بنية الدوران

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 62 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة التفاضلية ، يسمح هيكل الدوران على مشعب ريماني قابل للتوجيه ( M ، g ) بتعريف حزم الدوران المرتبطة ، مما يؤدي إلى مفهوم الدوران في الهندسة التفاضلية.

تُستخدم البنى المغزلية على نطاق واسع في الفيزياء الرياضية ، ولا سيما في نظرية الحقل الكمومي حيث تُعدّ عنصرًا أساسيًا في تعريف أي نظرية تتضمن فرميونات غير مشحونة . كما أنها ذات أهمية رياضية بحتة في الهندسة التفاضلية ، والطوبولوجيا الجبرية ، ونظرية K. وهي تُشكّل الأساس لهندسة المغزل .

ملخص

في الهندسة ونظرية الحقول ، يتساءل علماء الرياضيات عما إذا كان مشعب ريماني موجه معين ( M , g ) يقبل سبينورات أم لا . إحدى طرق معالجة هذه المشكلة هي اشتراط وجود بنية سبينورية للمشعب M. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] لكن هذا ليس ممكنًا دائمًا ، إذ قد يكون هناك عائق طوبولوجي يحول دون وجود البنى السبينورية. توجد البنى السبينورية إذا وفقط إذا كانت فئة ستيفل-ويتني الثانية w₂ ( M ) ∈ H₂ ( M , Z₂ ) للمشعب M معدومة. علاوة على ذلك، إذا كانت w₂ ( M ) = 0، فإن مجموعة فئات التشاكل للبنى السبينورية على M تتأثر بحرية وبشكل متعدٍ بواسطة H₁ ( M , Z₂ ) . وبما أن المشعب M يُفترض أنه موجه، فإن فئة ستيفل-ويتني الأولى w₁ ( M ) ∈ H₁ ( M , Z₂ ) للمشعب M معدومة أيضًا. (يتم تعريف فئات ستيفل-ويتني w i ( M ) ∈ H i ( M , Z 2 ) لمتشعب M على أنها فئات ستيفل-ويتني لحزمة المماس الخاصة به TM .)

تُعرف حزمة السبينورات π S : S → M على M بأنها حزمة المتجهات المركبة المرتبطة بالحزمة الرئيسية المناظرة π P : P → M لأطر الدوران على M، والتمثيل الدوراني لمجموعة بنيتها Spin( n ) على فضاء السبينورات Δ n . تُسمى الحزمة S حزمة السبينورات لبنية دوران معينة على M.

لم يكن من الممكن التوصل إلى تعريف دقيق لبنية الدوران على متعدد الشعب إلا بعد تقديم مفهوم حزمة الألياف ؛ فقد وجد أندريه هافليجر (1956) عائقًا طوبولوجيًا أمام وجود بنية دوران على متعدد شعب ريماني قابل للتوجيه، ووسع ماكس كاروبي (1968) هذه النتيجة لتشمل حالة متعدد الشعب الريماني الزائف غير القابل للتوجيه. [ 4 ] [ 5 ]

هياكل الدوران على مشعبات ريمان

تعريف

بنية دورانية على مشعب ريماني قابل للتوجيه(م،ز){\displaystyle (M,g)}مع حزمة متجهة موجهةهـ{\displaystyle E}هو رفع متكافئ لحزمة الإطار المتعامدPلذا(هـ)→م{\displaystyle P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M} فيما يتعلق بالتغطية المزدوجةρ:يلف⁡(ن)→لذا⁡(ن){\displaystyle \rho :\operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)} . بعبارة أخرى، زوج(Pيلف،ϕ){\displaystyle (P_{\operatorname {Spin} },\phi )}هي بنية دوران على الحزمة الرئيسية SO( n )π:Pلذا(هـ)→م{\displaystyle \pi :P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M}متى

  1. πP:Pيلف→م{\displaystyle \pi _{P}:P_{\operatorname {Spin} }\rightarrow M}هي حزمة رئيسية ذات دوران ( n ) علىم{\displaystyle M}، و
  2. ϕ:Pيلف→Pلذا(هـ){\displaystyle \phi :P_{\operatorname {Spin} }\rightarrow P_{\operatorname {SO} }(E)}هي خريطة تغطية ثنائية متكافئة بحيث
    π∘ϕ=πP{\displaystyle \pi \circ \phi =\pi _{P}\quad }وϕ(صq)=ϕ(ص)ρ(q){\displaystyle \quad \phi (pq)=\phi (p)\rho (q)\quad }للجميعص∈Pيلف{\displaystyle p\in P_{\operatorname {Spin} }}وq∈يلف⁡(ن){\displaystyle q\in \operatorname {Spin} (n)}.

بنيتان دورانيتان(P1،ϕ1){\displaystyle (P_{1},\phi _{1})}و(P2،ϕ2){\displaystyle (P_{2},\phi _{2})}تُسمى التطبيقات على نفس مشعب ريماني "متكافئة" إذا وُجد تطبيق متغير مكافئ من نوع Spin( n ).و:P1→P2{\displaystyle f:P_{1}\rightarrow P_{2}}بحيث

ϕ2∘و=ϕ1{\displaystyle \phi _{2}\circ f=\phi _{1}\quad }وو(صq)=و(ص)q{\displaystyle \quad f(pq)=f(p)q\quad }للجميعص∈P1{\displaystyle p\in P_{1}}وq∈يلف⁡(ن){\displaystyle q\in \operatorname {Spin} (n)}.

في هذه الحالةϕ1{\displaystyle \phi _{1}}وϕ2{\displaystyle \phi _{2}}هما غطاءان مزدوجان متكافئان.

تعريف بنية الدوران على(م،ز){\displaystyle (M,g)}كبنية دوران على الحزمة الرئيسيةPلذا(هـ)→م{\displaystyle P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M}يعود الفضل في ذلك إلى أندريه هافليجر (1956).

عرقلة

وجد هيفليجر [ 1 ] شروطًا ضرورية وكافية لوجود بنية دورانية على مشعب ريماني موجه ( M , g ). ويتمثل العائق أمام وجود بنية دورانية في عنصر معين [ k ] من H² ( M , Z² ) . بالنسبة للبنية الدورانية ، فإن الفئة [ k ] هي فئة ستيفل - ويتني الثانية w² ( M ) ∈ H² ( M , Z² ) لـ M. وبالتالي، توجد بنية دورانية إذا وفقط إذا كانت فئة ستيفل-ويتني الثانية w² ( M ) ∈ H² ( M , Z² ) لـ M معدومة .

هياكل الدوران على حزم المتجهات

ليكن M متعدد شعب طوبولوجي شبه متراص ، و E حزمة متجهات موجهة على M ذات بُعد n مزودة بمقياس ليفي . هذا يعني أن ألياف E عند كل نقطة من M هي فضاء جداء داخلي . تُعدّ حزمة السبينور لـ E وصفةً لربط تمثيل سبينوري متسق بكل نقطة من M. توجد عوائق طوبولوجية تحول دون تحقيق ذلك، وبالتالي، قد لا تقبل حزمة معينة E أي حزمة سبينور . في حال قبولها، يُقال إن الحزمة E سبينورية .

يمكن إضفاء الدقة على هذا من خلال لغة الحزم الرئيسية . تشكل مجموعة الإطارات المتعامدة الموجهة لحزمة متجهة حزمة إطارية P<sub> SO</sub> ( E )، وهي حزمة رئيسية تحت تأثير المجموعة المتعامدة الخاصة SO( n ). بنية الدوران لـ P<sub> SO</sub> ( E ) هي رفع P <sub> SO </sub> ( E ) إلى حزمة رئيسية P <sub>Spin </sub>( E ) تحت تأثير مجموعة الدوران Spin( n )، ونعني بذلك وجود خريطة حزمة.ϕ{\displaystyle \phi } : P Spin ( E ) → P SO ( E ) بحيث

ϕ(صز)=ϕ(ص)ρ(ز){\displaystyle \phi (pg)=\phi (p)\rho (g)}، لكل p ∈ P Spin ( E ) و g ∈ Spin( n ) ،

حيث ρ  : Spin( n ) → SO( n ) هو تعيين المجموعات التي تقدم مجموعة الدوران كغطاء مزدوج لـ SO( n ).

في الحالة الخاصة التي يكون فيها E هو الحزمة المماسية TM فوق مشعب القاعدة M ، إذا وُجدت بنية دورانية ، يُقال إن M مشعب دوراني . وبالمثل، يكون M دورانيًا إذا كانت الحزمة الرئيسية SO( n ) للقواعد المتعامدة للألياف المماسية لـ M هي خارج قسمة Z² لحزمة دورانية رئيسية.

إذا كان للمتشعب تجزئة خلوية أو تثليث ، فيمكن اعتبار بنية الدوران، بشكل مكافئ، فئة تماثلية لتبسيط حزمة المماس فوق الهيكل العظمي أحادي البعد، والتي تمتد فوق الهيكل العظمي ثنائي البعد. إذا كان البعد أقل من 3، يُجرى أولًا جمع ويتني مع حزمة خطية تافهة.

الإعاقة والتصنيف

لحزمة متجهات قابلة للتوجيهπهـ:هـ→م{\displaystyle \pi _{E}:E\to M}توجد بنية دورانية علىهـ{\displaystyle E}إذا وفقط إذا كانت فئة ستيفل-ويتني الثانيةw2(هـ){\displaystyle w_{2}(E)}يختفي. هذه نتيجة لجهود أرماند بوريل وفريدريش هيرزبروش . [ 6 ] علاوة على ذلك، في حالةهـ→م{\displaystyle E\to M}في حالة الدوران، يكون عدد هياكل الدوران في تقابل معح1(م،Z/2){\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {Z} /2)}يمكن إثبات هذه النتائج بسهولة [ 7 ] صفحة 110-111 باستخدام حجة التسلسل الطيفي للمبدأ المرتبط.لذا⁡(ن){\displaystyle \operatorname {SO} (n)}-باقةPهـ→م{\displaystyle P_{E}\to M}لاحظ أن هذا يُسبب تليفًالذا⁡(ن)→Pهـ→م،{\displaystyle \operatorname {SO} (n)\to P_{E}\to M,} وبالتالي، يمكن تطبيق متتالية سير الطيفية . ومن النظرية العامة للمتتاليات الطيفية، توجد متتالية دقيقة 0→هـ30،1→هـ20،1→w2هـ22،0→هـ32،0→0{\displaystyle 0\to E_{3}^{0,1}\to E_{2}^{0,1}{\overset {w_{2}}{\rightarrow }}E_{2}^{2,0}\to E_{3}^{2,0}\to 0} أين هـ20،1=ح0(م،ح1(لذا⁡(ن)،Z/2))=ح1(لذا⁡(ن)،Z/2)=Z/2هـ22،0=ح2(م،ح0(لذا⁡(ن)،Z/2))=ح2(م،Z/2).{\displaystyle {\begin{aligned}E_{2}^{0,1}&=H^{0}(M,H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbf {Z} /2))=H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbf {Z} /2)=\mathbf {Z} /2\\E_{2}^{2,0}&=H^{2}(M,H^{0}(\operatorname {SO} (n),\mathbf {Z} /2))=H^{2}(M,\mathbf {Z} /2).\end{aligned}}} فضلاً عن ذلك،هـ∞0،1=هـ30،1{\displaystyle E_{\infty }^{0,1}=E_{3}^{0,1}}وهـ∞0،1=ح1(Pهـ،Z/2)/F1(ح1(Pهـ،Z/2)){\displaystyle E_{\infty }^{0,1}=H^{1}(P_{E},\mathbf {Z} /2)/F^{1}(H^{1}(P_{E},\mathbf {Z} /2))}لبعض الترشيحF{\displaystyle F}علىح1(Pهـ،Z/2){\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbf {Z} /2)}ومن ثم نحصل على خريطة ح1(Pهـ،Z/2)→هـ30،1{\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbf {Z} /2)\to E_{3}^{0,1}} أعطِ تسلسلًا دقيقًا ح1(Pهـ،Z/2)→ح1(لذا⁡(ن)،Z/2)→w2ح2(م،Z/2).{\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbf {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbf {Z} /2){\overset {w_{2}}{\rightarrow }}H^{2}(M,\mathbf {Z} /2).} الآن، بنية الدوران هي بالضبط غطاء مزدوج لـPهـ{\displaystyle P_{E}}التوافق مع مخطط تبادلييلف⁡(ن)→P~هـ→م↓↓↓لذا⁡(ن)→Pهـ→م{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spin} (n)&\to &{\tilde {P}}_{E}&\to &M\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {SO} (n)&\to &P_{E}&\to &M\end{matrix}}} حيث تمثل الخريطتان الرأسيتان على اليسار خريطتي التغطية المزدوجة. لاحظ التغطية المزدوجة لـPهـ{\displaystyle P_{E}}تكون في تقابل مع المؤشر2{\displaystyle 2}مجموعات فرعية منπ1(Pهـ){\displaystyle \pi _{1}(P_{E})}أو بعبارة أخرى، تكون هذه العناصر في تقابل ثنائي مع مجموعة تشاكلات الزمر.هوم(π1(Pهـ)،Z/2){\displaystyle {\text{Hom}}(\pi _{1}(P_{E}),\mathbf {Z} /2)}لكن، استنادًا إلى نظرية هوريفيتش وتغيير المعاملات، فإن هذه هي بالضبط مجموعة التماثل.ح1(Pهـ،Z/2){\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbf {Z} /2)}بتطبيق الحجة نفسها علىلذا⁡(ن){\displaystyle \operatorname {SO} (n)}، التغطية غير التافهةيلف⁡(ن)→لذا⁡(ن){\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}يتوافق مع1∈ح1(لذا⁡(ن)،Z/2)=Z/2{\displaystyle 1\in H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbf {Z} /2)=\mathbf {Z} /2}والخريطة إلىح2(م،Z/2){\displaystyle H^{2}(M,\mathbf {Z} /2)}هو بالضبطw2{\displaystyle w_{2}}من فئة ستيفل-ويتني الثانية، وبالتاليw2(1)=w2(هـ){\displaystyle w_{2}(1)=w_{2}(E)}إذا اختفى، فإن الصورة المعكوسة لـ1{\displaystyle 1}أسفل الخريطة ح1(Pهـ،Z/2)→ح1(لذا⁡(ن)،Z/2){\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbf {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbf {Z} /2)} هي مجموعة الأغطية المزدوجة التي تعطي هياكل الدوران. الآن، هذه المجموعة الفرعية منح1(Pهـ،Z/2){\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbf {Z} /2)}يمكن التعرف عليها من خلالح1(م،Z/2){\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {Z} /2)}يُظهر هذا أن مجموعة التماثل الأخيرة تصنف هياكل الدوران المختلفة على حزمة المتجهاتهـ→م{\displaystyle E\to M}يمكن القيام بذلك من خلال النظر إلى التسلسل الدقيق الطويل لمجموعات التماثل في التليف π1(لذا⁡(ن))→π1(Pهـ)→π1(م)→1{\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n))\to \pi _{1}(P_{E})\to \pi _{1}(M)\to 1} وتطبيقهوم(-،Z/2){\displaystyle {\text{Hom}}(-,\mathbf {Z} /2)}، مما يعطي تسلسل مجموعات التماثل 0→ح1(م،Z/2)→ح1(Pهـ،Z/2)→ح1(لذا⁡(ن)،Z/2).{\displaystyle 0\to H^{1}(M,\mathbf {Z} /2)\to H^{1}(P_{E},\mathbf {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbf {Z} /2).} لأنح1(م،Z/2){\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {Z} /2)}هي النواة، والصورة العكسية لـ1∈ح1(لذا⁡(ن)،Z/2){\displaystyle 1\in H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbf {Z} /2)}إذا كانت الدالة في تقابل مع النواة، فسنحصل على النتيجة المرجوة.

ملاحظات حول التصنيف

عند وجود بنى دورانية، فإن البنى الدورانية غير المتكافئة على متشعب ما لها تناظر أحادي (غير قانوني) مع عناصر H1 ( M , Z2 ) ، والتي، وفقًا لنظرية المعامل العام، متماثلة مع H1 ( M , Z2 ). وبشكل أدق، فإن فضاء فئات التماثل للبنى الدورانية هو فضاء أفيني فوق H1 ( M , Z2 ) .

بشكل بديهي، لكل دورة غير تافهة على M، يتوافق هيكل الدوران مع اختيار ثنائي لما إذا كان جزء من حزمة SO( N ) يبدل الصفائح عند الدوران حول الحلقة. إذا انعدم w2 [ 8 ] ، فيمكن تعميم هذه الخيارات على الهيكل الثنائي ، ثم (بحسب نظرية العوائق ) يمكن تعميمها تلقائيًا على كامل M. في فيزياء الجسيمات، يتوافق هذا مع اختيار شروط حدودية دورية أو مضادة للدورية للفيرميونات التي تدور حول كل حلقة. لاحظ أنه على مشعب معقدX{\displaystyle X}يمكن حساب فئة ستيفل-ويتني الثانية على أنها فئة تشيرن الأولىتعديل 2{\displaystyle {\text{mod }}2}.

أمثلة

  1. يسمح سطح ريمان من النوع g بـ 2 2 g هياكل دوران غير متكافئة؛ انظر الخاصية ثيتا .
  2. إذا انعدم H 2 ( M , Z 2 ) فإن M عبارة عن دوران. على سبيل المثال، S n عبارة عن دوران لجميعن≠2{\displaystyle n\neq 2}(لاحظ أن S 2 هو أيضًا دوران، ولكن لأسباب مختلفة؛ انظر أدناه.)
  3. المستوى الإسقاطي المركب CP 2 ليس دورانًا.
  4. وبشكل عام، فإن جميع الفضاءات الإسقاطية المعقدة ذات الأبعاد الزوجية CP 2 n ليست فضاءات دورانية.
  5. جميع الفضاءات الإسقاطية المعقدة ذات الأبعاد الفردية CP 2n+1 هي فضاءات دورانية.
  6. جميع المشعبات المدمجة والقابلة للتوجيه ذات الأبعاد 3 أو أقل هي مشعبات دورانية.
  7. جميع مشعبات كالابي-ياو هي مشعبات دورانية.

ملكيات

هياكل الدوران C

تُشابه بنية الدوران C بنية الدوران على مشعب ريماني موجه ، [ 9 ] ولكنها تستخدم مجموعة الدوران C ، والتي تُعرَّف بدلاً من ذلك بالتسلسل الدقيق

1→Z2→يلفج⁡(ن)→لذا⁡(ن)×يو⁡(1)→1.{\displaystyle 1\to \mathbf {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.}

لتوضيح ذلك، لنفترض أن κ  : Spin( n ) → U( N ) هو تمثيل سبينوري معقد. يتكون مركز U( N ) من العناصر القطرية الناتجة عن التضمين i  : U(1) → U( N ) ، أي المضاعفات العددية للعنصر المحايد. وبالتالي، يوجد تشاكل

κ×أنا:Sصأنان(ن)×يو(1)→يو(شمال).{\displaystyle \kappa \times i\colon {\mathrm {Spin} }(n)\times {\mathrm {U} }(1)\to {\mathrm {U} }(N).}

سيحتوي هذا دائمًا على العنصر (−1,−1) في النواة. بأخذ ناتج القسمة بتردد هذا العنصر، نحصل على المجموعة Spin C ( n ). هذا هو الضرب الملتوي

Sصأنانج(ن)=Sصأنان(ن)×Z2يو(1)،{\displaystyle {\mathrm {Spin} }^{\mathbf {C} }(n)={\mathrm {Spin} }(n)\times _{\mathbf {Z} _{2}}{\mathrm {U} }(1)\,,}

حيث U(1) = SO(2) = S 1. بعبارة أخرى، فإن المجموعة Spin C ( n ) هي امتداد مركزي لـ SO( n ) بواسطة S 1 .

بمعنى آخر، فإنّ Spin C ( n ) هي زمرة القسمة الناتجة عن Spin( n ) × Spin(2) بالنسبة إلى المتجه العمودي Z² ، والتي تتولد من خلال زوج تحويلات التغطية للحزمتين Spin( n ) → SO( n ) و Spin(2) → SO(2) على التوالي. وهذا يجعل زمرة Spin C حزمة فوق الدائرة ذات ألياف Spin( n )، وحزمة فوق SO( n ) ذات ألياف دائرة. [ 10 ] [ 11 ]

المجموعة الأساسية π 1 (Spin C ( n )) متماثلة مع Z إذا كان n ≠ 2، ومع Z ⊕ Z إذا كان n = 2.

إذا كان للمتشعب تجزئة خلوية أو تثليث ، فيمكن اعتبار بنية الدوران C مكافئة كفئة تماثلية لبنية معقدة فوق الهيكل ثنائي الأبعاد تمتد فوق الهيكل ثلاثي الأبعاد. وبالمثل، كما هو الحال مع بنى الدوران، يتم حساب مجموع ويتني باستخدام حزمة خطية تافهة إذا كان المتشعب فردي الأبعاد.

تعريف آخر هو أن بنية الدوران C على مشعب N هي حزمة خطية معقدة L فوق N بالإضافة إلى بنية دوران على T N ⊕ L.

عرقلة

توجد بنية ذات لف مغزلي من النوع C عندما تكون الحزمة قابلة للتوجيه، ويكون صنف ستيفل-ويتني الثاني للحزمة E في صورة الخريطة H² ( M , Z ) → H² ( M , Z /2Z ) ( بمعنى آخر، يتلاشى صنف ستيفل-ويتني التكاملي الثالث، انظر المناقشة أدناه). في هذه الحالة، يُقال إن E ذات لف مغزلي من النوع C. وبشكل بديهي، يُعطي الرفع صنف تشيرن لمربع الجزء U(1) من أي حزمة ذات لف مغزلي من النوع C مُستنتجة .

تصنيف

عندما يحمل فضاء متعدد الشعب بنية دورانية من النوع C ، فإن مجموعة هذه البنى تشكل فضاءً أفينيًا. علاوة على ذلك، تتمتع مجموعة البنى الدورانية من النوع C بتأثير انتقالي حر من H₂ ( M , Z ) . وبالتالي، فإن البنى الدورانية من النوع C تُقابل عناصر H₂ ( M , Z )، وإن لم يكن ذلك بطريقة طبيعية.

صورة هندسية

لهذا التفسير الهندسي التالي، والذي يعود الفضل فيه إلى إدوارد ويتن . عندما تكون بنية اللف المغزلي C غير صفرية، فإن حزمة الجذر التربيعي هذه لها فئة تشيرن غير صحيحة، مما يعني أنها لا تحقق شرط التداخل الثلاثي . على وجه الخصوص، فإن حاصل ضرب دوال الانتقال على تقاطع ثلاثي لا يساوي دائمًا واحدًا، كما هو مطلوب للحزمة الرئيسية . بل يكون أحيانًا -1 .

يحدث هذا الخلل عند نفس نقاط التقاطع التي يحدث عندها خلل مماثل في حاصل الضرب الثلاثي لدوال الانتقال لحزمة اللف المغزلي المحجوبة . لذلك، فإن حاصل الضرب الثلاثي لدوال الانتقال لحزمة اللف المغزلي الكاملة C ، وهي حاصل الضرب الثلاثي لحزمتي اللف المغزلي ومكون U(1)، إما أن يكون 1/2 = 1 أو ( -1) /2 = 1، وبالتالي فإن حزمة اللف المغزلي C تحقق شرط التداخل الثلاثي، وهي بالتالي حزمة صحيحة.

التفاصيل

يمكن توضيح الصورة الهندسية البديهية المذكورة أعلاه على النحو التالي. لنفترض المتتالية التامة القصيرة 0 → Z → Z → Z 2 → 0 ، حيث يمثل السهم الثاني الضرب في 2 والثالث الاختزال بتردد 2. ينتج عن ذلك متتالية تامة طويلة في علم التماثل، والتي تحتوي على

⋯⟶ح2(م؛Z)⟶2ح2(م؛Z)⟶ح2(م؛Z2)⟶βح3(م؛Z)⟶...،{\displaystyle \dots \longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} ){\stackrel {2}{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} _{2}){\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{3}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow \dots ,}

حيث يتم استحداث السهم الثاني عن طريق الضرب في 2، ويتم استحداث السهم الثالث عن طريق التقييد modulo 2، والسهم الرابع هو التماثل المرتبط ببوكشتاين β .

إن العائق أمام وجود حزمة اللف المغزلي هو العنصر w² من H² ( M , Z² ) . ويعكس هذا حقيقة أنه يمكن دائمًا رفع حزمة SO(n) محليًا إلى حزمة لف مغزلي، ولكن يلزم اختيار رفع Z² لكل دالة انتقال، وهو اختيار للإشارة. لا يوجد الرفع عندما يكون حاصل ضرب هذه الإشارات الثلاث على تداخل ثلاثي هو -1، مما ينتج عنه صورة تشيك للتماثل لـ w² .

لإلغاء هذا العائق، يتم ضرب حزمة الدوران هذه بحزمة U(1) ذات نفس العائق w 2. لاحظ أن هذا يُعد إساءة استخدام لكلمة " حزمة" ، حيث أن حزمة الدوران وحزمة U(1) لا تحققان شرط التداخل الثلاثي، وبالتالي فإن أياً منهما ليس حزمة في الواقع.

تُصنَّف الحزمة U(1) المشروعة وفقًا لفئة تشيرن الخاصة بها ، وهي عنصر من H² ( M , Z ) . نحدد هذه الفئة بالعنصر الأول في التسلسل الدقيق المذكور أعلاه. يُضاعف السهم التالي فئة تشيرن هذه، وبالتالي ستُقابل الحزم المشروعة العناصر الزوجية في H² ( M , Z ) الثاني ، بينما ستُقابل العناصر الفردية الحزم التي لا تستوفي شرط التداخل الثلاثي. يُصنَّف العائق بعد ذلك بناءً على عدم وجود عنصر في H²(M, Z) الثاني في صورة السهم ، والذي يُصنَّف ، بحسب الدقة، بناءً على صورته في H² ( M , Z² ) تحت السهم التالي .

لإلغاء العائق المقابل في حزمة الدوران، يجب أن تكون هذه الصورة w² . على وجه الخصوص، إذا لم تكن w² في صورة السهم، فلن توجد أي حزمة U(1) بعائق يساوي w²، وبالتالي لا يمكن إلغاء العائق. بالدقة، تكون w² في صورة السهم السابق فقط إذا كانت في نواة السهم التالي، وهو ما نذكره بتشاكل بوكشتاين β . أي أن شرط إلغاء العائق هو

دبليو3=βw2=0{\displaystyle W_{3}=\beta w_{2}=0}

حيث استخدمنا حقيقة أن فئة ستيفل-ويتني التكاملية الثالثة W 3 هي بوكشتاين لفئة ستيفل-ويتني الثانية w 2 (يمكن اعتبار هذا تعريفًا لـ W 3 ).

المصاعد المتكاملة من فئات ستيفل-ويتني

تُبيّن هذه الحجة أيضًا أن فئة ستيفل-ويتني الثانية تُعرّف عناصر ليس فقط من علم التماثل Z² ، بل أيضًا من علم التماثل التكاملي بدرجة أعلى. في الواقع، هذا هو الحال بالنسبة لجميع فئات ستيفل-ويتني الزوجية. جرت العادة على استخدام الحرف W الكبير للدلالة على الفئات الناتجة ذات الدرجة الفردية، والتي تُسمى فئات ستيفل-ويتني التكاملية، ويتم تصنيفها وفقًا لدرجتها (وهي دائمًا فردية).

أمثلة

  1. جميع المشعبات الملساء الموجهة ذات البعد 4 أو أقل هي ذات دوران C. [ 12 ] (على وجه الخصوص، وفقًا لنظرية هوبف وهيرزبروش، فإن المشعبات المغلقة القابلة للتوجيه ذات البعد 4 تقبل دائمًا بنية ذات دوران C. )
  2. جميع المتشعبات شبه المعقدة لها دوران C.
  3. جميع مشعبات الدوران هي دوران C.

تطبيق على فيزياء الجسيمات

في فيزياء الجسيمات ، تنص نظرية الإحصاء الدوراني على أن الدالة الموجية لفيرميون غير مشحون يمكن وصفها كجزء من حزمة المتجهات المرتبطة برفع اللف المغزلي لحزمة SO( N ) E. لذا، يُعد اختيار بنية اللف المغزلي جزءًا من البيانات اللازمة لتحديد الدالة الموجية، وغالبًا ما يتطلب الأمر جمع هذه الخيارات في دالة التقسيم . في العديد من النظريات الفيزيائية، تكون E هي الحزمة المماسية ، ولكن بالنسبة للفيرميونات على أحجام العالم لأغشية D في نظرية الأوتار، فهي حزمة عادية .

في نظرية الحقل الكمومي، تُعدّ السبينورات المشحونة مقاطع من حزم اللف المغزلي C المرتبطة بها ، وعلى وجه الخصوص، لا يمكن أن توجد سبينورات مشحونة في فضاء ليس له لف مغزلي C. ويُستثنى من ذلك بعض نظريات الجاذبية الفائقة ، حيث تشير التفاعلات الإضافية إلى إمكانية إلغاء حقول أخرى لفئة ستيفل-ويتني الثالثة. ويُعدّ الوصف الرياضي للسبينورات في الجاذبية الفائقة ونظرية الأوتار مسألة مفتوحة دقيقة للغاية، وقد تمّ تناولها مؤخرًا في المراجع [ 13 ] [ 14 ] . وقد تبيّن أن المفهوم القياسي لبنية اللف المغزلي مُقيّد للغاية بالنسبة لتطبيقاته في الجاذبية الفائقة ونظرية الأوتار، وأن المفهوم الصحيح لبنية السبينورات للصياغة الرياضية لهذه النظريات هو "بنية ليبشيتز" [ 13 ] [ 15 ] .

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 هيفليجر، أ. (1956). "Sur l'extension du groupe Structure d'un espace fibré". سي آر أكاد. الخيال العلمي. باريس . 243 : 558 – 560.
  2. ^ ج. ميلنور (1963). “تدور الهياكل على الفتحات”. L'Enseignement Mathématique . 9 : 198 – 203.
  3. ^ ليشنروفيتش، أ. (1964). "الأبطال المغزليون والدعاة في النسبية العامة" . ثور. شركة نفط الجنوب. الرياضيات. الاب . 92 : 11 – 100. دوى : 10.24033/bsmf.1604 .
  4. ^ كروبي، م. (1968). "Algèbres de Clifford et K-théorie" . آن. الخيال العلمي. المفوضية الأوروبية. نورم. ممتاز . 1 (2): 161-270 . دوى : 10.24033/asens.1163 .
  5. ^ ألاجيا، الموارد البشرية. Sánchez، CU (1985)، “Spin Structures on pseudo-Riemannian manifolds” (PDF) ، Revista de la Unión Matemática Argentina ، 32 : 64–78
  6. ↑ بوريل، أ.؛ هيرزبروش، ف. (1958). "الفئات المميزة والفضاءات المتجانسة 1". المجلة الأمريكية للرياضيات . 80 (2): 97-136 . doi : 10.2307/2372795 . JSTOR 2372795 . 
  7. ↑ باتي، فيشوامبهار. "المجمعات الإهليلجية ونظرية المؤشر" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 20 أغسطس 2018.
  8. ↑ "متعدد الشعب الدوراني وفئة ستيفل-ويتني الثانية" . Math.Stachexchange .
  9. ↑ لوسون، هـ. بلين؛ ميكلسون ، ماري لويز (1989). هندسة الدوران . مطبعة جامعة برينستون . ص 391. ISBN  978-0-691-08542-5.
  10. ↑ ر. جومبف (1997). " بنى الدوران c وتكافؤات التماثل ". الهندسة والطوبولوجيا . 1 : 41-50 . arXiv : math/9705218 . Bibcode : 1997math......5218G . doi : 10.2140/gt.1997.1.41 . S2CID 6906852 . 
  11. ↑ فريدريش ، توماس (2000). مؤثرات ديراك في الهندسة الريمانية . الجمعية الرياضية الأمريكية . ص 26. ISBN  978-0-8218-2055-1.
  12. ↑ جومبف، روبرت إي.؛ ستيبسيتش، أندراس آي. (1999). المتشعبات الرباعية وحساب كيربي . الجمعية الرياضية الأمريكية . الصفحات 55-58 ، 186-187 . ISBN  0-8218-0994-6.
  13. 1 2 لازارويو، سي.؛ شهبازي، سي إس (2019). "حزم بينور الحقيقية وبنى ليبشيتز الحقيقية". المجلة الآسيوية للرياضيات . 23 (5): 749-836 . arXiv : 1606.07894 . doi : 10.4310/AJM.2019.v23.n5.a3 . S2CID 119598006 . .
  14. ↑ لازارويو، سي.؛ شهبازي، سي إس (2019). "حول هندسة الدوران في نظرية الجاذبية الفائقة ونظرية الأوتار". الأساليب الهندسية في الفيزياء XXXVI . اتجاهات في الرياضيات. ص 229-235 . arXiv : 1607.02103 . doi : 10.1007/978-3-030-01156-7_25 . ISBN  978-3-030-01155-0. S2CID 104292702 . 
  15. ↑ فريدريش، توماس؛ تراوتمان، أندريه (2000). "فضاءات الدوران، ومجموعات ليبشيتز، وحزم الدوران". حوليات التحليل والهندسة العالمية . 18 (3): 221-240 . arXiv : math/9901137 . doi : 10.1023/A:1006713405277 . S2CID 118698159 . 

للمزيد من القراءة