شبه التساوي

في الرياضيات ، يُعرَّف التناظر شبه المتساوي بأنه دالة بين فضاءين متريين تحافظ على الهندسة العامة لهذين الفضاءين وتتجاهل تفاصيلهما الدقيقة. يُقال إن فضاءين متريين متناظران شبه متساويين إذا وُجد بينهما تناظر شبه متساوي. وتُعامل خاصية التناظر شبه المتساوي كعلاقة تكافؤ على فئة الفضاءات المترية.

يُعد مفهوم شبه التماثل ذا أهمية خاصة في نظرية الزمر الهندسية ، وذلك في أعقاب عمل جروموف . ^{[ 1 ]}

لنفترض أن${\displaystyle f}$هي دالة (ليست بالضرورة متصلة) من فضاء متري واحد${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$إلى فضاء متري ثانٍ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$. ثم${\displaystyle f}$يُطلق عليه اسم شبه متساوي القياس من${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ل${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$إذا كانت هناك ثوابت${\displaystyle A\geq 1}$،${\displaystyle B\geq 0}$، و${\displaystyle C\geq 0}$بحيث تتحقق الخاصيتان التاليتان: ^{[ 2 ]}

1. لكل نقطتين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في${\displaystyle M_{1}}$، المسافة بين صورهم تصل إلى الثابت الجمعي${\displaystyle B}$في حدود عامل${\displaystyle A}$من المسافة الأصلية بينهما. وبشكل أكثر رسمية:

   ${\displaystyle \forall x,y\in M_{1}:{\frac {1}{A}}\;d_{1}(x,y)-B\leq d_{2}(f(x),f(y))\leq A\;d_{1}(x,y)+B.}$

2. كل نقطة من${\displaystyle M_{2}}$يقع ضمن مسافة ثابتة${\displaystyle C}$من نقطة في الصورة. بتعبير أدق:

   ${\displaystyle \forall z\in M_{2}:\exists x\in M_{1}:d_{2}(z,f(x))\leq C.}$

الفضاءان المتريان${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$و${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$تُسمى شبه متساوية القياس إذا وُجدت شبه متساوية القياس${\displaystyle f}$من${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ل${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$.

يُطلق على الخريطة اسم التضمين شبه المتساوي القياس إذا حققت الشرط الأول ولكن ليس بالضرورة الشرط الثاني (أي أنها تحقق شرط ليبشيتز تقريبًا ولكنها قد لا تحقق شرط الشمولية تقريبًا). بعبارة أخرى، إذا كان من خلال الخريطة،${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$شبه متساوي القياس بالنسبة لفضاء جزئي من${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$.

يُقال إن فضاءين متريين M1 و _M2 شبه متساويي القياس ، ويرمز _لهما بـ${\displaystyle M_{1}{\underset {qi}{\sim }}M_{2}}$إذا وُجد شبه تماثل${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$.

الخريطة بين المستوى الإقليدي والمستوى الذي يُمثل مسافة مانهاتن التي تُعيد كل نقطة إلى نفسها هي شبه متساوية القياس: حيث تُضرب المسافات فيها بمعامل لا يتجاوز${\displaystyle {\sqrt {2}}}$لاحظ أنه لا يمكن أن يكون هناك تماثل هندسي، لأن النقاط، على سبيل المثال،${\displaystyle (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)}$تكون النقاط متساوية المسافة فيما بينها في مسافة مانهاتن، ولكن في المستوى الإقليدي، لا توجد 4 نقاط متساوية المسافة فيما بينها.

الخريطة${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$(كلاهما مع المقياس الإقليدي ) الذي يرسل كل${\displaystyle n}$إن تمثيل مجموعة من الأعداد الصحيحة على نفسها هو شبه تماثل: حيث تُحفظ المسافات بدقة، وكل مجموعة حقيقية تقع ضمن مسافة${\displaystyle {\sqrt {n/4}}}$من مجموعة أعداد صحيحة. في الاتجاه الآخر، فإن الدالة غير المتصلة التي تقرب كل مجموعة من الأعداد الحقيقية إلى أقرب مجموعة أعداد صحيحة هي أيضًا شبه متساوية القياس: حيث يتم نقل كل نقطة بواسطة هذه الدالة إلى نقطة ضمن مسافة${\displaystyle {\sqrt {n/4}}}$لذا فإن التقريب يغير المسافة بين أزواج النقاط عن طريق إضافة أو طرح قيمة لا تتجاوز${\displaystyle 2{\sqrt {n/4}}}$.

كل زوج من الفضاءات المترية المحدودة أو المنتهية يكون شبه متساوي القياس. في هذه الحالة، كل دالة من فضاء إلى آخر هي شبه متساوية القياس.

لو${\displaystyle f:M_{1}\mapsto M_{2}}$إذا كان شبه متساوي القياس، فإنه يوجد شبه متساوي القياس${\displaystyle g:M_{2}\mapsto M_{1}}$. بالفعل،${\displaystyle g(x)}$يمكن تعريفها عن طريق وضع${\displaystyle y}$أي نقطة في صورة${\displaystyle f}$ذلك ضمن مسافة${\displaystyle C}$ل${\displaystyle x}$، والسماح${\displaystyle g(x)}$في أي نقطة${\displaystyle f^{-1}(y)}$.

بما أن خريطة الهوية هي شبه متساوية القياس، وتركيب شبه متساوي القياس هو شبه متساوية القياس، فإنه يترتب على ذلك أن خاصية كونها شبه متساوية القياس تتصرف كعلاقة تكافؤ على فئة الفضاءات المترية.

بفرض وجود مجموعة مولدة منتهية S لمجموعة مولدة منتهية G ، يمكننا تكوين مخطط كايلي المناظر لـ S و G. يصبح هذا المخطط فضاءً متريًا إذا اعتبرنا طول كل حافة فيه يساوي 1. يؤدي اختيار مجموعة مولدة منتهية مختلفة T إلى مخطط مختلف وفضاء متري مختلف، إلا أن الفضائين متساويان تقريبًا. ^{[ 3 ]} وبالتالي، تُعد فئة التساوي شبه المتساوي هذه ثابتة للمجموعة G. أي خاصية للفضاءات المترية تعتمد فقط على فئة التساوي شبه المتساوي للفضاء تُنتج مباشرةً ثابتة أخرى للمجموعات، مما يفتح مجال نظرية المجموعات أمام الأساليب الهندسية.

بشكلٍ أعم، تنصّ مبرهنة شفارتس-ميلنور على أنه إذا كان للزمرة G تأثيرٌ غير متصلٍ بشكلٍ صحيحٍ مع خارج قسمةٍ مضغوطٍ على فضاءٍ جيوديسيٍّ مناسبٍ X، فإن G تكون شبه متساوية القياس مع X (أي أن أيّ رسمٍ بيانيٍّ لكايلي لـ G يكون كذلك). وهذا يُعطي أمثلةً جديدةً على الزمر شبه متساوية القياس فيما بينها.

• إذا كانت G' مجموعة فرعية ذات دليل محدود في G فإن G' شبه متساوية القياس مع G ؛
• إذا كانت G و H هما المجموعتان الأساسيتان لمتشعبين زائديين متراصين من نفس البعد d، فإنهما متساويتان تقريبًا مع الفضاء الزائدي H ^d، وبالتالي مع بعضهما البعض؛ من ناحية أخرى، هناك عدد لا نهائي من فئات التساوي شبه القياسي للمجموعات الأساسية ذات الحجم المحدود. ^{[ 4 ]}

شبه جيوديسي في فضاء متري${\displaystyle (X,d)}$هو تضمين شبه متساوي القياس لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$داخل${\displaystyle X}$وبشكل أدق، خريطة${\displaystyle \phi$ :\mathbb {R} \to X} بحيث يوجد${\displaystyle C,K>0}$لهذا السبب.

${\displaystyle \forall s,t\in \mathbb {R} :C^{-1}|st|-K\leq d(\phi (t),\phi (s))\leq C|st|+K}$

يُطلق عليه اسم${\displaystyle (C,K)}$شبه الجيوديسية. من الواضح أن الجيوديسيات (المُعَلمة بطول القوس) هي شبه جيوديسية. تُسمى حقيقة أن العكس صحيح تقريبًا في بعض الفضاءات، أي أن كل شبه جيوديسية تقع ضمن مسافة محدودة من جيوديسية حقيقية، بمبرهنة مورس (لا ينبغي الخلط بينها وبين مبرهنة مورس في الطوبولوجيا التفاضلية). والصيغة الرسمية هي:

يترك${\displaystyle \delta ,C,K>0}$و${\displaystyle X}$فضاء زائدي دلتا مناسب . يوجد${\displaystyle M}$بحيث يكون لأي${\displaystyle (C,K)}$شبه جيوديسي${\displaystyle \phi }$يوجد خط جيوديسي${\displaystyle L}$في${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle d(\phi (t),L)\leq M}$للجميع${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

تُعدّ هذه الأداة مهمة في نظرية الزمر الهندسية. ومن تطبيقاتها المباشرة أن أي شبه تماثل بين فضاءات زائدية حقيقية يُولّد تماثلاً شكلياً بين حدودها. وتُمثّل هذه النتيجة الخطوة الأولى في إثبات نظرية موستو للصلابة .

علاوة على ذلك، وجدت هذه النتيجة فائدة في تحليل تصميم تفاعل المستخدم في تطبيقات مشابهة لخرائط جوجل . ^{[ 5 ]}

فيما يلي بعض الأمثلة على خصائص مخططات كايلي الجماعية التي تظل ثابتة تحت شبه التساوي: ^{[ 2 ]}

• التساوي القياسي
• بنية خشنة