صياغة التكامل المساري

إحدى الطرق الشائعة لاستنتاج صيغة التكامل المساري هي تقسيم الفترة الزمنية إلى أجزاء صغيرة. وبمجرد القيام بذلك، تُخبرنا صيغة تروتر أن عدم تبادلية مؤثرات الطاقة الحركية والكامنة يمكن تجاهله.

بالنسبة لجسيم في جهد أملس، يُقارب التكامل المساري بمسارات متعرجة ، وهو في بُعد واحد ناتج عن تكاملات عادية. بالنسبة لحركة الجسيم من الموضع x _{_a} عند الزمن t_{_a} إلى x_{_b} عند الزمن t_{_b} ، فإن التسلسل الزمني

${\displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}<t_{n+1}=t_{b}}$

يمكن تقسيمها إلى n + 1 مقطعًا أصغر t _j − t _{j − 1} ، حيث j = 1، ...، n + 1 ، ذات مدة ثابتة

${\displaystyle \varepsilon =\Delta t={\frac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}.}$

تُسمى هذه العملية بتقسيم الوقت . ^{[ 12 ] : 498}

يمكن حساب تقريب لتكامل المسار على أنه يتناسب مع

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{a}}^{t_{b}}L{\big (}x(t),v(t){\big )}\,dt\right)\,dx_{0}\,\cdots \,dx_{n},}$

حيث L ( x , v ) هو لاغرانجيان النظام أحادي البعد مع متغير الموضع x ( t ) والسرعة v = ẋ ( t ) (انظر أدناه)، و dx _j يتوافق مع الموضع في الخطوة الزمنية j ، إذا تم تقريب التكامل الزمني بمجموع n من الحدود.

في الحد n → ∞ ، يصبح هذا تكاملاً وظيفياً ، والذي، بصرف النظر عن عامل غير أساسي، هو مباشرة ناتج سعات الاحتمال ⟨ x _b , t _b | x _a , t _a ⟩ (بشكل أدق، نظرًا لأنه يجب العمل مع طيف مستمر، الكثافات المعنية) لإيجاد جسيم ميكانيكا الكم عند t _a في الحالة الأولية x _a وعند t _b في الحالة النهائية x _b .

في الواقع، L هو لاغرانجيان الكلاسيكي للنظام أحادي البعد المدروس،

${\displaystyle L(x,{\dot {x}})=TV={\frac {1}{2}}m|{\dot {x}}|^{2}-V(x)}$

ويتوافق "التعرج" المذكور أعلاه مع ظهور المصطلحات

${\displaystyle \exp \left({\frac {i}{\hbar }}\varepsilon \sum _{j=1}^{n+1}L\left({\tilde {x}}_{j},{\frac {x_{j}-x_{j-1}}{\varepsilon }},j\right)\right)}$

في مجموع ريمان الذي يقارب التكامل الزمني، والذي يتم تكامله في النهاية على x ₁ إلى x _n باستخدام مقياس التكامل dx ₁ ... dx _n ، x̃ _j هي قيمة اختيارية للفترة الزمنية المقابلة لـ j ، على سبيل المثال مركزها، ⁠ x _j + x _{j −1} / 2 ⁠ .

وبالتالي، على عكس الميكانيكا الكلاسيكية، لا يساهم المسار الثابت فحسب، بل تساهم جميع المسارات الافتراضية بين النقطة الأولية والنقطة النهائية أيضًا.

فيما يتعلق بدالة الموجة في تمثيل الموضع، فإن صيغة التكامل المساري تُقرأ على النحو التالي:

$//$

أين${\displaystyle {\mathcal {D}}\mathbf {x} }$يشير إلى التكامل على جميع المسارات${\displaystyle \mathbf {x} }$مع${\displaystyle \mathbf {x} (0)=x}$وأين${\displaystyle Z}$هو عامل توحيد. هنا${\displaystyle S}$هو الفعل الذي يُعطى بواسطة

${\displaystyle S[\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }}]=\int dt\,L(\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t))}$

يُعطي تمثيل التكامل المساري السعة الكمومية للانتقال من النقطة x إلى النقطة y كتكامل على جميع المسارات. بالنسبة لفعل الجسيم الحر (لتبسيط الأمر، نفترض أن m = 1 و ħ = 1 ).

${\displaystyle S=\int {\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t,}$

يمكن حساب التكامل بشكل صريح.

لتحقيق ذلك، من الملائم البدء بدون العامل i في الدالة الأسية، بحيث يتم كبح الانحرافات الكبيرة بواسطة أعداد صغيرة، وليس عن طريق إلغاء المساهمات التذبذبية. وتكون السعة (أو النواة) على النحو التالي:

${\displaystyle K(xy;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\exp \left(-\int _{0}^{T}{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t\right)\,{\mathcal {D}}x.}$

تقسيم التكامل إلى شرائح زمنية:

${\displaystyle K(xy;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\prod _{t}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\left({\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}\right)^{2}\varepsilon \right)\,{\mathcal {D}}x,}$

حيث يُفسَّر D على أنه مجموعة محدودة من التكاملات عند كل مضاعف صحيح لـ ε . كل عامل في الناتج هو دالة غاوسية كدالة لـ x ( t + ε ) متمركزة عند x ( t ) بتباين ε . التكاملات المتعددة هي التفاف متكرر لهذه الدالة الغاوسية _Gε مع نسخ منها في أوقات متجاورة.

${\displaystyle K(xy;T)=G_{\varepsilon }*G_{\varepsilon }*\cdots *G_{\varepsilon },}$

حيث يكون عدد عمليات الالتفاف T / ε . يسهل حساب النتيجة بأخذ تحويل فورييه لكلا الطرفين، بحيث تصبح عمليات الالتفاف عمليات ضرب.

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)={\tilde {G}} _ {\varepsilon }(p)^{T/\varepsilon }.}$

إن تحويل فورييه للدالة الغاوسية G هو دالة غاوسية أخرى ذات تباين مقلوب:

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)=e^{-{\frac {\varepsilon p^{2}}{2}}},}$

والنتيجة هي

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)=e^{-{\frac {Tp^{2}}{2}}}.}$

يُعطي تحويل فورييه قيمة K ، وهي دالة غاوسية مرة أخرى ذات تباين مقلوب:

${\displaystyle K(xy;T)\propto e^{-{\frac {(xy)^{2}}{2T}}}.}$

لا يُحدد ثابت التناسب فعليًا من خلال أسلوب تقسيم الزمن، بل تُحدد فقط نسبة القيم لخيارات نقاط النهاية المختلفة. ينبغي اختيار ثابت التناسب لضمان أن يكون التطور الزمني بين كل شريحتين زمنيتين متجاورتين متماثلًا كميًا، ولكن من الأنسب تحديد التطبيع بطريقة أكثر وضوحًا، وذلك بالنظر إلى التكامل المساري كوصف لعملية عشوائية .

للنتيجة تفسير احتمالي. يمكن اعتبار مجموع جميع مسارات العامل الأسي مجموع احتمالات اختيار كل مسار على حدة. الاحتمال هو حاصل ضرب احتمالات اختيار كل جزء، بحيث يتم اختيار كل جزء بشكل مستقل احتماليًا. كون الإجابة توزيعًا غاوسيًا ينتشر خطيًا مع الزمن هو ما يُعرف بنظرية النهاية المركزية ، والتي يمكن تفسيرها على أنها أول تقييم تاريخي لتكامل المسار الإحصائي.

يُتيح تفسير الاحتمالية خيارًا طبيعيًا للتطبيع. ينبغي تعريف التكامل المساري بحيث

${\displaystyle \int K(xy;T)\,dy=1.}$

هذا الشرط يُطبع التوزيع الغاوسي وينتج نواة تخضع لمعادلة الانتشار:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}K(x;T)={\frac {\nabla ^{2}}{2}}K.}$

بالنسبة لتكاملات المسار التذبذبية، التي تحتوي على i في البسط، ينتج عن تقسيم الزمن دوال غاوسية ملتفة، كما في السابق. ولكن الآن، يكون ناتج الالتفاف شاذًا بشكل هامشي، لأنه يتطلب حدودًا دقيقة لتقييم التكاملات التذبذبية. ولجعل العوامل محددة جيدًا، فإن أسهل طريقة هي إضافة جزء تخيلي صغير إلى الزيادة الزمنية ε . يرتبط هذا ارتباطًا وثيقًا بدوران ويك . ثم تعطينا حجة الالتفاف نفسها كما في السابق نواة الانتشار.

${\displaystyle K(xy;T)\propto e^{\frac {i(xy)^{2}}{2T}},}$

والتي، بنفس التطبيع كما في السابق (وليس تطبيع مجموع المربعات - فهذه الدالة لها معيار متباعد)، تخضع لمعادلة شرودنغر الحرة:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}K(x;T)=i{\frac {\nabla ^{2}}{2}}K.}$

هذا يعني أن أي تراكب لـ K s سيخضع أيضًا لنفس المعادلة، بحكم الخطية. تعريف

${\displaystyle \psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(xy;t)\,dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}^{x(t)=y}e^{iS}\,{\mathcal {D}}x,}$

إذن، تخضع ψ _t لمعادلة شرودنغر الحرة تمامًا كما تفعل K :

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{t}=-{\frac {\nabla ^{2}}{2}}\psi _{t}.}$

دالة لاغرانج للمذبذب التوافقي البسيط هي ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}$

اكتب مسارها x ( t ) على أنه المسار الكلاسيكي مضافًا إليه بعض الاضطراب، x ( t ) = xc ₍ t ) + δx ( t ) ، واكتب الفعل على أنه S = Sc + δS . يمكن كتابة المسار الكلاسيكي على النحو التالي _:

${\displaystyle x_{\text{c}}(t)=x_{i}{\frac {\sin \omega (t_{f}-t)}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}+x_{f}{\frac {\sin \omega (t-t_{i})}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}.}$

ينتج عن هذا المسار الفعل الكلاسيكي

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\text{c}}&=\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\,dt=\int _{t_{i}}^{t_{f}}\left({\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{2}}m\omega \left({\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos \omega (t_{f}-t_{i})-2x_{i}x_{f}}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}\right)~.\end{aligned}}}$

بعد ذلك، قم بتوسيع الانحراف عن المسار الكلاسيكي كمتسلسلة فورييه، واحسب المساهمة في الفعل δS ، مما يعطي

${\displaystyle S=S_{\text{c}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2}}a_{n}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(n\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right).}$

هذا يعني أن المُوَجِّه هو

${\displaystyle {\begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})&=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {j\pi }{\sqrt {2}}}\int da_{j}\exp {\left({\frac {i}{2\hbar }}a_{j}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(j\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right)\right)}\\[6pt]&=e^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}Q\prod _{j=1}^{\infty }\left(1-\left({\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{j\pi }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}}$

لبعض عمليات التطبيع

${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar (t_{f}-t_{i})}}}~.}$

باستخدام تمثيل دالة sinc بضرب لانهائي ،

${\displaystyle \prod _{j=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{j^{2}}}\right)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}},}$

يمكن كتابة دالة الانتشار على النحو التالي:

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}}=e^{\frac {iS_{c}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega (t_{f}-t_{i})}}}.}$

ليكن T = t _f − t _i . يمكن كتابة هذا المولد بدلالة حالات الطاقة الذاتية كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})&=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega T}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp {\left({\frac {i}{\hbar }}{\tfrac {1}{2}}m\omega {\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos \omega T-2x_{i}x_{f}}{\sin \omega T}}\right)}\\[6pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\exp {\left(-{\frac {iE_{n}T}{\hbar }}\right)}\psi _{n}(x_{f})\psi _{n}(x_{i})^{*}~.\end{aligned}}}$

باستخدام المتطابقتين i sin ωT = 1/2 e iωT ⁽ 1 − e −2 ^iωT ) و cos ^ωT = 1/2 e ^iωT ( 1 + e −2 ^iωT ) ، فإن ^هذا يُعادل

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\frac {-i\omega T}{2}}\left(1-e^{-2i\omega T}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\exp {\left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left(\left(x_{i}^{2}+x_{f}^{2}\right){\frac {1+e^{-2i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}-{\frac {4x_{i}x_{f}e^{-i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}\right)\right)}.}$

يمكن دمج جميع الحدود بعد الحد الأول e ^{− iωT /2} في R ( T ) ، وبالتالي الحصول على

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\frac {-i\omega T}{2}}\cdot R(T).}$

يمكن أخيرًا توسيع R ( T ) بدلالة قوى e ^{− iωT} : تُضرب جميع الحدود في هذا التوسيع بالعامل e ^{− iωT /2} في المقدمة، مما ينتج عنه حدود من الشكل

${\displaystyle e^{\frac {-i\omega T}{2}}e^{-in\omega T}=e^{-i\omega T\left({\frac {1}{2}}+n\right)}\quad {\text{for }}n=0,1,2,\ldots .}$

بالمقارنة مع توسيع الحالة الذاتية المذكور أعلاه، نحصل على طيف الطاقة القياسي للمذبذب التوافقي البسيط.

${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega ~.}$

مع ذلك، لا يوجد تقريب فاينمان الزمني المقطعي لأهم تكاملات المسار الكمومي للذرات، وذلك بسبب تفرد جهد كولوم ⁠ e ² / r ⁠ عند نقطة الأصل. فقط بعد استبدال الزمن t بمعامل زمني زائف آخر يعتمد على المسار

${\displaystyle s=\int {\frac {dt}{r(t)}}}$

تُزال النقطة الشاذة، ويتوفر تقريب مُقسّم زمنيًا، وهو قابل للتكامل تمامًا، إذ يمكن جعله توافقيًا بتحويل إحداثيات بسيط، كما اكتشفه إسماعيل حقي دورو وهاجن كلاينرت عام 1979. ^{[ 14 ]} يُعدّ الجمع بين تحويل زمني يعتمد على المسار وتحويل إحداثيات أداةً مهمةً لحل العديد من تكاملات المسار ، ويُطلق عليه عمومًا تحويل دورو-كلاينرت .

يُعيد التكامل المساري إنتاج معادلة شرودنغر للحالة الابتدائية والنهائية حتى في وجود جهد كامن. ويتضح ذلك بسهولة من خلال حساب التكامل المساري على فترات زمنية متناهية الصغر.

${\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x;t)\int _{x(t)=x}^{x(t+\varepsilon )=y}e^{i\int _{t}^{t+\varepsilon }{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}-V(x){\bigr )}dt}Dx(t)\,dx\qquad (1)}$

بما أن الفاصل الزمني ضئيل للغاية، وتصبح التذبذبات المتداخلة شديدة عند القيم الكبيرة لـ ẋ ، فإن التكامل المساري يكون له أكبر وزن عندما تكون y قريبة من x . في هذه الحالة، تكون طاقة الوضع ثابتة في أدنى رتبة، ويكون تأثير الطاقة الحركية فقط هو غير تافه. (هذا الفصل بين حدي الطاقة الحركية وطاقة الوضع في الأس هو في الأساس صيغة تروتر للضرب ). الأس للفعل هو

${\displaystyle e^{-i\varepsilon V(x)}e^{i{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\varepsilon }}$

يُدير الحد الأول طور ψ ( x ) محليًا بمقدار يتناسب مع طاقة الوضع. أما الحد الثاني فهو مُوَصِّل الجسيم الحر، ويُقابل عملية انتشار مضروبة في i . في أدنى رتبة بالنسبة لـ ε، يكونان جمعيين؛ وفي جميع الأحوال، يكون لدينا (1):

${\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )\approx \int \psi (x;t)e^{-i\varepsilon V(x)}e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2\varepsilon }}\,dx\,.}$

كما ذكرنا، فإن انتشار ψ يكون انتشارياً من انتشار الجسيمات الحرة، مع دوران إضافي متناهي الصغر في الطور يتغير ببطء من نقطة إلى أخرى من الجهد:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\cdot \left({\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}-V(x)\right)\psi \,}$

وهذه هي معادلة شرودنغر. يجب تحديد معيار التكامل المساري بنفس الطريقة المتبعة في حالة الجسيم الحر. لا يؤثر الجهد المستمر العشوائي على المعيار، مع أن الجهود الشاذة تتطلب معالجة دقيقة.

بما أن الحالات تخضع لمعادلة شرودنغر، فإن التكامل المساري يجب أن يُعيد إنتاج معادلات هايزنبرغ للحركة لمتوسطات المتغيرين x و ẋ ، ولكن من المفيد رؤية ذلك مباشرةً. يُظهر النهج المباشر أن القيم المتوقعة المحسوبة من التكامل المساري تُعيد إنتاج القيم المعتادة في ميكانيكا الكم.

ابدأ بدراسة التكامل المساري مع حالة ابتدائية ثابتة.

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}e^{iS(x,{\dot {x}})}\,Dx\,}$

الآن، يُمثل x ( t ) عند كل لحظة زمنية متغير تكامل منفصل. لذا، من المشروع تغيير المتغيرات في التكامل عن طريق الإزاحة: x ( t ) = u ( t ) + ε ( t )، حيث ε ( t ) هي إزاحة مختلفة عند كل لحظة زمنية، ولكن ε (0) = ε ( T ) = 0 ، لأن نقاط النهاية غير مُكاملة.

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}e^{iS(u+\varepsilon ,{\dot {u}}+{\dot {\varepsilon }})}\,Du\,}$

التغيير في التكامل الناتج عن الإزاحة هو، بالنسبة لأول رتبة متناهية الصغر في ε :

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}\left(\int {\frac {\partial S}{\partial u}}\varepsilon +{\frac {\partial S}{\partial {\dot {u}}}}{\dot {\varepsilon }}\,dt\right)e^{iS}\,Du\,}$

والذي، عند إجراء التكامل بالتجزئة بالنسبة لـ t ، يعطي:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}-\left(\int \left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {u}}}}-{\frac {\partial S}{\partial u}}\right)\varepsilon (t)\,dt\right)e^{iS}\,Du\,}$

لكن هذا مجرد تغيير في متغيرات التكامل، وهو ما لا يغير قيمة التكامل لأي اختيار لـ ε ( t ) . والخلاصة هي أن هذا التغير من الدرجة الأولى يساوي صفرًا لأي حالة ابتدائية وأي لحظة زمنية.

${\displaystyle \left\langle \psi _{0}\left|{\frac {\delta S}{\delta x}}(t)\right|\psi _{0}\right\rangle =0}$

هذه هي معادلة هايزنبرغ للحركة.

إذا كان الفعل يحتوي على حدود تضرب ẋ و x في نفس اللحظة الزمنية، فإن العمليات المذكورة أعلاه هي مجرد عمليات استدلالية، لأن قواعد الضرب لهذه الكميات غير تبادلية في التكامل المساري كما هي في الشكلية التشغيلية.

إذا تجاوز التغير في الفعل قيمة ħ بعدة مراتب، فعادةً ما يحدث تداخل هدّام باستثناء المناطق المجاورة للمسارات التي تحقق معادلة أويلر-لاغرانج ، والتي يُعاد تفسيرها الآن كشرط للتداخل البنّاء. ويمكن إثبات ذلك باستخدام طريقة الطور الثابت المطبقة على المولد. مع انخفاض قيمة ħ ، يتذبذب الأسي في التكامل بسرعة في المجال المركب لأي تغير في الفعل. وبالتالي، في حالة اقتراب ħ من الصفر، لا تُساهم في المولد إلا النقاط التي لا يتغير عندها الفعل الكلاسيكي.

لا يُظهر صياغة التكامل المساري بوضوح للوهلة الأولى أن الكميتين x و p لا تتبادلان. في التكامل المساري، هما مجرد متغيرات تكامل، وليس لهما ترتيب واضح. اكتشف فاينمان أن عدم التبادلية لا يزال قائماً. ^{[ 15 ]}

لتوضيح ذلك، لننظر إلى أبسط تكامل مساري، وهو مسار براوني. هذا ليس بعد ميكانيكا الكم، لذا في التكامل المساري لا يتم ضرب الفعل في i :

${\displaystyle S=\int \left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\,dt}$

الكمية x ( t ) متذبذبة، ويتم تعريف المشتقة على أنها نهاية الفرق المنفصل.

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

المسافة التي يقطعها المسار العشوائي تتناسب مع √t ، بحيث:

${\displaystyle x(t+\varepsilon )-x(t)\approx {\sqrt {\varepsilon }}}$

وهذا يدل على أن المشي العشوائي غير قابل للتفاضل، لأن النسبة التي تحدد المشتقة تتباعد باحتمال واحد.

الكمية xẋ غامضة، ولها معنيان محتملان:

${\displaystyle [1]=x{\frac {dx}{dt}}=x(t){\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

${\displaystyle [2]=x{\frac {dx}{dt}}=x(t+\varepsilon ){\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

في حساب التفاضل والتكامل الابتدائي، لا يختلف الاثنان إلا بمقدار يؤول إلى الصفر عندما تؤول قيمة ε إلى الصفر. ولكن في هذه الحالة، فإن الفرق بين الاثنين ليس صفرًا:

${\displaystyle [2]-[1]={\frac {{\big (}x(t+\varepsilon )-x(t){\big )}^{2}}{\varepsilon }}\approx {\frac {\varepsilon }{\varepsilon }}}$

يترك

${\displaystyle f(t)={\frac {{\big (}x(t+\varepsilon )-x(t){\big )}^{2}}{\varepsilon }}}$

إذن، f ( t ) هي كمية إحصائية متذبذبة بسرعة، وقيمتها المتوسطة تساوي 1، أي أنها "عملية غاوسية" مُعَيَّرة. ويمكن وصف تذبذبات هذه الكمية بواسطة لاغرانجي إحصائي.

${\displaystyle {\mathcal {L}}=(f(t)-1)^{2}\,,}$

ومعادلات الحركة للدالة f، المشتقة من إيجاد القيمة القصوى للفعل S الموافق لـ L ، تجعلها تساوي 1. في الفيزياء، تُعرف هذه الكمية بأنها "تساوي 1 كعنصر محايد للمؤثر". وفي الرياضيات، "تتقارب تقاربًا ضعيفًا إلى 1". في كلتا الحالتين، تساوي 1 في أي قيمة متوقعة، أو عند حساب متوسطها على أي فترة، أو لجميع الأغراض العملية.

تحديد ترتيب الوقت ليكون ترتيب المشغل:

${\displaystyle [x,{\dot {x}}]=x{\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx}{dt}}x=1}$

يُطلق على هذا اسم ليمّا إيتو في حساب التفاضل والتكامل العشوائي ، وعلاقات التبادل القانونية (الإقليدية) في الفيزياء.

بالنسبة للإجراء الإحصائي العام، تُظهر حجة مماثلة أن

${\displaystyle \left[x,{\frac {\partial S}{\partial {\dot {x}}}}\right]=1}$

وفي ميكانيكا الكم، تقوم الوحدة التخيلية الإضافية في الفعل بتحويل هذا إلى علاقة التبادل المتعارف عليها.

${\displaystyle [x,p]=i}$

بالنسبة لجسيم في فضاء منحني، يعتمد الحد الحركي على الموضع، ولا يمكن تطبيق تقسيم الزمن المذكور أعلاه، وهذا يُعدّ مظهرًا من مظاهر مشكلة ترتيب المؤثرات المعروفة في ميكانيكا الكم لشرودنغر. مع ذلك، يمكن حل هذه المشكلة بتحويل تكامل المسار في الفضاء المسطح، المُقسّم زمنيًا، إلى فضاء منحني باستخدام تحويل إحداثيات متعدد القيم ( شرح التحويل غير الهولونومي هنا ).

في بعض الأحيان (على سبيل المثال، جسيم يتحرك في فضاء منحني) يكون لدينا أيضًا عوامل نظرية القياس في التكامل الوظيفي:

${\displaystyle \int \mu [x]e^{iS[x]}\,{\mathcal {D}}x.}$

هذا العامل ضروري لاستعادة الوحدة.

على سبيل المثال، إذا

${\displaystyle S=\int \left({\frac {m}{2}}g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-V(x)\right)\,dt,}$

وهذا يعني أن كل شريحة مكانية تُضرب بالمقياس √g . لا يمكن التعبير عن هذا المقياس كدالة تضرب مقياس D x لأنهما ينتميان إلى فئات مختلفة تمامًا.

عناصر المصفوفة من النوع${\displaystyle \langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t')}F({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t')}|x_{i}\rangle }$اتخذ الشكل

${\displaystyle \int _{x(0)=x_{i}}^{x(t)=x_{f}}{\mathcal {D}}[x]F(x(t'))e^{{\frac {i}{\hbar }}\int dtL(x(t),{\dot {x}}(t))}}$.

ويمكن تعميم ذلك ليشمل عوامل متعددة، على سبيل المثال

${\displaystyle \langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{1})}F_{1}({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{1}-t_{2})}F_{2}({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{2})}|x_{i}\rangle =\int _{x(0)=x_{i}}^{x(t)=x_{f}}{\mathcal {D}}[x]F_{1}(x(t_{1}))F_{2}(x(t_{2}))e^{{\frac {i}{\hbar }}\int dtL(x(t),{\dot {x}}(t))}}$،

وإلى القيمة المتوقعة العامة للفراغ (في الحد الزمني الكبير)

${\displaystyle \langle F\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}[\phi ]F(\phi )e^{{\frac {i}{\hbar }}S[\phi ]}}{\int {\mathcal {D}}[\phi ]e^{{\frac {i}{\hbar }}S[\phi ]}}}}$.

إذا استبدلنا${\displaystyle t}$بواسطة${\displaystyle -it}$، عامل تطور الزمن${\displaystyle e^{-it{\hat {H}}/\hbar }}$يتم استبدالها بـ${\displaystyle e^{-t{\hat {H}}/\hbar }}$. (يُعرف هذا التغيير باسم دوران ويك .) إذا كررنا اشتقاق صيغة التكامل المساري في هذا السياق، فسنحصل على ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}e^{-S_{\mathrm {Euclidean} }(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }})/\hbar }\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,}$،

أين${\displaystyle S_{\mathrm {Euclidean} }}$هو الفعل الإقليدي، المعطى بواسطة

${\displaystyle S_{\mathrm {Euclidean} }(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }})=\int \left[{\frac {m}{2}}|{\dot {\mathbf {x} }}(t)|^{2}+V(\mathbf {x} (t))\right]\,dt}$.

لاحظ تغير الإشارة بين هذا الفعل والفعل الطبيعي، حيث يكون حد طاقة الوضع سالباً. (مصطلح "إقليدي" مأخوذ من سياق نظرية الحقل الكمومي، حيث يؤدي التحول من الزمن الحقيقي إلى الزمن التخيلي إلى تغيير هندسة الزمكان من لورنتزية إلى إقليدية).

أما مساهمة الطاقة الحركية في التكامل المساري فهي كما يلي:

${\displaystyle {\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}f(\mathbf {x} )e^{-{\frac {m}{2}}\int |{\dot {\mathbf {x} }}|^{2}dt}\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,}$

أين${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$يشمل ذلك جميع التبعيات المتبقية للدالة المراد تكاملها على المسار. ولهذا التكامل تفسير رياضي دقيق باعتباره تكاملاً مقابل مقياس وينر ، ويرمز له بـ${\displaystyle \mu _{x}}$يُوفر مقياس وينر، الذي وضعه نوربرت وينر، أساسًا متينًا للنموذج الرياضي لأينشتاين للحركة البراونية .${\displaystyle x}$يشير ذلك إلى أن المقياس${\displaystyle \mu _{x}}$مدعوم على المسارات${\displaystyle \mathbf {x} }$مع${\displaystyle \mathbf {x} (0)=x}$.

ثم لدينا نسخة دقيقة من تكامل مسار فاينمان، والمعروفة باسم صيغة فاينمان-كاك : ^{[ 17 ]}

${\displaystyle \psi (x,t)=\int e^{-\int V(\mathbf {x} (t))\,dt/\hbar }\,\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,d\mu _{x}(\mathbf {x} )}$،

أين الآن؟${\displaystyle \psi (x,t)}$يفي بصيغة ويك المُدارة لمعادلة شرودنغر،

${\displaystyle \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\hat {H}}\psi (x,t)}$.

على الرغم من أن معادلة شرودنغر المُدارة بواسطة ويك لا تحمل معنى فيزيائيًا مباشرًا، إلا أن هناك خصائص مثيرة للاهتمام لمؤثر شرودنغر${\displaystyle {\hat {H}}}$يمكن استخلاصها من خلال دراستها. ^{[ 18 ]}

تُجرى معظم دراسات نظريات الحقول الكمومية من منظور التكامل المساري، في كلٍّ من أدبيات الرياضيات والفيزياء، ضمن الإطار الإقليدي، أي بعد دوران ويك. وعلى وجه الخصوص، توجد نتائج عديدة تُبين أنه إذا أمكن بناء نظرية حقل إقليدية بخصائص مناسبة، فإنه يُمكن حينها عكس دوران ويك لاستعادة النظرية الفيزيائية اللورنتزية. ^{[ 19 ]} من جهة أخرى، يُعدّ إيجاد معنى للتكاملات المسارية (حتى التكاملات المسارية الإقليدية) في نظرية الحقل الكمومي أكثر صعوبةً بكثير منه في ميكانيكا الكم. ^{[ 20 ]}

إن التكامل المساري هو مجرد تعميم للتكامل المذكور أعلاه ليشمل جميع مسائل ميكانيكا الكم.

${\displaystyle Z=\int e^{\frac {i{\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]}{\hbar }}\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \quad {\text{where }}{\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]=\int _{0}^{t_{f}}L[\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t)]\,dt}$

هو فعل المسألة الكلاسيكية التي يتم فيها دراسة المسار الذي يبدأ عند الزمن t = 0 وينتهي عند الزمن t = t _f ، و${\displaystyle {\mathcal {D}}\mathbf {x} }$يرمز إلى مقياس التكامل على جميع المسارات. في الحد الكلاسيكي،${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]\gg \hbar }$^{[ 21 ]} يهيمن مسار الحد الأدنى من الفعل على التكامل، لأن طور أي مسار بعيدًا عن هذا المسار يتذبذب بسرعة وتلغي المساهمات المختلفة بعضها بعضًا.

فيما يلي الربط مع الميكانيكا الإحصائية . بالنظر فقط إلى المسارات التي تبدأ وتنتهي في نفس التكوين، نُجري دوران ويك it = ħβ ، أي نجعل الزمن تخيليًا، ونُجري التكامل على جميع التكوينات الممكنة للبداية والنهاية. يُشبه تكامل المسار المُدار بواسطة ويك -الموصوف في القسم الفرعي السابق، مع استبدال الفعل العادي بنظيره "الإقليدي"- دالة التوزيع في الميكانيكا الإحصائية المُعرّفة في مجموعة كانونية ذات درجة حرارة عكسية تتناسب مع الزمن التخيلي، 1 / T = ikBt / _ħ . وبالمعنى الدقيق، تُعد هذه دالة التوزيع لنظرية المجال الإحصائي .

من الواضح أن هذا التشابه العميق بين ميكانيكا الكم والميكانيكا الإحصائية لا يمكن أن يعتمد على الصياغة. في الصياغة المتعارف عليها، نرى أن مؤثر التطور الوحدوي لحالة ما يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle |\alpha ;t\rangle =e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}|\alpha ;0\rangle }$

حيث تتطور الحالة α من الزمن t = 0. إذا أجرينا دوران ويك هنا، ووجدنا أن السعة اللازمة للانتقال من أي حالة إلى نفس الحالة في زمن (تخيلي) iβ تُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle Z=\operatorname {Tr} \left[e^{-H\beta }\right]}$

وهي تحديدًا دالة التوزيع في الميكانيكا الإحصائية للنظام نفسه عند درجة الحرارة المذكورة سابقًا. وقد كان أحد جوانب هذا التكافؤ معروفًا أيضًا لإرفين شرودنغر، الذي لاحظ أن المعادلة التي سُميت باسمه تُشبه معادلة الانتشار بعد دوران ويك. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن تكامل المسار الإقليدي هو في الواقع على شكل نموذج كلاسيكي للميكانيكا الإحصائية.

في النظريات النسبية، يوجد تمثيل للجسيمات وتمثيل للمجال لكل نظرية. تمثيل المجال هو مجموع جميع تكوينات المجال، وتمثيل الجسيمات هو مجموع مسارات الجسيمات المختلفة.

يُعطى النموذج غير النسبي تقليديًا بدلالة مسارات الجسيمات، وليس الحقول. هناك، يعطي التكامل المساري في المتغيرات المعتادة، مع شروط حدودية ثابتة، سعة الاحتمالية لانتقال جسيم من النقطة x إلى النقطة y في الزمن T :

${\displaystyle K(x,y;T)=\langle y;T\mid x;0\rangle =\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}e^{iS[x]}\,Dx.}$

يُسمى هذا المُوَصِّل . وللحصول على الحالة النهائية عند y ، نُطبِّق K ( x , y ; T ) على الحالة الابتدائية ونُكامل على x، مما ينتج عنه:

${\displaystyle \psi _{T}(y)=\int _{x}\psi _{0}(x)K(x,y;T)\,dx=\int ^{x(T)=y}\psi _{0}(x(0))e^{iS[x]}\,Dx.}$

بالنسبة لنظام متجانس مكانيًا، حيث K ( x , y ) هي دالة لـ ( x − y ) فقط ، فإن التكامل هو عملية التفاف ، والحالة النهائية هي الحالة الأولية الملتفة مع المولد:

${\displaystyle \psi _{T}=\psi _{0}*K(;T).}$

بالنسبة لجسيم حر كتلته m ، يمكن تقييم المنتشر إما بشكل صريح من التكامل المساري أو من خلال ملاحظة أن معادلة شرودنغر هي معادلة انتشار في الزمن التخيلي، ويجب أن يكون الحل دالة غاوسية معيارية:

${\displaystyle K(x,y;T)\propto e^{\frac {im(x-y)^{2}}{2T}}.}$

يؤدي إجراء تحويل فورييه في ( x − y ) إلى إنتاج دالة غاوسية أخرى:

${\displaystyle K(p;T)=e^{\frac {iTp^{2}}{2m}},}$

وفي فضاء p، يكون عامل التناسب هنا ثابتًا مع الزمن، كما سيتم التحقق منه بعد قليل. ويعطي تحويل فورييه في الزمن، الذي يمدد K ( p ; T ) ليصبح صفرًا للأزمنة السالبة، دالة غرين، أو مُوَصِّل فضاء التردد:

${\displaystyle G_{\text{F}}(p,E)={\frac {-i}{E-{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+i\varepsilon }},}$

وهو مقلوب المؤثر الذي يلغي الدالة الموجية في معادلة شرودنغر، والتي لم تكن لتخرج بشكل صحيح إذا لم يكن عامل التناسب ثابتًا في تمثيل فضاء p .

الحد المتناهي الصغر في المقام هو عدد موجب صغير، مما يضمن أن يكون تحويل فورييه العكسي في E غير صفري فقط للأزمنة المستقبلية. أما بالنسبة للأزمنة الماضية، فإن منحنى تحويل فورييه العكسي يتقارب نحو قيم E التي لا توجد عندها أي نقطة شاذة. وهذا يضمن أن K ينقل الجسيم إلى المستقبل، وهو سبب وجود الرمز السفلي "F" على G. ويمكن تفسير الحد المتناهي الصغر على أنه دوران متناهي الصغر باتجاه الزمن التخيلي.

من الممكن أيضًا إعادة صياغة التطور الزمني غير النسبي بدلالة دوال الانتشار المتجهة نحو الماضي، نظرًا لأن معادلة شرودنغر قابلة للانعكاس الزمني. دالة الانتشار في الماضي هي نفسها دالة الانتشار في المستقبل، باستثناء الفرق الواضح وهو أنها تتلاشى في المستقبل، وفي دالة غاوس، يُستبدل t بـ −t . في هذه الحالة، يُفسَّر ذلك بأن هذه هي الكميات اللازمة لدمج دالة الموجة النهائية للحصول على دالة الموجة الأولية.

${\displaystyle G_{\text{B}}(p,E)={\frac {-i}{-E-{\frac {i{\vec {p}}^{2}}{2m}}+i\varepsilon }}.}$

بالنظر إلى أن التغيير الوحيد المتطابق تقريبًا هو إشارة E و ε ، فإن المعلمة E في دالة غرين يمكن أن تكون الطاقة إذا كانت المسارات تتجه نحو المستقبل، أو معكوس الطاقة إذا كانت المسارات تتجه نحو الماضي.

في النظرية غير النسبية، يكون الزمن المقاس على مسار جسيم متحرك مساويًا للزمن المقاس من قِبل مراقب خارجي. أما في النسبية، فلا ينطبق هذا. ففي النظرية النسبية، يُعرَّف المؤثر بأنه مجموع جميع المسارات التي تقطع المسافة بين نقطتين في زمن خاص ثابت، مقاسًا على طول المسار (تصف هذه المسارات مسار الجسيم في المكان والزمان).

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{i\int _{0}^{\mathrm {T} }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}-\alpha }}\,d\tau }.}$

ليس من السهل تفسير التكامل أعلاه بسبب الجذر التربيعي. لحسن الحظ، توجد طريقة تقريبية. يُحسب المجموع على طول القوس النسبي لمسار كمية متذبذبة، ومثل تكامل المسار غير النسبي، يجب تفسيره على أنه دوران طفيف في الزمن التخيلي. يمكن حساب الدالة K ( x - y , τ ) عندما يكون المجموع على مسارات في الفضاء الإقليدي.

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{-L}.}$

يصف هذا مجموعًا على جميع المسارات التي يبلغ طولها Τ للدالة الأسية لـ δ مطروحًا منها طول المسار. ويمكن تفسير ذلك احتماليًا. يمثل المجموع على جميع المسارات متوسطًا احتماليًا لمسار تم إنشاؤه خطوة بخطوة. يتناسب العدد الإجمالي للخطوات مع Τ ، ويقل احتمال كل خطوة كلما زاد طولها. وبحسب نظرية النهاية المركزية ، فإن نتيجة العديد من الخطوات المستقلة هي توزيع غاوسي بتباين يتناسب مع Τ .

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T} }}}.}$

إن التعريف المعتاد للمُوَصِّل النسبي لا يطلب سوى سعة الموجة للانتقال من x إلى y ، بعد جمع جميع الأزمنة المناسبة الممكنة التي يمكن أن تستغرقها:

${\displaystyle K(x-y)=\int _{0}^{\infty }K(x-y,\mathrm {T} )W(\mathrm {T} )\,d\mathrm {T} ,}$

حيث W (Τ) هو عامل ترجيح، وهو الأهمية النسبية للمسارات ذات الأزمنة الخاصة المختلفة. وبسبب تناظر الإزاحة في الزمن الخاص، لا يمكن أن يكون هذا الترجيح إلا عاملاً أسياً ويمكن استيعابه في الثابت α .

${\displaystyle K(x-y)=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T} }}-\alpha \mathrm {T} }\,d\mathrm {T} .}$

هذا هو تمثيل شوينجر . يمكن إجراء تحويل فورييه على المتغير ( x - y ) لكل قيمة من قيم Τ على حدة، ولأن كل مساهمة منفصلة من Τ هي دالة غاوسية، فإن تحويل فورييه الخاص بها هو دالة غاوسية أخرى بعرض مقلوب. لذا، في فضاء p ، يمكن إعادة صياغة المُوَصِّل ببساطة:

${\displaystyle K(p)=\int _{0}^{\infty }e^{-\mathrm {T} p^{2}-\mathrm {T} \alpha }\,d\mathrm {T} ={\frac {1}{p^{2}+\alpha }},}$

وهو المولد الإقليدي لجسيم قياسي. تدوير p ₀ ليصبح تخيليًا يعطي المولد النسبي المعتاد، حتى عامل − i وغموضًا، سيتم توضيحه أدناه:

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p_{0}^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}.}$

يمكن تفسير هذا التعبير في الحد غير النسبي، حيث يكون من الملائم تقسيمه إلى كسور جزئية :

${\displaystyle 2p_{0}K(p)={\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}}+{\frac {i}{p_{0}+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}}.}$

في الحالات التي يوجد فيها جسيم واحد غير نسبي، يكون للدالة الموجية الأولية توزيع ترددي يتركز بالقرب من _p₀ = m . عند إجراء عملية الالتفاف مع المولد، والتي تعني في فضاء p ببساطة الضرب في المولد، يتم كبح الحد الثاني وتعزيز الحد الأول. بالنسبة للترددات القريبة من _p₀ = m ، يكون للحد الأول المهيمن الشكل التالي:

${\displaystyle 2mK_{\text{NR}}(p)={\frac {i}{(p_{0}-m)-{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}}}.}$

هذا هو التعبير عن دالة غرين غير النسبية لجسيم شرودنغر الحر.

للمصطلح الثاني حدٌّ غير نسبي أيضًا، لكن هذا الحد يتركز على الترددات السالبة. يهيمن على القطب الثاني مساهمات من مسارات يكون فيها الزمن الخاص والزمن الإحداثي متعاكسين، مما يعني أن المصطلح الثاني يُفسَّر على أنه الجسيم المضاد. يُظهر التحليل غير النسبي أن الجسيم المضاد، بهذا الشكل، لا يزال يمتلك طاقة موجبة.

الطريقة الصحيحة للتعبير عن ذلك رياضيًا هي أنه بإضافة عامل كبح صغير في الزمن الخاص، يجب أن تتلاشى نهاية الحد الأول عندما t → −∞ ، بينما يجب أن تتلاشى نهاية الحد الثاني عندما t → +∞ . في تحويل فورييه، يعني هذا إزاحة القطب في p ₀ قليلًا، بحيث يلتقط تحويل فورييه العكسي عامل اضمحلال صغير في أحد اتجاهي الزمن.

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}+i\varepsilon }}+{\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}-i\varepsilon }}.}$

بدون هذه الحدود، لا يمكن تقييم مساهمة القطب بشكل قاطع عند إجراء تحويل فورييه العكسي لـ p _0. ويمكن إعادة تجميع هذه الحدود:

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }},}$

^{عند تحليلها، ينتج عن كل عامل حدود متناهية الصغر ذات} إشارات متعاكسة. هذه هي الصيغة الرياضية الدقيقة لمُوَصِّل الجسيمات النسبية، خالية من أي لبس. يُضيف الحد ε جزءًا تخيليًا صغيرًا إلى α = m² ، والذي يُمثل في صيغة مينكوفسكي كبحًا أُسِّيًا صغيرًا للمسارات الطويلة.

في الحالة النسبية، يتضمن تمثيل فاينمان للمسار المتكامل للمُوَصِّل مساراتٍ تسير عكسيًا في الزمن، والتي تصف الجسيمات المضادة. وتتحرك المسارات التي تُسهم في المُوَصِّل النسبي للأمام والخلف في الزمن، ويُفسَّر ذلك بأن سعة انتقال جسيم حر بين نقطتين تتضمن سعاتٍ لتقلب الجسيم إلى جسيم مضاد، ثم عودته إلى الماضي، ثم عودته إلى الماضي مرة أخرى.

على عكس الحالة غير النسبية، يستحيل وضع نظرية نسبية لانتشار الجسيمات المحلية دون تضمين الجسيمات المضادة. جميع المؤثرات التفاضلية المحلية لها معكوسات غير صفرية خارج مخروط الضوء، مما يعني استحالة منع جسيم من التحرك بسرعة تفوق سرعة الضوء. لا يمكن لمثل هذا الجسيم أن يمتلك دالة غرين غير صفرية في المستقبل فقط في نظرية ثابتة نسبيًا.

مع ذلك، فإن صياغة التكامل المساري بالغة الأهمية في التطبيق المباشر لنظرية الحقل الكمومي، حيث لا تُمثل "المسارات" أو التواريخ المدروسة حركات جسيم واحد، بل التطورات الزمنية الممكنة لحقل ما في الفضاء بأكمله. يُشار إلى الفعل تقنيًا بدالة للحقل : S [ ϕ ] ، حيث الحقل ϕ ( x, ^μ ) هو نفسه دالة للمكان والزمان، والأقواس المربعة تُشير إلى أن الفعل يعتمد على جميع قيم الحقل في كل مكان، وليس على قيمة مُحددة فقط. تُسمى إحدى هذه الدوال المُعطاة ϕ ( x, ^μ ) للزمكان بتكوين الحقل . من حيث المبدأ، يتم تكامل سعة فاينمان على فئة جميع تكوينات الحقل الممكنة.

يُكرس جزء كبير من الدراسة الرسمية لنظرية الحقل الكمومي لخصائص التكامل الوظيفي الناتج، وقد بُذلت جهود كبيرة (لم تنجح تمامًا بعد) لجعل هذه التكاملات الوظيفية دقيقة رياضيًا.

يشبه هذا التكامل الوظيفي إلى حد كبير دالة التوزيع في الميكانيكا الإحصائية . بل يُطلق عليه أحيانًا اسم دالة التوزيع ، وهما متطابقان رياضيًا بشكل أساسي باستثناء العامل i في الأس في مسلمة فاينمان الثالثة. إن الاستمرار التحليلي للتكامل إلى متغير زمني تخيلي (يُسمى دوران ويك ) يجعل التكامل الوظيفي أقرب إلى دالة التوزيع الإحصائية، كما أنه يُسهّل بعض الصعوبات الرياضية في التعامل مع هذه التكاملات.

في نظرية الحقل الكمومي ، إذا كان الفعل معطى بالدالة S لتكوينات الحقل (والتي تعتمد محليًا فقط على الحقول)، فإن القيمة المتوقعة للفراغ المرتبة زمنيًا للدالة المحدودة متعددة الحدود F ، ⟨F⟩ ، تُعطى بالعلاقة التالية :

${\displaystyle \langle F\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\varphi F[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}}{\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}}}.}$

يمثل الرمز ∫ D ϕ هنا طريقةً مختصرةً لتمثيل التكامل اللانهائي الأبعاد على جميع التكوينات الممكنة للحقول في كامل الزمكان. وكما ذُكر سابقًا، يضمن التكامل المساري غير المُزخرف في المقام التطبيع الصحيح.

بالمعنى الدقيق، السؤال الوحيد الذي يمكن طرحه في الفيزياء هو: ما نسبة الحالات التي تحقق الشرط A والتي تحقق أيضًا الشرط B ؟ الإجابة على هذا السؤال هي عدد بين 0 و1، ويمكن تفسيره على أنه احتمال شرطي ، يُكتب على النحو التالي: P( B | A ) . من حيث تكامل المسار، بما أن P( B | A ) = P ( A ∩ B ) / P( A ) ،   فهذا يعني

${\displaystyle \operatorname {P} (B\mid A)={\frac {\sum _{F\subset A\cap B}\left|\int {\mathcal {D}}\varphi O_{\text{in}}[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}F[\varphi ]\right|^{2}}{\sum _{F\subset A}\left|\int {\mathcal {D}}\varphi O_{\text{in}}[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}F[\varphi ]\right|^{2}}},}$

حيث تمثل الدالة O _في [ ϕ ] تراكب جميع الحالات الواردة التي قد تؤدي إلى الحالات التي تهمنا. على وجه الخصوص، قد تكون هذه حالةً تُطابق حالة الكون بعد الانفجار العظيم مباشرةً ، مع العلم أنه يمكن تبسيط ذلك باستخدام الطرق الاستدلالية لإجراء الحسابات الفعلية. ولأن هذا التعبير هو ناتج قسمة تكاملات المسار، فإنه مُعَيَّرٌ بطبيعته.

بما أن هذه الصياغة لميكانيكا الكم مماثلة لمبدأ الفعل الكلاسيكي، فمن المتوقع أن يكون للمتطابقات المتعلقة بالفعل في الميكانيكا الكلاسيكية نظائر كمومية يمكن اشتقاقها من تكامل دالي. وهذا هو الحال في كثير من الأحيان.

بلغة التحليل الوظيفي، يمكننا كتابة معادلات أويلر-لاغرانج على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi }}=0}$

(الطرف الأيسر هو مشتق وظيفي ؛ وتعني المعادلة أن الفعل ثابت تحت تغيرات طفيفة في تكوين المجال). تُسمى النظائر الكمومية لهذه المعادلات بمعادلات شوينجر-دايسون .

إذا تبين أن المقياس الوظيفي D ϕ ثابت تحت الإزاحة (سنفترض هذا لبقية هذه المقالة، على الرغم من أن هذا لا ينطبق على، لنقل، نماذج سيجما غير الخطية )، وإذا افترضنا أنه بعد دوران ويك

${\displaystyle e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]},}$

والتي أصبحت الآن

${\displaystyle e^{-H[\varphi ]}}$

بالنسبة لبعض قيم H ، فإنها تؤول إلى الصفر أسرع من مقلوب أي متعدد حدود للقيم الكبيرة لـ φ ، ثم يمكننا التكامل بالتجزئة (بعد دوران ويك، متبوعًا بدوران ويك عكسي) للحصول على معادلات شوينجر-دايسون التالية للتوقع:

${\displaystyle \left\langle {\frac {\delta F[\varphi ]}{\delta \varphi }}\right\rangle =-i\left\langle F[\varphi ]{\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi }}\right\rangle }$

لأي دالة محدودة متعددة الحدود F. في تدوين دي ويت، يبدو هذا كما يلي ^{[ 22 ]}

${\displaystyle \left\langle F_{,i}\right\rangle =-i\left\langle F{\mathcal {S}}_{,i}\right\rangle .}$

هذه المعادلات هي نظير لمعادلات EL على الغلاف . يتم أخذ الترتيب الزمني قبل المشتقات الزمنية داخل S _{، i} .

إذا كان J (المسمى حقل المصدر ) عنصرًا من الفضاء الثنائي لتكوينات الحقل (والذي يتمتع على الأقل ببنية خطية بسبب افتراض الثبات الانتقالي للمقياس الوظيفي)، فإن الدالة المولدة Z لحقول المصدر تُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}.}$

لاحظ أن

${\displaystyle {\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[J]=i^{n}\,Z[J]\,\left\langle \varphi (x_{1})\cdots \varphi (x_{n})\right\rangle _{J},}$

أو

${\displaystyle Z^{,i_{1}\cdots i_{n}}[J]=i^{n}Z[J]\left\langle \varphi ^{i_{1}}\cdots \varphi ^{i_{n}}\right\rangle _{J},}$

أين

${\displaystyle \langle F\rangle _{J}={\frac {\int {\mathcal {D}}\varphi F[\varphi ]e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}}{\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}}}.}$

بشكل أساسي، إذا تم اعتبار D φ e ^{i S [ φ ]} بمثابة توزيع وظيفي (لا ينبغي أخذ هذا حرفيًا كتفسير لنظرية الحقل الكمومي ، على عكس نظيره في الميكانيكا الإحصائية المدورة بواسطة ويك ، لأن لدينا تعقيدات ترتيب الوقت هنا!)، فإن ⟨ φ ( x ₁ ) ... φ ( x _n ) ⟩ هي لحظاتها ، و Z هو تحويل فورييه الخاص بها .

إذا كانت F دالة للمؤثر φ ، فإن F [ K ] بالنسبة للمؤثر K تُعرَّف بأنها المؤثر الذي يستبدل K بـ φ . على سبيل المثال، إذا

${\displaystyle F[\varphi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\varphi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\varphi (x_{n}),}$

وإذا كانت G دالة لـ J ، فإن

${\displaystyle F\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J].}$

ثم، انطلاقاً من خصائص التكاملات الوظيفية

${\displaystyle \left\langle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}[\varphi ]+J(x)\right\rangle _{J}=0}$

نحصل على معادلة شوينجر-دايسون "الرئيسية":

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Z[J]=0,}$

أو

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{,i}[-i\partial ]Z+J_{i}Z=0.}$

إذا لم يكن المقياس الوظيفي ثابتًا تحت الإزاحة، فقد يكون من الممكن التعبير عنه كحاصل ضرب M [ φ ] Dφ ، حيث M دالة وظيفية و Dφ مقياس ثابت تحت الإزاحة. ينطبق هذا، على سبيل المثال، على نماذج سيجما غير الخطية حيث يكون الفضاء المستهدف متماثلًا مع Rⁿ ^. مع ذلك، إذا كان الفضاء المستهدف فضاءً غير تافه طوبولوجيًا، فإن مفهوم الإزاحة يصبح بلا معنى.

في هذه الحالة، سيتعين علينا استبدال S في هذه المعادلة بدالة أخرى

${\displaystyle {\hat {\mathcal {S}}}={\mathcal {S}}-i\ln M.}$

إذا قمنا بتوسيع هذه المعادلة كمتسلسلة تايلور حول J = 0، فسنحصل على المجموعة الكاملة من معادلات شوينجر-دايسون.

والآن، ماذا عن نظرية نوثر في الحالة الكلاسيكية؟ هل لها نظير كمي أيضًا؟ نعم، ولكن مع شرط. يجب أن يكون المقياس الوظيفي ثابتًا تحت تأثير مجموعة التحويل التناظري ذات المعامل الواحد.

لنفترض هنا، تبسيطًا للأمر، أن التناظر المذكور محلي (ليس محليًا بمعنى تناظر القياس ، بل بمعنى أن القيمة المُحوَّلة للحقل عند أي نقطة معينة تحت تحويل متناهي الصغر ستعتمد فقط على تكوين الحقل في جوار صغير جدًا للنقطة المعنية). ولنفترض أيضًا أن الفعل محلي بمعنى أنه تكامل على الزمكان لدالة لاغرانجية ، وأن

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]=\partial _{\mu }f^{\mu }(x)}$

بالنسبة لدالة ما f حيث تعتمد f محليًا فقط على φ (وربما موضع الزمكان).

إذا لم نفترض أي شروط حدودية خاصة، فلن يكون هذا تناظرًا "حقيقيًا" بالمعنى الحقيقي للكلمة عمومًا إلا إذا كانت f = 0 أو ما شابه. هنا، Q هو اشتقاق يُولّد مجموعة المعامل الواحد المعنية. قد يكون لدينا اشتقاقات مضادة أيضًا، مثل BRST والتناظر الفائق .

لنفترض أيضاً

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\varphi \,Q[F][\varphi ]=0}$

لأي دالة محدودة متعددة الحدود F. تُسمى هذه الخاصية بثبات القياس، وهي لا تنطبق بشكل عام. (انظر الشذوذ (الفيزياء) لمزيد من التفاصيل.)

ثم،

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\varphi \,Q\left[Fe^{iS}\right][\varphi ]=0,}$