المجموعة الخطية العامة

البنية الجبرية → نظرية المجموعة نظرية المجموعة
المفاهيم الأساسية المجموعة الفرعية المجموعة الفرعية الطبيعية العمل الجماعي مجموعة الحاصل منتج (شبه) مباشر المجموع المباشر منتج مجاني منتج إكليل الزهور تشابهات المجموعات نواة صورة بسيط محدود لانهائي مستمر مضاعف مادة مضافة دوري أبيليان ثنائي السطوح عديم القدرة قابلة للحل مسرد نظرية المجموعة قائمة مواضيع نظرية المجموعة
المجموعات المحدودة المجموعة الدورية Z n المجموعة المتماثلة S n المجموعة المتناوبة أ ن المجموعة ثنائية السطوح D n المجموعة الرباعية Q نظرية كوشي نظرية لاجرانج نظريات سيلاو نظرية هول مجموعة ب المجموعة الإبيلية الابتدائية مجموعة فروبينيوس مضاعف شور تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة دوري متناوب نوع الكذب متقطع
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

Lie groups and Lie algebras
Classical groups General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n)
Simple Lie groups Classical An Bn Cn Dn Exceptional G2 F4 E6 E7 E8
Other Lie groups Circle Lorentz Poincaré Conformal group Diffeomorphism Loop Euclidean
Lie algebras Lie group–Lie algebra correspondence Exponential map Adjoint representation Killing form Index Simple Lie algebra Loop algebra Affine Lie algebra
Semisimple Lie algebra Dynkin diagrams Cartan subalgebra Root system Weyl group Real form Complexification Split Lie algebra Compact Lie algebra
Representation theory Lie group representation Lie algebra representation Representation theory of semisimple Lie algebras Representations of classical Lie groups Theorem of the highest weight Borel–Weil–Bott theorem
Lie groups in physics Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
Scientists Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossary Table of Lie groups
v t e

في الرياضيات ، المجموعة الخطية العامة من الدرجة n هي مجموعة من n × n مصفوفة قابلة للعكس ، جنبًا إلى جنب مع عملية ضرب المصفوفات العادية . هذا يشكل مجموعة ، لأن حاصل ضرب مصفوفتين قابلتين للعكس قابل للعكس مرة أخرى، ومعكوس المصفوفة القابلة للعكس قابل للعكس، مع مصفوفة الوحدة كعنصر وحدة للمجموعة. سميت المجموعة بهذا الاسم لأن أعمدة (وكذلك صفوف) المصفوفة القابلة للعكس مستقلة خطيًا ، وبالتالي فإن المتجهات/النقاط التي تحددها تكون في وضع خطي عام ، والمصفوفات في المجموعة الخطية العامة تأخذ نقاطًا في وضع خطي عام إلى نقاط في وضع خطي عام.

ولكي نكون أكثر دقة، فمن الضروري تحديد نوع الكائنات التي قد تظهر في مدخلات المصفوفة. على سبيل المثال، المجموعة الخطية العامة على R (مجموعة الأعداد الحقيقية ) هي مجموعة n × n من المصفوفات القابلة للعكس من الأعداد الحقيقية، ويرمز لها بـ GL _n ( R ) أو GL( n , R ) .

بشكل عام، المجموعة الخطية العامة من الدرجة n على أي حقل F (مثل الأعداد المركبة )، أو حلقة R (مثل حلقة الأعداد الصحيحة )، هي مجموعة من n × n مصفوفة قابلة للعكس مع إدخالات من F (أو R )، مرة أخرى مع ضرب المصفوفة كعملية للمجموعة. ^[1] التدوين النموذجي هو GL _n ( F ) أو GL( n ، F ) ، أو ببساطة GL( n ) إذا تم فهم الحقل.

وبشكل عام أكثر، فإن المجموعة الخطية العامة لمساحة المتجه GL( V ) هي مجموعة التشكل الذاتي ، والتي لا تكتب بالضرورة على شكل مصفوفات.

المجموعة الخطية الخاصة ، والتي تُكتب SL( n , F ) أو SL _n ( F )، هي المجموعة الفرعية لـ GL( n , F ) التي تتكون من مصفوفات ذات محدد يساوي 1.

غالبًا ما تسمى المجموعة GL( n , F ) ومجموعاتها الفرعية بالمجموعات الخطية أو مجموعات المصفوفات (مجموعة التماثل الذاتي GL( V ) هي مجموعة خطية ولكنها ليست مجموعة مصفوفات). هذه المجموعات مهمة في نظرية تمثيل المجموعات ، وتنشأ أيضًا في دراسة التناظرات المكانية وتناظرات فضاءات المتجهات بشكل عام، بالإضافة إلى دراسة كثيرات الحدود . يمكن تحقيق المجموعة المعيارية كحاصل على المجموعة الخطية الخاصة SL(2, Z ) .

إذا كان n ≥ 2 ، فإن المجموعة GL( n , F ) ليست أبيلية .

إذا كانت V فضاء متجه فوق الحقل F ، فإن المجموعة الخطية العامة لـ V ، المكتوبة GL( V ) أو Aut( V )، هي مجموعة كل التماثلات الذاتية لـ V ، أي مجموعة كل التحويلات الخطية الثنائية V → V ، جنبًا إلى جنب مع التركيب الوظيفي كعملية مجموعة. إذا كان لـ V بعد محدود n ، فإن GL( V ) و GL( n , F ) متماثلان . التماثل ليس قياسيًا؛ فهو يعتمد على اختيار الأساس في V. مع الأخذ في الاعتبار الأساس ( e ₁ , ..., e _n ) لـ V والتماثل الذاتي T في GL( V )، يكون لدينا إذن لكل متجه أساس e _i الذي

${\displaystyle T(e_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}e_{j}}$

بالنسبة لبعض الثوابت a _ij في F ؛ فإن المصفوفة المقابلة لـ T هي فقط المصفوفة ذات الإدخالات المعطاة بواسطة a _ji .

وبطريقة مماثلة، بالنسبة لحلقة تبادلية R، يمكن تفسير المجموعة GL( n , R ) على أنها مجموعة التماثلات الذاتية لوحدة R -module حرة M من الرتبة n . ويمكن للمرء أيضًا تعريف GL( M ) لأي وحدة R -module، ولكن بشكل عام هذا ليس متماثلًا مع GL( n , R ) (لأي n ).

على الحقل F ، تكون المصفوفة قابلة للعكس إذا وفقط إذا كان محددها غير صفري. لذلك، فإن التعريف البديل لـ GL( n , F ) هو مجموعة المصفوفات ذات المحدد غير الصفري.

على حلقة تبديلية R ، يلزم مزيد من العناية: تكون المصفوفة الموجودة على R قابلة للعكس إذا وفقط إذا كان محددها وحدة في R ، أي إذا كان محددها قابلاً للعكس في R. لذلك، يمكن تعريف GL( n ، R ) على أنها مجموعة المصفوفات التي تكون محدداتها وحدات.

على حلقة غير تبادلية R ، لا تتصرف المحددات بشكل جيد على الإطلاق. في هذه الحالة، يمكن تعريف GL( n , R ) على أنها المجموعة الوحدوية لحلقة المصفوفة M( n , R ) .

المجموعة الخطية العامة GL( n , R ) على مجال الأعداد الحقيقية هي مجموعة كذب حقيقية ذات بعد n ^2. ولرؤية ذلك، لاحظ أن مجموعة جميع المصفوفات الحقيقية n × n ، M _n ( R )، تشكل فضاء متجه حقيقي ذي بعد n ^2. تتكون المجموعة الفرعية GL( n , R ) من تلك المصفوفات التي يكون محددها غير صفري. المحدد عبارة عن خريطة حدودية ، وبالتالي فإن GL( n , R ) هي مجموعة فرعية متآلفة مفتوحة لـ M _n ( R ) ( مجموعة فرعية مفتوحة غير فارغة لـ M _n ( R ) في طوبولوجيا زاريسكي )، وبالتالي ^[2] متعدد الشعب سلس من نفس البعد.

يتكون جبر لاي لـ GL( n , R ) ، المشار إليه، من جميع المصفوفات الحقيقية n × n مع عمل المبدل كقوس لاي. ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n},}$

كمتعدد شعب، فإن GL( n , R ) ليس متصلاً بل لديه مكونان متصلان : المصفوفات ذات المحدد الموجب والمصفوفات ذات المحدد السالب. يتكون مكون الهوية ، الذي يُشار إليه بـ GL ⁺ ( n , R ) ، من مصفوفات حقيقية n × n ذات محدد موجب. وهي أيضًا مجموعة لي ذات بعد n ² ؛ ولها نفس جبر لي مثل GL( n , R ) .

يُظهر التحلل القطبي ، الفريد من نوعه بالنسبة للمصفوفات القابلة للعكس، وجود تماثل بين GL( n , R ) والناتج الديكارتي لـ O( n ) مع مجموعة المصفوفات المتماثلة الموجبة المحددة. وبالمثل، يُظهر وجود تماثل بين GL ⁺ ( n , R ) والناتج الديكارتي لـ SO( n ) مع مجموعة المصفوفات المتماثلة الموجبة المحددة. ولأن الأخيرة قابلة للانكماش، فإن المجموعة الأساسية لـ GL ⁺ ( n , R ) متماثلة مع المجموعة الأساسية لـ SO( n ).

يُظهر التماثل أيضًا أن المجموعة GL( n , R ) غير مدمجة . " المجموعة الفرعية المدمجة القصوى " ^[3] لـ GL( n , R ) هي المجموعة المتعامدة O( n )، بينما "المجموعة الفرعية المدمجة القصوى" لـ GL ⁺ ( n , R ) هي المجموعة المتعامدة الخاصة SO( n ). أما بالنسبة إلى SO( n )، فإن المجموعة GL ⁺ ( n , R ) ليست متصلة ببساطة (إلا عندما يكون n = 1) ، بل لها مجموعة أساسية متماثلة مع Z لـ n = 2 أو Z ₂ لـ n > 2 .

المجموعة الخطية العامة على مجال الأعداد المركبة ، GL( n , C ) ، هي مجموعة لاي معقدة ذات بعد مركب n ^2. وباعتبارها مجموعة لاي حقيقية (من خلال التحقيق) فإن لها بعد 2 n ^2. وتشكل مجموعة جميع المصفوفات الحقيقية مجموعة لاي حقيقية. وتتوافق هذه مع التضمينات

GL( n , R ) < GL( n , C ) < GL( 2n , R )،

والتي لها أبعاد حقيقية n ² و 2 n ² و 4 n ² = (2 n ) ² . يمكن وصف المصفوفات المعقدة ذات الأبعاد n بأنها مصفوفات حقيقية ذات أبعاد n تحافظ على بنية معقدة خطية - بشكل ملموس، تتبادل مع مصفوفة J بحيث J ² = − I ، حيث J يتوافق مع الضرب بالوحدة التخيلية i .

يتكون جبر لاي المقابل لـ GL( n , C ) من جميع المصفوفات المعقدة n × n مع وجود المبدل كقوس لاي.

على عكس الحالة الحقيقية، فإن GL( n , C ) متصل . ويتبع ذلك جزئيًا، لأن المجموعة المضاعفة للأعداد المركبة C ^∗ متصلة. إن متعدد شعب المجموعة GL( n , C ) ليس مضغوطًا؛ بل إن مجموعته الفرعية المدمجة القصوى هي المجموعة الوحدوية U( n ). أما بالنسبة إلى U( n )، فإن متعدد شعب المجموعة GL( n , C ) ليس متصلًا ببساطة ولكنه يحتوي على مجموعة أساسية متماثلة مع Z.

إذا كان F حقلًا منتهيًا به عناصر q ، فإننا نكتب أحيانًا GL( n , q ) بدلاً من GL( n , F ) . عندما يكون p أوليًا، فإن GL( n , p ) هي مجموعة التماثل الذاتي الخارجية للمجموعة Z _p ⁿ ، وأيضًا مجموعة التماثل الذاتي ، لأن Z _p ⁿ أبيلية، وبالتالي فإن مجموعة التماثل الذاتي الداخلية تافهة.

ترتيب GL( n , q ) هو:

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}(q^{n}-q^{k})=(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\ \cdots \ (q^{n}-q^{n-1}).}$

يمكن إظهار ذلك من خلال حساب الأعمدة المحتملة للمصفوفة: يمكن أن يكون العمود الأول أي شيء باستثناء المتجه الصفري؛ يمكن أن يكون العمود الثاني أي شيء باستثناء مضاعفات العمود الأول؛ وبشكل عام، يمكن أن يكون العمود k أي متجه لا يقع ضمن النطاق الخطي للأعمدة الأولى k − 1. في التدوين التناظري q ، يكون هذا هو . ${\displaystyle [n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}}$

على سبيل المثال، GL(3, 2) لها الترتيب (8 − 1)(8 − 2)(8 − 4) = 168. وهي مجموعة التماثل الذاتي لمستوى فانو والمجموعة Z ₂ ^3. هذه المجموعة متماثلة أيضًا مع PSL(2, 7) .

بشكل عام، يمكن للمرء أن يحسب نقاط جراسمان على F : بمعنى آخر عدد الفضاءات الفرعية ذات البعد المعطى k . وهذا يتطلب فقط إيجاد ترتيب المجموعة الفرعية المستقرة لأحد هذه الفضاءات الفرعية وتقسيمها إلى الصيغة المعطاة للتو، بواسطة نظرية مثبت المدار .

ترتبط هذه الصيغ بتحليل شوبرت لمعادلات جراسمانيان، وهي نظائر q لأعداد بيتي لمعادلات جراسمانيان المركبة. كان هذا أحد الأدلة التي أدت إلى تخمينات فايل .

لاحظ أنه في الحد q ↦ 1 فإن ترتيب GL( n , q ) يذهب إلى 0! - ولكن وفقًا للإجراء الصحيح (القسمة على ( q − 1) ⁿ ) نرى أنه ترتيب المجموعة المتماثلة (انظر مقالة لورشايد) - في فلسفة المجال ذي العنصر الواحد ، يتم تفسير المجموعة المتماثلة على أنها المجموعة الخطية العامة على المجال ذي العنصر الواحد: S _n ≅ GL( n , 1) .

تم إنشاء المجموعة الخطية العامة على حقل أولي، GL( ν , p ) ، وتم حساب ترتيبها بواسطة إيفاريست جالوا في عام 1832، في رسالته الأخيرة (إلى شيفالييه) والمخطوطة الثانية (من ثلاث) المرفقة، والتي استخدمها في سياق دراسة مجموعة جالوا للمعادلة العامة من الدرجة p ^ν . ^[4]

المجموعة الخطية الخاصة، SL( n , F ) ، هي مجموعة جميع المصفوفات ذات المحدد 1. وهي خاصة لأنها تقع على صنف فرعي - فهي تلبي معادلة متعددة الحدود (حيث يكون المحدد متعدد الحدود في الإدخالات). تشكل المصفوفات من هذا النوع مجموعة حيث يكون محدد حاصل ضرب مصفوفتين هو حاصل ضرب محددات كل مصفوفة. SL( n , F ) هي مجموعة فرعية طبيعية لـ GL( n , F ) .

إذا كتبنا F ^× للمجموعة الضربية لـ F (باستثناء 0)، فإن المحدد هو تماثل المجموعة

det: GL( n , F ) → F ^× .

وهذا هو انعكاسي ونواته هي المجموعة الخطية الخاصة. وبالتالي، وفقًا لنظرية التماثل الأولى ، فإن GL( n , F )/SL( n , F ) متماثل مع F ^× . في الواقع، يمكن كتابة GL( n , F ) على هيئة حاصل ضرب شبه مباشر :

GL( n , F ) = SL( n , F ) ⋊ F ^×

المجموعة الخطية الخاصة هي أيضًا المجموعة المشتقة (المعروفة أيضًا باسم المجموعة الفرعية للمبدل) من GL( n ، F ) (لحقل أو حلقة تقسيم F ) بشرط ألا يكون أو k هو الحقل ذو العنصرين . ^[5]${\displaystyle n\neq 2}$

عندما تكون F هي R أو C ، فإن SL( n , F ) هي مجموعة فرعية من GL( n , F ) ذات البعد n ² − 1. يتكون جبر لاي لـ SL( n , F ) من جميع المصفوفات n × n على F مع أثر التلاشي . يتم إعطاء قوس لاي بواسطة المبدل .

يمكن وصف المجموعة الخطية الخاصة SL( n , R ) بأنها مجموعة التحولات الخطية المحافظة على الحجم والاتجاه لـ R ⁿ .

المجموعة SL( n , C ) متصلة ببساطة، بينما SL( n , R ) ليست كذلك. تحتوي SL( n , R ) على نفس المجموعة الأساسية مثل GL ⁺ ( n , R ) ، أي Z لـ n = 2 و Z ₂ لـ n > 2 .

تشكل مجموعة جميع المصفوفات القطرية القابلة للعكس مجموعة فرعية من GL( n , F ) متماثلة مع ( F ^× ) ⁿ . في الحقول مثل R و C ، تتوافق هذه مع إعادة قياس المساحة؛ ما يسمى بالتمدد والانكماش.

المصفوفة القياسية هي مصفوفة قطرية وهي عبارة عن ثابت مضروب في مصفوفة الوحدة . تشكل مجموعة جميع المصفوفات القياسية غير الصفرية مجموعة فرعية من GL( n , F ) متماثلة مع F ^× . هذه المجموعة هي مركز GL ( n , F ) . وهي على وجه الخصوص مجموعة فرعية أبيلية طبيعية.

مركز SL( n , F ) هو ببساطة مجموعة جميع المصفوفات القياسية ذات المحدد الوحدوي ، وهو متماثل لمجموعة الجذور n للوحدة في المجال F.

المجموعات الكلاسيكية هي مجموعات فرعية من GL( V ) والتي تحافظ على نوع ما من الشكل الخطي الثنائي على فضاء متجه V. وتشمل هذه

• المجموعة المتعامدة ، O( V )، والتي تحافظ على شكل تربيعي غير متحلل على V ،
• المجموعة السمبلكتيكية ، Sp( V )، والتي تحافظ على شكل سمبلكتيكي على V ( شكل متناوب غير متحلل)،
• المجموعة الوحدوية ، U( V )، والتي عندما تكون F = C ، تحافظ على شكل هيرميتي غير متحللعلى V.

توفر هذه المجموعات أمثلة مهمة لمجموعات الكذب.

المجموعة الخطية الإسقاطية PGL( n , F ) والمجموعة الخطية الخاصة الإسقاطية PSL( n , F ) هما حاصل قسمة GL ( n , F ) و SL( n , F ) على مراكزهما ( والتي تتكون من مضاعفات مصفوفة الهوية فيها)؛ وهما الفعل المستحث على الفضاء الإسقاطي المرتبط .

المجموعة الأفينية Aff( n , F ) هي امتداد لـ GL( n , F ) بواسطة مجموعة الترجمات في ^Fn . ويمكن كتابتها على هيئة حاصل ضرب شبه مباشر :

Aff( n , F ) = GL( n , F ) ⋉ F ⁿ

حيث يعمل GL( n , F ) على Fn بالطريقة الطبيعية. يمكن اعتبار المجموعة الأفينية كمجموعة كل التحويلات الأفينية للفضاء الأفيني الذي يقع أسفل فضاء المتجه F ^{n .}

لدينا إنشاءات مماثلة لمجموعات فرعية أخرى من المجموعة الخطية العامة: على سبيل المثال، المجموعة الأفينية الخاصة هي المجموعة الفرعية المحددة بواسطة المنتج شبه المباشر، SL( n ، F ) ⋉ F ⁿ ، ومجموعة بوانكاريه هي المجموعة الأفينية المرتبطة بمجموعة لورنتز ، O(1، 3، F ) ⋉ F ⁿ .

المجموعة شبه الخطية العامة ΓL( n , F ) هي مجموعة جميع التحويلات شبه الخطية القابلة للعكس ، وتحتوي على GL. التحويل شبه الخطي هو تحويل خطي "حتى الالتواء"، أي "حتى التماثل التلقائي للحقل تحت الضرب القياسي". ويمكن كتابته على هيئة حاصل ضرب شبه مباشر:

ΓL( n , F ) = غال( F ) ⋉ GL( n , F )

حيث Gal( F ) هي مجموعة جالوا لـ F (على مجالها الأولي )، والتي تؤثر على GL( n ، F ) بواسطة تأثير جالوا على الإدخالات.

الاهتمام الرئيسي لـ ΓL( n , F ) هو أن المجموعة شبه الخطية الإسقاطية المرتبطة PΓL( n , F ) (والتي تحتوي على PGL( n , F )) هي مجموعة الترافق للفضاء الإسقاطي ، لـ n > 2 ، وبالتالي فإن الخرائط شبه الخطية ذات أهمية في الهندسة الإسقاطية .

يشكل المونويد الخطي الكامل، الذي يتم الحصول عليه عند إزالة القيد غير الصفري للمحدد، بنية جبرية تشبه المونويد، وغالبًا ما يشار إليه بالمونويد الخطي الكامل أو أحيانًا باسم شبه المجموعة الخطية الكاملة أو المونويد الخطي العام. والجدير بالذكر أنه يشكل شبه مجموعة منتظمة.

This section needs expansion with: basic properties. You can help by adding to it. (April 2015)

إذا أزلنا قيد كون المحدد غير صفري، فإن البنية الجبرية الناتجة هي أحادية ، وعادة ما تسمى أحادية خطية كاملة ، ^{[6] [7] [8]} ولكن في بعض الأحيان أيضًا شبه مجموعة خطية كاملة ، ^[9] أحادية خطية عامة ^{[10] [11]} وما إلى ذلك. إنها في الواقع شبه مجموعة منتظمة . ^[7]

المجموعة الخطية العامة اللانهائية أو المجموعة الخطية العامة المستقرة هي الحد المباشر للتضمينات GL( n , F ) → GL( n + 1, F ) كمصفوفة كتلة يسارية علوية . يُشار إليها إما بـ GL( F ) أو GL(∞, F ) ، ويمكن تفسيرها أيضًا على أنها مصفوفات لا نهائية قابلة للعكس تختلف عن مصفوفة الوحدة في عدد محدود من الأماكن فقط. ^[12]

يتم استخدامه في نظرية K الجبرية لتحديد K ₁ ، وعلى الأعداد الحقيقية لديه طوبولوجيا مفهومة جيدًا، وذلك بفضل دورية بوت .

لا ينبغي الخلط بينه وبين مساحة المشغلات القابلة للعكس (المحدودة) على فضاء هيلبرت ، وهي مجموعة أكبر، وأبسط بكثير من الناحية الطوبولوجية، أي قابلة للانكماش - انظر نظرية كايبر .

• قائمة المجموعات البسيطة المحدودة
• SL ₂ ( ر )
• نظرية التمثيل لـ SL ₂ ( R )
• تمثيلات مجموعات لاي الكلاسيكية

• "المجموعة الخطية العامة"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• "GL(2, p) وGL(3, 3) تعمل على النقاط" بقلم إد بيج جونيور ، مشروع العروض التوضيحية لشركة ولفرام ، 2007.