الفضاء الإسقاطي الحقيقي

مثل جميع المساحات الإسقاطية ،${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$يتم تكوينها بأخذ ناتج قسمة${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}}$بموجب علاقة التكافؤ${\displaystyle x\sim \lambda x}$لجميع الأعداد الحقيقية​${\displaystyle \lambda \neq 0}$للجميع​​${\displaystyle x}$في​${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}}$يمكن للمرء دائماً أن يجد${\displaystyle \lambda }$بحيث​​${\displaystyle \lambda x}$له معيار 1. يوجد اثنان فقط من هذا النوع${\displaystyle \lambda }$يختلفان في الإشارة. وبالتالي ،${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$⁠ لها البنية الطوبولوجية التي يتم الحصول عليها من خلال تحديد النقاط المتقابلة للوحدة ⁠${\displaystyle n}$- كرة ،​​${\displaystyle S^{n}}$، في​${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$⁠ .

يمكن للمرء بدلاً من ذلك أن يقتصر على النصف العلوي من الكرة الأرضية لـ${\displaystyle S^{n}}$ثم تحديد النقاط المتقابلة على خط الاستواء المحيط. وهذا يدل على أن${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$وهي مكافئة طوبولوجيًا أيضًا للمجموعة المغلقة .${\displaystyle n}$قرص ذو أبعاد ،${\displaystyle D^{n}}$، مع وجود نقاط متقابلة على الحدود،${\displaystyle \partial D^{n}=S^{n-1}}$تم تحديده.

• ⁠${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$يُطلق عليه اسم الخط الإسقاطي الحقيقي ، وهو مكافئ طوبولوجيًا للدائرة . بالتفكير في نقاط${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$كأعداد مركبة ذات معيار الوحدة${\displaystyle z}$حتى الإشارة، التماثل التفاضلي ⁠${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}\to S^{1}}$يتم إعطاؤها بواسطة${\displaystyle z\mapsto z^{2}}$هندسياً، خط في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$يتم تحديدها بواسطة زاوية${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$وتتوافق نهايتا هذه الفترة المغلقة مع نفس الخط.
• ⁠${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$يُطلق عليه اسم المستوى الإسقاطي الحقيقي . لا يمكن تضمين هذا الفضاء في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. ومع ذلك، يمكن تضمينه في${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ويمكن غمرهافي​​${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$( انظر هنا ). مسائل التضمين والانغماس في الإسقاط ⁠${\displaystyle n}$لقد تمت دراسة الفضاء بشكل جيد . ^{[ 1 ]}
• ⁠${\displaystyle \mathbb {RP} ^{3}}$⁠ متماثلة تفاضليًا مع SO(3) ، وبالتالي تقبل بنية زمرة؛ خريطة التغطية ⁠${\displaystyle S^{3}\to \mathbb {RP} ^{3}}$⁠ هي خريطة للمجموعات Spin(3) → SO(3)، حيث Spin(3) هي مجموعة لي التي تمثل الغطاء الشامل لـ SO(3).

الخريطة المقابلة على ⁠${\displaystyle n}$-المجال (إرسال الخريطة )${\displaystyle x}$إلى​​${\displaystyle -x}$) يُنشئ إجراءً جماعيًا من النوع Z ₂ على${\displaystyle S^{n}}$كما ذكرنا سابقاً ، فإن نطاق المدار لهذا الإجراء هو${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$هذا الإجراء هو في الواقع إجراء لتغطية المساحة يعطي${\displaystyle S^{n}}$كغلاف مزدوج من​​${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$منذ​​${\displaystyle S^{n}}$يتم توصيلها ببساطة من أجل${\displaystyle n\geq 2}$كما أنها تُشكّل الغطاء الشامل في هذه الحالات. ويترتب على ذلك أن المجموعة الأساسية لـ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$هو​​${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$عندما​​${\displaystyle n>1}$. (عندما${\displaystyle n=1}$المجموعة الأساسية هي${\displaystyle \mathbb {Z} }$بسبب التماثل مع${\displaystyle S^{1}}$) . مولد المجموعة الأساسية هو المنحنى المغلق الناتج عن إسقاط أي منحنى يربط بين النقاط المتقابلة في ⁠${\displaystyle S^{n}}$إلى أسفل​${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$⁠ .

الإسقاطي​${\displaystyle n}$الفضاء - هو فضاء مضغوط ومتصل، وله زمرة أساسية متماثلة مع الزمرة الدورية من الرتبة 2:يُعطى فضاء التغطية الشامل الخاص به بواسطة خريطة القسمة المضادة من${\displaystyle n}$الكرة ، وهي فضاء متصل ببساطة . إنها غطاء مزدوج . خريطة الأقطاب المقابلة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$لديه علامة${\displaystyle (-1)^{p}}$لذا فهو يحافظ على الاتجاه إذا وفقط إذا${\displaystyle p}$العدد زوجي. وبالتالي، فإن خاصية التوجيه هي: الحلقة غير التافهة في${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {RP} ^{n})}$يعمل كـ${\displaystyle (-1)^{n+1}}$فيما يتعلق بالاتجاه، لذلك${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$يكون قابلاً للتوجيه إذا وفقط إذا${\displaystyle n+1}$هو عدد زوجي، أي${\displaystyle n}$فردي . ^{[ 2 ]}

الإسقاطي​${\displaystyle n}$الفضاء - هو في الواقع متماثل الشكل مع الفضاء الفرعي لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{(n+1)^{2}}}$يتألف من جميع المتناظرين${\displaystyle (n+1)\times (n+1)}$مصفوفات ذات أثر 1 والتي هي أيضًا تحويلات خطية متساوية القوة.

الفضاءات الإسقاطية الحقيقية هي مشعبات ملساء . على S n ، في الإحداثيات المتجانسة ( x 1  , ..., x n +1 )، نعتبر المجموعة الجزئية U  i  حيث x i  ≠ 0. كل U  i متماثلة شكليًا مع الاتحاد المنفصل لكرتين مفتوحتين من نوع الوحدة في R  n تُسقطان على نفس المجموعة الجزئية من RP n ، ودوال انتقال الإحداثيات ملساء. هذا يُعطي RP n بنية ملساء .

الفضاء الإسقاطي الحقيقي RP ⁿ يقبل بنية مجمع CW مع خلية واحدة في كل بُعد.

في الإحداثيات المتجانسة ( x₁ ... xₙ _{+ 1} ) على Sₙ ^، يمكن تعريف جوار الإحداثيات U₁ = {( _x₁ ... _xₙ + _{1 )} | x₁ ≠ 0 ^{} على أنه الجزء الداخلي من} القرص Dₙ ذي _البعد n ^. عندما xᵢ = 0 _، يكون لدينا RPₙ₋₁ . بالتالي، فإن _الهيكل ^العظمي ذو البعد n₋₁ لـ ^RPₙ هو RPₙ₋₁ ، ^{والخريطة} المرفقة ^f : Sₙ₋₁ → RPₙ₋₁ ^{هي خريطة التغطية من} 2 إلى 1. ^{يمكن وضع} $${\displaystyle \mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {RP} ^{n-1}\cup _{f}D^{n}.}$$

يُظهر الاستقراء أن RP ⁿ عبارة عن مركب CW يحتوي على خلية واحدة في كل بُعد حتى n .

الخلايا هي خلايا شوبيرت ، كما هو الحال في مشعب العلم . أي، إذا أخذنا علمًا كاملًا (مثل العلم القياسي) 0 = V ₀ < V ₁ <...< V _n ؛ فإن الخلية المغلقة من الرتبة k هي الخطوط التي تقع في V _k . كذلك، فإن الخلية المفتوحة من الرتبة k (داخل الخلية k ) هي الخطوط في V _k \ V _{k −1} (الخطوط في V _k ولكن ليس في V _{k −1} ).

في الإحداثيات المتجانسة (بالنسبة للعلم)، تكون الخلايا $${\displaystyle {\begin{array}{c}[*:0:0:\dots :0]\\{[}*:*:0:\dots :0]\\\vdots \\{[}*:*:*:\dots$$ :*].\end{array}}}

هذا ليس هيكل CW منتظمًا، لأن الخرائط المرفقة هي 2 إلى 1. ومع ذلك، فإن غطائه هو هيكل CW منتظم على الكرة، مع خليتين في كل بُعد؛ في الواقع، أصغر هيكل CW منتظم على الكرة.

في ضوء البنية السلسة، فإن وجود دالة مورس يُظهر أن RP ⁿ عبارة عن مُركب CW. إحدى هذه الدوال تُعطى بالصيغة التالية، في الإحداثيات المتجانسة: $${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}i\cdot |x_{i}|^{2}.}$$

في كل جوار U _i ، تمتلك g نقطة حرجة غير متدهورة (0، ...، 1، ...، 0) حيث يظهر الرقم 1 في الموضع i ذي مؤشر مورس i . وهذا يدل على أن RP ⁿ عبارة عن مركب CW يحتوي على خلية واحدة في كل بُعد.

يحتوي الفضاء الإسقاطي الحقيقي على حزمة خطية طبيعية فوقه، تسمى الحزمة التكرارية . وبشكل أدق، تسمى هذه الحزمة الحزمة الفرعية التكرارية، وهناك أيضًا حزمة ثنائية ذات أبعاد n تسمى حزمة القسمة التكرارية.

إن مجموعات التماثل الأعلى لـ RP ⁿ هي بالضبط مجموعات التماثل الأعلى لـ S ⁿ ، من خلال التسلسل الدقيق الطويل على التماثل المرتبط بالتليف .

وبشكل صريح، فإن حزمة الألياف هي:$${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.}$$ يمكنك أيضًا كتابة هذا على النحو التالي:$${\displaystyle S^{0}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}}$$ أو$${\displaystyle O(1)\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}}$$قياساً على الفضاء الإسقاطي المركب .

مجموعات التماثل هي: $${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}0&i=0\\\mathbf {Z} &i=1,n=1\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &i=1,n>1\\\pi _{i}(S^{n})&i>1,n>0.\end{cases}}}$$

يحتوي مُركّب السلسلة الخلوية المرتبط ببنية CW المذكورة أعلاه على خلية واحدة في كل بُعد من الأبعاد 0، ...، n . لكل بُعد k ، تكون خريطة الحدود d _k  : δ D ^k → RP ^{k −1} / RP ^{k −2} هي الخريطة التي تُسقط خط الاستواء على S ^{k −1} ثم تُحدد النقاط المتقابلة. في الأبعاد الفردية (أو الزوجية)، تكون درجة هذه الخريطة 0 (أو 2).

$${\displaystyle \deg(d_{k})=1+(-1)^{k}.}$$

وبالتالي فإن التماثل التكاملي هو $${\displaystyle H_{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ أو }}i=n{\text{ فردي،}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{ فردي،}}\\0&{\text{ فيما عدا ذلك.}}\end{cases}}}$$

يكون RP ⁿ قابلاً للتوجيه إذا وفقط إذا كان n فرديًا، كما توضح حسابات التماثل المذكورة أعلاه.