المستوى المركب

في التحليل المركب ، يتم تمثيل الأعداد المركبة عادةً بالرمز z ، والذي يمكن فصله إلى أجزائه الحقيقية ( x ) والتخيلية ( y ):

$${\displaystyle z=x+iy}$$

على سبيل المثال: z = 4 + 5i ، حيث x و y عددان حقيقيان، و i هي الوحدة التخيلية . في هذا الترميز المعتاد، يُقابل العدد المركب z النقطة ( x , y ) في المستوى الديكارتي ؛ ويمكن أيضًا تمثيل النقطة ( x , y ) في الإحداثيات القطبية كما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\arctan {\frac {y}{x}}.\end{aligned}}}$$

في المستوى الديكارتي، يُفترض أن مدى دالة الظل العكسي يأخذ القيم (−π/2, π/2) ( بالراديان )، ويجب توخي الحذر عند تعريف دالة الظل العكسي الأكثر اكتمالًا للنقاط ( x , y ) عندما x ≤ 0. [ ^{ملاحظة 1 ]} في المستوى المركب، تأخذ هذه الإحداثيات القطبية الشكل التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\\&=|z|\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\\&=|z|e^{i\theta }\end{aligned}}}$$

حيث ^{[ ملاحظة 2 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}|z|&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\arg(z)\\&={\frac {1}{i}}\ln {\frac {z}{|z|}}\\&=-i\ln {\frac {z}{|z|}}.\end{محاذاة}}}$$

هنا ، | z | هي القيمة المطلقة أو معيار العدد المركب z ؛ و θ ، وسيط z ، يُؤخذ عادةً في الفترة 0 ≤ θ < 2π ؛ والمساواة الأخيرة (إلى | z | e^ ^iθ ) مأخوذة من صيغة أويلر . وبدون قيد على نطاق θ ، يكون وسيط z متعدد القيم، لأن الدالة الأسية المركبة دورية، ودورتها 2πi . وبالتالي، إذا كانت θ إحدى قيم arg( z ) ، فإن القيم الأخرى تُعطى بالعلاقة arg( z ) = θ + 2nπ ، حيث n أي عدد صحيح غير صفري. ^{[ 2 ]}

على الرغم من ندرة استخدامها بشكل صريح، إلا أن النظرة الهندسية للأعداد المركبة تستند ضمنيًا إلى بنيتها كفضاء متجهي إقليدي ذي بُعد  2، حيث يُعطى الجداء الداخلي للأعداد المركبة w و z بواسطة${\displaystyle \Re (w{\overline {z}})}$ثم بالنسبة للعدد المركب z، فإن قيمته المطلقة | z | تتطابق مع معياره الإقليدي، ووسيطه arg( z ) مع الزاوية التي تتحول من 1  إلى z . 

تُشكّل نظرية التكامل الكفافي جزءًا رئيسيًا من التحليل المركب. في هذا السياق، يُعدّ اتجاه الحركة حول منحنى مغلق أمرًا بالغ الأهمية  ؛ إذ يؤدي عكس اتجاه الحركة حول المنحنى إلى ضرب قيمة التكامل في -1 . واصطلاحًا، يكون الاتجاه الموجب عكس اتجاه عقارب الساعة. على سبيل المثال، تُقطع دائرة الوحدة في الاتجاه الموجب عندما نبدأ من النقطة z = 1 ، ثم نتحرك لأعلى ولليسار عبر النقطة z = i ، ثم لأسفل ولليسار عبر -1 ، ثم لأسفل ولليمين عبر -i ، وأخيرًا لأعلى ولليمين إلى z = 1 ، حيث بدأنا.

يهتم التحليل المركب في معظمه بالدوال المركبة  ، أي بالدوال التي تُسقط مجموعة جزئية من المستوى المركب على مجموعة جزئية أخرى (قد تكون متداخلة أو حتى متطابقة) من المستوى المركب. ويُشار هنا عادةً إلى مجال الدالة f ( z ) بأنه يقع في المستوى z ، بينما يُشار إلى مداها بأنه مجموعة من النقاط في المستوى w . ونكتب بالرموز :

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\\f(z)&=w\\&=u+iv\end{aligned}}}$$

وغالباً ما نفكر في الدالة f على أنها تحويل من المستوى z (بإحداثيات ( x ، y ) ) إلى المستوى w (بإحداثيات ( u ، v ) ).

يُرمز إلى المستوى المركب بـ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

لنفترض العلاقة البسيطة ذات القيمتين

$${\displaystyle w=f(z)=\pm {\sqrt {z}}=z^{1/2}.}$$

قبل أن نتمكن من التعامل مع هذه العلاقة كدالة أحادية القيمة ، يجب تقييد نطاق القيمة الناتجة بطريقة ما. عند التعامل مع الجذور التربيعية للأعداد الحقيقية غير السالبة، يُمكن القيام بذلك بسهولة. على سبيل المثال، يُمكننا ببساطة تعريف

$${\displaystyle y=g(x)={\sqrt {x}}=x^{1/2}}$$

أن يكون العدد الحقيقي غير السالب y الذي يحقق y² = x . لا تنجح هذه الفكرة جيدًا في المستوى المركب ثنائي الأبعاد. لفهم السبب، دعونا نفكر في كيفية تغير قيمة f ( z ) ^مع تحرك النقطة z حول دائرة الوحدة. يمكننا كتابة${\textstyle z=re^{i\theta }}$وخذ $${\displaystyle {\begin{aligned}w&=z^{1/2}\\&={\sqrt {r}}\,e^{i\theta /2},\quad 0\leq \theta \leq 2\pi .\end{aligned}}}$$

من الواضح أنه بينما يتحرك z حول الدائرة بالكامل، فإن ^w لا يرسم سوى نصف الدائرة. لذا فإن حركة واحدة متصلة في المستوى المركب قد حولت الجذر التربيعي الموجب e₀ = 1 إلى الجذر التربيعي السالب eᵢπ = -1 ^.

تنشأ هذه المشكلة لأن النقطة z = 0 لها جذر تربيعي واحد فقط، بينما لكل عدد مركب آخر z ≠ 0 جذران تربيعيان بالضبط. على خط الأعداد الحقيقية، يمكننا تجاوز هذه المشكلة بإنشاء "حاجز" عند النقطة x = 0. يلزم حاجز أكبر في المستوى المركب لمنع أي مسار مغلق من إحاطة نقطة التفرع z = 0 بالكامل . يتم ذلك عادةً بإدخال قطع فرعي ؛ في هذه الحالة، قد يمتد "القطع" من النقطة z = 0 على طول المحور الحقيقي الموجب إلى النقطة عند اللانهاية، بحيث تقتصر قيمة المتغير z في مستوى القطع على النطاق 0 ≤ arg ( z ) < 2π .

يمكننا الآن تقديم وصف كامل للدالة w = z ^1/2 . وللقيام بذلك، نحتاج إلى نسختين من المستوى z ، كل منهما مقطوعة على طول المحور الحقيقي. في إحدى النسختين، نُعرّف الجذر التربيعي للعدد 1 على أنه e ⁰ = 1 ، وفي الأخرى نُعرّفه على أنه e ^iπ = −1 . نُطلق على هاتين النسختين من المستوى المقطوع الكامل اسم "الصفائح" . من خلال تطبيق حجة الاستمرارية، نرى أن الدالة w = z ^1/2 (التي أصبحت الآن أحادية القيمة) تُسقط الصفيحة الأولى على النصف العلوي من المستوى w ، حيث 0 ≤ arg( w ) < π ، بينما تُسقط الصفيحة الثانية على النصف السفلي من المستوى w (حيث π ≤ arg( w ) < 2 π ). ^{[ 6 ]}

لا يشترط أن يقع القطع الفرعي في هذا المثال على طول المحور الحقيقي، بل ولا يشترط أن يكون خطًا مستقيمًا. أي منحنى متصل يصل بين نقطة الأصل z = 0 والنقطة عند اللانهاية يصلح. في بعض الحالات، لا يشترط أن يمر القطع الفرعي بالنقطة عند اللانهاية. على سبيل المثال، انظر إلى العلاقة التالية:

$${\displaystyle w=g(z)=\left(z^{2}-1\right)^{1/2}.}$$

^{هنا ،} تتلاشى كثيرة الحدود z² - 1 عندما z = ±1 ، لذا من الواضح أن للدالة g نقطتي تفرع. يمكننا "قطع" المستوى على طول المحور الحقيقي، من -1 إلى 1 ، والحصول على سطح تكون فيه g ( z ) دالة أحادية القيمة. بدلاً من ذلك، يمكن أن يمتد القطع من z = 1 على طول المحور الحقيقي الموجب مروراً بالنقطة عند اللانهاية، ثم يستمر "صعوداً" على طول المحور الحقيقي السالب إلى نقطة التفرع الأخرى، z = -1 .

يُمكن تصوّر هذه الحالة بسهولة باستخدام الإسقاط المجسم الموصوف أعلاه . على الكرة الأرضية، يمتد أحد هذه المقاطع طوليًا عبر نصف الكرة الجنوبي، رابطًا نقطة على خط الاستواء ( z = -1 ) بنقطة أخرى على خط الاستواء ( z = 1 )، ويمر عبر القطب الجنوبي (نقطة الأصل، z = 0 ). أما المقطع الثاني، فيمتد طوليًا عبر نصف الكرة الشمالي، رابطًا النقطتين الاستوائيتين نفسيهما، مرورًا بالقطب الشمالي (أي النقطة عند اللانهاية).

الدالة الميرومورفية هي دالة مركبة تحليلية ، وبالتالي تحليلية في كل مكان ضمن مجالها باستثناء عدد محدود، أو عدد لا نهائي قابل للعد ، من النقاط. ^{[ ملاحظة 4 ]} تُسمى النقاط التي لا يمكن تعريف هذه الدالة عندها أقطاب الدالة الميرومورفية. أحيانًا تقع جميع هذه الأقطاب على خط مستقيم. في هذه الحالة، قد يقول علماء الرياضيات إن الدالة "تحليلية على المستوى القاطع". على سبيل المثال:

دالة غاما ، المعرفة بواسطة

$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\right]}$$

حيث γ هو ثابت أويلر-ماسكيروني ، وله أقطاب بسيطة عند 0، -1، -2، -3، ... لأن أحد مقامات حاصل الضرب اللانهائي يساوي صفرًا عندما z = 0 ، أو عدد صحيح سالب. ^{[ ملاحظة 5 ]} بما أن جميع أقطابها تقع على المحور الحقيقي السالب، من z = 0 إلى نقطة اللانهاية، يمكن وصف هذه الدالة بأنها "هولومورفية على المستوى المقطوع، حيث يمتد القطع على طول المحور الحقيقي السالب، من 0 (شاملًا) إلى نقطة اللانهاية".

بدلاً من ذلك، يمكن وصف Γ( z ) بأنها "هولومورفية في المستوى المقطوع مع − π < arg( z ) < π واستبعاد النقطة z = 0 ".

يختلف هذا القطع قليلاً عن " القطع المتفرع " الذي سبق أن تناولناه، لأنه في الواقع يستبعد المحور الحقيقي السالب من مستوى القطع. في القطع المتفرع، يبقى المحور الحقيقي متصلاً بمستوى القطع من جهة ( 0 ≤ θ ) ، بينما يفصله عن مستوى القطع من الجهة الأخرى ( θ < 2π ) .

بالطبع، ليس من الضروري استبعاد القطعة المستقيمة بأكملها من z = 0 إلى −∞ لإنشاء نطاق تكون فيه دالة غاما Γ( z ) تامة الشكل. كل ما علينا فعله هو قطع المستوى عند مجموعة لا نهائية قابلة للعد من النقاط {0، −1، −2، −3، ...} . لكن قد يُحيط مسار مغلق في المستوى المقطوع بواحد أو أكثر من أقطاب Γ( z ) ، مما يُعطي تكاملًا محيطيًا ليس بالضرورة صفرًا، وفقًا لنظرية البواقي . يضمن قطع المستوى المركب ليس فقط أن تكون Γ( z ) تامة الشكل في هذا النطاق المحدود  ، بل يضمن أيضًا أن التكامل المحيطي لدالة غاما على أي منحنى مغلق يقع في المستوى المقطوع يساوي صفرًا تمامًا.

تُعرَّف العديد من الدوال المركبة بواسطة متسلسلات لانهائية أو كسور مستمرة . ومن الاعتبارات الأساسية في تحليل هذه التعبيرات الطويلة جدًا تحديد الجزء من المستوى المركب الذي تتقارب فيه إلى قيمة محدودة. وقد يُسهِّل قطع المستوى هذه العملية، كما تُبيِّن الأمثلة التالية.

لنفترض الدالة المعرفة بواسطة المتسلسلة اللانهائية

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(z^{2}+n\right)^{-2}.}$$

بما أن ^z² = (−z ) ² ^لكل عدد مركب z ، فمن الواضح أن f ( z ) دالة زوجية لـ z ، لذا يمكن حصر التحليل في نصف المستوى المركب. وبما أن المتسلسلة غير معرفة عندما

$${\displaystyle z^{2}+n=0\quad \iff \quad z=\pm i{\sqrt {n}},}$$

من المنطقي قطع المستوى على طول المحور التخيلي بأكمله وإثبات تقارب هذه المتسلسلة حيث لا يساوي الجزء الحقيقي من z صفرًا قبل الشروع في المهمة الأكثر صعوبة المتمثلة في فحص f ( z ) عندما يكون z عددًا تخيليًا بحتًا. ^{[ ملاحظة 6 ]}

في هذا المثال، يُعدّ القطع مجرد وسيلة تبسيطية، لأن النقاط التي يكون عندها المجموع اللانهائي غير مُعرّف معزولة، ويمكن استبدال مستوى القطع بمستوى مثقوب مناسب . في بعض السياقات، يكون القطع ضروريًا، وليس مجرد وسيلة تبسيطية. لنأخذ على سبيل المثال الكسر المستمر الدوري اللانهائي

$${\displaystyle f(z)=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{\ddots }}}}}}}}.}$$

يمكن إثبات أن الدالة f ( z ) تتقارب إلى قيمة محدودة إذا لم يكن z عددًا حقيقيًا سالبًا بحيث z < − 1/4 . بعبارة أخرى، منطقة التقارب لهذا الكسر المستمر هي المستوى المقطوع، حيث يمتد القطع على طول المحور الحقيقي السالب، من − 1/4 إلى نقطة اللانهاية . ^{[ 8 ]}

• فلانيجان، فرانسيس ج. (1983). المتغيرات المركبة: الدوال التوافقية والتحليلية . دوفر. ISBN 0-486-61388-7.
• موريتي، جينو (1964). دوال المتغير المركب . برنتيس هول.
• وال، إتش إس (1948). النظرية التحليلية للكسور المستمرة . شركة دي فان نوستراند.أُعيد طبعه (1973) بواسطة شركة تشيلسي للنشر، رقم ISBN 0-8284-0207-8.
• ويتاكر، إي تي ؛ واتسون، جي إن (1927). دورة في التحليل الحديث (  الطبعة الرابعة). مطبعة جامعة كامبريدج.