متجهات الصف والعمود

في الجبر الخطي ، متجه عمودي ذو ⁠${\displaystyle m}$العناصر هي${\displaystyle m\times 1}$المصفوفة ^{[ 1 ]} تتكون من عمود واحد من${\displaystyle m}$المدخلات . وبالمثل، فإن متجه الصف هو${\displaystyle 1\times n}$مصفوفة، تتكون من صف واحد من${\displaystyle n}$المدخلات . على سبيل المثال ،${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$⁠ هو متجه عمودي و ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$هو متجه صفّي:

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}.}$$ (في جميع أنحاء هذه المقالة، يتم استخدام الخط الغامق لكل من متجهات الصف ومتجهات العمود.)

منقولة (يشار إليها بـ T ) أي متجه صف هي متجه عمود، ومنقولة أي متجه عمود هي متجه صف: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}.}$$ يؤدي إجراء عملية النقل مرتين إلى إرجاع المتجه الأصلي (صف أو عمود) :${\displaystyle \textstyle {\bigl (}{\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{\rm {T}}={\boldsymbol {x}}}$⁠ .

تشكل مجموعة جميع متجهات الصف التي تحتوي على n مدخلات في حقل معين (مثل الأعداد الحقيقية ) فضاء متجهي ذو n بُعد ؛ وبالمثل، تشكل مجموعة جميع متجهات العمود التي تحتوي على m مدخلات فضاء متجهي ذو m بُعد.

يمكن اعتبار فضاء متجهات الصف التي تحتوي على n مدخلات بمثابة الفضاء المزدوج لفضاء متجهات العمود التي تحتوي على n مدخلات، حيث يمكن تمثيل أي دالة خطية على فضاء متجهات العمود كضرب من اليسار لمتجه صف فريد.

لتبسيط كتابة متجهات الأعمدة جنبًا إلى جنب مع النصوص الأخرى، يتم أحيانًا كتابتها كمتجهات صفوف مع تطبيق عملية النقل عليها.

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$$

يستخدم بعض المؤلفين أيضًا اصطلاح كتابة كل من متجهات الأعمدة ومتجهات الصفوف كصفوف، ولكن فصل عناصر متجهات الصفوف بفواصل وعناصر متجهات الأعمدة بفواصل منقوطة (انظر الترميز البديل 2 في الجدول أدناه).

	متجه الصف	متجه عمودي
الترميز القياسي للمصفوفات (مسافات المصفوفة، بدون فواصل، تبديل الإشارات)	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}{\text{ أو }}{\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$
الترميز البديل 1 (فواصل، تبديل العلامات)	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$
الترميز البديل 2 (فواصل وفواصل منقوطة، بدون علامات تبديل)	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1};x_{2};\dots ;x_{m}\end{bmatrix}}}$

تتضمن عملية ضرب المصفوفات عملية ضرب كل متجه صف من مصفوفة واحدة بكل متجه عمود من مصفوفة أخرى.

إن حاصل الضرب النقطي لمتجهين عموديين a و b ، باعتبارهما عنصرين في فضاء إحداثي، يساوي حاصل ضرب المصفوفة المنقولة للمتجه a في المتجه b .

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\rm {T}}\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,,}$$

بسبب تناظر الضرب النقطي، فإن الضرب النقطي لمتجهين عموديين a و b يساوي أيضًا حاصل ضرب المصفوفة المنقولة لـ b مع a .

$${\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\rm {T}}\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,.}$$

يُعطي حاصل ضرب المصفوفة لمتجه عمودي ومتجه صفي حاصل الضرب الخارجي لمتجهين a و b ، وهو مثال على حاصل الضرب الموتري الأكثر عمومية . ويُعطي حاصل ضرب المصفوفة لتمثيل المتجه العمودي للمتجه a وتمثيل المتجه الصفي للمتجه b مركبات حاصل الضرب الثنائي لهما.

$${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,}$$

وهو منقول حاصل ضرب المصفوفة بين تمثيل متجه العمود لـ b وتمثيل متجه الصف لـ a ،

$${\displaystyle \mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.}$$

يمكن لمصفوفة M من الرتبة n × n أن تمثل تحويلاً خطياً ، وتؤثر على متجهات الصفوف والأعمدة كمصفوفة تحويل لهذا التحويل الخطي . بالنسبة لمتجه صف v ، فإن حاصل ضرب v في M هو متجه صف آخر p .

$${\displaystyle \mathbf {v} M=\mathbf {p} \,.}$$

يمكن لمصفوفة أخرى من الرتبة n × n ، وهي Q، أن تؤثر على p .

$${\displaystyle \mathbf {p} Q=\mathbf {t} \,.}$$

عندئذٍ يمكن كتابة t = p Q = v MQ ، وبالتالي فإن تحويل ضرب المصفوفات MQ يحوّل v مباشرةً إلى t . وبالاستمرار مع متجهات الصف، يمكن تطبيق تحويلات المصفوفات التي تعيد تشكيل الفضاء ذي البعد n على يمين المخرجات السابقة.

عند تحويل متجه عمودي إلى متجه عمودي آخر تحت تأثير مصفوفة من الرتبة n × n ، تتم العملية إلى اليسار.

$${\displaystyle \mathbf {p} ^{\mathrm {T} }=M\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\,,\quad \mathbf {t} ^{\mathrm {T} }=Q\mathbf {p} ^{\mathrm {T} },}$$

مما يؤدي إلى التعبير الجبري QM v ^T للمخرج المركب من المدخل v ^T. تتراكم تحويلات المصفوفة إلى اليسار في هذا الاستخدام لمتجه عمودي لتحويل المدخل إلى مصفوفة.

• التغاير والتغاير العكسي للمتجهات
• تدوين الفهرس
• متجه من الواحدات
• متجه ذو مدخل واحد
• متجه الوحدة القياسي
• متجه الوحدة

• أكسلر، شيلدون جاي (1997)، الجبر الخطي بشكل صحيح (الطبعة الثانية  )، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 0-387-98259-0
• لاي، ديفيد سي. (22 أغسطس 2005)، الجبر الخطي وتطبيقاته (  الطبعة الثالثة)، أديسون ويسلي، رقم ISBN 978-0-321-28713-7
• ماير، كارل د. (15 فبراير 2001)، تحليل المصفوفات والجبر الخطي التطبيقي ، جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية (SIAM)، رقم ISBN 978-0-89871-454-8تمت أرشفة هذا النص من النسخة الأصلية في 1 مارس 2001
• بول، ديفيد (2006)، الجبر الخطي: مقدمة حديثة (  الطبعة الثانية)، بروكس/كول، رقم ISBN 0-534-99845-3
• أنطون، هوارد (2005)، الجبر الخطي الابتدائي (نسخة التطبيقات) (  الطبعة التاسعة)، وايلي إنترناشونال
• ليون، ستيفن ج. (2006)، الجبر الخطي مع التطبيقات (  الطبعة السابعة)، بيرسون برنتيس هول