قابلية التوجيه

معظم الأسطح التي نصادفها في العالم المادي قابلة للتوجيه. فالكرات والمستويات والأشكال الحلقية قابلة للتوجيه، على سبيل المثال. لكن شرائط موبيوس والمستويات الإسقاطية الحقيقية وزجاجات كلاين غير قابلة للتوجيه. وهي، كما هو موضح في${\displaystyle 3}$جميعها ذات أبعاد، ولها جانب واحد فقط. لا يمكن تضمين المستوى الإسقاطي الحقيقي وزجاجة كلاين في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$، فقط مع تقاطعات جميلة.

لاحظ أن السطح المدمج محليًا له دائمًا وجهان، لذا فإن النملة قصيرة النظر التي تزحف على سطح ذي وجه واحد ستظن أن هناك "وجهًا آخر". يكمن جوهر أحادية الوجه في أن النملة تستطيع الزحف من أحد وجهي السطح إلى "الوجه الآخر" دون المرور عبر السطح أو الانقلاب فوق حافته، بل بمجرد الزحف لمسافة كافية.

بشكل عام، لا تُعادل خاصية قابلية التوجيه خاصية ثنائية الجوانب؛ ومع ذلك، ينطبق هذا عندما يكون الفضاء المحيط (مثل${\displaystyle R^{3}}$ الشكل (أعلاه) قابل للتوجيه. على سبيل المثال، حلقة مضمنة في

${\displaystyle K^{2}\times S^{1}}$

يمكن أن يكون ذا وجه واحد، ويمكن أن تكون زجاجة كلاين في نفس المساحة ذات وجهين؛ هنا${\displaystyle K^{2}}$يشير إلى زجاجة كلاين.

أي سطح له تقسيم مثلثي : وهو عبارة عن تجزئة إلى مثلثات بحيث يكون كل ضلع من أضلاع المثلث متصلاً بضلع واحد على الأكثر. يتم توجيه كل مثلث باختيار اتجاه حول محيطه، وربط هذا الاتجاه بكل ضلع من أضلاع المثلث. إذا تم ذلك بحيث تشير الأضلاع المتجاورة، عند لصقها معًا، إلى اتجاهين متعاكسين، فإن هذا يحدد اتجاه السطح. لا يكون هذا الاختيار ممكنًا إلا إذا كان السطح قابلاً للتوجيه، وفي هذه الحالة يوجد اتجاهان مختلفان فقط.

إذا كان من الممكن وضع الشكل بشكل متسق في جميع نقاط السطح دون أن يتحول إلى صورته المعكوسة، فإن هذا سيؤدي إلى توجيه بالمعنى المذكور أعلاه على كل مثلث من مثلثات التثليث عن طريق تحديد اتجاه كل مثلث بناءً على ترتيب الألوان الأحمر والأخضر والأزرق لأي من الأشكال الموجودة داخل المثلث.

يمكن تعميم هذا النهج على أي${\displaystyle n}$متعدد الشعب ذو التثليث. ومع ذلك، فإن بعض متعددات الشعب الرباعية لا تحتوي على تثليث، وبشكل عام بالنسبة لـ${\displaystyle n>4}$ بعض${\displaystyle n}$-المشعبات لها تثليثات غير متكافئة.

لو${\displaystyle H_{1}(S)}$يشير إلى مجموعة التماثل الأولى لسطح مغلق${\displaystyle S}$، ثم${\displaystyle S}$يكون قابلاً للتوجيه إذا وفقط إذا${\displaystyle H_{1}(S)}$يحتوي على مجموعة فرعية تافهة للالتواء . بتعبير أدق، إذا${\displaystyle S}$إذا كان قابلاً للتوجيه${\displaystyle H_{1}(S)}$هي مجموعة أبيلية حرة ، وإذا لم تكن كذلك...${\displaystyle H_{1}(S)=F+\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$أين${\displaystyle F}$هو لغة أبيلية حرة، و${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$يتم توليد العامل بواسطة المنحنى الأوسط في شريط موبيوس المضمن في${\displaystyle S}$.

تتطلب التعريفات الأكثر بديهية ما يلي:${\displaystyle M}$أن تكون متعددة الشعب قابلة للتفاضل. هذا يعني أن دوال الانتقال في أطلس${\displaystyle M}$نكون${\displaystyle C^{1}}$الدوال. تقبل هذه الدالة محددًا جاكوبيًا . عندما يكون المحدد الجاكوبي موجبًا، يُقال إن دالة الانتقال تحافظ على التوجيه . أطلس موجه على${\displaystyle M}$هو أطلس تحافظ فيه جميع وظائف الانتقال على الاتجاه. ${\displaystyle M}$يكون قابلاً للتوجيه إذا كان يقبل أطلسًا موجهًا. عندما${\displaystyle n>0}$، اتجاه​${\displaystyle M}$هو أطلس موجه بأقصى قدر. (عندما${\displaystyle n=0}$، أي${\displaystyle M}$هي نقطة، اتجاه لـ${\displaystyle M}$هي دالة${\displaystyle M\to \{\pm 1\}}$.)

يمكن أيضًا التعبير عن قابلية التوجيه والاتجاهات بدلالة الحزمة المماسية. الحزمة المماسية هي حزمة متجهة ، لذا فهي حزمة ليفية ذات مجموعة هيكلية.${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$أي أن دوال الانتقال للمتشعب تحث دوال انتقال على الحزمة المماسية، وهي تحويلات خطية ليفية. إذا أمكن اختزال مجموعة البنية إلى المجموعة${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$من مصفوفات المحددات الموجبة، أو بصورة مكافئة إذا وُجد أطلس تحدد دوال انتقاله تحويلاً خطياً يحافظ على الاتجاه على كل فضاء مماس، فإن المتشعب${\displaystyle M}$قابل للتوجيه. على العكس من ذلك،${\displaystyle M}$تكون قابلة للتوجيه إذا وفقط إذا أمكن اختزال مجموعة البنية للحزمة المماسية بهذه الطريقة. ويمكن ملاحظة نتائج مماثلة بالنسبة لحزمة الإطار.

هناك طريقة أخرى لتحديد الاتجاهات على مشعب قابل للتفاضل وهي من خلال أشكال الحجم . شكل الحجم هو مقطع لا يتلاشى في أي مكان${\displaystyle \omega }$ل${\displaystyle {\bigwedge }^{\!n}T^{*}M}$، أعلى قوة خارجية لحزمة ظل التمام لـ${\displaystyle M}$. على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$له شكل حجم قياسي معطا بواسطة${\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$. بالنظر إلى شكل حجمي على${\displaystyle M}$، مجموعة جميع الرسوم البيانية${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$والتي عندها يعود شكل الحجم القياسي إلى مضاعف موجب لـ${\displaystyle \omega }$هو أطلس موجه. وبالتالي فإن وجود شكل حجمي يعادل قابلية توجيه المتشعب.

يمكن دمج أشكال الحجم ومتجهات المماس لإعطاء وصف آخر للتوجيه. إذا${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$هي أساس متجهات المماس عند نقطة${\displaystyle p}$إذاً، يُقال إن الأساس يميني إذا${\displaystyle \omega (X_{1},\ldots ,X_{n})>0}$تكون دالة الانتقال حافظة للاتجاه إذا وفقط إذا كانت تُرسل القواعد اليمينية إلى قواعد يمينية أخرى. وجود شكل حجمي يستلزم اختزال مجموعة البنية للحزمة المماسية أو حزمة الإطار إلى${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$وكما كان الحال سابقًا، فإن هذا يعني إمكانية توجيه${\displaystyle M}$. على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle M}$إذا كان قابلاً للتوجيه، فيمكن حينها ربط أشكال الحجم المحلية معًا لإنشاء شكل حجم عالمي، حيث أن قابلية التوجيه ضرورية لضمان عدم اختفاء الشكل العالمي في أي مكان.

At the heart of all the above definitions of orientability of a differentiable manifold is the notion of an orientation preserving transition function. This raises the question of what exactly such transition functions are preserving. They cannot be preserving an orientation of the manifold because an orientation of the manifold is an atlas, and it makes no sense to say that a transition function preserves or does not preserve an atlas of which it is a member.

This question can be resolved by defining local orientations. On a one-dimensional manifold, a local orientation around a point ${\displaystyle p}$ corresponds to a choice of left and right near that point. On a two-dimensional manifold, it corresponds to a choice of clockwise and counter-clockwise. These two situations share the common feature that they are described in terms of top-dimensional behavior near ${\displaystyle p}$ but not at ${\displaystyle p}$. For the general case, let ${\displaystyle M}$ be a topological ${\displaystyle n}$-manifold. A local orientation of ${\displaystyle M}$ around a point ${\displaystyle p}$ is a choice of generator of the group

${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right).}$

To see the geometric significance of this group, choose a chart around ${\displaystyle p}$. In that chart there is a neighborhood of ${\displaystyle p}$ which is an open ball ${\displaystyle B}$ around the origin ${\displaystyle O}$. By the excision theorem, ${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$ is isomorphic to ${\displaystyle H_{n}\left(B,B\setminus \{O\};\mathbb {Z} \right)}$. The ball ${\displaystyle B}$ is contractible, so its homology groups vanish except in degree zero, and the space ${\displaystyle B\setminus O}$ is an ${\displaystyle (n-1)}$-sphere, so its homology groups vanish except in degrees ${\displaystyle n-1}$ and ${\displaystyle 0}$. A computation with the long exact sequence in relative homology shows that the above homology group is isomorphic to ${\displaystyle H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbb {Z} \right)\cong \mathbb {Z} }$. A choice of generator therefore corresponds to a decision of whether, in the given chart, a sphere around ${\displaystyle p}$ is positive or negative. A reflection of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ through the origin acts by negation on ${\displaystyle H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbb {Z} \right)}$, so the geometric significance of the choice of generator is that it distinguishes charts from their reflections.

On a topological manifold, a transition function is orientation preserving if, at each point ${\displaystyle p}$ in its domain, it fixes the generators of ${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$. From here, the relevant definitions are the same as in the differentiable case. An oriented atlas is one for which all transition functions are orientation preserving, ${\displaystyle M}$ is orientable if it admits an oriented atlas, and when ${\displaystyle n>0}$, an orientation of ${\displaystyle M}$ is a maximal oriented atlas.

Intuitively, an orientation of ${\displaystyle M}$ ought to define a unique local orientation of ${\displaystyle M}$ at each point. This is made precise by noting that any chart in the oriented atlas around ${\displaystyle p}$ can be used to determine a sphere around ${\displaystyle p}$, and this sphere determines a generator of ${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$. Moreover, any other chart around ${\displaystyle p}$ is related to the first chart by an orientation preserving transition function, and this implies that the two charts yield the same generator, whence the generator is unique.

التعريفات الهومولوجية البحتة ممكنة أيضاً. بافتراض أن${\displaystyle M}$مغلق ومتصل،${\displaystyle M}$يكون قابلاً للتوجيه إذا وفقط إذا${\displaystyle n}$مجموعة التماثل th${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$متماثل مع الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$اتجاه​​${\displaystyle M}$يُعد اختيار المولد خيارًا${\displaystyle \alpha }$من هذه المجموعة. يحدد هذا المولد أطلسًا موجهًا عن طريق تثبيت مولد المجموعة الدورية اللانهائية${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$وباعتبار المخططات الموجهة هي تلك التي${\displaystyle \alpha }$يدفع للأمام نحو المولد الثابت. وعلى العكس من ذلك، يحدد أطلس موجه مثل هذا المولد حيث يمكن لصق التوجهات المحلية المتوافقة معًا لإعطاء مولد لمجموعة التماثل.${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$[ ^{4 ]​}

متعدد الشعب${\displaystyle M}$تكون قابلة للتوجيه إذا وفقط إذا كانت فئة ستيفل-ويتني الأولى${\displaystyle w_{1}(M)\in H^{1}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$تتلاشى. على وجه الخصوص، إذا كانت مجموعة التماثل الأولى مع${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$إذا كانت المعاملات تساوي صفرًا، فإن المتشعب يكون قابلاً للتوجيه. علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle M}$قابل للتوجيه و${\displaystyle w_{1}}$يختفي، ثم${\displaystyle H^{0}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$يُحدد هذا التوصيف لقابلية التوجيه خيارات التوجهات. ^{[ 5 ]} ويمتد هذا التوصيف لقابلية التوجيه ليشمل قابلية توجيه حزم المتجهات العامة على${\displaystyle M}$، وليس فقط حزمة المماس.

حول كل نقطة من${\displaystyle M}$هناك اتجاهان محليان. وبشكل بديهي، توجد طريقة للانتقال من اتجاه محلي عند نقطة معينة.${\displaystyle p}$إلى توجيه محلي في نقطة قريبة${\displaystyle p^{\prime }}$: عندما تقع النقطتان على نفس مخطط الإحداثيات${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$يحدد مخطط الإحداثيات هذا التوجهات المحلية المتوافقة عند${\displaystyle p}$و${\displaystyle p^{\prime }}$وبالتالي يمكن إعطاء مجموعة التوجهات المحلية طوبولوجيا، وهذه الطوبولوجيا تجعلها متعددة الشعب.

بتعبير أدق، دع${\displaystyle O}$لتكن مجموعة جميع التوجهات المحلية لـ${\displaystyle M}$. لتكوين الطوبولوجيا${\displaystyle O}$سنحدد قاعدة فرعية لطوبولوجيتها. ليكن${\displaystyle U}$ليكن مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle M}$تم اختيارها بحيث${\displaystyle H_{n}(M,M\setminus U;\mathbb {Z} )}$متماثل مع${\displaystyle \mathbb {Z} }$افترض أن${\displaystyle \alpha }$هو مولد هذه المجموعة. لكل${\displaystyle p}$في${\displaystyle U}$، هناك وظيفة دفع للأمام${\displaystyle H_{n}(M,M\setminus U;\mathbb {Z} )\to H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$المجال المقابل لهذه المجموعة له مولدان، و${\displaystyle \alpha }$الخرائط إلى أحدها. الطوبولوجيا على${\displaystyle O}$يتم تعريفها بحيث

${\displaystyle \{{\text{Image of }}\alpha {\text{ in }}H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)\colon p\in U\}}$

مفتوح.

توجد خريطة أساسية${\displaystyle \pi :O\to M}$وهذا يرسل توجيهًا محليًا في${\displaystyle p}$ل${\displaystyle p}$من الواضح أن كل نقطة من${\displaystyle M}$يوجد بالضبط صورتان أصليتان تحت${\displaystyle \pi }$. في الحقيقة،${\displaystyle \pi }$بل إنها تماثل موضعي، لأن الصور العكسية للمجموعات المفتوحة${\displaystyle U}$العناصر المذكورة أعلاه متماثلة شكليًا مع الاتحاد المنفصل لنسختين من${\displaystyle U}$. لو${\displaystyle M}$إذا كان قابلاً للتوجيه،${\displaystyle M}$هي نفسها واحدة من هذه المجموعات المفتوحة، لذا${\displaystyle O}$هو اتحاد منفصل لنسختين من${\displaystyle M}$. لو${\displaystyle M}$غير قابل للتوجيه، إذن${\displaystyle O}$متصل وقابل للتوجيه. المشعب${\displaystyle O}$يُطلق عليه اسم الغطاء المزدوج الموجه .

لو${\displaystyle M}$إذا كان متعدد الشعب ذو حدود، فإن اتجاه${\displaystyle M}$يُعرَّف بأنه اتجاه داخلي. ويؤدي هذا الاتجاه إلى اتجاه لـ${\displaystyle \partial M}$في الواقع، لنفترض أن اتجاه${\displaystyle M}$ثابت. ليكن${\displaystyle U\to \mathbb {R} _{+}^{n}}$لنفترض وجود مخطط عند نقطة حدودية لـ${\displaystyle M}$والتي، عند اقتصارها على الجزء الداخلي من${\displaystyle M}$، موجود في الأطلس الموجه المختار. يقتصر هذا المخطط على${\displaystyle \partial M}$هو مخطط لـ${\displaystyle \partial M}$تشكل هذه المخططات أطلسًا موجهًا لـ${\displaystyle \partial M}$.

متى${\displaystyle M}$ناعم، عند كل نقطة${\displaystyle p}$ل${\displaystyle \partial M}$، تقييد الحزمة المماسية لـ${\displaystyle M}$ل${\displaystyle \partial M}$متماثل مع${\displaystyle T_{p}\partial M\oplus \mathbb {R} }$، حيث عامل${\displaystyle \mathbb {R} }$يتم وصفها بواسطة متجه عمودي متجه نحو الداخل. اتجاه${\displaystyle T_{p}\partial M}$يُعرَّف بشرط أن يكون أساس${\displaystyle T_{p}\partial M}$يكون متجهًا إيجابيًا إذا وفقط إذا كان، عند دمجه مع متجه العمودي المتجه للداخل، يُحدد أساسًا متجهًا إيجابيًا لـ${\displaystyle T_{p}M}$.

في الهندسة اللورنتزية ، يوجد نوعان من التوجيه: التوجيه المكاني والتوجيه الزمني . يلعب هذان النوعان دورًا في البنية السببية للزمكان. ^{[ 6 ]} في سياق النسبية العامة ، يكون الزمكان قابلًا للتوجيه المكاني إذا كان، كلما انطلق مراقبان يمينيان في مركبتين فضائيتين من نفس نقطة الزمكان، ثم التقيا مرة أخرى عند نقطة أخرى، يظلان يمينيين بالنسبة لبعضهما البعض. أما إذا كان الزمكان قابلًا للتوجيه الزمني، فسيتفق المراقبان دائمًا على اتجاه الزمن عند نقطتي التقائهما. في الواقع، يكون الزمكان قابلًا للتوجيه الزمني إذا وفقط إذا استطاع أي مراقبين الاتفاق على أي من اللقاءين سبق الآخر. ^{[ 7 ]}

بشكل رسمي، المجموعة شبه المتعامدة${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$يحتوي على زوج من الأحرف : حرف توجيه المسافة${\displaystyle \sigma _{+}}$وطابع التوجه الزمني${\displaystyle \sigma _{-}}$،

${\displaystyle \sigma _{\pm }:\operatorname {O} (p,q)\to \{-1,+1\}.}$

منتجهم${\displaystyle \sigma =\sigma _{+}\sigma _{-}}$المحدد هو الذي يُعطي خاصية التوجيه. يُعرَّف التوجيه المكاني لمتشعب ريماني زائف بأنه مقطع من الحزمة المرتبطة به.

${\displaystyle \operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{+}}\{-1,+1\}}$

أين${\displaystyle \operatorname {O} (M)}$هي حزمة من الإطارات شبه المتعامدة. وبالمثل، فإن التوجيه الزمني هو جزء من الحزمة المرتبطة به.

${\displaystyle \operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{-}}\{-1,+1\}.}$