مجموعة الدوران

في الرياضيات ، زمرة الدوران ، التي يرمز لها بـ Spin( n )، ^{[ 1 ] [ 2 ]} هي زمرة لي يكون مشعبها الأساسي هو الغطاء المزدوج للزمرة المتعامدة الخاصة SO( n ) = SO( n , R ) ، بحيث توجد متتالية تامة قصيرة من زمر لي (عندما n ≠ 2 ).

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1.}$

يُعطى قانون ضرب الزمر على الغطاء المزدوج برفع الضرب على${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$.

وبالتالي فإن Spin( n ) كمجموعة لي تشترك في بُعدها ، ⁠ n ( n − 1) / 2 ⁠ ، وجبر لي الخاص بها مع المجموعة المتعامدة الخاصة.

بالنسبة لـ n > 2 ، فإن Spin( n ) متصل ببساطة وبالتالي يتطابق مع الغطاء الشامل لـ SO( n ) .

يُشار إلى العنصر غير التافه في النواة بالرمز −1، والذي يجب عدم الخلط بينه وبين التحويل المتعامد للانعكاس عبر نقطة الأصل ، والذي يُشار إليه عمومًا بالرمز − I.

يمكن بناء Spin( n ) كمجموعة فرعية من العناصر القابلة للعكس في جبر كليفورد Cl( n ). وتناقش مقالة منفصلة تمثيلات الدوران .

تُستخدم مجموعة اللف المغزلي في الفيزياء لوصف تناظرات الفرميونات (المتعادلة كهربائيًا، غير المشحونة) . ويُستخدم تعقيدها، Spinc، لوصف الفرميونات المشحونة كهربائيًا، وأبرزها الإلكترون . من الناحية الدقيقة، تصف مجموعة اللف المغزلي الفرميون في فضاء صفري الأبعاد؛ إلا أن الفضاء ليس صفري الأبعاد، ولذا تُستخدم مجموعة اللف المغزلي لتعريف بنى اللف المغزلي (غير الموجودة) كأداة حسابية على مشعبات ريمانية (شبه ريمانية) : مجموعة اللف المغزلي هي مجموعة البنية لحزمة اللف المغزلي . والوصلة الأفينية على حزمة اللف المغزلي هي وصلة اللف المغزلي ؛ ويمكن لوصلة اللف المغزلي تبسيط الحسابات في النسبية العامة . وبدورها، تُمكّن وصلة اللف المغزلي من كتابة معادلة ديراك في الزمكان المنحني (فعليًا في إحداثيات رباعية ).

غالبًا ما يبدأ بناء زمرة الدوران ببناء جبر كليفورد على فضاء متجهي حقيقي V ذي شكل تربيعي محدد q . ^{[ 3 ]} جبر كليفورد هو خارج قسمة جبر الموترات T V للفضاء V على مثالي ثنائي الجانب. يمكن كتابة جبر الموترات (على الأعداد الحقيقية) على النحو التالي:

${\displaystyle \mathrm {T} V=\mathbb {R} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus \cdots }$

جبر كليفورد Cl( V ) هو جبر القسمة

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\mathrm {T} V/\left(v\otimes vq(v)\right),}$

أين${\displaystyle q(v)}$الشكل التربيعي المطبق على متجه${\displaystyle v\in V}$الفضاء الناتج ذو أبعاد محدودة، ومتدرج بشكل طبيعي (كفضاء متجهي)، وبالتالي يمكن كتابته على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{1}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Cl} ^{n}}$

أين${\displaystyle n}$هو بُعد${\displaystyle V}$،${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{0}=\mathbb {R} }$و${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{1}=V}$جبر الدوران${\displaystyle {\mathfrak {spin}}}$يُعرَّف بأنه الجبر الفرعي ثنائي المتجهات

${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{2}={\mathfrak {spin}}(V)={\mathfrak {spin}}(n),}$

حيث يمثل الأخير اختصارًا لكون V فضاءً متجهيًا حقيقيًا ذو بُعد حقيقي n . وهو جبر لي مع مُبدِّل الضرب؛ وله تأثير طبيعي على V ، وهو متماثل مع جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$من المجموعة المتعامدة الخاصة : إذا كانت المجموعة${\displaystyle \{e_{i}\}}$إذا كانت أساسًا متعامدًا للفضاء المتجهي (الحقيقي) V ، فإن الناتج أعلاه يمنح جبر كليفورد بنية مضادة للتبديل طبيعية:

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}}$ل${\displaystyle i\neq j,}$

والذي يتبع ذلك بالنظر${\displaystyle v\otimes v}$ل${\displaystyle v=e_{i}+e_{j}}$ثم في${\displaystyle {\mathfrak {spin}}(n)}$لدينا ذلك مبدل لاي${\displaystyle [e_{i}\otimes e_{j},e_{j}\otimes e_{k}]=2e_{i}\otimes e_{k}}$و${\displaystyle [e_{i}\otimes e_{j},e_{k}\otimes e_{l}]=0}$، لذا${\displaystyle e_{i}\otimes e_{j}\rightarrow 2e_{i}\otimes e_{j}-2e_{j}\otimes e_{i}}$يُعطي التماثل لـ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$على الجانب الأيمن${\displaystyle \otimes }$هو الناتج الخارجي . ويوضح الضرب في 2 سبب كون دوران السبينور بمقدار 360 درجة ينتج عنه قيمة سالبة للسبينور: في${\displaystyle e^{i\phi b}}$قسمة عنصر الأساس b على 2 يعطي نصف دورة لـ 360 درجة.

مجموعة الدبابيس${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$مجموعة كليفورد لجميع عناصر الشكل

${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{k},}$

حيث كل${\displaystyle v_{i}\in V}$طوله وحدة واحدة:${\displaystyle q(v_{i})=1.}$

ثم تُعرَّف مجموعة الدوران على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {Spin} (V)=\operatorname {Pin} (V)\cap \operatorname {Cl} ^{\text{even}},}$

أين ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\text{even}}=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \operatorname {Cl} ^{4}\oplus \cdots }$ هي الفضاء الجزئي الناتج عن العناصر التي تمثل حاصل ضرب عدد زوجي من المتجهات. أي أن Spin( V ) يتكون من جميع عناصر Pin( V ) المذكورة أعلاه، مع اشتراط أن يكون k عددًا زوجيًا. يُعدّ هذا الشرط، أي أن يكون الفضاء الجزئي زوجيًا، أساسيًا لتكوين سبينورات ثنائية المكونات (Weyl)، التي سيتم شرحها لاحقًا.

يُعدّ التبادل المضاد لجبر كليفورد ذا أهمية بالغة في الفيزياء، إذ يُجسّد جوهر مبدأ استبعاد باولي للفيرميونات . لا يتسع المجال هنا لصياغة دقيقة، لكنّها تتضمن إنشاء حزمة سبينور على فضاء مينكوفسكي ؛ ويمكن ملاحظة أنّ حقول السبينور الناتجة تُمارس التبادل المضاد كنتيجة ثانوية لبناء جبر كليفورد. كما تُعدّ خاصية التبادل المضاد هذه أساسية لصياغة التناظر الفائق . يتمتّع جبر كليفورد ومجموعة السبين بالعديد من الخصائص المثيرة للاهتمام، والتي نورد بعضها أدناه.

بالنسبة للفضاء التربيعي V ، يمكن تحديد التغطية المزدوجة لـ SO( V ) بواسطة Spin( V ) بشكل صريح، كما يلي.${\displaystyle \{e_{i}\}}$ليكن أساسًا متعامدًا لـ V. عرّف تشاكلًا مضادًا${\displaystyle t:\operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$بواسطة

${\displaystyle \left(e_{i}e_{j}\cdots e_{k}\right)^{t}=e_{k}\cdots e_{j}e_{i}.}$

ويمكن توسيع نطاق ذلك ليشمل جميع عناصر${\displaystyle a,b\in \operatorname {Cl} (V)}$بسبب الخطية. إنه تماثل عكسي لأن

${\displaystyle (ab)^{t}=b^{t}a^{t}.}$

لاحظ ذلك${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$ويمكن تعريفها بعد ذلك على أنها جميع العناصر${\displaystyle a\in \operatorname {Cl} (V)}$والتي

${\displaystyle aa^{t}=1.}$

والآن، عرّف التشاكل الذاتي${\displaystyle \alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$والتي تُعطى على عناصر الدرجة الأولى بواسطة

${\displaystyle \alpha (v)=-v,\quad v\in V,}$

ودع${\displaystyle a^{*}}$دل${\displaystyle \alpha (a)^{t}}$، وهو شكل مضاد لـ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$باستخدام هذه الرموز، فإن التغطية المزدوجة الصريحة هي التشاكل${\displaystyle \rho$ :\operatorname {Pin} (V)\to \operatorname {O} (V)} معطى بواسطة

${\displaystyle \rho (a)v=ava^{*},}$

أين${\displaystyle v\in V}$. متى${\displaystyle a}$حاصل على الدرجة 1 (أي${\displaystyle a\in V}$)${\displaystyle \rho (a)}$هل الانعكاس عبر المستوى الفائق متعامد مع${\displaystyle a}$وينتج هذا عن خاصية عدم التبادل في جبر كليفورد.

وهذا يوفر تغطية مزدوجة لكليهما${\displaystyle \operatorname {O} (V)}$بواسطة${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$و من${\displaystyle \operatorname {SO} (V)}$بواسطة${\displaystyle \operatorname {Spin} (V)}$لأن${\displaystyle a}$يعطي نفس التحويل مثل${\displaystyle -a}$.

يجدر بنا مراجعة كيفية بناء فضاءات السبينور وسبينورات فايل ، في ضوء هذا الشكل. إذا كان لدينا فضاء متجهي حقيقي V ذو بُعد n = 2^ m (عدد زوجي)، فإن تعقيده هو${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} }$يمكن كتابتها كمجموع مباشر لفضاء جزئي${\displaystyle W}$من السبينورات والفضاء الفرعي${\displaystyle {\overline {W}}}$من مضادات الدوران:

${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} =W\oplus {\overline {W}}}$

المساحة${\displaystyle W}$يمتد بواسطة العوارض ${\displaystyle \eta _{k}=\left(e_{2k-1}-ie_{2k}\right)/{\sqrt {2}}}$ ل${\displaystyle 1\leq k\leq m}$وتمتد السبينورات المترافقة المعقدة${\displaystyle {\overline {W}}}$من السهل أن نرى أن السبينورات تتبادل عكسيًا، وأن ناتج السبينور والسبينور المضاد هو كمية قياسية.

يُعرَّف فضاء السبينور بأنه الجبر الخارجي${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }W}$تؤثر جبر كليفورد (المعقد) بشكل طبيعي على هذا الفضاء؛ وتتوافق مجموعة الدوران (المعقدة) مع التشاكلات الداخلية الحافظة للطول . يوجد تدرج طبيعي على الجبر الخارجي: حاصل ضرب عدد فردي من نسخ${\displaystyle W}$تتوافق مع المفهوم الفيزيائي للفيرميونات؛ ويتوافق الفضاء الجزئي الزوجي مع البوزونات. ويمكن بناء تمثيلات تأثير مجموعة اللف المغزلي على فضاء اللف المغزلي بطريقة مباشرة نسبياً. ^{[ 3 ]}

تُعرَّف مجموعة الدوران ^C بالتسلسل الدقيق

${\displaystyle 1\to \mathrm {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.}$

إنها مجموعة فرعية ضربية من التعقيد${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)\otimes \mathbf {C} }$من جبر كليفورد، وتحديدًا، هي المجموعة الفرعية المولدة بواسطة Spin( V ) ودائرة الوحدة في C. أو بدلاً من ذلك، هي خارج القسمة

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(V)=\left(\operatorname {Spin} (V)\times S^{1}\right)/\sim }$

حيث التكافؤ${\displaystyle \sim }$يحدد ( a , u ) مع ( -a , -u ) .

لهذا تطبيقات مهمة في نظرية الفضاءات الرباعية ونظرية سيبرغ-ويتن . في الفيزياء، تُعدّ مجموعة الدوران مناسبة لوصف الفرميونات غير المشحونة، بينما تُستخدم مجموعة الدوران ^C لوصف الفرميونات المشحونة كهربائيًا. في هذه الحالة، يُمثّل تناظر U(1) تحديدًا مجموعة القياس (مجموعة البنية) للكهرومغناطيسية .

في الأبعاد المنخفضة، توجد تماثلات بين زمر لي الكلاسيكية تُسمى التماثلات الاستثنائية . على سبيل المثال، توجد تماثلات بين زمر الدوران منخفضة الأبعاد وبعض زمر لي الكلاسيكية، وذلك بسبب التماثلات منخفضة الأبعاد بين أنظمة الجذور (وما يقابلها من تماثلات لمخططات دينكين ) لمختلف عائلات جبر لي البسيط . وبكتابة R للأعداد الحقيقية، وC للأعداد المركبة، و H للأعداد الرباعية ، ومع الفهم العام بأن Cl( n ) اختصار لـ Cl( Rn ) وأن Spin( ⁿ ) اختصار لـ Spin( Rn ⁾ وهكذا، نحصل على ^{[ 3 ]}

جبر كليفورد ومجموعات الدوران

${\displaystyle \operatorname {\text{Cl}} ^{even}(n)}$	${\displaystyle \operatorname {\text{Pin}} (n)}$	${\displaystyle \operatorname {\text{Spin}} (n)}$	الأبعاد
${\displaystyle \mathbb {R} }$(الأعداد الحقيقية)	{+i, −i, +1, −1}	O(1) = {+1, −1}	0
${\displaystyle \mathbb {C} }$(الأعداد المركبة)		U(1) = SO(2) ، والتي تؤثر على${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$عن طريق الدوران ثنائي الطور${\displaystyle z\mapsto u^{2}z}$. يتوافق مع الأبيلية${\displaystyle D_{1}}$.	1
${\displaystyle \mathbb {H} }$( الأعداد الرباعية )		Sp(1) = SU(2) ، وهو ما يتوافق مع${\displaystyle B_{1}\cong C_{1}\cong A_{1}}$.	3
${\displaystyle \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }$		SU(2) × SU(2)، الموافق لـ${\displaystyle D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}}$.	6
${\displaystyle M(2,\mathbb {H} )}$(المصفوفات ثنائية الأبعاد ذات المعاملات الرباعية)		Sp(2) ، المقابل لـ${\displaystyle B_{2}\cong C_{2}}$.	10
${\displaystyle M(4,\mathbb {C} )}$(المصفوفات من أربعة إلى أربعة ذات المعاملات المركبة)		SU(4) ، المقابلة لـ${\displaystyle D_{3}\cong A_{3}}$.	15

تبقى بعض آثار هذه التشاكلات عند قيم n = 7 و 8 (انظر Spin(8) لمزيد من التفاصيل). أما عند قيم n الأعلى ، فتختفي هذه التشاكلات تمامًا.

في التوقيع غير المحدد ، مجموعة الدوران${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)}$يتم بناؤها باستخدام جبر كليفورد بطريقة مشابهة لمجموعات الدوران القياسية. وهي غطاء مزدوج لـ${\displaystyle {\text{SO}}_{0}(p,q)}$، المكون المتصل لهوية المجموعة المتعامدة غير المحددة${\displaystyle {\text{SO}}(p,q)}$. ل${\displaystyle p+q>2}$،${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)}$متصل؛ لأن${\displaystyle (p,q)=(1,1)}$هناك مكونان متصلان. ^{[ 4 ] : ​​193}

كما هو الحال في التوقيع المحدد، توجد بعض التشاكلات العرضية في الأبعاد المنخفضة:

التماثلات العرضية

${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)}$	1	2	3
1	${\displaystyle {\text{GL}}(1,\mathbb {R} )}$
2	${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$
3	${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle {\text{Sp}}(4,\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\text{SL}}(4,\mathbb {R} )}$
4	${\displaystyle {\text{Sp}}(1,1)}$	${\displaystyle {\text{SU}}(2,2)}$
5	${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {H} )}$
6		${\displaystyle {\text{SU}}(2,2,\mathbb {H} )}$

لاحظ أن${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)={\text{Spin}}(q,p)}$.

تُصنَّف زمر لي المتصلة وزمر لي البسيطة المتصلة حسب جبر لي الخاص بها. فإذا كانت G زمرة لي متصلة ذات جبر لي بسيط، وكانت G ′ هي الغطاء الشامل لـ G ، فإنه يوجد احتواء

${\displaystyle \pi _{1}(G)\subset \operatorname {Z} (G'),}$

مع كون Z( G ′) مركز G ′ . هذا التضمين وجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تحدد G بشكل كامل (لاحظ أنه ليس صحيحًا أن${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$و π ₁ ( G ) تحدد G بالكامل؛ على سبيل المثال، SL(2, R ) و PSL(2, R ) لهما نفس جبر لي ونفس المجموعة الأساسية Z ، لكنهما ليسا متماثلين).

إن التوقيع المحدد Spin( n ) كلها متصلة ببساطة لـ n  >  2، لذا فهي الأغطية الشاملة لـ SO( n ).

في التوقيع غير المحدد، لا تكون المجموعة Spin( p , q ) متصلة بالضرورة، وبشكل عام، لا يكون عنصر التطابق ، Spin ₀ ( p , q )، متصلًا ببساطة، وبالتالي فهو ليس غطاءً شاملًا. يُفهم الزمرة الأساسية بسهولة أكبر من خلال النظر إلى الزمرة الفرعية المدمجة القصوى لـ SO( p , q )، وهي SO( p )  ×  SO( q )، وملاحظة أنه بدلًا من أن تكون حاصل ضرب الأغطية الثنائية (وبالتالي غطاءً رباعيًا)، فإن Spin( p , q ) هي الغطاء الثنائي "القطري" - أي أنها ناتج قسمة ثنائي للغطاء الرباعي. وبشكل أكثر تحديدًا، فإن الزمرة الفرعية المدمجة المتصلة القصوى لـ Spin( p , q ) هي

Spin( p ) × Spin( q )/{(1, 1), (−1, −1)}.

وهذا يسمح لنا بحساب المجموعات الأساسية لـ SO( p , q )، مع الأخذ في الاعتبار أن p ≥ q :

${\displaystyle \pi _{1}({\mbox{SO}}(p,q))={\begin{cases}0&(p,q)=(1,1){\mbox{ or }}(1,0)\\\mathbb {Z} _{2}&p>2,q=0,1\\\mathbb {Z} &(p,q)=(2,0){\mbox{ or }}(2,1)\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &(p,q)=(2,2)\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{2}&p>2,q=2\\\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}&p,q>2\\\end{cases}}}$

وبالتالي، بمجرد أن يكون p و q > 2، فإن المجموعة الأساسية هي Z ₂ ، لأنها ناتج قسمة ثنائي لضرب غطاءين عالميين.

تُعطى الدوال على المجموعات الأساسية كما يلي. بالنسبة لـ p و q > 2 ، فإن الدالة π₁ ₍ Spin( p , q )) → π₁ ₍ SO( p , q )) تُعطى بالعلاقة 1 ∈ Z₂ _→ ( 1, 1) ∈ Z₂ _× Z₂ _. أما بالنسبة لـ p = 2 و q > 2 ، فإن هذه الدالة تُعطى بالعلاقة 1 ∈ Z → (1, 1) ∈ Z × Z₂ _. وأخيرًا، بالنسبة لـ p = q = 2 ، فإن (1, 0) ∈ Z × Z تُرسل إلى (1, 1) ∈ Z × Z، و (0, 1) تُرسل إلى (1, -1) .

يُعطى مركز مجموعات الدوران، لـ n ≥ 3 ، (المركبة والحقيقية) كما يلي: ^{[ 4 ] : ​​208}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n,\mathbf {C} ))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&n=2k+1\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k\\\end{cases}}\\\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (p,q))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&p{\text{ or }}q{\text{ odd}}\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

يمكن الحصول على مجموعات القسمة من مجموعة الدوران عن طريق القسمة بواسطة مجموعة فرعية من المركز، حيث تكون مجموعة الدوران بعد ذلك مجموعة تغطية لمجموعة القسمة الناتجة، ولكلتا المجموعتين نفس جبر لي.

بقسمة المجموعة على المركز الكامل نحصل على أصغر مجموعة من هذا النوع، وهي المجموعة المتعامدة الخاصة الإسقاطية ، وهي مجموعة بلا مركز . أما بقسمتها على {±1} فنحصل على المجموعة المتعامدة الخاصة. إذا كان المركز يساوي {±1} (أي في بُعد فردي)، فإن مجموعتي القسمة هاتين تتطابقان. إذا كانت مجموعة الدوران بسيطة الاتصال (كما هو الحال مع Spin( n ) عندما n > 2 )، فإن Spin هي المجموعة القصوى في المتتالية، وبالتالي نحصل على متتالية من ثلاث مجموعات.

Spin( n )  →  SO( n )  →  PSO( n ),

ينتج عن التقسيم حسب التكافؤ ما يلي:

Spin(2 n )  →  SO(2 n )  →  PSO(2 n ),

Spin(2 n +1)  →  SO(2 n +1)  =  PSO(2 n +1),

وهي الأشكال الحقيقية الثلاثة المدمجة (أو شكلان، إذا كان SO = PSO ) لجبر لي المدمج${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} ).}$

ترتبط مجموعات التماثل للغطاء والقسمة بالتسلسل الدقيق الطويل للتليف ، مع ألياف منفصلة (الألياف هي النواة) - وبالتالي فإن جميع مجموعات التماثل لـ k > 1 متساوية، ولكن π ₀ و π ₁ قد تختلف.

بالنسبة لـ n > 2 ، فإن Spin( n ) متصل ببساطة ( π ₀ = π ₁ = Z ₁ أمر تافه)، لذلك فإن SO( n ) متصل وله مجموعة أساسية Z ₂ بينما PSO( n ) متصل وله مجموعة أساسية تساوي مركز Spin( n ).

في التوقيع غير المحدد، تكون الأغطية ومجموعات التماثل أكثر تعقيدًا - فمجموعة Spin( p , q ) ليست متصلة ببساطة، كما أن القسمة تؤثر على المكونات المتصلة. يصبح التحليل أبسط إذا أخذنا في الاعتبار المجموعة المدمجة القصوى (المتصلة) SO( p ) × SO( q ) ⊂ SO( p , q ) ومجموعة مكونات Spin ( p , q ) .

تظهر مجموعة الدوران في برج وايتهيد مثبت بواسطة المجموعة المتعامدة :

${\displaystyle \ldots \rightarrow {\text{Fivebrane}}(n)\rightarrow {\text{String}}(n)\rightarrow {\text{Spin}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(n)\rightarrow {\text{O}}(n)}$

يُحصل على البرج بإزالة مجموعات التماثل المتتالية ذات الرتب المتزايدة. ويتم ذلك بإنشاء متواليات تامة قصيرة تبدأ بفضاء إيلنبرغ-ماكلين لمجموعة التماثل المراد إزالتها. بإزالة مجموعة _{التماثل} π³ في Spin( n )، نحصل على مجموعة الأوتار اللانهائية الأبعاد String( n ).

يمكن فهم المجموعات الفرعية المنفصلة لمجموعة الدوران من خلال ربطها بالمجموعات الفرعية المنفصلة للمجموعة المتعامدة الخاصة ( مجموعات النقاط الدورانية ).

بالنظر إلى الغطاء المزدوج Spin( n ) → SO( n ) ، وبحسب نظرية الشبكة ، توجد علاقة غالوا بين الزمر الجزئية من Spin( n ) والزمر الجزئية من SO( n ) (زمر النقاط الدورانية): صورة زمرة جزئية من Spin( n ) هي زمرة نقاط دورانية، والصورة العكسية لزمرة نقاط هي زمرة جزئية من Spin( n )، ومؤثر الإغلاق على الزمر الجزئية من Spin( n ) هو الضرب في {±1}. يمكن تسمية هذه الزمر بـ "زمر النقاط الثنائية"؛ وأكثرها شيوعًا هي الحالة ثلاثية الأبعاد، والمعروفة باسم الزمر متعددة السطوح الثنائية .

بشكل ملموس، كل زمرة نقطية ثنائية إما أن تكون الصورة العكسية لزمرة نقطية (لذا يُرمز لها بـ 2G ، للدلالة على الزمرة النقطية G )، أو أن تكون زمرة جزئية ذات دليل 2 من الصورة العكسية لزمرة نقطية والتي تُسقط (بشكل متماثل) على الزمرة النقطية؛ في الحالة الأخيرة، تكون الزمرة الثنائية الكاملة مجردة${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times G}$(بما أن {±1} مركزي). كمثال على هذه الأخيرة، بالنظر إلى مجموعة دورية من رتبة فردية${\displaystyle \mathrm {Z} _{2k+1}}$في SO( n )، صورتها العكسية هي زمرة دورية من ضعف الرتبة.${\displaystyle \mathrm {C} _{4k+2}\cong \mathrm {Z} _{2k+1}\times \mathrm {Z} _{2},}$والمجموعات الفرعية Z _{2 k +1} < Spin( n ) تتطابق بشكل متماثل مع Z _{2 k +1} < SO( n ) .

ومن الجدير بالذكر بشكل خاص سلسلتان:

• المجموعات الرباعية السطوح الثنائية الأعلى ، والتي تتوافق مع الغطاء الثنائي لتناظرات n -simplex؛ يمكن اعتبار هذه المجموعة أيضًا بمثابة الغطاء المزدوج للمجموعة المتناظرة ، 2⋅A _n → A _n ، مع كون المجموعة المتناوبة هي مجموعة التناظر (الدوراني) لـ n -simplex.
• مجموعات ثمانية السطوح الثنائية العليا ، والتي تتوافق مع الأغطية الثنائية لمجموعة ثمانية السطوح الفائقة (تناظرات المكعب الفائق ، أو ما يعادله من ثنائيته ، متعدد السطوح المتقاطع ).

بالنسبة لمجموعات النقاط التي تعكس الاتجاه، يكون الوضع أكثر تعقيدًا، حيث توجد مجموعتان من الدبابيس ، وبالتالي توجد مجموعتان ثنائيتان محتملتان تتوافقان مع مجموعة نقاط معينة.

• البعد الأساسي لمجموعات الدوران هو OEIS:A280191 .
• مؤشر الالتواء لغروتينديك هو OEIS:A096336 .

• كاروبي، ماكس (2008). نظرية K. سبرينغر. ص 210-214 . ISBN  978-3-540-79889-7.