مجموعة لانهائية

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 18 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الزمر ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، تُعرَّف الزمرة اللانهائية بأنها زمرة تحتوي مجموعتها الأساسية على عدد لا نهائي من العناصر . بعبارة أخرى، هي زمرة ذات رتبة لانهائية . غالبًا ما يُنظر إلى بنية الزمر اللانهائية من خلال التحليل الرياضي لسلوك التقارب لكيفية نمو الثوابت المختلفة بالنسبة لمجموعة مولدة، أو كيفية تأثير الزمرة على فضاء طوبولوجي أو فضاء قياس . في المقابل، تُحدد بنية الزمر المنتهية إلى حد كبير بواسطة أساليب الجبر المجرد .

أمثلة

التواء

تُسمى المجموعة اللانهائية مجموعة التواء إذا كان لكل عنصر فيها رتبة منتهية. ومن الأمثلة على ذلك مجموعة بروفر p وبعض مجموعات بيرنسايد. في المقابل، تكون المجموعة خالية من الالتواء إذا لم يكن لأي عنصر غير عنصر المحايد رتبة منتهية، مثل...Z{\displaystyle \mathbb {Z} }أو مجموعات مجانية.

الهيكل والتصنيف

تُعرَّف العديد من الزمر اللانهائية بدلالة مجموعة من المولدات والعلاقات. على سبيل المثال، الزمرة الحرة هي زمرة على مجموعة من المولدات بدون علاقات، بينما زمرة الجدائل هي زمرة على المولدات.زأنا{\displaystyle g_{i}}، أينأنا{\displaystyle i}هو عدد صحيح في[0،ن]{\displaystyle [0,n]}، مع العلاقاتزأنازأنا+1زأنا=زأنا+1زأنازأنا+1{\displaystyle g_{i}g_{i+1}g_{i}=g_{i+1}g_{i}g_{i+1}}وزأنازج=زجزأنا{\displaystyle g_{i}g_{j}=g_{j}g_{i}}لو|أنا-ج|>1{\displaystyle |ij|>1}.

يمكن توليد المجموعات اللانهائية بشكل محدود، مثلZ{\displaystyle \mathbb {Z} }أوSL⁡(ن،Z){\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {Z} )}أو مولدة بلا حدود مثل(سؤال،+){\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}أو أي زمرة لي ؛ ذات تمثيل منتهٍ مثل أي زمرة حرة (على مجموعة منتهية من المولدات) أو زمر الجدائل. قد تكون الزمر أيضًا ذات تمثيل غير منتهٍ، إلخ.

قد تكون المجموعة اللانهائية منتهية جزئيًا ، بمعنى أن كل عنصر فيها غير تافه في مجموعة جزئية منتهية. العديد من المجموعات، مثلSL⁡(ن،Z){\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {Z} )}، محدودة بشكل متبقٍ؛ في حين أن مجموعات أخرى مثل مجموعات وحوش تارسكي ليست كذلك.

العديد من المجموعات اللانهائية هي مجموعات خطية ، مما يعني أن لها تمثيلاً دقيقاً على فضاء متجهي محدود الأبعاد. وهذا يشمل مجموعات مثلSL⁡(ن،Z){\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {Z} )}وكل مجموعة كلاسيكية (عبر تمثيلها المرافق )، وكل مجموعة نيلبوتنت خالية من الالتواء مولدة بشكل محدود، وفقًا لنظرية مالسيف ، ولكن ليس مجموعات مثل المجموعة الميتابليكتية .

بعض المجموعات اللانهائية بسيطة ، مثل مجموعات طومسون .

التقارب

مجموعة لانهائية مزودة بمجموعة مولدة{γأنا|أنا∈أنا}{\displaystyle \{\gamma _{i}\mid i\in I\}}ترث بنية مترية طبيعية من خلال كلمة "متري" . هذه هي دالة المسافة الوحيدة الثابتة من اليسار بحيثد(γأنا،هـ)=د(γأنا-1،هـ)=1{\displaystyle d(\gamma _{i},e)=d(\gamma _{i}^{-1},e)=1}لكل مولدγأنا{\displaystyle \gamma _{i}}وتمتد المسافات بأقصر طول للكلمة. الفضاء المتري الناتج هو فضاء طوبولوجي منفصل محليًا ، لكن هندسته واسعة النطاق تُظهر بنية ذات دلالة. على سبيل المثال، حجم كرة نصف قطرهار{\displaystyle r}(أي عدد عناصر المجموعة التي يمكن التعبير عنها باستخدام على الأكثر)ر{\displaystyle r}تنمو المولدات بطريقة تعكس الخصائص الجوهرية للمجموعة - مثل النمو متعدد الحدود في المجموعات العديمة القوة أو النمو الأسي في المجموعات الحرة . [ 1 ]

تتمتع المجموعة المولدة بشكل محدود بنمو متعدد الحدود إذا وفقط إذا كانت عديمة القوة تقريبًا ، ويمكن غالبًا فهم هندسة المجموعة واسعة النطاق من خلال مخروطها التقاربي - وهو نوع من الفضاء المتري المحدود الذي يلتقط سلوك المجموعة "عند اللانهاية".

يمكن التعبير عن العديد من الجوانب الأخرى للمجموعات اللانهائية باستخدام مصطلح "المقياس"، مثل قابلية التقريب : فالمجموعة غير قابلة للتقريب إذا وفقط إذا وُجدت ثوابت.د{\displaystyle d}وج{\displaystyle C}بحيث يكون لكل مجموعة جزئية منتهيةS{\displaystyle S}،|S|≤ج|∂دS|{\displaystyle |S|\leq C|\partial _{d}S|}، أين∂دS{\displaystyle \partial _{d}S}هي مجموعة النقاط الواقعة ضمن مسافةد{\displaystyle d}من أي عنصر منS{\displaystyle S}.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ غروموف، ميخائيل (1993). جيرل، مارتن ر.؛ كوسنيوفسكي، تشيز (محرران). نظرية الزمر الهندسية، المجلد 2 (ملف PDF) . سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن. المجلد  182. مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 1-295 . ISBN  978-0521446808.