القياس المتساوي

وقد اقترح دمج القياس المتساوي القياس (توضيح) في هذه المقالة. ( مناقشة ) مقترح منذ نوفمبر 2024.

في الرياضيات، التماثل المتساوي (أو التطابق ، أو التحويل المتطابق ) هو تحويل يحافظ على المسافة بين فضاءات مترية ، وعادة ما يُفترض أنه ثنائي التقابل . ^[أ] كلمة التماثل المتساوي مشتقة من اليونانية القديمة : ἴσος isos وتعني "متساوي"، وμέτρον metron وتعني "قياس". إذا كان التحويل من فضاء متري إلى نفسه، فهو نوع من التحويل الهندسي المعروف باسم الحركة .

بالنظر إلى مساحة مترية (بشكل فضفاض، مجموعة ومخطط لتعيين المسافات بين عناصر المجموعة)، فإن التماثل هو تحويل يرسم العناصر إلى نفس المساحة المترية أو مساحة مترية أخرى بحيث تكون المسافة بين عناصر الصورة في المساحة المترية الجديدة مساوية للمسافة بين العناصر في المساحة المترية الأصلية. في الفضاء الإقليدي ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد ، يكون الشكلان الهندسيان متطابقين إذا كانا مرتبطين بتماثل؛ ^[ب] التماثل الذي يربط بينهما هو إما حركة صلبة (انتقال أو دوران)، أو تركيبة من حركة صلبة وانعكاس .

غالبًا ما تُستخدم القياسات المتساوية في الإنشاءات حيث يتم تضمين مساحة واحدة في مساحة أخرى. على سبيل المثال، يتضمن إكمال مساحة مترية قياسًا متساويًا من إلى مجموعة حاصل قسمة من مساحة متواليات كوشي على وبالتالي فإن المساحة الأصلية متماثلة القياس إلى مساحة فرعية من مساحة مترية كاملة ، وعادةً ما يتم تحديدها بهذه المساحة الفرعية. تُظهر إنشاءات التضمين الأخرى أن كل مساحة مترية متماثلة القياس إلى مجموعة فرعية مغلقة من بعض مساحات المتجهات المعيارية وأن كل مساحة مترية كاملة متماثلة القياس إلى مجموعة فرعية مغلقة من بعض مساحات باناخ . ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M',}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle M}$

يُطلق على المؤثر الخطي الفوقي المتساوي القياس على فضاء هيلبرت اسم المؤثر الوحدوي .

ليكن و فضاءات مترية ذات مقاييس (مثل المسافات) و تسمى الخريطة خريطة متساوية القياس أو خريطة تحافظ على المسافة إذا كان لأي ، ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\textstyle d_{X}}$${\textstyle d_{Y}.}$ ${\textstyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle a,b\in X}$

${\displaystyle d_{X}(a,b)=d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right).}$^{[4] [ج]}

إن التماثل المتساوي هو حقن تلقائي ؛ ^[a] وإلا فمن الممكن تعيين نقطتين متميزتين، a و b ، إلى نفس النقطة، وبالتالي تناقض بديهية التطابق للمقياس d ، أي إذا وفقط إذا . هذا الدليل مشابه لإثبات أن تضمين الترتيب بين مجموعات مرتبة جزئيًا هو حقن. من الواضح أن كل تماثل متماثل بين فضاءات مترية هو تضمين طوبولوجي . ${\displaystyle د(أ،ب)=0}$${\displaystyle أ=ب}$

التماثل المتساوي القياس أو التماثل المتساوي القياس أو تعيين التطابق هو تماثل متماثل . مثل أي تماثل متماثل آخر، فإن التماثل المتساوي القياس العالمي له دالة معكوسة . معكوس التماثل المتساوي القياس العالمي هو أيضًا تماثل متماثل عالمي.

تُسمى مساحتان متريتان X و Y متساويتي القياس إذا كان هناك تماثل قياس ثنائي الاتجاه من X إلى Y. تُشكل مجموعة التماثلات الثنائية الاتجاه من مساحة مترية إلى نفسها مجموعة فيما يتعلق بتركيب الدالة ، تُسمى مجموعة التماثل القياس .

هناك أيضًا المفهوم الأضعف لتساوي المسار أو تساوي القوس :

إن تساوي مسار أو تساوي قوس هو خريطة تحافظ على أطوال المنحنيات ؛ مثل هذه الخريطة ليست بالضرورة تساوي قياس بالمعنى المحافظ على المسافة، ولا يلزم بالضرورة أن تكون تماثلية أو حتى حقنية. ^{[5] [6] غالبًا ما يتم اختصار هذا المصطلح إلى} تساوي القياس ببساطة ، لذلك يجب على المرء أن يحرص على تحديد النوع المقصود من السياق.

أمثلة

• أي انعكاس أو انتقال أو دوران هو تماثل قياس عالمي في الفضاءات الإقليدية . انظر أيضًا المجموعة الإقليدية والفضاء الإقليدي § تماثل القياسات .
• الخريطة الموجودة في هذه الصفحة عبارة عن قياس مسار ولكنها ليست قياسًا (عامًا). لاحظ أنه على عكس القياس المتساوي، لا يلزم أن يكون قياس المسار هذا حقنيًا.${\displaystyle x\mapsto |x|}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

النظرية التالية تعود إلى مازور وأولام.

التعريف : ^[7] نقطة المنتصف لعنصرين x و y في فضاء متجه هي المتجه1/2( x + y ) .​

بالنظر إلى مساحتي متجهين معياريتين وتماثل خطي ، تكون الخريطة خطية وتحافظ على المعايير: ${\displaystyle V}$${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle A:V\to W}$

${\displaystyle \|Av\|_{W}=\|v\|_{V}}$

بالنسبة لجميع ^[9] المتماثلات الخطية هي خرائط تحافظ على المسافة بالمعنى المذكور أعلاه. وهي متماثلات عالمية إذا وفقط إذا كانت متماثلة . ${\displaystyle v\in V.}$

في مساحة المنتج الداخلية ، يتم تقليص التعريف أعلاه إلى

${\displaystyle \langle v,v\rangle _{V}=\langle Av,Av\rangle _{W}}$

لكل ما يعادل القول بأن هذا يعني أيضًا أن التماثلات تحافظ على المنتجات الداخلية، كما هو الحال ${\displaystyle v\in V,}$${\displaystyle A^{\dagger }A=\operatorname {Id} _{V}.}$

${\displaystyle \langle Au,Av\rangle _{W}=\langle u,A^{\dagger} Av\rangle _{V}=\langle u,v\rangle _{V}}$.

لا تكون القياسات المتساوية الخطية دائمًا عوامل وحدوية ، حيث تتطلب هذه العوامل بالإضافة إلى ذلك أن و (أي أن المجال والمجال المشترك يتطابقان ويحددان قياس التساوي ). ${\displaystyle V=W}$${\displaystyle AA^{\dagger }=\operatorname {Id} _{V}}$${\displaystyle A}$

وفقًا لنظرية مازور-أولام ، فإن أي تساوي قياس لمساحات المتجهات المعيارية هو تآلفي . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

إن التماثل الخطي يحافظ بالضرورة على الزوايا، وبالتالي فإن تحويل التماثل الخطي هو تحويل خطي مطابق .

أمثلة

• الخريطة الخطية من إلى نفسها هي معادلة قياس (للحاصل على حاصل الضرب النقطي ) إذا وفقط إذا كانت مصفوفتها وحدوية . ^{[10] [11] [12] [13]}${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

إن تماثل القياس لمتعدد الشعب هو أي تعيين (سلس) لهذا المتعدد الشعب في حد ذاته، أو في متعدد شعب آخر يحافظ على مفهوم المسافة بين النقاط. يتطلب تعريف تماثل القياس وجود مفهوم المقياس على المتعدد الشعب؛ فالمتعدد الشعب ذو المقياس (المحدد الموجب) هو متعدد شعب ريماني ، والمتعدد الشعب ذو المقياس غير المحدد هو متعدد شعب شبه ريماني . وبالتالي، تتم دراسة تماثل القياس في الهندسة الريمانية .

إن التماثل المحلي من متعدد شعب ريماني ( زائف ) إلى آخر هو خريطة تسحب الموتر المتري على متعدد الشعب الثاني إلى الموتر المتري على الأول. عندما تكون هذه الخريطة أيضًا تماثلًا تفاضليًا ، تسمى هذه الخريطة تماثلًا (أو تماثلًا متساويًا )، وتوفر مفهومًا للتماثل ("التماثل") في فئة Rm من متعددات ريماني.

ليكن و متشعبين (شبه) ريمانيين، وليكن تماثل تفاضلي. عندئذٍ يُطلق عليه تماثل القياس (أو تماثل القياس المتساوي ) إذا ${\displaystyle R=(M,g)}$${\displaystyle R'=(M',g')}$${\displaystyle f:R\to R'}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle g=f^{*}g',}$

حيث يشير إلى التراجع عن موتر المقياس من الرتبة (0، 2) بمقدار . وعلى نحو مكافئ، من حيث الدفع للأمام، لدينا أنه بالنسبة لأي حقلين متجهين على (أي أقسام من حزمة الظل )، ${\displaystyle f^{*}g'}$${\displaystyle g'}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{*},}$${\displaystyle v,w}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {T} M}$

${\displaystyle g(v,w)=g'\left(f_{*}v,f_{*}w\right).}$

إذا كانت تفاضلية محلية بحيث تسمى تماثلية محلية . ${\displaystyle f}$${\displaystyle g=f^{*}g',}$${\displaystyle f}$

تشكل مجموعة من المتماثلات عادة مجموعة تسمى مجموعة المتماثلات . وعندما تكون المجموعة مجموعة متصلة ، فإن المولدات اللامتناهية الصغر للمجموعة هي حقول متجهات القتل .

تنص نظرية مايرز -ستينرود على أن كل تماثل قياس بين متعدد شعب ريماني متصل يكون سلسًا (قابلًا للاشتقاق). تنص صيغة ثانية من هذه النظرية على أن مجموعة التماثل القياس لمتعدد شعب ريماني هي مجموعة لي .

المساحات المتماثلة هي أمثلة مهمة للمتشعبات الريمانية التي لها تماثلات محددة في كل نقطة.

• بالنظر إلى عدد حقيقي موجب ε، فإن تساوي ε أو تساوي القياس تقريبًا (يُسمى أيضًا تقريب هاوسدورف ) هو خريطة بين المساحات المترية بحيث ${\displaystyle f\colon X\to Y}$
  1. لأن الواحد عنده و${\displaystyle x,x'\in X}$${\displaystyle |d_{Y}(f(x)،f(x'))-d_{X}(x،x')|<\varepsilon ,}$
  2. لأي نقطة يوجد نقطة بها${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon }$

وهذا يعني أن تماثل ε يحافظ على المسافات داخل ε ولا يترك أي عنصر من المجال المشترك أبعد من ε بعيدًا عن صورة عنصر المجال. لاحظ أن تماثلات ε لا يُفترض أنها متصلة .

• تتميز خاصية القياس المتساوي المقيدة بتوصيف مصفوفات متساوية القياس تقريبًا للمتجهات المتفرقة.
• يعتبر التماثل شبه المتساوي تعميمًا مفيدًا آخر.
• يمكن أيضًا تعريف عنصر في جبر أحادي مجرد C* ليكون تساوي القياس:

  ${\displaystyle a\in {\mathfrak {A}}}$تكون معادلة قياس إذا وفقط إذا${\displaystyle a^{*}\cdot a=1.}$

لاحظ أنه كما ذكر في المقدمة، هذا ليس بالضرورة عنصرًا موحدًا لأنه لا يوجد بشكل عام ما يشير إلى أن المعكوس الأيسر هو معكوس أيمن.

• في الفضاء شبه الإقليدي ، يشير مصطلح القياس المتساوي إلى تطابق خطي يحافظ على المقدار. انظر أيضًا الفضاءات التربيعية .