دالة التقسيم (نظرية الحقل الكمومي)

في${\displaystyle d}$نظرية المجال ذات الأبعاد n مع مجال قياسي حقيقي${\displaystyle \phi }$والعمل​${\displaystyle S[\phi ]}$، يتم تعريف دالة التقسيم في شكل التكامل المساري على أنها الدالة ^{[ 1 ]}

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{iS[\phi ]+i\int d^{d}xJ(x)\phi (x)}}$

أين${\displaystyle J(x)}$هو تيار مصدر وهمي . يعمل كدالة مولدة لدوال الارتباط ذات النقاط n العشوائية

${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-i)^{n}{\frac {1}{Z[0]}}{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0}.}$

المشتقات المستخدمة هنا هي مشتقات دالية وليست مشتقات عادية، لأنها تؤثر على دوال وظيفية وليست دوال عادية. ومن هذا، ينتج أن التعبير المكافئ لدالة التوزيع، والذي يشبه متسلسلة قوى في تيارات المصدر، يُعطى بالصيغة ^{[ 2 ].}

${\displaystyle Z[J]=\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{n!}}\int \prod _{i=1}^{n}d^{d}x_{i}G(x_{1},\dots ,x_{n})J(x_{1})\cdots J(x_{n}).}$

في الزمكانات المنحنية، ثمة تعقيد إضافي يجب مراعاته نظرًا لأن حالة الفراغ الابتدائية لا تتطابق بالضرورة مع حالة الفراغ النهائية. ^{[ 3 ]} يمكن أيضًا بناء دوال التوزيع للمؤثرات المركبة بنفس طريقة بنائها للحقول الأساسية. ويمكن بعد ذلك حساب دوال الارتباط لهذه المؤثرات كمشتقات وظيفية لهذه الدوال. ^{[ 4 ]} على سبيل المثال، دالة التوزيع لمؤثر مركب${\displaystyle {\mathcal {O}}(x)}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle Z_{\mathcal {O}}[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{iS[\phi ]+i\int d^{d}xJ(x){\mathcal {O}}(x)}.}$

إن معرفة دالة التوزيع تحل النظرية تمامًا لأنها تسمح بالحساب المباشر لجميع دوال الارتباط الخاصة بها. ومع ذلك، هناك حالات قليلة جدًا يمكن فيها حساب دالة التوزيع بدقة. فبينما تسمح النظريات الحرة بحلول دقيقة، فإن النظريات التفاعلية لا تسمح بذلك عمومًا. بدلًا من ذلك، يمكن تقييم دالة التوزيع عند اقتران ضعيف بطريقة اضطرابية، وهو ما يعادل نظرية الاضطراب العادية باستخدام مخططات فاينمان.${\displaystyle J}$إدخالات على الأرجل الخارجية. ^{[ 5 ]} تختلف عوامل التناظر لهذه الأنواع من المخططات عن عوامل التناظر لدوال الارتباط، حيث أن جميع الأرجل الخارجية لها نفس الشكل.${\displaystyle J}$الإدخالات التي يمكن تبديلها، في حين أن الأجزاء الخارجية لوظائف الارتباط ثابتة عند إحداثيات محددة وبالتالي فهي ثابتة.

من خلال إجراء تحويل ويك ، يمكن التعبير عن دالة التقسيم في الزمكان الإقليدي على النحو التالي ^{[ 6 ]}

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{-(S_{E}[\phi ]+\int d^{d}x_{E}J\phi )},}$

أين${\displaystyle S_{E}}$هو الفعل الإقليدي و${\displaystyle x_{E}}$هي إحداثيات إقليدية. يرتبط هذا الشكل ارتباطًا وثيقًا بدالة التوزيع في الميكانيكا الإحصائية، لا سيما وأن لاغرانجيان الإقليدي عادةً ما يكون محدودًا من الأسفل، وفي هذه الحالة يمكن تفسيره على أنه كثافة طاقة . كما يسمح بتفسير العامل الأسي على أنه وزن إحصائي لتكوينات المجال، حيث تؤدي التقلبات الأكبر في التدرج أو قيم المجال إلى كبح أكبر. هذا الارتباط بالميكانيكا الإحصائية يمنحنا أيضًا فهمًا بديهيًا إضافيًا لكيفية سلوك دوال الارتباط في نظرية المجال الكمومي.

تنطبق معظم مبادئ الحالة العددية على النظريات الأكثر عمومية التي تتضمن حقولًا إضافية. يتطلب كل حقل إدخال تيار وهمي خاص به، كما تتطلب حقول الجسيمات المضادة تيارات منفصلة خاصة بها. يؤدي تطبيق مشتقة التيار على دالة التوزيع إلى خفض الحقل المرتبط به من الدالة الأسية، مما يسمح بإنشاء دوال ارتباط اختيارية. بعد التفاضل، تُضبط التيارات على الصفر عند الرغبة في الحصول على دوال ارتباط في حالة الفراغ، ولكن يمكن أيضًا ضبط التيارات على قيم محددة للحصول على دوال ارتباط في حقول خلفية غير معدومة.

بالنسبة لدوال التقسيم ذات حقول الفرميون ذات القيم غراسمان ، تكون المصادر أيضًا ذات قيم غراسمان. ^{[ 7 ]} على سبيل المثال، نظرية تحتوي على فرميون ديراك واحد${\displaystyle \psi (x)}$يتطلب ذلك إدخال تيارين من نوع غراسمان${\displaystyle \eta }$و${\displaystyle {\bar {\eta }}}$بحيث تكون دالة التقسيم

$// )).}$

المشتقات الوظيفية بالنسبة إلى${\displaystyle {\bar {\eta }}}$أعطِ حقول الفرميون بينما المشتقات بالنسبة إلى${\displaystyle \eta }$أعطِ حقولًا مضادة للفيرميون في دوال الارتباط.

نظرية المجال الحراري عند درجة الحرارة${\displaystyle T}$يكافئ في الشكلية الإقليدية نظرية ذات اتجاه زمني مضغوط بطول${\displaystyle \beta =1/T}$يجب تعديل دوال التقسيم بشكل مناسب عن طريق فرض شروط دورية على الحقول وتكاملات الزمكان الإقليدي.

${\displaystyle Z[\beta ,J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-S_{E,\beta [\phi ]+\int _{\beta }d^{d}x_{E}J\phi }{\bigg |}_{\phi ({\boldsymbol {x}},0)=\phi ({\boldsymbol) {س}}،\بيتا )}.}$

يمكن اعتبار دالة التوزيع هذه بمثابة تعريف لنظرية المجال الحراري في صيغة الزمن التخيلي. ^{[ 8 ]} تُستخلص دوال الارتباط من دالة التوزيع من خلال المشتقات الوظيفية المعتادة بالنسبة للتيارات.

${\displaystyle G_{n,\beta }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\delta ^{n}Z[\beta ,J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0}.}$