مجموعة مجانية

البنية الجبرية → نظرية المجموعة نظرية المجموعة
المفاهيم الأساسية المجموعة الفرعية المجموعة الفرعية الطبيعية العمل الجماعي مجموعة الحاصل منتج (شبه) مباشر المجموع المباشر منتج مجاني منتج إكليل الزهور تشابهات المجموعات نواة صورة بسيط محدود لانهائي مستمر مضاعف مادة مضافة دوري أبيليان ثنائي السطوح عديم القدرة قابلة للحل مسرد نظرية المجموعة قائمة مواضيع نظرية المجموعة
المجموعات المحدودة المجموعة الدورية Z n المجموعة المتماثلة S n المجموعة المتناوبة أ ن المجموعة ثنائية السطوح D n المجموعة الرباعية Q نظرية كوشي نظرية لاجرانج نظريات سيلاو نظرية هول مجموعة ب المجموعة الإبيلية الابتدائية مجموعة فروبينيوس مضاعف شور تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة دوري متناوب نوع الكذب متقطع
المجموعات المنفصلة شبكات الأعداد الصحيحة (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) مجموعة مجانية المجموعات المعيارية ب س ل(2،${\displaystyle \mathbb {Z} }$) س ل(2،${\displaystyle \mathbb {Z} }$) مجموعة حسابية شعرية المجموعة الزائدية
المجموعات الطوبولوجية والمجموعات الكاذبة الملف اللولبي دائرة الخطية العامة GL( n ) خطية خاصة SL( n ) متعامد O( n ) إقليدية E( n ) متعامد خاص SO( n ) وحدة U( n ) وحدة خاصة SU( n ) سمبلكتيك سب( ن ) ج 2 ف 4 هـ 6 هـ 7 هـ 8 لورنتز بوانكاريه مطابق التماثل التفاضلي حلقة مجموعة لاي ذات أبعاد لا نهائية أو(∞) سو(∞) س(∞)
المجموعات الجبرية المجموعة الجبرية الخطية المجموعة الاختزالية صنف أبيليان المنحنى الإهليلجي
ف ت هـ

في الرياضيات ، تتكون المجموعة الحرة F _S على مجموعة معينة S من جميع الكلمات التي يمكن بناؤها من أعضاء S ، مع الأخذ في الاعتبار أن كلمتين مختلفتين ما لم تتبع مساواتهما بديهيات المجموعة (على سبيل المثال st = suu ⁻¹ t ولكن s ≠ t ⁻¹ لـ s و t و u ∈ S ). تسمى أعضاء S مولدات F _S ، وعدد المولدات هو رتبة المجموعة الحرة. تسمى المجموعة التعسفية G حرة إذا كانت متماثلة مع F _S لبعض المجموعات الفرعية S من G ، أي إذا كانت هناك مجموعة فرعية S من G بحيث يمكن كتابة كل عنصر من G بطريقة واحدة تمامًا كمنتج لعدد محدود من عناصر S وعكسها (بغض النظر عن الاختلافات التافهة مثل st = suu ⁻¹ t ).

هناك مفهوم مرتبط ولكنه مختلف وهو المجموعة الإبيلية الحرة ؛ حيث يمثل كلا المفهومين حالات خاصة لكائن حر من الجبر الشامل . وعلى هذا النحو، يتم تعريف المجموعات الحرة من خلال خاصيتها العالمية.

نشأت المجموعات الحرة لأول مرة في دراسة الهندسة الزائدية ، كأمثلة على المجموعات الفوشية (المجموعات المنفصلة التي تعمل بواسطة التساويات على المستوى الزائدي ). في ورقة بحثية عام 1882، أشار والتر فون دايك إلى أن هذه المجموعات لها أبسط العروض التقديمية الممكنة . ^{[1] بدأ} جاكوب نيلسن الدراسة الجبرية للمجموعات الحرة في عام 1924، حيث أطلق عليها اسمها وأسس العديد من خصائصها الأساسية. ^{[2] [3] [4] أدرك} ماكس ديهن الارتباط بالطوبولوجيا، وحصل على أول دليل على نظرية نيلسن-شراير الكاملة . ^{[5] نشر} أوتو شراير دليلاً جبريًا لهذه النتيجة في عام 1927، ^[6] وأدرج كورت رايدمايستر معالجة شاملة للمجموعات الحرة في كتابه عام 1932 عن الطوبولوجيا التوافقية . ^[7] في وقت لاحق في ثلاثينيات القرن العشرين، اكتشف فيلهلم ماجنوس العلاقة بين السلسلة المركزية السفلية للمجموعات الحرة وجبر لاي الحر .

المجموعة ( Z ،+) من الأعداد الصحيحة خالية من الرتبة 1؛ المجموعة المولدة هي S = {1}. الأعداد الصحيحة هي أيضًا مجموعة أبيلية حرة ، على الرغم من أن جميع المجموعات الحرة من الرتبة غير أبيلية. تحدث المجموعة الحرة في مجموعة مكونة من عنصرين S في إثبات مفارقة باناخ-تارسكي ويتم وصفها هناك. ${\displaystyle \geq 2}$

من ناحية أخرى، لا يمكن لأي مجموعة محدودة غير تافهة أن تكون حرة، لأن عناصر مجموعة توليد حرة لمجموعة حرة لها ترتيب لا نهائي.

في الطوبولوجيا الجبرية ، المجموعة الأساسية لمجموعة مكونة من k دوائر (مجموعة من k حلقات لها نقطة واحدة مشتركة فقط) هي المجموعة الحرة لمجموعة مكونة من k عناصر.

يمكن إنشاء المجموعة الحرة F S مع مجموعة التوليد الحرة S على النحو التالي. S هي مجموعة _من الرموز ، ونفترض أن لكل s في S رمز "معكوس" مقابل، s ⁻¹ ، في المجموعة S ⁻¹ . دع T  =  S  ∪  S ⁻¹ ، وحدد الكلمة في S لتكون أي حاصل ضرب مكتوب لعناصر T. أي أن الكلمة في S هي عنصر من المونويد الناتج عن T. الكلمة الفارغة هي الكلمة التي لا تحتوي على أي رموز على الإطلاق. على سبيل المثال، إذا كانت S  = { a ,  b ,  c }، فإن T  = { a ,  a ⁻¹ ,  b ,  b ⁻¹ ,  c ,  c ⁻¹ }، و

${\displaystyle ab^{3}c^{-1}ca^{-1}c\,}$

هي كلمة في S .

إذا كان عنصر S يقع بجوار معكوسه مباشرة، فيمكن تبسيط الكلمة عن طريق حذف الزوج c، c ⁻¹ :

${\displaystyle ab^{3}c^{-1}ca^{-1}c\;\;\longrightarrow \;\;ab^{3}\,a^{-1}c.}$

الكلمة التي لا يمكن تبسيطها أكثر من ذلك تسمى مختصرة .

تم تعريف المجموعة الحرة F _S على أنها مجموعة كل الكلمات المختصرة في S ، مع تجميع الكلمات (متبوعة بالاختزال إذا لزم الأمر) كعملية مجموعة. الهوية هي الكلمة الفارغة.

تُسمى الكلمة المختزلة مُختزلة دوريًا إذا لم يكن الحرف الأول والأخير منها معكوسين لبعضهما البعض. كل كلمة مقترنة بكلمة مختزلة دوريًا، والمقترن المختزل دوريًا للكلمة المختزلة دوريًا هو تبديل دوري للأحرف في الكلمة. على سبيل المثال، b ⁻¹ abcb ليس مُختزلًا دوريًا، ولكنه مقترن بـ abc ، والذي يُختزل دوريًا. المقترنات المختزلة دوريًا الوحيدة لـ abc هي abc و bca و cab .

المجموعة الحرة F _S هي المجموعة الشاملة التي تولدها المجموعة S. ويمكن صياغة ذلك من خلال الخاصية الشاملة التالية : إذا أعطيت أي دالة f من S إلى المجموعة G ، فهناك تماثل فريد φ :  F _S  →  G مما يجعل الرسم التخطيطي التالي يتنقل (حيث يشير التعيين غير المسمى إلى التضمين من S إلى F _S ):

وهذا يعني أن التماثلات F _S  →  G تتوافق بشكل فردي مع الدوال S  →  G. وبالنسبة لمجموعة غير حرة، فإن وجود العلاقات من شأنه أن يحد من الصور المحتملة للمولدات في ظل التماثل.

لمعرفة كيفية ارتباط هذا بالتعريف البنّاء، فكّر في التعيين من S إلى F _S على أنه إرسال كل رمز إلى كلمة تتكون من هذا الرمز. لإنشاء φ لـ f المعطاة ، لاحظ أولاً أن φ يرسل الكلمة الفارغة إلى هوية G ويجب أن تتفق مع f في عناصر S. بالنسبة للكلمات المتبقية (المكونة من أكثر من رمز)، يمكن تمديد φ بشكل فريد، لأنه تماثل، أي φ ( ab ) = φ ( a ) φ ( b ).

تتميز الخاصية المذكورة أعلاه بالمجموعات الحرة حتى التماثل ، وتُستخدم أحيانًا كتعريف بديل. تُعرف بالخاصية العالمية للمجموعات الحرة، وتُسمى المجموعة المولدة S أساسًا لـ F _S. لا يتم تحديد أساس المجموعة الحرة بشكل فريد.

إن امتلاك خاصية عالمية هو السمة القياسية للأشياء الحرة في الجبر الشامل . وفي لغة نظرية الفئات ، فإن بناء المجموعة الحرة (على غرار معظم بناءات الأشياء الحرة) هو عبارة عن مُستدِل من فئة المجموعات إلى فئة المجموعات . وهذا المُستدِل هو مُستدِل يساري للمستدِل النسيان من المجموعات إلى المجموعات.

بعض خصائص المجموعات الحرة تنبع بسهولة من التعريف:

1. أي مجموعة G هي الصورة المتجانسة لبعض المجموعات الحرة F _S. دع S تكون مجموعة من مولدات G. الخريطة الطبيعية φ : F _S → G هي تماثل ، مما يثبت الادعاء. على نحو مكافئ، G متماثلة لمجموعة حاصل قسمة لبعض المجموعات الحرة F _S. إذا كان من الممكن اختيار S لتكون منتهية هنا، فإن G تسمى متولدة بشكل منتهٍ . النواة Ker( φ) هي مجموعة جميع العلاقات في عرض G ؛ إذا كان من الممكن إنشاء Ker( φ) من خلال مترافقات عدد محدود من عناصر F ، فإن G يتم عرضها بشكل منتهٍ.
2. إذا كان S يحتوي على أكثر من عنصر، فإن F _S ليس أبيليًا ، وفي الواقع يكون مركز F _S تافهًا (أي يتكون فقط من عنصر الهوية).
3. تكون مجموعتان حرتان F _S و F _T متماثلتين إذا وفقط إذا كان لكل من S و T نفس العدد الأساسي . يسمى هذا العدد الأساسي رتبة المجموعة الحرة F. وبالتالي، لكل عدد أساسي k ، يوجد حتى التماثل مجموعة حرة واحدة فقط من الرتبة k .
4. تتمتع المجموعة الحرة ذات الرتبة المحدودة n > 1 بمعدل نمو أسي من الدرجة 2 n − 1.

وفيما يلي بعض النتائج الأخرى ذات الصلة:

1. نظرية نيلسن-شراير : كل مجموعة فرعية من مجموعة حرة تكون حرة. وعلاوة على ذلك، إذا كانت المجموعة الحرة F لها رتبة n والمجموعة الفرعية H لها مؤشر e في F ، فإن H تكون خالية من الرتبة 1 + e ( n– 1).
2. من الواضح أن المجموعة الحرة من الرتبة k تحتوي على مجموعات فرعية من كل رتبة أقل من k . ومن الواضح بدرجة أقل أن المجموعة الحرة ( غير الآبيلية! ) من الرتبة 2 على الأقل تحتوي على مجموعات فرعية من كل الرتب القابلة للعد .
3. المجموعة الفرعية للمبدل لمجموعة حرة من الرتبة k > 1 لها رتبة لا نهائية؛ على سبيل المثال بالنسبة لـ F( a , b )، يتم إنشاؤها بحرية بواسطة المبدلات [ a ^m , b ⁿ ] لـ m و n غير الصفر .
4. المجموعة الحرة في عنصرين هي SQ عالمية ؛ ويتبع ما سبق أن أي مجموعة SQ عالمية لها مجموعات فرعية من جميع الرتب القابلة للعد.
5. أي مجموعة تعمل على شجرة، بحرية مع الحفاظ على الاتجاه ، هي مجموعة حرة من رتبة قابلة للعد (يتم تحديدها بواسطة 1 بالإضافة إلى خاصية أويلر لرسم الحاصل ).
6. الرسم البياني لكايلي لمجموعة حرة من رتبة محدودة، بالنسبة لمجموعة توليد حرة، هو شجرة تعمل عليها المجموعة بحرية، مع الحفاظ على الاتجاه. وكمساحة طوبولوجي ( مركب تبسيطي أحادي البعد )، فإن الرسم البياني لكايلي Γ( F ) قابل للانكماش . وبالنسبة للمجموعة G المقدمة بشكل محدود ، فإن التماثل الطبيعي المحدد أعلاه، φ  : F → G ، يحدد خريطة تغطية لرسومات كايلي البيانية φ*  : Γ( F ) → Γ( G )، وهي في الواقع تغطية عالمية. وبالتالي، فإن المجموعة الأساسية لرسم كايلي Γ( G ) متماثلة مع نواة φ ، المجموعة الفرعية الطبيعية للعلاقات بين مولدات G. والحالة المتطرفة هي عندما يكون G = { e }، المجموعة التافهة، مع اعتبارها مع عدد من المولدات مثل F ، وكلها تافهة؛ الرسم البياني لكايلي Γ( G ) عبارة عن باقة من الدوائر، ومجموعته الأساسية هي F نفسها.
7. أي مجموعة فرعية من مجموعة حرة، , تتوافق مع مساحة تغطية لباقة الدوائر، أي رسم بياني لمجموعة شراير الفرعية لـ F / H . ويمكن استخدام هذا لإعطاء دليل طوبولوجي لنظرية نيلسن-شراير أعلاه.${\displaystyle H\subset F}$
8. النهج القروبويدي لهذه النتائج، الموضح في العمل الذي أجراه PJ Higgins أدناه، مرتبط باستخدام مساحات التغطية أعلاه. فهو يسمح بنتائج أقوى، على سبيل المثال على نظرية جروشكو ، وشكل طبيعي للقروبويدي الأساسي لرسم بياني للمجموعات. في هذا النهج، هناك استخدام كبير للقروبويدي الحر على الرسم البياني الموجه.
9. تنص نظرية جروشكو على أنه إذا كانت المجموعة الفرعية B من المجموعة الحرة F على n عنصر تولد F ولديها n عنصر، فإن B تولد F بحرية.

يتم تعريف المجموعة الإبيلية الحرة على مجموعة S من خلال خاصيتها الشاملة بالطريقة التناظرية، مع تعديلات واضحة: ضع في اعتبارك زوجًا ( F ، φ )، حيث F هي مجموعة إبيلية و φ : S → F هي دالة. يُقال إن F هي المجموعة الإبيلية الحرة على S بالنسبة إلى φ إذا كان لأي مجموعة إبيلية G وأي دالة ψ : S → G ، يوجد تماثل فريد f : F → G بحيث

f ( φ ( s )) = ψ ( s ) ، لجميع s في S.

يمكن تحديد المجموعة الإبيلية الحرة على S صراحةً على أنها المجموعة الحرة F( S ) modulo المجموعة الفرعية التي تولدها مبدلاتها، [F( S )، F( S )]، أي إبيليتها . بعبارة أخرى، المجموعة الإبيلية الحرة على S هي مجموعة الكلمات التي لا يمكن تمييزها إلا حتى ترتيب الحروف. وبالتالي، يمكن أيضًا تعريف رتبة المجموعة الحرة على أنها رتبة إبيليتها كمجموعة إبيلية حرة.

حوالي عام 1945، سأل ألفريد تارسكي ما إذا كانت المجموعات الحرة في مولدين أو أكثر لها نفس نظرية الدرجة الأولى ، وما إذا كانت هذه النظرية قابلة للحسم . أجاب سيلا (2006) على السؤال الأول من خلال إظهار أن أي مجموعتين حرتين غير أبيلية لهما نفس نظرية الدرجة الأولى، وأجاب خارلامبوفيتش ومياسنيكوف (2006) على كلا السؤالين، موضحين أن هذه النظرية قابلة للحسم.

يسأل سؤال مماثل غير محلول (حتى عام 2011) في نظرية الاحتمالات الحرة ما إذا كانت جبر مجموعة فون نيومان لأي مجموعتين حرتين غير أبيلية متولدتين بشكل نهائي متماثلتين.

• إنشاء مجموعة من المجموعة
• عرض المجموعة
• تحويل نيلسن ، تحليل إلى عوامل لعناصر المجموعة التماثلية لمجموعة حرة
• الشكل الطبيعي للمجموعات الحرة والضرب الحر للمجموعات
• منتج مجاني

• خارلامبوفيتش، أولجا؛ مياسنيكوف، أليكسي (2006). "النظرية الأولية للمجموعات غير الإبيلية الحرة". مجلة الجبر . 302 (2): 451-552. doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.03.033 . MR  2293770.
• و. ماجنوس، أ. كاراس ود. سوليتار، "نظرية المجموعة التوليفية"، دوفر (1976).
• PJ Higgins، 1971، "الفئات والمجموعات"، فان نوستراند، {نيويورك}. إعادة طبع في نظرية وتطبيقات الفئات، 7 (2005) ص 1-195.
• سيلا، زليل (2006). "الهندسة الديوفانتية على المجموعات. السادس. النظرية الأولية للمجموعة الحرة". Geom. Funct. Anal . 16 (3): 707-730. doi :10.1007/s00039-006-0565-8. MR  2238945. S2CID  123197664.
• سيري، جان بيير ، الأشجار ، سبرينغر (2003) (الترجمة الإنجليزية لـ "arbres، amalgames، SL ₂ "، الطبعة الثالثة، astérisque 46 (1983))
• بي جيه هيجينز، المجموعة الأساسية لرسم المجموعات ، مجلة الجمعية الرياضية في لندن (2) 13 (1976)، رقم 1، 145-149.
• ألوفي، باولو (2009). الجبر: الفصل 0. مكتبة AMS. ص 70. رقم ISBN 978-0-8218-4781-7..
• جريليه، بيير أنطوان (2007). الجبر المجرد. سبرينغر. ص. 27. رقم ISBN 978-0-387-71567-4..