إذا${\displaystyle \mathbf {A} }$هو${\displaystyle n\times p}$مصفوفة،${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =\mathbf {y} ^{\mathrm {T} }}$يعادل: ${\displaystyle y_{k}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}a_{jk}.}$

يمكن تمثيل متجه ذي n عنصرًا كمصفوفة 1 × n (متجه صف) أو كمصفوفة n × 1 (متجه عمود). بافتراض أن${\displaystyle \mathbf {a} }$و${\displaystyle \mathbf {b} }$كلاهما متجهان عموديان، وهما حاصل الضرب النقطي (أو حاصل الضرب الداخلي).${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$يساوي المدخل الوحيد لـ${\displaystyle 1\times 1}$المصفوفة الناتجة عن ضرب المصفوفة في متجه الصف${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }}$باستخدام متجه العمود${\displaystyle \mathbf {b} }$، أي${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }$.

عملية ضرب المصفوفات بين متجه العمود${\displaystyle \mathbf {a} }$والمتجه الصفي${\displaystyle \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }}$، والمعروف أيضًا باسم المنتج الخارجي${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }}$، بدلاً من ذلك، سيعطي مصفوفة من الرتبة n × n .

يوضح الشكل الموجود على اليمين بشكل تخطيطي ناتج ضرب مصفوفتين A و B ، موضحًا كيف يتوافق كل تقاطع في مصفوفة الناتج مع صف من A وعمود من B.$${\displaystyle {\overset {4\times 2{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\\cdot &\cdot \\a_{31}&a_{32}\\\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}{\overset {2\times 3{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}\cdot &b_{12}&b_{13}\\\cdot &b_{22}&b_{23}\\\end{bmatrix}}}={\overset {4\times 3{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}\cdot &c_{12}&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &c_{33}\\\cdot &\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}}$$

القيم عند نقاط التقاطع، والمميزة بدوائر في الشكل على اليمين، هي: $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{12}&=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\c_{33}&=a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}.\end{aligned}}}$$

إذا كان للفضاء المتجهي أساس منتهٍ ، فإن كل متجه فيه يُمثَّل بشكل فريد بتسلسل منتهٍ من الأعداد القياسية، يُسمى متجه الإحداثيات ، وعناصره هي إحداثيات المتجه على الأساس. تُشكِّل متجهات الإحداثيات هذه فضاءً متجهيًا آخر، متماثلًا مع الفضاء المتجهي الأصلي. يُنظَّم متجه الإحداثيات عادةً على شكل مصفوفة عمودية (تُسمى أيضًا متجه العمود )، وهي مصفوفة ذات عمود واحد فقط. لذا، يُمثِّل متجه العمود كلاً من متجه الإحداثيات ومتجه الفضاء المتجهي الأصلي.

التحويل الخطي A من فضاء متجهي ذي بُعد n إلى فضاء متجهي ذي بُعد m يحول متجهًا عموديًا

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$

على متجه العمود

${\displaystyle \mathbf {y} =A(\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}.}$

وبالتالي، يتم تعريف التحويل الخطي A بواسطة المصفوفة

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},}$

ويرسم متجه العمود${\displaystyle \mathbf {x} }$إلى ناتج المصفوفة

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {Ax} .}$

إذا كانت B عبارة عن تطبيق خطي آخر من فضاء متجهي سابق ذي بُعد m إلى فضاء متجهي ذي بُعد p ، فإنه يُمثَّل بـ${\displaystyle p\times m}$مصفوفة​${\displaystyle \mathbf {B} .}$تُظهر عملية حسابية مباشرة أن مصفوفة الخريطة المركبة ⁠${\displaystyle B\circ A}$هو حاصل ضرب المصفوفات${\displaystyle \mathbf {BA} .}$الصيغة العامة${\displaystyle (B\circ A)(\mathbf {x} )=B(A(\mathbf {x} ))}$) الذي يحدد تركيب الدالة يتم تمثيله هنا كحالة خاصة من تجميعية ضرب المصفوفات (انظر §  التجميعية أدناه):

${\displaystyle (\mathbf {BA} )\mathbf {x} =\mathbf {B} (\mathbf {Ax} )=\mathbf {BAx} .}$

تخصيص الموارد في الاقتصاد

على سبيل المثال، يستخدم مصنع وهمي 4 أنواع من السلع الأساسية ،${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}}$لإنتاج 3 أنواع من السلع الوسيطة ،${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$والتي بدورها تُستخدم لإنتاج 3 أنواع من المنتجات النهائية ،${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3}}$المصفوفات

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&1\\0&1&1\\1&1&2\\\end{pmatrix}}}$ و ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}1&2&1\\2&3&1\\4&2&2\\\end{pmatrix}}}$

حدد كمية السلع الأساسية اللازمة لإنتاج كمية معينة من السلع الوسيطة، وكمية السلع الوسيطة اللازمة لإنتاج كمية معينة من المنتجات النهائية، على التوالي. على سبيل المثال، لإنتاج وحدة واحدة من السلعة الوسيطة${\displaystyle m_{1}}$وحدة واحدة من السلع الأساسية${\displaystyle b_{1}}$وحدتان من${\displaystyle b_{2}}$لا توجد وحدات من${\displaystyle b_{3}}$ووحدة واحدة من${\displaystyle b_{4}}$يلزم، بما يتوافق مع العمود الأول من${\displaystyle \mathbf {A} }$.

باستخدام ضرب المصفوفات، احسب

${\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}5&4&3\\8&9&5\\\ 6&5&3\\11&9&6\\\end{pmatrix}};}$

توفر هذه المصفوفة مباشرةً كميات السلع الأساسية اللازمة لكميات محددة من السلع النهائية. على سبيل المثال، المدخل السفلي الأيسر من${\displaystyle \mathbf {AB} }$يتم حسابها على النحو التالي${\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot 4=11}$، مما يعكس ذلك${\displaystyle 11}$وحدات${\displaystyle b_{4}}$يلزم لإنتاج وحدة واحدة من${\displaystyle f_{1}}$في الواقع، واحد${\displaystyle b_{4}}$الوحدة مطلوبة لـ${\displaystyle m_{1}}$واحد لكل من اثنين${\displaystyle m_{2}}$، و${\displaystyle 2}$لكل واحد من الأربعة${\displaystyle m_{3}}$الوحدات التي تدخل في${\displaystyle f_{1}}$الوحدة، انظر الصورة.

لإنتاج 100 وحدة من المنتج النهائي على سبيل المثال${\displaystyle f_{1}}$80 وحدة من${\displaystyle f_{2}}$و60 وحدة من${\displaystyle f_{3}}$ويمكن حساب الكميات اللازمة من السلع الأساسية على النحو التالي:

${\displaystyle (\mathbf {AB} ){\begin{pmatrix}100\\80\\60\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1000\\1820\\1180\\2180\end{pmatrix}},}$

إنه،${\displaystyle 1000}$وحدات${\displaystyle b_{1}}$،${\displaystyle 1820}$وحدات${\displaystyle b_{2}}$،${\displaystyle 1180}$وحدات${\displaystyle b_{3}}$،${\displaystyle 2180}$وحدات${\displaystyle b_{4}}$هناك حاجة لذلك. وبالمثل، مصفوفة المنتج${\displaystyle \mathbf {AB} }$يمكن استخدامها لحساب الكميات المطلوبة من السلع الأساسية لبيانات كميات السلع النهائية الأخرى. ^{[ 9 ]}

الشكل العام لنظام المعادلات الخطية هو

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}.\end{matrix}}}$

باستخدام نفس الترميز المذكور أعلاه، يكون هذا النظام مكافئًا لمعادلة المصفوفة المفردة

${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} .}$

يمثل حاصل الضرب النقطي لمتجهين عموديين العنصر الوحيد في حاصل ضرب المصفوفات

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} ,}$

أين${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}}$هو متجه الصف الناتج عن عملية النقل${\displaystyle \mathbf {x} }$(وكما هو معتاد، يتم تحديد المصفوفة 1×1 من خلال مدخلها الفريد.)

وبشكل أعم، يمكن التعبير عن أي شكل ثنائي الخطية على فضاء متجهي ذي بُعد محدود كحاصل ضرب مصفوفي.

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Ay} ,}$

ويمكن التعبير عن أي شكل خطي مزدوج على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\dagger }\mathbf {Ay} ,}$

أين${\displaystyle \mathbf {x} ^{\dagger }}$يشير إلى منقولة المرافق لـ${\displaystyle \mathbf {x} }$(مرافق المنقول، أو ما يعادله منقول المرافق).

تكون العملية تبديلية إذا كان حاصل ضرب عنصرين A و B يساوي${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} }$إذا تم تعريفها، فإن${\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {A} }$كما تم تعريفها، و${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {B} \mathbf {A} .}$

إذا كانت A و B مصفوفتين بأحجام مختلفة${\displaystyle m\times n}$و​​${\displaystyle p\times q}$ثم​${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} }$يتم تعريفها إذا ⁠${\displaystyle n=p}$، و${\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {A} }$يتم تعريفها إذا ⁠${\displaystyle m=q}$لذلك ، إذا تم تعريف أحد المنتجين ، فلا يلزم تعريف الآخر.${\displaystyle m=q\neq n=p}$المنتجان مُعرّفان، لكنهما مختلفان في الحجم؛ لذا لا يمكن أن يكونا متساويين. فقط إذا${\displaystyle m=q=n=p}$أي ، إذاكانت A و B مصفوفتين مربعتين من نفس الحجم، فإن كلتيهما حاصل ضرب معرف ومن نفس الحجم. حتى في هذه الحالة، يكون لدينا بشكل عام

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} \neq \mathbf {B} \mathbf {A} .}$

على سبيل المثال

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},}$

لكن

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

يمكن توسيع هذا المثال لإظهار أنه إذا كان A هو ⁠${\displaystyle n\times n}$مصفوفة ذات عناصر في حقل F ، ثم${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {B} \mathbf {A} }$لكل​${\displaystyle n\times n}$المصفوفة B ذات العناصر في F ، إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathbf {A} =c\,\mathbf {I} }$أين​${\displaystyle c\in F}$وأنا هو​​​${\displaystyle n\times n}$مصفوفة الوحدة . إذا كان من المفترض أن تنتمي المدخلات إلى حلقة بدلاً من حقل ، فيجب إضافة الشرط الذي ينص على أن c ينتمي إلى مركز الحلقة.

إحدى الحالات الخاصة التي يحدث فيها التبادل هي عندما تكون D و E مصفوفتين قطريتين (مربعتين) (من نفس الحجم)؛ عندئذٍ DE = ED . ^{[ 10 ]} مرة أخرى، إذا كانت المصفوفات على حلقة عامة بدلاً من حقل، فيجب أن تكون المدخلات المتناظرة في كل منها تبادلية مع بعضها البعض حتى يتحقق هذا.

إن ضرب المصفوفات توزيعي بالنسبة لجمع المصفوفات . أي، إذا كانت A و B و C و D مصفوفات بأحجام m × n و n × p و n × p و p × q على التوالي، فإن لدينا (توزيعية من اليسار)

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {AB} +\mathbf {AC} ,}$

و(التوزيع الأيمن)

${\displaystyle (\mathbf {B} +\mathbf {C} )\mathbf {D} =\mathbf {BD} +\mathbf {CD} .}$^{[ 10 ]}

ينتج هذا عن خاصية التوزيع للمعاملات بواسطة

${\displaystyle \sum _{k}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum _{k}a_{ik}b_{kj}+\sum _{k}a_{ik}c_{kj}}$

${\displaystyle \sum _{k}(b_{ik}+c_{ik})d_{kj}=\sum _{k}b_{ik}d_{kj}+\sum _{k}c_{ik}d_{kj}.}$

إذا كانت A مصفوفة و c عددًا قياسيًا، فإن المصفوفات${\displaystyle c\mathbf {A} }$و${\displaystyle \mathbf {A} c}$يتم الحصول عليها بضرب جميع عناصر المصفوفة A في c من اليسار أو اليمين . إذا كانت الكميات القياسية تتمتع بخاصية التبديل ، فإن${\displaystyle c\mathbf {A} =\mathbf {A} c.}$

إذا كان المنتج${\displaystyle \mathbf {AB} }$إذا تم تعريف (أي أن عدد أعمدة المصفوفة A يساوي عدد صفوف المصفوفة B )، فإن

${\displaystyle c(\mathbf {AB} )=(c\mathbf {A} )\mathbf {B} }$و${\displaystyle (\mathbf {A} \mathbf {B} )c=\mathbf {A} (\mathbf {B} c).}$

إذا كانت الأعداد القياسية تتمتع بخاصية التبديل، فإن المصفوفات الأربع متساوية. وبشكل أعم، تكون المصفوفات الأربع متساوية إذا كان c ينتمي إلى مركز حلقة تحتوي على عناصر المصفوفات، لأنه في هذه الحالة، يكون c ∈ X = X ∈ c لجميع المصفوفات X.

تنتج هذه الخصائص عن الخطية الثنائية لحاصل ضرب الكميات القياسية:

${\displaystyle c\left(\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\right)=\sum _{k}(ca_{ik})b_{kj}}$

${\displaystyle \left(\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\right)c=\sum _{k}a_{ik}(b_{kj}c).}$

إذا كانت الكميات القياسية تتمتع بخاصية التبديل ، فإن منقولة حاصل ضرب المصفوفات هي حاصل ضرب منقولات العوامل، ولكن بترتيب عكسي.

${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\mathsf {T}}=\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}}$

حيث يشير ^T إلى عملية النقل، أي تبديل الصفوف والأعمدة.

لا تنطبق هذه الهوية على المدخلات غير التبادلية، لأن الترتيب بين مدخلات A و B ينعكس، عندما يتم توسيع تعريف ضرب المصفوفات.

إذا كانت قيم A و B مركبة ، فإن

${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{*}=\mathbf {A} ^{*}\mathbf {B} ^{*}}$

حيث تشير ^* إلى المرافق المركب للمصفوفة عنصرًا عنصرًا.

ينتج هذا من تطبيق حقيقة أن مرافق المجموع هو مجموع مرافقات الحدود، ومرافق الضرب هو حاصل ضرب مرافقات العوامل، على تعريف ضرب المصفوفات.

يؤثر التبديل على مؤشرات المدخلات، بينما يؤثر الاقتران بشكل مستقل على المدخلات نفسها. وينتج عن ذلك أنه إذا كانت A و B تحتويان على مدخلات مركبة، فإن أحدها يكون

${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\dagger }=\mathbf {B} ^{\dagger }\mathbf {A} ^{\dagger },}$

حيث تشير ^† إلى المنقول المرافق (مرافق المنقول، أو ما يعادله منقول المرافق).

بفرض وجود ثلاث مصفوفات A و B و C ، فإن حاصل ضرب ( AB ) C و A ( BC ) يكون معرفًا إذا وفقط إذا كان عدد أعمدة A يساوي عدد صفوف B ، وعدد أعمدة B يساوي عدد صفوف C (وبالتحديد، إذا كان أحد حاصلي الضرب معرفًا، فإن الآخر يكون معرفًا أيضًا). في هذه الحالة، تتحقق خاصية التجميع.

${\displaystyle (\mathbf {AB} )\mathbf {C} =\mathbf {A} (\mathbf {BC} ).}$

أما بالنسبة لأي عملية تجميعية، فإن هذا يسمح بحذف الأقواس، وكتابة المنتجات المذكورة أعلاه على النحو التالي :${\displaystyle \mathbf {ABC} .}$⁠

وينطبق هذا بشكل طبيعي على حاصل ضرب أي عدد من المصفوفات بشرط تطابق أبعادها. أي، إذا كانت _A₁ ، A₂ ، _... ، _Aₙ مصفوفات بحيث _يكون عدد أعمدة Aᵢ مساويًا لعدد صفوف Aᵢ₊₁ _، حيث _i = 1، ...، n - 1 ، فإن حاصل ضربها

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{i}=\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2}\cdots \mathbf {A} _{n}}$

يتم تعريفها ولا تعتمد على ترتيب عمليات الضرب ، إذا تم الحفاظ على ترتيب المصفوفات ثابتًا.

يمكن إثبات هذه الخصائص من خلال عمليات جمع بسيطة ولكنها معقدة . وتنتج هذه النتيجة أيضًا من كون المصفوفات تمثل تحويلات خطية . لذا، فإن خاصية التجميع للمصفوفات هي ببساطة حالة خاصة من خاصية التجميع لتركيب الدوال .

يمكن رفع مصفوفة مربعة إلى أي قوة عددية صحيحة غير سالبة بضربها في نفسها بشكل متكرر بنفس طريقة ضرب الأعداد العادية. أي،

${\displaystyle \mathbf {A} ^{0}=\mathbf {I} ,}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{1}=\mathbf {A} ,}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}=\underbrace {\mathbf {A} \mathbf {A} \cdots \mathbf {A} } _{k{\text{ times}}}.}$

يتطلب حساب القوة k لمصفوفة ما زمنًا يعادل k - 1 ضعف زمن عملية ضرب مصفوفة واحدة، إذا تم ذلك باستخدام الخوارزمية البسيطة (الضرب المتكرر). ولأن هذه العملية قد تستغرق وقتًا طويلاً، يُفضل عمومًا استخدام الأسس عن طريق التربيع ، والتي تتطلب أقل من 2 log ₂ k عملية ضرب مصفوفة، وبالتالي فهي أكثر كفاءة.

من الأمثلة السهلة على عملية الأسس حالة المصفوفة القطرية . بما أن حاصل ضرب المصفوفات القطرية يقتضي ببساطة ضرب العناصر القطرية المتناظرة معًا، فإن القوة k للمصفوفة القطرية تُحسب برفع عناصرها إلى القوة k .

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\0&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}^{k}={\begin{bmatrix}a_{11}^{k}&0&\cdots &0\\0&a_{22}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}^{k}\end{bmatrix}}.}$