التكثيف (الرياضيات)

في الرياضيات ، وتحديدًا في الطوبولوجيا ، يُعرف التكثيف بأنه عملية أو نتيجة تحويل فضاء طوبولوجي إلى فضاء مضغوط . ^{[ 1 ]} الفضاء المضغوط هو فضاء يحتوي كل غطاء مفتوح له على غطاء فرعي محدود. تتنوع طرق التكثيف، ولكن كل منها وسيلة للتحكم في النقاط ومنعها من "الانحراف إلى اللانهاية" عن طريق إضافة "نقاط عند اللانهاية" أو منع هذا "الانحراف".

لننظر إلى خط الأعداد الحقيقية بطوبولوجيته المعتادة. هذا الفضاء ليس متراصًا؛ بمعنى ما، يمكن أن تمتد النقاط إلى ما لا نهاية يمينًا أو يسارًا. من الممكن تحويل خط الأعداد الحقيقية إلى فضاء متراص بإضافة "نقطة عند اللانهاية" سنرمز لها بـ ∞. هذا التراص الناتج متماثل طوبولوجيًا مع دائرة في المستوى (وهي، باعتبارها مجموعة فرعية مغلقة ومحدودة من المستوى الإقليدي، متراصة). كل متتالية امتدت إلى اللانهاية في خط الأعداد الحقيقية ستتقارب إلى ∞ في هذا التراص. يبقى اتجاه اقتراب العدد من اللانهاية على خط الأعداد (سواءً في الاتجاه السالب أو الموجب) محفوظًا على الدائرة؛ فإذا اقترب عدد من اللانهاية من الاتجاه السالب على خط الأعداد، فإن النقطة المقابلة له على الدائرة يمكن أن تقترب من ∞ من اليسار، على سبيل المثال. وإذا اقترب عدد من اللانهاية من الاتجاه الموجب على خط الأعداد، فإن النقطة المقابلة له على الدائرة يمكن أن تقترب من ∞ من اليمين.

يمكن تصور العملية بشكل بديهي كما يلي: أولًا، نصغر خط الأعداد الحقيقية إلى الفترة المفتوحة (−π , π ) على المحور السيني ؛ ثم نثني طرفي هذه الفترة لأعلى (في الاتجاه الموجب للمحور الصادي ) ونقربهما من بعضهما، حتى نحصل على دائرة ناقصة نقطة واحدة (النقطة العلوية). هذه النقطة هي النقطة الجديدة ∞ "عند اللانهاية"؛ بإضافتها نكتمل الدائرة المضغوطة.

بصورة أكثر رسمية: نمثل نقطة على دائرة الوحدة بزاوية θ ، مُقاسة بالراديان ، من -π إلى π للتبسيط . نُعرّف كل نقطة θ على الدائرة بالنقطة المناظرة لها على خط الأعداد الحقيقية tan ( θ /2). هذه الدالة غير مُعرّفة عند النقطة π ، لأن tan( π /2) غير مُعرّفة؛ لذا سنُعرّف هذه النقطة بالنقطة  ∞.

بما أن المماسات ومعكوساتها متصلة، فإن دالة التطابق لدينا هي تماثل شكلي بين خط الأعداد الحقيقية ودائرة الوحدة بدون ∞. ما أنشأناه يُسمى تكثيف ألكساندروف أحادي النقطة لخط الأعداد الحقيقية، والذي سنناقشه بمزيد من التفصيل لاحقًا. من الممكن أيضًا تكثيف خط الأعداد الحقيقية بإضافة نقطتين ، +∞ و −∞؛ وهذا ينتج عنه خط الأعداد الحقيقية الممتد .

يُطلق على تضمين فضاء طوبولوجي X كمجموعة جزئية كثيفة من فضاء متراص اسم " تكثيف X " . وغالبًا ما يكون من المفيد تضمين الفضاءات الطوبولوجية في الفضاءات المتراصة ، نظرًا للخصائص المميزة التي تتمتع بها الفضاءات المتراصة.

قد تكون عمليات التضمين في فضاءات هاوسدورف المدمجة ذات أهمية خاصة. بما أن كل فضاء هاوسدورف مدمج هو فضاء تيكونوف ، وكل فضاء جزئي من فضاء تيكونوف هو فضاء تيكونوف، نستنتج أن أي فضاء يمتلك تكثيف هاوسدورف يجب أن يكون فضاء تيكونوف. في الواقع، العكس صحيح أيضًا؛ فكون الفضاء فضاء تيكونوف شرط ضروري وكافٍ لامتلاكه تكثيف هاوسدورف.

إن حقيقة أن الفئات الكبيرة والمثيرة للاهتمام من الفضاءات غير المتراصة لها بالفعل عمليات تكثيف من أنواع معينة تجعل التكثيف أسلوبًا شائعًا في علم الطوبولوجيا.

الفضاء الإسقاطي الحقيقي RPₙ هو تكثيف للفضاء الإقليدي Rₙ ^. لكل اتجاه ممكن يمكن أن "تخرج" منه نقاط في ^Rₙ ، ^تُضاف نقطة جديدة عند اللانهاية (مع تعريف كل اتجاه بنقيضه). تكثيف ألكساندروف أحادي النقطة لـ Rₙ الذي أنشأناه في المثال أعلاه متماثل طوبولوجيًا مع RP₁ . مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن ^{المستوى الإسقاطي} RP₂ ليس تكثيفًا أحادي النقطة للمستوى R₂ ^، نظرًا لإضافة أكثر من نقطة.

الفضاء الإسقاطي المركب CP ⁿ هو أيضًا تكثيف لـ C ⁿ ؛ تكثيف ألكساندروف ذو النقطة الواحدة للمستوى C هو (متماثل) مع الخط الإسقاطي المركب CP ¹ ، والذي بدوره يمكن تحديده مع كرة، كرة ريمان .

يُعدّ الانتقال إلى الفضاء الإسقاطي أداةً شائعةً في الهندسة الجبرية، ^لأنّ النقاط المضافة عند اللانهاية تُسهّل صياغة العديد من النظريات. على سبيل المثال، يتقاطع أيّ خطّين مختلفين في RP² في نقطة واحدة فقط، وهو أمر غير صحيح في R² ^. وبشكلٍ أعم، فإنّ نظرية بيزو ، وهي نظرية أساسية في نظرية التقاطع ، صحيحة في الفضاء الإسقاطي وليست صحيحة في الفضاء الأفيني. وينعكس هذا السلوك المتباين للتقاطعات في الفضاء الأفيني والفضاء الإسقاطي في الطوبولوجيا الجبرية في حلقات التماثل - فتماثل الفضاء الأفيني بديهي، بينما تماثل الفضاء الإسقاطي غير بديهي ويعكس السمات الرئيسية لنظرية التقاطع (بعد ودرجة متنوّع فرعي، حيث يكون التقاطع ثنائي بوانكاريه لحاصل الضرب الكأسي ).

يتطلب تكثيف فضاءات المعاملات عمومًا السماح ببعض حالات الانحلال، كالسماح ببعض الحالات الشاذة أو الأصناف القابلة للاختزال. ويُستخدم هذا بشكل خاص في تكثيف ديليجن-مامفورد لفضاء معاملات المنحنيات الجبرية .

في دراسة المجموعات الفرعية المنفصلة لمجموعات لي ، غالبًا ما يكون فضاء القسمة للمجموعات المشاركة مرشحًا للتكثيف الأكثر دقة للحفاظ على البنية على مستوى أغنى من مجرد المستوى الطوبولوجي.

على سبيل المثال، تُضغط المنحنيات المعيارية بإضافة نقاط منفردة لكل قمة ، مما يجعلها أسطح ريمان (وبالتالي، كونها مضغوطة، فهي منحنيات جبرية ). للقمم هنا دورٌ هام: فالمنحنيات تُحدد فضاءً من الشبكات ، وهذه الشبكات قابلة للانحلال (أي "الامتداد إلى اللانهاية")، غالبًا بعدة طرق (مع الأخذ في الاعتبار بنيةً مساعدةً للمستوى ). تمثل القمم تلك "الاتجاهات المختلفة نحو اللانهاية".

هذا كل ما يتعلق بالشبكات في المستوى. في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n ، يمكن طرح نفس الأسئلة، على سبيل المثال حول${\displaystyle {\text{SO}}(n)\setminus {\text{SL}}_{n}({\textbf {R}})/{\text{SL}}_{n}({\textbf {Z}}).}$يصعب ضغط هذا النوع. هناك أنواع مختلفة من عمليات الضغط، مثل ضغط بوريل-سير ، وضغط بوريل-سير الاختزالي ، وضغط ساتيك ، التي يمكن تشكيلها.

• نظريات نهايات الفضاء والنهايات الأولية .
• بعض نظريات "الحدود" مثل تطويق متعدد الشعب المفتوح ، وحدود مارتن ، وحدود شيلوف، وحدود فورستنبرغ .
• ينشأ تكثيف بور لمجموعة طوبولوجية من خلال النظر في الدوال شبه الدورية .
• قد يؤدي الخط الإسقاطي فوق حلقة ما، بالنسبة لحلقة طوبولوجية، إلى ضغطها.
• التكثيف بيلي -بوريل لفضاء خارج قسمة فضاء متناظر هيرميتي .
• التكثيف الرائع لقسمة مجموعات جبرية.
• تُسمى عمليات التكثيف التي تُمثل في آنٍ واحد مجموعات فرعية محدبة في فضاء محدب محليًا بعمليات التكثيف المحدبة ، ويسمح هيكلها الخطي الإضافي، على سبيل المثال، بتطوير حساب التفاضل والتكامل، واعتبارات أكثر تقدمًا، مثل الاسترخاء في حساب التفاضل والتكامل التبايني أو نظرية التحسين. ^{[ 6 ]}

• امتداد ألكساندروف – طريقة لتوسيع فضاء طوبولوجي غير متراص