الجبر الخطي

التحويلات الخطية هي تحويلات بين فضاءات متجهة تحافظ على بنية الفضاء المتجهي. إذا كان لدينا فضاءان متجهان V و W على حقل F ، فإن التحويل الخطي (ويسمى أيضًا، في بعض السياقات، التحويل الخطي أو التطبيق الخطي) هو تحويل

${\displaystyle T:V\to W}$

أي أنه متوافق مع الجمع والضرب القياسي، أي

${\displaystyle T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} ),\quad T(a\mathbf {v} )=aT(\mathbf {v} )}$

لأي متجهين u و v في V وعدد قياسي a في F.

الشرط المكافئ هو أن

${\displaystyle T(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} )=aT(\mathbf {u} )+bT(\mathbf {v} )}$

لأي متجهين u و v في V وقيم قياسية a و b في F.

عندما يكون V = W نفس الفضاء المتجهي، فإن التطبيق الخطي T :  V → V يُعرف أيضًا باسم المؤثر الخطي على V.

التحويل الخطي التقابلي بين فضاءين متجهيين (أي أن كل متجه من الفضاء الثاني يرتبط بمتجه واحد فقط في الأول) هو تماثل . ولأن التماثل يحافظ على البنية الخطية، فإن الفضاءين المتماثلين متجهيين "متطابقان جوهريًا" من وجهة نظر الجبر الخطي، بمعنى أنه لا يمكن التمييز بينهما باستخدام خصائص الفضاء المتجهي. من الأسئلة الأساسية في الجبر الخطي اختبار ما إذا كان التحويل الخطي تماثلًا أم لا، وإذا لم يكن كذلك، إيجاد مداه ( أو صورته) ومجموعة العناصر التي تُسقط على المتجه الصفري، والذي يُسمى نواة التحويل . يمكن حل جميع هذه الأسئلة باستخدام طريقة الحذف الغاوسي أو أحد أشكالها .

يُعدّ دراسة المجموعات الجزئية من الفضاءات المتجهة التي تُشكّل في حد ذاتها فضاءات متجهة تحت تأثير العمليات المستحثة أمرًا أساسيًا، كما هو الحال بالنسبة للعديد من البنى الرياضية. تُسمى هذه المجموعات الجزئية بالفضاءات الخطية . وبشكل أدق، فإن الفضاء الخطي الجزئي لفضاء متجه V على حقل F هو مجموعة جزئية W من V بحيث يكون u + v و a u ينتميان إلى W ، وذلك لكل u و v ينتميان إلى W ، ولكل a ينتمي إلى F. (تكفي هذه الشروط للاستدلال على أن W فضاء متجه).

على سبيل المثال، بالنظر إلى تطبيق خطي T  : V → W ، فإن الصورة T ( V ) لـ V ، والصورة العكسية T ⁻¹ ( 0 ) لـ 0 (تسمى النواة أو الفضاء الصفري) هي فضاءات فرعية خطية لـ W و V ، على التوالي.

هناك طريقة أخرى مهمة لتكوين فضاء جزئي وهي النظر في التركيبات الخطية لمجموعة S من المتجهات: مجموعة جميع المجاميع.

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k},}$

حيث تنتمي v1 _، v2 _، ...، _vk إلى S ، وتنتمي a1 _، a2 _، ...، ak إلى _F ، تُشكّل فضاءً خطيًا جزئيًا يُسمى امتداد S. ويُعرّف امتداد S أيضًا بأنه تقاطع جميع الفضاءات الخطية الجزئية التي تحتوي على S. بعبارة أخرى، هو أصغر فضاء خطي جزئي (لعلاقة الاحتواء) يحتوي على S.

تكون مجموعة من المتجهات مستقلة خطيًا إذا لم يكن أي منها في الفضاء المولد بواسطة المتجهات الأخرى. وبصورة مكافئة، تكون مجموعة S من المتجهات مستقلة خطيًا إذا كانت الطريقة الوحيدة للتعبير عن المتجه الصفري كتركيبة خطية لعناصر S هي أخذ الصفر لكل معامل aᵢ _.

تُسمى مجموعة المتجهات التي تُولّد فضاءً متجهيًا مجموعةً مُولِّدة أو مجموعةً مُولِّدة . إذا كانت المجموعة المُولِّدة S مُرتبطة خطيًا (أي ليست مُستقلة خطيًا)، فإن عنصرًا ما w من S يقع في الفضاء المُولِّد لبقية عناصر S ، ويبقى هذا الفضاء كما هو حتى لو أُزيل w من S. يمكن الاستمرار في إزالة عناصر من S حتى الحصول على مجموعة مُولِّدة مُستقلة خطيًا . تُسمى هذه المجموعة المُستقلة خطيًا التي تُولِّد فضاءً متجهيًا V أساسًا لـ V. تكمن أهمية الأسس في كونها مجموعات مُولِّدة دنيا ومجموعات مُستقلة قصوى في آنٍ واحد. بتعبير أدق، إذا كانت S مجموعة مُستقلة خطيًا، و T مجموعة مُولِّدة بحيث S ⊆ T ، فإنه يوجد أساس B بحيث S ⊆ B ⊆ T.

أي قاعدتين لفضاء متجهي V لهما نفس العدد من العناصر ، والذي يُسمى بُعد V ؛ وهذه هي نظرية البُعد للفضاءات المتجهة . علاوة على ذلك، يكون فضاءان متجهيان على نفس الحقل F متماثلين إذا وفقط إذا كان لهما نفس البُعد. ^{[ 10 ]}

إذا كان لأي أساس للفضاء V (وبالتالي لكل أساس) عدد محدود من العناصر، فإن V فضاء متجهي ذو أبعاد محدودة . إذا كان U فضاءً جزئيًا من V ، فإن بُعد U ≤ بُعد V. في حالة كون V فضاءً ذا أبعاد محدودة، فإن تساوي الأبعاد يستلزم أن U = V.

إذا كان _U1 و U2 فضاءين جزئيين من _V ، فإن

${\displaystyle \dim(U_{1}+U_{2})=\dim U_{1}+\dim U_{2}-\dim(U_{1}\cap U_{2}),}$

حيث U ₁ + U _{2 تشير} ^إلى مدى U ₁ ∪ U _2. ^{[ 11} ]

يُعرَّف محدد المصفوفة المربعة A على أنه ^{[ 17 ]}

${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)},}$

حيث S _{_n} هي مجموعة جميع تباديل n عنصرًا ، وσ هو تبديل، و (−1) ^σ هو زوجية التبديل . تكون المصفوفة قابلة للعكس إذا وفقط إذا كان المحدد قابلاً للعكس (أي غير صفري إذا كانت القيم العددية تنتمي إلى حقل).

قاعدة كرامر هي صيغة مغلقة ، بدلالة المحددات، لحل نظام من n معادلة خطية في n مجهول . تُفيد قاعدة كرامر في الاستدلال على الحل، ولكن، باستثناء n = 2 أو 3 ، نادرًا ما تُستخدم لحساب الحل، لأن طريقة الحذف الغاوسي أسرع.

محدد التشكل الداخلي هو محدد المصفوفة التي تمثل هذا التشكل بدلالة أساس مرتب. هذا التعريف منطقي لأن هذا المحدد مستقل عن اختيار الأساس.

إذا كانت f عبارة عن تشاكل خطي داخلي لفضاء متجهي V على حقل F ، فإن المتجه الذاتي لـ f هو متجه غير صفري v من V بحيث يكون f ( v ) = av لبعض القيم العددية a في F. هذه القيمة العددية a هي قيمة ذاتية لـ f .

إذا كان بُعد V محدودًا، وتم اختيار أساس، فيمكن تمثيل f و v ، على التوالي، بمصفوفة مربعة M ومصفوفة عمودية z ؛ وتصبح المعادلة التي تحدد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية كما يلي:

${\displaystyle Mz=az.}$

باستخدام مصفوفة الوحدة I ، التي جميع عناصرها أصفار باستثناء عناصر القطر الرئيسي التي تساوي واحدًا، يمكن إعادة كتابة ذلك.

${\displaystyle (M-aI)z=0.}$

بما أن z يفترض أن تكون غير صفرية، فهذا يعني أن M – aI مصفوفة منفردة ، وبالتالي فإن محددها det ( M − aI ) يساوي صفرًا. وبالتالي، فإن القيم الذاتية هي جذور متعددة الحدود

${\displaystyle \det(xI-M).}$

إذا كان V من البعد n ، فهذا كثير حدود أحادي من الدرجة n ، يسمى كثير الحدود المميز للمصفوفة (أو للتشاكل الداخلي) ، وهناك على الأكثر n من القيم الذاتية.

إذا وُجد أساسٌ يتألف فقط من المتجهات الذاتية، فإن مصفوفة الدالة f على هذا الأساس تتميز ببنية بسيطة للغاية: فهي مصفوفة قطرية بحيث تكون عناصر القطر الرئيسي قيمًا ذاتية، بينما تكون العناصر الأخرى أصفارًا. في هذه الحالة، يُقال إن التشكل الداخلي والمصفوفة قابلان للتقطير . وبشكل أعم، يُقال أيضًا إن التشكل الداخلي والمصفوفة قابلان للتقطير إذا أصبحا كذلك بعد توسيع حقل الأعداد القياسية. وبهذا المعنى الموسع، إذا كانت متعددة الحدود المميزة خالية من المربعات ، فإن المصفوفة تكون قابلة للتقطير.

المصفوفة المتناظرة قابلة للتقطير دائمًا. توجد مصفوفات غير قابلة للتقطير، وأبسطها هي

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

(لا يمكن أن تكون قابلة للتقطير لأن مربعها هو المصفوفة الصفرية ، ومربع المصفوفة القطرية غير الصفرية لا يساوي الصفر أبدًا).

عندما لا يكون التحويل الداخلي قابلاً للتقطير، توجد قواعد يكون له عليها شكل بسيط، وإن لم يكن ببساطة الشكل القطري. لا يتطلب شكل فروبينيوس المعياري توسيع حقل الأعداد القياسية، ويجعل كثير الحدود المميز قابلاً للقراءة مباشرةً على المصفوفة. أما شكل جوردان المعياري، فيتطلب توسيع حقل الأعداد القياسية لاحتواء جميع القيم الذاتية، ويختلف عن الشكل القطري فقط ببعض العناصر التي تقع فوق القطر الرئيسي مباشرةً وتساوي 1.

يترك

${\displaystyle f:V\to W}$

ليكن تطبيقًا خطيًا. لكل شكل خطي h على W ، فإن الدالة المركبة h ∘ f هي شكل خطي على V. وهذا يُعرّف تطبيقًا خطيًا

${\displaystyle f^{*}:W^{*}\to V^{*}}$

بين الفضاءات الثنائية ، والتي تسمى ثنائية أو منقولة f .

إذا كانت V و W ذات أبعاد محدودة، و M هي مصفوفة f بدلالة بعض القواعد المرتبة، فإن مصفوفة f* على القواعد الثنائية هي منقولة M ^T لـ M ، والتي تم الحصول عليها عن طريق تبديل الصفوف والأعمدة.

إذا مُثِّلت عناصر الفضاءات المتجهة ونظائرها بواسطة متجهات عمودية، فيمكن التعبير عن هذه الازدواجية في تدوين برا-كيت بواسطة

${\displaystyle \langle h^{\mathsf {T}},M\mathbf {v} \rangle =\langle h^{\mathsf {T}}M,\mathbf {v} \rangle .}$

ولإبراز هذا التناظر، يُكتب أحيانًا طرفا هذه المساواة

${\displaystyle \langle h^{\mathsf {T}}\mid M\mid \mathbf {v} \rangle .}$

إلى جانب هذه المفاهيم الأساسية، يدرس الجبر الخطي أيضًا الفضاءات المتجهة ذات البنية الإضافية، مثل الضرب الداخلي . يُعد الضرب الداخلي مثالًا على الصيغة الثنائية الخطية ، وهو يُضفي على الفضاء المتجه بنية هندسية من خلال السماح بتعريف الطول والزوايا. رسميًا، الضرب الداخلي هو دالة.

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to F}$

والتي تحقق البديهيات الثلاث التالية لجميع المتجهات u و v و w في V وجميع القيم العددية a في F : ^{[ 21 ] [ 22 ]}

• التناظر المترافق :

  ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}.}$

في${\displaystyle \mathbb {R} }$إنه متناظر.

• الخطية في الوسيط الأول:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\langle a\mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle &=a\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle .\\\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle &=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle .\end{aligned}}}$

• التأكيد الإيجابي :

  ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \geq 0}$

مع المساواة فقط عندما تكون قيمة v = 0 .

يمكننا تعريف طول المتجه v في V بواسطة

${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$

ويمكننا إثبات متباينة كوشي-شفارتز :

${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\cdot \|\mathbf {v} \|.}$

وعلى وجه الخصوص، الكمية

${\displaystyle {\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |}{\|\mathbf {u} \|\cdot \|\mathbf {v} \|}}\leq 1,}$

وبالتالي يمكننا أن نسمي هذه الكمية جيب تمام الزاوية بين المتجهين.

يكون متجهان متعامدين إذا كان ⟨u , v⟩ = 0. الأساس المتعامد هو أساس تكون فيه جميع متجهات الأساس بطول 1 ومتعامدة مع بعضها البعض. لأي فضاء متجهي محدود الأبعاد، يمكن إيجاد أساس متعامد باستخدام إجراء غرام-شميدت _. من السهل التعامل مع الأسس المتعامدة، لأنه إذا _كان v = a₁v₁ + _⋯ + aₙvₙ ، _فإن

${\displaystyle a_{i}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{i}\rangle .}$

يُسهّل الضرب الداخلي بناء العديد من المفاهيم المفيدة. على سبيل المثال، إذا كان لدينا تحويل T ، فيمكننا تعريف مرافقه الهرميتي T* على أنه التحويل الخطي الذي يحقق

${\displaystyle \langle T\mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {u} ,T^{*}\mathbf {v} \rangle .}$

إذا حققت المصفوفة T الشرط TT* = T*T ، فإننا نسميها مصفوفة طبيعية . ويتضح أن المصفوفات الطبيعية هي تحديدًا المصفوفات التي لها نظام متعامد من المتجهات الذاتية التي تولد الفضاء V.

يدرس التحليل الوظيفي فضاءات الدوال . وهي فضاءات متجهة ذات بنية إضافية، مثل فضاءات هيلبرت . وبالتالي، يُعد الجبر الخطي جزءًا أساسيًا من التحليل الوظيفي وتطبيقاته، والتي تشمل على وجه الخصوص ميكانيكا الكم ( الدوال الموجية ) وتحليل فورييه ( الأساس المتعامد ).

تعتمد جميع العمليات الحسابية العلمية تقريبًا على الجبر الخطي. ونتيجةً لذلك، خضعت خوارزميات الجبر الخطي لتحسينات كبيرة. وتُعدّ مكتبتا BLAS و LAPACK من أشهر تطبيقاتها. ولتحسين الكفاءة، تقوم بعض هذه المكتبات بتهيئة الخوارزميات تلقائيًا أثناء التشغيل، لتكييفها مع خصائص الحاسوب ( حجم الذاكرة المؤقتة ، وعدد النوى المتاحة ،  ...).

منذ الستينيات، كانت هناك معالجات ذات تعليمات متخصصة ^{[ 24 ]} لتحسين عمليات الجبر الخطي، ومعالجات المصفوفات الاختيارية ^{[ 25 ]} تحت سيطرة معالج تقليدي، وأجهزة كمبيوتر عملاقة ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]} مصممة لمعالجة المصفوفات، ومعالجات تقليدية معززة ^{[ 29 ]} بسجلات متجهة.

تم تصميم بعض المعالجات المعاصرة ، وخاصة وحدات معالجة الرسومات (GPU)، ببنية مصفوفة، لتحسين عمليات الجبر الخطي. ^{[ 30 ]}

يعتمد نمذجة الفضاء المحيط على الهندسة . وتستخدم العلوم المعنية بهذا الفضاء الهندسة على نطاق واسع. وينطبق هذا على الميكانيكا والروبوتات ، لوصف ديناميكيات الأجسام الصلبة ؛ والجيوديسيا لوصف شكل الأرض ؛ والمنظور ، ورؤية الحاسوب ، ورسومات الحاسوب ، لوصف العلاقة بين المشهد وتمثيله المستوي؛ والعديد من المجالات العلمية الأخرى .

في جميع هذه التطبيقات، تُستخدم الهندسة التركيبية غالبًا للوصف العام والنهج النوعي، ولكن لدراسة الحالات الصريحة، يجب إجراء الحسابات باستخدام الإحداثيات . وهذا يتطلب استخدامًا مكثفًا للجبر الخطي.

تُنمذج معظم الظواهر الفيزيائية باستخدام المعادلات التفاضلية الجزئية . ولحلها، يُقسّم عادةً الفضاء الذي تُبحث فيه الحلول إلى خلايا صغيرة متفاعلة . في الأنظمة الخطية، يتضمن هذا التفاعل دوالًا خطية . أما في الأنظمة غير الخطية ، فيُقارب هذا التفاعل غالبًا بدوال خطية. ^{[ ب ]} يُسمى هذا النموذج بالنموذج الخطي أو التقريب من الدرجة الأولى. تُستخدم النماذج الخطية بكثرة في الأنظمة غير الخطية المعقدة في العالم الحقيقي لأنها تُسهّل عملية تحديد المعلمات . ^{[ 31 ]} في كلتا الحالتين، تُستخدم عادةً مصفوفات كبيرة جدًا. يُعد التنبؤ بالطقس (أو تحديدًا، تحديد المعلمات لنمذجة الغلاف الجوي ) مثالًا نموذجيًا على تطبيق عملي، حيث يُقسّم الغلاف الجوي للأرض بأكمله إلى خلايا، على سبيل المثال،  بعرض 100 كيلومتر  وارتفاع 100 كيلومتر.

^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}

يلعب الجبر الخطي، وهو فرع من الرياضيات يُعنى بالفضاءات المتجهة والتحويلات الخطية بين هذه الفضاءات، دورًا محوريًا في مختلف التخصصات الهندسية، بما في ذلك ميكانيكا الموائع ، وديناميكا الموائع ، وأنظمة الطاقة الحرارية . وتتعدد تطبيقاته في هذه المجالات، وهو ضروري لحل المشكلات المعقدة.

في ميكانيكا الموائع ، يُعدّ الجبر الخطي أساسيًا لفهم وحلّ المشكلات المتعلقة بسلوك الموائع. فهو يُساعد في نمذجة ومحاكاة تدفق الموائع، مُوفّرًا أدواتٍ جوهرية لتحليل مسائل ديناميكا الموائع . على سبيل المثال، تُستخدم تقنيات الجبر الخطي لحلّ أنظمة المعادلات التفاضلية التي تصف حركة الموائع. هذه المعادلات، التي غالبًا ما تكون معقدة وغير خطية ، يُمكن تبسيطها باستخدام أساليب الجبر الخطي، مما يُتيح حلولًا وتحليلاتٍ أبسط.

في مجال ديناميكا الموائع، يُستخدم الجبر الخطي في ديناميكا الموائع الحسابية (CFD)، وهو فرع يستخدم التحليل العددي وهياكل البيانات لحل وتحليل المشكلات المتعلقة بتدفق الموائع. تعتمد ديناميكا الموائع الحسابية بشكل كبير على الجبر الخطي لحساب تدفق الموائع وانتقال الحرارة في تطبيقات متنوعة. على سبيل المثال، غالبًا ما تُحل معادلات نافيير-ستوكس ، وهي معادلات أساسية في ديناميكا الموائع ، باستخدام تقنيات مشتقة من الجبر الخطي. ويشمل ذلك استخدام المصفوفات والمتجهات لتمثيل ومعالجة حقول تدفق الموائع.

علاوة على ذلك، يلعب الجبر الخطي دورًا محوريًا في أنظمة الطاقة الحرارية ، لا سيما في تحليل أنظمة الطاقة الكهربائية . فهو يُستخدم لنمذجة وتحسين توليد ونقل وتوزيع الطاقة الكهربائية. وتُوظَّف مفاهيم الجبر الخطي، كعمليات المصفوفات ومسائل القيم الذاتية ، لتعزيز كفاءة وموثوقية وأداء أنظمة الطاقة الكهربائية من الناحية الاقتصادية . ويُعدّ تطبيق الجبر الخطي في هذا السياق ضروريًا لتصميم وتشغيل أنظمة الطاقة الحديثة ، بما في ذلك مصادر الطاقة المتجددة والشبكات الذكية .

بشكل عام، يُعدّ تطبيق الجبر الخطي في ميكانيكا الموائع ، وديناميكا الموائع ، وأنظمة الطاقة الحرارية مثالاً على الترابط الوثيق بين الرياضيات والهندسة . فهو يزود المهندسين بالأدوات اللازمة لنمذجة وتحليل وحل المشكلات المعقدة في هذه المجالات، مما يؤدي إلى تطورات في التكنولوجيا والصناعة .

إن وجود المعكوسات الضربية في الحقول ليس من ضمن بديهيات تعريف الفضاء المتجهي. وبالتالي، يمكن استبدال حقل الأعداد القياسية بحلقة R ، وهذا يُعطي البنية المسماة وحدة نمطية على R ، أو وحدة نمطية R.

تُعرَّف مفاهيم الاستقلال الخطي، والامتداد، والأساس، والتحويلات الخطية (وتُسمى أيضًا تشاكلات الوحدات ) للوحدات تمامًا كما تُعرَّف للفضاءات المتجهة، مع اختلاف جوهري يتمثل في أنه إذا لم يكن R حقلًا، فهناك وحدات ليس لها أساس. تُسمى الوحدات التي لها أساس بالوحدات الحرة ، وتلك التي يمتد عليها مجموعة منتهية تُسمى بالوحدات المولدة نهائيًا . يمكن تمثيل تشاكلات الوحدات بين الوحدات الحرة المولدة نهائيًا بالمصفوفات. تشبه نظرية المصفوفات على حلقة نظرية المصفوفات على حقل، باستثناء أن المحددات لا توجد إلا إذا كانت الحلقة تبديلية ، وأن المصفوفة المربعة على حلقة تبديلية قابلة للعكس فقط إذا كان لمحددها معكوس ضربي في الحلقة.

تُوصَف الفضاءات المتجهة وصفًا كاملًا بأبعادها (حتى التشاكل). عمومًا، لا يوجد تصنيف كامل مماثل للوحدات، حتى لو اقتصرنا على الوحدات المولدة نهائيًا. مع ذلك، كل وحدة هي نواة مشتركة لتشاكل الوحدات الحرة.

يمكن تعريف الوحدات النمطية على الأعداد الصحيحة بالمجموعات الأبيلية ، إذ يُمكن اعتبار الضرب في عدد صحيح بمثابة جمع متكرر. يُمكن تعميم معظم نظرية المجموعات الأبيلية لتشمل الوحدات النمطية على مجال مثالي رئيسي . على وجه الخصوص، على مجال مثالي رئيسي، تكون كل وحدة نمطية فرعية من وحدة نمطية حرة حرة، ويمكن تعميم النظرية الأساسية للمجموعات الأبيلية المولدة نهائيًا بشكل مباشر لتشمل الوحدات النمطية المولدة نهائيًا على حلقة رئيسية.

توجد العديد من الحلقات التي تتوفر لها خوارزميات لحل المعادلات الخطية وأنظمة المعادلات الخطية. مع ذلك، تتميز هذه الخوارزميات عمومًا بتعقيد حسابي أعلى بكثير من الخوارزميات المماثلة على حقل. لمزيد من التفاصيل، انظر: المعادلات الخطية على حلقة .

في الجبر متعدد الخطية ، تُدرس التحويلات الخطية متعددة المتغيرات، أي التطبيقات الخطية في كل من عدة متغيرات مختلفة. يقود هذا المسار البحثي بشكل طبيعي إلى فكرة الفضاء الثنائي ، وهو الفضاء المتجهي V* الذي يتكون من التطبيقات الخطية f  : V → F حيث F هو حقل الأعداد القياسية. يمكن وصف التطبيقات متعددة الخطية T  : V ⁿ → F من خلال حاصل الضرب الموتري لعناصر V* .

إذا كان هناك، بالإضافة إلى جمع المتجهات والضرب القياسي، ضرب متجهي ثنائي الخطية V × V → V ، فإن الفضاء المتجهي يسمى جبرًا ؛ على سبيل المثال، الجبر الترابطي هو جبر مع ضرب متجهي ترابطي (مثل جبر المصفوفات المربعة، أو جبر كثيرات الحدود).

غالبًا ما تتطلب الفضاءات المتجهة غير المحدودة الأبعاد بنية إضافية لتسهيل التعامل معها. يُعرف الفضاء المتجه المعياري بأنه فضاء متجهي مزود بدالة تُسمى المعيار ، والتي تقيس "حجم" العناصر. يُنشئ المعيار مقياسًا يقيس المسافة بين العناصر، ويُنشئ طوبولوجيا تسمح بتعريف الدوال المتصلة. كما يسمح المقياس بتعريف النهايات والاكتمال - يُعرف الفضاء المتجه المعياري الكامل باسم فضاء باناخ . يُعرف الفضاء المتري الكامل، بالإضافة إلى البنية الإضافية للجداء الداخلي ( شكل مترافق متناظر نصف خطي )، باسم فضاء هيلبرت ، وهو، بمعنى ما، فضاء باناخ ذو سلوك جيد للغاية. يطبق التحليل الوظيفي أساليب الجبر الخطي جنبًا إلى جنب مع أساليب التحليل الرياضي لدراسة فضاءات الدوال المختلفة؛ وتُعد فضاءات Lₚ ^، وهي فضاءات باناخ، من أهم مواضيع الدراسة في التحليل الوظيفي ^، وخاصة فضاء L² للدوال القابلة للتكامل التربيعي، وهو فضاء هيلبرت الوحيد بينها. يُعد التحليل الوظيفي ذا أهمية خاصة في ميكانيكا الكم، ونظرية المعادلات التفاضلية الجزئية، ومعالجة الإشارات الرقمية، والهندسة الكهربائية. كما أنه يوفر الأساس والإطار النظري الذي يقوم عليه تحويل فورييه والأساليب ذات الصلة.

• فيرنلي-ساندر، ديزموند، " هيرمان غراسمان ونشأة الجبر الخطي "، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية 86 (1979)، ص  809-817.
• غراسمان، هيرمان (1844)، الخطوط الخطية في عالم الرياضيات الجديد: دراسة وشرح عن أعظم نظريات الرياضيات، مثل الإحصاء والميكانيكا وتعلم المغناطيسية وعلم البلورات ، لايبزيغ: أو. ويغاند

• أنطون، هوارد (2005)، الجبر الخطي الابتدائي (نسخة التطبيقات) (  الطبعة التاسعة)، وايلي إنترناشونال
• بانيرجي، سوديبتو؛ روي، أنينديا (2014)، الجبر الخطي وتحليل المصفوفات للإحصاء ، نصوص في العلوم الإحصائية (  الطبعة الأولى)، تشابمان آند هول/سي آر سي، رقم ISBN 978-1420095388
• بريتشر، أوتو (2004)، الجبر الخطي مع التطبيقات (الطبعة الثالثة  )، برنتيس هول، رقم ISBN 978-0-13-145334-0
• فارين، جيرالد؛ هانسفورد، ديان (2004)، الجبر الخطي العملي: مجموعة أدوات هندسية ، إيه كيه بيترز، رقم ISBN 978-1-56881-234-2
• هيفرون، جيم (2020). الجبر الخطي (  الطبعة الرابعة). آن أربور، ميشيغان : دار أورثوغونال للنشر. ISBN 978-1-944325-11-4. OCLC 1178900366 . OL 30872051M .  
• كولمان، برنارد؛ هيل، ديفيد ر. (2007)، الجبر الخطي الابتدائي مع التطبيقات (  الطبعة التاسعة)، برنتيس هول، ISBN 978-0-13-229654-0
• لاي، ديفيد سي. (2005)، الجبر الخطي وتطبيقاته (  الطبعة الثالثة)، أديسون ويسلي، رقم ISBN 978-0-321-28713-7
• ليون، ستيفن ج. (2006)، الجبر الخطي مع التطبيقات (  الطبعة السابعة)، بيرسون برنتيس هول، رقم ISBN 978-0-13-185785-8
• مورتي، كاتا ج. (2014) الجبر الخطي الحسابي والخوارزمي والهندسة متعددة الأبعاد ، دار النشر العالمية العلمية، رقم ISBN 978-981-4366-62-5الفصل الأول : أنظمة المعادلات الخطية الآنية
• نوبل، ب. ودانيال، جيه دبليو (الطبعة الثانية، 1977)بيرسون للتعليم العالي، رقم ISBN 978-0130413437.
• بول، ديفيد (2010)، الجبر الخطي: مقدمة حديثة (  الطبعة الثالثة)، سينجايج  - بروكس/كول، رقم ISBN 978-0-538-73545-2
• ريكاردو، هنري (2010)، مقدمة حديثة في الجبر الخطي (  الطبعة الأولى)، دار نشر سي آر سي، رقم ISBN 978-1-4398-0040-9
• سادون، لورينزو (2008)، الجبر الخطي التطبيقي: مبدأ الفصل (الطبعة الثانية  )، الجمعية الأمريكية للرياضيات، رقم ISBN 978-0-8218-4441-0
• سترانج، جيلبرت (2016)، مقدمة في الجبر الخطي (  الطبعة الخامسة)، مطبعة ويليسلي-كامبريدج، رقم ISBN 978-09802327-7-6
• دليل المانجا للجبر الخطي (2012)، من تأليف شين تاكاهاشي وإيروها إينوي وشركة تريند-برو المحدودة، رقم ISBN 978-1-59327-413-9

• بهاتيا، راجندرا (15 نوفمبر 1996)، تحليل المصفوفات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، سبرينغر، ISBN 978-0-387-94846-1
• ديميل، جيمس دبليو. (1 أغسطس 1997)، الجبر الخطي العددي التطبيقي ، سيام، رقم ISBN 978-0-89871-389-3
• ديم، هاري (2007)، الجبر الخطي في التطبيق ، الجمعية الأمريكية للرياضيات، رقم ISBN 978-0-8218-3813-6
• غانتماخر، فيليكس ر. (2005)، تطبيقات نظرية المصفوفات ، منشورات دوفر، رقم ISBN 978-0-486-44554-0
• غانتماخر، فيليكس ر. (1990)، نظرية المصفوفات، المجلد 1 (الطبعة الثانية  )، الجمعية الأمريكية للرياضيات، ISBN 978-0-8218-1376-8
• غانتماخر، فيليكس ر. (2000)، نظرية المصفوفات، المجلد 2 (  الطبعة الثانية)، الجمعية الأمريكية للرياضيات، ISBN 978-0-8218-2664-5
• جيلفاند، إسرائيل م. (1989)، محاضرات في الجبر الخطي ، منشورات دوفر، رقم ISBN 978-0-486-66082-0
• غلازمان، آي إم؛ ليوبيتش، يو. آي. (2006)، التحليل الخطي ذو الأبعاد المحدودة ، منشورات دوفر، رقم ISBN 978-0-486-45332-3
• جولان، جوناثان س. (يناير 2007)، الجبر الخطي الذي ينبغي على طالب الدراسات العليا المبتدئ معرفته (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، ISBN 978-1-4020-5494-5
• جولان، جوناثان س. (أغسطس 1995)، أسس الجبر الخطي ، كلوير، ISBN 0-7923-3614-3
• غرويب، فيرنر هـ. (16 أكتوبر 1981)، الجبر الخطي ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات (  الطبعة الرابعة)، سبرينغر، ISBN 978-0-8018-5414-9
• هوفمان، كينيث؛ كونز، راي (1971)، الجبر الخطي (  الطبعة الثانية)، إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول، MR 0276251 
• هالموس، بول ر. (20 أغسطس 1993)، فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة ، نصوص جامعية في الرياضيات ، سبرينغر، ISBN 978-0-387-90093-3
• فريدبيرغ، ستيفن هـ.؛ إنسل، أرنولد ج.؛ سبنس، لورانس إي. (7 سبتمبر 2018)، الجبر الخطي (  الطبعة الخامسة)، بيرسون، ISBN 978-0-13-486024-4
• هورن، روجر أ.؛ جونسون ، تشارلز ر. (23 فبراير 1990)، تحليل المصفوفات ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-38632-6
• هورن، روجر أ.؛ جونسون، تشارلز ر. (24 يونيو 1994)، موضوعات في تحليل المصفوفات ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-46713-1
• لانغ، سيرج (9 مارس 2004)، الجبر الخطي ، نصوص جامعية في الرياضيات (  الطبعة الثالثة)، سبرينغر، ISBN 978-0-387-96412-6
• ماركوس، مارفن ؛ مينك، هنريك (2010)، مسح لنظرية المصفوفات ومتباينات المصفوفات ، منشورات دوفر، ISBN 978-0-486-67102-4
• ماير، كارل د. (15 فبراير 2001)، تحليل المصفوفات والجبر الخطي التطبيقي ، جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية (SIAM)، رقم ISBN 978-0-89871-454-8تمت أرشفة هذا النص من النسخة الأصلية في 31 أكتوبر 2009
• ميرسكي، ل. (1990)، مقدمة في الجبر الخطي ، منشورات دوفر، رقم ISBN 978-0-486-66434-7
• شافاريفيتش، آي آر ؛ ريميزوف، أ. أو (2012)، الجبر الخطي والهندسة ، سبرينغر ، رقم ISBN 978-3-642-30993-9
• شيلوف، جورجي إي. (1 يونيو 1977)، الجبر الخطي ، منشورات دوفر، رقم ISBN 978-0-486-63518-7
• شورز، توماس س. (6 ديسمبر 2006)، الجبر الخطي التطبيقي وتحليل المصفوفات ، نصوص جامعية في الرياضيات، سبرينغر، ISBN 978-0-387-33194-2
• سميث، لاري (28 مايو 1998)، الجبر الخطي ، نصوص جامعية في الرياضيات، سبرينغر، ISBN 978-0-387-98455-1
• تريفيثين، لويد ن . باو، ديفيد (1997)، الجبر الخطي العددي ، SIAM، ISBN 978-0-898-71361-9

• ليدوك، ستيفن أ. (1 مايو 1996)، الجبر الخطي (مراجعة كليفس السريعة) ، كليفس نوتس، رقم ISBN 978-0-8220-5331-6
• ليبشوتز، سيمور؛ ليبسون، مارك (6 ديسمبر 2000)، مخطط شوم للجبر الخطي (الطبعة الثالثة  )، ماكجرو هيل، ISBN 978-0-07-136200-9
• ليبشوتز، سيمور (1 يناير 1989)، 3000 مسألة محلولة في الجبر الخطي ، ماكجرو هيل، ISBN 978-0-07-038023-3
• ماكماهون، ديفيد (28 أكتوبر 2005)، تبسيط الجبر الخطي ، ماكجرو هيل بروفيشنال، رقم ISBN 978-0-07-146579-3
• تشانغ، فوتشن (7 أبريل 2009)، الجبر الخطي: مسائل صعبة للطلاب ، مطبعة جامعة جونز هوبكنز، رقم ISBN 978-0-8018-9125-0

• سلسلة محاضرات الفيديو في الجبر الخطي من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، وهي عبارة عن 34 محاضرة مسجلة للأستاذ جيلبرت سترانج (ربيع 2010).
• الجمعية الدولية للجبر الخطي
• "الجبر الخطي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• الجبر الخطي على موقع MathWorld
• مصطلحات المصفوفات والجبر الخطي وأقدم استخدامات معروفة لبعض كلمات الرياضيات
• أقدم استخدامات الرموز للمصفوفات والمتجهات، وأقدم استخدامات الرموز الرياضية المختلفة.
• جوهر الجبر الخطي ، عرض فيديو من 3Blue1Brown يشرح أساسيات الجبر الخطي، مع التركيز على العلاقة بين وجهات النظر الهندسية والمصفوفية والتجريدية.

• بيزر، روبرت أ. (2009) [2004]. مدخل إلى الجبر الخطي . غينزفيل، فلوريدا : مطبعة جامعة فلوريدا . ISBN 9781616100049.
• كونيل، إدوين هـ. (2004) [1999]. عناصر الجبر المجرد والخطي . جامعة ميامي ، كورال جابلز، فلوريدا : منشور ذاتيًا.
• هيفرون، جيم (2020). الجبر الخطي (  الطبعة الرابعة). آن أربور، ميشيغان : دار أورثوغونال للنشر. ISBN 978-1-944325-11-4. OCLC 1178900366 . OL 30872051M .  
• مارغاليت، دان ؛ رابينوف، جوزيف (2019). الجبر الخطي التفاعلي . معهد جورجيا للتكنولوجيا ، أتلانتا، جورجيا : منشور ذاتيًا.
• ماثيوز، كيث ر. (2013) [1991]. الجبر الخطي الابتدائي . جامعة كوينزلاند ، بريسبان، أستراليا : منشور ذاتيًا.
• ميكايليان، فاهان هـ. (2020) [2017]. الجبر الخطي: النظرية والخوارزميات . يريفان، أرمينيا : منشور ذاتيًا - عبر ResearchGate .
• شاريبوف، روسلان، دورة في الجبر الخطي والهندسة متعددة الأبعاد
• تريل، سيرجي ، الجبر الخطي بطريقة خاطئة