الشذوذ (الفيزياء)

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 5 صور
الموسوعة الحرة

في فيزياء الكم، يُعرف الشذوذ الكمي بأنه عدم قدرة تناظر الفعل الكلاسيكي لنظرية ما على أن يكون تناظرًا لأي تنظيم لنظرية الكم الكاملة. [ 1 ] [ 2 ] أما في الفيزياء الكلاسيكية ، فيُعرف الشذوذ الكلاسيكي بأنه عدم قدرة التناظر على الاستعادة في الحالة التي يؤول فيها معامل كسر التناظر إلى الصفر. ولعل أول شذوذ معروف هو الشذوذ التبددي [ 3 ] في الاضطراب : حيث يبقى انعكاس الزمن مكسورًا (ويظل معدل تبديد الطاقة محدودًا) عند حد انعدام اللزوجة .

في نظرية الكم، كانت أول ظاهرة شاذة تم اكتشافها هي ظاهرة أدلر-بيل-جاكيو ، حيث يُحفظ التيار المتجه المحوري كتناظر كلاسيكي للديناميكا الكهربائية ، ولكنه يُكسر في النظرية الكمومية. وكانت علاقة هذه الظاهرة الشاذة بنظرية مؤشر أتياس-سينجر من أبرز إنجازات هذه النظرية. ومن الناحية التقنية، فإن التناظر الشاذ في نظرية الكم هو تناظر للفعل ، وليس للقياس ، وبالتالي ليس لدالة التوزيع ككل.

الشذوذات العالمية

الشذوذ العالمي هو انتهاك كمومي لقانون حفظ التيار التناظري العالمي. وقد يعني الشذوذ العالمي أيضًا أن الشذوذ العالمي غير الاضطرابي لا يمكن رصده بواسطة حسابات مخطط فاينمان الاضطرابي أحادي الحلقة أو أي حلقة - ومن الأمثلة على ذلك شذوذ ويتن وشذوذ وانغ-وين-ويتن .

التحجيم وإعادة التطبيع

ترتبط أكثر الشذوذات العالمية شيوعًا في الفيزياء بانتهاك ثبات المقياس بواسطة التصحيحات الكمومية، والتي تُقاس بإعادة التطبيع . وبما أن المنظمات تُدخل عادةً مقياسًا للمسافة، فإن النظريات الكلاسيكية الثابتة المقياس تخضع لتدفق مجموعة إعادة التطبيع ، أي تغير سلوكها بتغير مقياس الطاقة. على سبيل المثال، تنتج القوة الكبيرة للقوة النووية القوية من نظرية ضعيفة الاقتران عند المسافات القصيرة تتحول إلى نظرية قوية الاقتران عند المسافات الطويلة، وذلك بسبب شذوذ المقياس هذا.

التناظرات الصلبة

لا تُشكّل الشذوذات في التناظرات الأبيلية الشاملة أيّ مشكلة في نظرية الحقل الكمومي ، وهي شائعة الحدوث (انظر مثال الشذوذ الكيرالي ). وعلى وجه الخصوص، يمكن تثبيت التناظرات الشاذة المقابلة بتثبيت الشروط الحدية لتكامل المسار .

تحويلات القياس الكبيرة

مع ذلك، تُشكّل الشذوذات العالمية في التناظرات التي تقترب من التطابق بسرعة كافية عند اللانهاية إشكاليات. في الأمثلة المعروفة، تُقابل هذه التناظرات مكونات منفصلة لتناظرات القياس. تظهر هذه التناظرات والشذوذات المحتملة، على سبيل المثال، في النظريات التي تتضمن فرميونات كيرالية أو أشكال تفاضلية ذاتية الازدواجية مقترنة بالجاذبية في 4k + 2 أبعاد، وكذلك في شذوذ ويتن في نظرية قياس SU(2) رباعية الأبعاد عادية.

بما أن هذه التناظرات تتلاشى عند اللانهاية، فلا يمكن تقييدها بشروط حدودية، وبالتالي يجب جمعها في التكامل المساري. مجموع مدار القياس لحالة ما هو مجموع أطوار، تشكل زمرة جزئية من U(1). ولأن هناك شذوذًا، فإن هذه الأطوار ليست متطابقة، لذا فهي ليست الزمرة الجزئية المحايد. مجموع الأطوار في كل زمرة جزئية أخرى من U(1) يساوي صفرًا، وبالتالي فإن جميع التكاملات المسارية تساوي صفرًا عند وجود مثل هذا الشذوذ وعدم وجود نظرية.

قد يحدث استثناء عندما يكون فضاء التكوينات نفسه غير متصل، وفي هذه الحالة، يمكن اختيار التكامل على أي مجموعة فرعية من المكونات. إذا كانت تناظرات القياس غير المتصلة تُسقط النظام بين التكوينات غير المتصلة، فإنه يوجد عمومًا اقتطاع متسق لنظرية يتم فيها التكامل فقط على المكونات المتصلة التي لا ترتبط بتحويلات قياس كبيرة. في هذه الحالة، لا تؤثر تحويلات القياس الكبيرة على النظام ولا تتسبب في تلاشي التكامل المساري.

شذوذ ويتن وشذوذ وانغ-وين-ويتن

في نظرية القياس SU(2) في فضاء مينكوفسكي رباعي الأبعاد ، يُقابل تحويل القياس اختيار عنصر من المجموعة الوحدوية الخاصة SU(2) عند كل نقطة في الزمكان. وتكون مجموعة تحويلات القياس هذه متصلة.

مع ذلك، إذا اقتصر اهتمامنا على المجموعة الفرعية من تحويلات القياس التي تتلاشى عند اللانهاية، فيمكننا اعتبار الكرة ثلاثية الأبعاد عند اللانهاية نقطةً واحدة، إذ تتلاشى تحويلات القياس عندها على أي حال. وإذا ما اعتبرنا الكرة ثلاثية الأبعاد عند اللانهاية نقطةً، فإن فضاء مينكوفسكي لدينا يُطابق الكرة رباعية الأبعاد. وهكذا نرى أن مجموعة تحويلات القياس التي تتلاشى عند اللانهاية في فضاء مينكوفسكي رباعي الأبعاد متماثلة مع مجموعة جميع تحويلات القياس على الكرة رباعية الأبعاد.

هذه هي المجموعة التي تتألف من اختيار متصل لتحويل قياسي في SU(2) لكل نقطة على الكرة الرباعية. بعبارة أخرى، تتطابق تناظرات القياس تطابقًا تامًا مع التحويلات من الكرة الرباعية إلى الكرة الثلاثية، وهي فضاء المجموعة لـ SU(2). فضاء هذه التحويلات غير متصل ، بل تُصنَّف المكونات المتصلة بواسطة مجموعة التماثل الرابعة للكرة الثلاثية، وهي المجموعة الدورية من الرتبة الثانية. على وجه الخصوص، يوجد مكونان متصلان. أحدهما يحتوي على العنصر المحايد ويُسمى المكون المحايد ، والآخر يُسمى المكون غير المتصل .

عندما تحتوي نظرية ما على عدد فردي من أنواع الفرميونات الكيرالية، فإن تأثيرات تناظرات القياس في المكون المحايد والمكون المنفصل لمجموعة القياس على حالة فيزيائية تختلف بإشارة واحدة. وبالتالي، عند جمع جميع التكوينات الفيزيائية في التكامل المساري ، نجد أن المساهمات تأتي في أزواج بإشارات متعاكسة. ونتيجة لذلك، تتلاشى جميع التكاملات المسارية، ولا توجد نظرية.

يُشير الوصف أعلاه للشذوذ العالمي إلى نظرية قياس SU(2) المقترنة بعدد فردي من فرميونات فايل ذات اللف المغزلي 1/2 (متساوية اللف المغزلي) في أربعة أبعاد مكانية-زمانية. يُعرف هذا بشذوذ ويتن SU(2). [ 4 ] في عام 2018، اكتشف وانغ ووين وويتن أن نظرية قياس SU(2) المقترنة بعدد فردي من فرميونات فايل ذات اللف المغزلي 3/2 (متساوية اللف المغزلي) في أربعة أبعاد مكانية-زمانية تُظهر شذوذًا عالميًا غير اضطرابي أكثر دقة، يُمكن رصده على بعض المشعبات غير المغزلية التي لا تحتوي على بنية مغزلية . [ 5 ] يُطلق على هذا الشذوذ الجديد اسم شذوذ SU(2) الجديد. لكلا نوعي الشذوذ [ 4 ] [ 5 ] نظائر لـ (1) شذوذ القياس الديناميكي لنظريات القياس الديناميكية، و(2) شذوذ هوفت  للتناظرات العالمية. بالإضافة إلى ذلك، يُصنَّف كلا نوعي الشذوذ ضمن فئات modulo 2 (من حيث التصنيف، كلاهما مجموعات منتهية Z² من الرتبة 2)، ولهما نظائر في بُعدي الزمكان 4 و5. [ 5 ] وبشكل أعم، لأي عدد صحيح طبيعي N ، يمكن إثبات أن عددًا فرديًا من مضاعفات الفرميون في تمثيلات اللف المغزلي (iso) -2N + 1/2 يمكن أن يحمل شذوذ SU(2)؛ وأن عددًا فرديًا من مضاعفات الفرميون في تمثيلات اللف المغزلي (iso) -4N + 3/2 يمكن أن يحمل شذوذ SU(2) الجديد. [ 5 ] بالنسبة للفرميونات في تمثيل اللف المغزلي نصف الصحيح، يُثبت أنه لا يوجد سوى هذين النوعين من شذوذ SU(2) والتركيبات الخطية لهذين النوعين؛ وهذه تُصنِّف جميع شذوذ SU(2) الشامل. [ 5 ] تلعب هذه الشذوذية الجديدة في SU(2) دورًا هامًا في تأكيد اتساق نظرية التوحيد الكبرى SO(10) ، مع مجموعة قياس Spin(10) وفيرميونات كيرالية في تمثيلات السبينور ذات 16 بُعدًا، المُعرَّفة على مشعبات غير مغزلية. [ 5 ] [ 6 ]

الشذوذات العليا التي تنطوي على تناظرات عالمية أعلى: نظرية قياس يانغ-ميلز البحتة كمثال

يمكن تعميم مفهوم التناظرات العالمية ليشمل تناظرات عالمية أعلى، [ 7 ] بحيث يكون الجسم المشحون في تناظر الشكل الصفري العادي جسيمًا، بينما يكون الجسم المشحون في تناظر الشكل النوني مؤثرًا ممتدًا نوني الأبعاد. وقد وُجد أن نظرية يانغ-ميلز النقية رباعية الأبعاد، التي تحتوي فقط على حقول قياس SU(2) مع حد ثيتا طوبولوجي، تُطبق على نظرية يانغ-ميلز النقية رباعية الأبعاد التي تحتوي على حقول قياس SU(2) فقط.θ=π،{\displaystyle \theta =\pi ,}يمكن أن يكون لها شذوذ 'ت هوفت مختلط من الدرجة العليا  بين تناظر انعكاس الزمن من النوع 0 وتناظر مركز Z2 من النوع 1. [ 8 ] يمكن كتابة شذوذ 'ت  هوفت لنظرية يانغ-ميلز النقية رباعية الأبعاد بدقة كنظرية حقل طوبولوجي قابلة للعكس خماسية الأبعاد، أو رياضيًا كثابت حدودي خماسي الأبعاد، مما يعمم صورة تدفق الشذوذ إلى فئة Z2 هذه من الشذوذ العالمي الذي يتضمن تناظرات أعلى. [ 9 ] بعبارة أخرى، يمكننا اعتبار نظرية يانغ-ميلز النقية رباعية الأبعاد ذات حد طوبولوجي ثيتا.θ=π{\displaystyle \theta =\pi }تُستخدم كشرط حدودي لنظرية حقل طوبولوجي قابل للعكس من فئة Z2 معينة ، وذلك لمطابقة شذوذاتها العليا على الحدود رباعية الأبعاد. [ 9 ]

شذوذات القياس

تؤدي الشذوذات في تناظرات القياس إلى تناقض، إذ يُشترط وجود تناظر قياس لإلغاء درجات الحرية غير الفيزيائية ذات المعيار السالب (مثل الفوتون المستقطب في اتجاه الزمن). وغالبًا ما تؤدي محاولة إلغائها - أي بناء نظريات متسقة مع تناظرات القياس - إلى قيود إضافية على النظريات (كما هو الحال في شذوذ القياس في النموذج القياسي لفيزياء الجسيمات). وترتبط الشذوذات في نظريات القياس ارتباطًا وثيقًا بطوبولوجيا وهندسة مجموعة القياس .

يمكن حساب الشذوذات في تناظرات القياس بدقة على مستوى الحلقة الواحدة. أما على مستوى الشجرة (بدون حلقات)، فيتم استنساخ النظرية الكلاسيكية. تحتوي مخططات فاينمان التي تحتوي على أكثر من حلقة واحدة دائمًا على مُوَصِّلات بوزونات داخلية . ولأن البوزونات يمكن دائمًا إعطاؤها كتلة دون الإخلال بثبات القياس، فإن تنظيم باولي-فيلارس لهذه المخططات ممكن مع الحفاظ على التناظر. عندما يكون تنظيم المخطط متسقًا مع تناظر معين، فإن هذا المخطط لا يُولِّد شذوذًا فيما يتعلق بهذا التناظر.

تُعدّ شذوذات قياس المتجهات دائمًا شذوذات كيرالية . وهناك نوع آخر من شذوذات القياس وهو الشذوذ الجاذبي .

على مستويات طاقة مختلفة

تم اكتشاف الشذوذات الكمومية من خلال عملية إعادة التطبيع ، عندما يتعذر تنظيم بعض التكاملات المتباعدة بطريقة تحافظ على جميع التناظرات في آن واحد. يرتبط هذا بفيزياء الطاقة العالية. مع ذلك، وبفضل شرط مطابقة الشذوذ لجيرارد هوفت ، يمكن وصف أي شذوذ كيرالي إما بدرجات حرية الأشعة فوق البنفسجية (ذات الصلة بالطاقات العالية) أو بدرجات حرية الأشعة تحت الحمراء (ذات الصلة بالطاقات المنخفضة). وبالتالي، لا يمكن إلغاء الشذوذ بإكمال نظرية ما بالأشعة فوق البنفسجية - فالتناظر الشاذ ليس تناظرًا في النظرية، حتى وإن بدا كذلك كلاسيكيًا.

إلغاء الشذوذ

بما أن إلغاء الشذوذات ضروري لتناسق نظريات القياس، فإن عمليات الإلغاء هذه ذات أهمية مركزية في تقييد محتوى الفرميون في النموذج القياسي ، وهو نظرية قياس كيرالية.

على سبيل المثال، يؤدي تلاشي الشذوذ المختلط الذي يتضمن مولدين من نوع SU(2) وشحنة فائقة واحدة من نوع U(1) إلى تقييد مجموع جميع الشحنات في جيل الفرميون بحيث يساوي صفرًا، [ 10 ] [ 11 ] وبالتالي يفرض أن مجموع شحنات البروتون والإلكترون يساوي صفرًا: يجب أن تكون شحنات الكواركات واللبتونات متناسبة . وبالتحديد، بالنسبة لحقلين قياسيين خارجيين W <sub>a</sub> و W<sub> b </sub> وشحنة فائقة واحدة B عند رؤوس مخطط المثلث، يتطلب إلغاء المثلث

∑ألل دouبلهـتsتير تيأتيبY∝دلتاأب∑ألل دouبلهـتsY=∑ألل دouبلهـتsسؤال=0 ،{\displaystyle \sum _{\mathrm {all~doublets} }\!\!\!\!\mathrm {Tr} ~T^{a}T^{b}Y\propto \delta ^{ab}\sum _{\mathrm {all~doublets} }Y=\sum _{\mathrm {all~doublets} }Q=0~,}

لذا، في كل جيل، تكون شحنات اللبتونات والكواركات متوازنة.-1+3×2-13=0{\displaystyle -1+3\times {\frac {2-1}{3}}=0}ومن ثم Q p + Q e = 0 .

كما تم استخدام إلغاء الشذوذ في النموذج القياسي للتنبؤ بكوارك من الجيل الثالث، وهو الكوارك العلوي . [ 12 ]

وتشمل هذه الآليات الأخرى ما يلي:

الشذوذ والتشابه

في الوصف الحديث للشذوذات المصنفة وفقًا لنظرية التماثل ، [ 13 ] لا تُغطي رسوم فاينمان-دايسون إلا الشذوذات المحلية الاضطرابية المصنفة حسب فئات الأعداد الصحيحة Z، والمعروفة أيضًا بالجزء الحر. وتوجد شذوذات عالمية غير اضطرابية مصنفة حسب المجموعات الدورية Z n، والمعروفة أيضًا بجزء الالتواء.

من المعروف على نطاق واسع، والذي تم التحقق منه في أواخر القرن العشرين، أن النموذج القياسي ونظريات القياس الكيرالية خالية من الشذوذات الموضعية الاضطرابية (التي تُجسدها مخططات فاينمان ). ومع ذلك، فإنه ليس من الواضح تمامًا ما إذا كانت هناك أي شذوذات عالمية غير اضطرابية للنموذج القياسي ونظريات القياس الكيرالية. تتناول التطورات الحديثة [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] ، القائمة على نظرية التماثل، هذه المشكلة، ويمكن لعدة شذوذات عالمية إضافية غير تافهة تم اكتشافها أن تُقيد هذه النظريات بشكل أكبر. كما توجد صياغة لوصف كل من الشذوذات الموضعية الاضطرابية والعالمية غير الاضطرابية لتدفق الشذوذات بدلالة ثابت إيتا الخاص بأتياه وباتودي وسينغر [ 17 ] [ 18 ] في بُعد أعلى . يُعد ثابت إيتا هذا ثابتًا للتماثل عندما تتلاشى الشذوذات الموضعية الاضطرابية. [ 19 ]

أمثلة

انظر أيضاً

  • الشذوذات – موضوعٌ أثار جدلاً واسعاً في ثمانينيات القرن الماضي، حيث تم اكتشاف الشذوذات في نتائج بعض تجارب فيزياء الطاقة العالية التي بدت وكأنها تشير إلى وجود حالات للمادة تتسم بتفاعلية عالية غير عادية. وقد ظل هذا الموضوع مثيراً للجدل طوال تاريخه.

مراجع

الاقتباسات
  1. ↑ باردين، ويليام (1969). "متطابقات وارد الشاذة في نظريات حقل السبينور". مجلة Physical Review . 184 (5): 1848-1859 . Bibcode : 1969PhRv..184.1848B . doi : 10.1103/physrev.184.1848 .
  2. ↑ تشنغ، تي بي؛ لي، إل إف (1984). نظرية القياس لفيزياء الجسيمات الأولية . منشورات أكسفورد للعلوم.
  3. ↑ "الشذوذات التبديدية في تدفقات أويلر المفردة" (PDF) .
  4. 1 2 ويتن، إدوارد (نوفمبر 1982). "شذوذ SU(2)". رسائل الفيزياء ب . 117 (5): 324. رمز Bibcode : 1982PhLB..117..324W . doi : 10.1016/0370-2693(82)90728-6 .
  5. وانغ، جوفين؛ وين، شياو-غانغ؛ ويتن، إدوارد (مايو 2019). "شذوذ جديد في SU(2)". مجلة الفيزياء الرياضية . 60 ( 5 ) : 052301. arXiv : 1810.00844 . Bibcode : 2019JMP .... 60e2301W . doi : 10.1063/1.5082852 . ISSN 1089-7658 . S2CID 85543591 .  
  6. ↑ وانغ، جوفين؛ وين، شياو-غانغ (1 يونيو 2020). "تعريف غير اضطرابي للنماذج القياسية". مجلة Physical Review Research . 2 (2) 023356. arXiv : 1809.11171 . Bibcode : 2018arXiv180911171W . doi : 10.1103/PhysRevResearch.2.023356 . ISSN 2469-9896 . S2CID 53346597 .  
  7. ↑ غايوتو، دافيد؛ كابوستين، أنطون؛ سيبرغ، ناثان؛ ويلت، برايان (فبراير 2015). "التناظرات العالمية المعممة". مجلة فيزياء الطاقة العالية . 2015 (2): 172. arXiv : 1412.5148 . Bibcode : 2015JHEP...02..172G . doi : 10.1007/JHEP02(2015)172 . ISSN 1029-8479 . S2CID 37178277 .  
  8. ^ جايوتو ، دافيد. كابوستين، انطون؛ كومارغودسكي، زوهار؛ سيبيرج ، ناثان (مايو 2017). “ثيتا وانعكاس الوقت ودرجة الحرارة”. جيهيب . 2017 (5): 91. أرخايف : 1412.5148 . بيب كود : 2017JHEP...05..091G . دوى : 10.1007/JHEP05(2017)091 . ردمك 1029-8479 . S2CID 119528151 .  
  9. وان ، زيان؛ وانغ، جوفين؛ تشنغ، يونكين (أكتوبر 2019). "نظرية يانغ-ميلز الكمومية رباعية الأبعاد ونظرية المجال الطوبولوجي خماسية الأبعاد ذات التناظر العكسي الزمني". مجلة Physical Review D. 100 ( 8) 085012. arXiv : 1904.00994 . Bibcode : 2019PhRvD.100h5012W . doi : 10.1103/PhysRevD.100.085012 . ISSN 2470-0029 . S2CID 201305547 .  
  10. ↑ بوشيات، سي إل، إيليوبولوس، جيه، وماير، بي إتش (1972). "نسخة خالية من الشذوذ لنموذج واينبرغ". رسائل الفيزياء B38 ، 519-523.
  11. ↑ ميناهان، جيه إيه؛ راموند، بي؛ وارنر، آر سي (1990). "تعليق على إلغاء الشذوذ في النموذج القياسي". مجلة الفيزياء، المجلد د ، 41 (2): 715-716 . رمز Bibcode : 1990PhRvD..41..715M . doi : 10.1103/PhysRevD.41.715 . PMID 10012386 . 
  12. ↑ كونلون، جوزيف (19 أغسطس 2016). لماذا نظرية الأوتار؟ ( الطبعة الأولى). مطبعة سي آر سي. ص 81. doi : 10.1201/9781315272368 . ISBN   978-1-315-27236-8.
  13. ↑ فريد، دانيال س.؛ هوبكنز، مايكل ج. (2021). "إيجابية الانعكاس والأطوار الطوبولوجية القابلة للعكس". الهندسة والطوبولوجيا . 25 (3): 1165-1330 . arXiv : 1604.06527 . Bibcode : 2016arXiv160406527F . doi : 10.2140/gt.2021.25.1165 . ISSN 1465-3060 . S2CID 119139835 .  
  14. ^ غارسيا-اتكسيباريا، إيناكي؛ مونتيرو ، ميغيل (أغسطس 2019). “شذوذ داي فريد في فيزياء الجسيمات”. جيهيب . 2019 (8): 3. أرخايف : 1808.00009 . بيب كود : 2019JHEP...08..003G . دوى : 10.1007/JHEP08(2019)003 . ردمك 1029-8479 . S2CID 73719463 .  
  15. ^ دافيغي، جو؛ جريبايوس، بن؛ لوهيتسيري ، ناكارين (يوليو 2020). “الشذوذات العالمية في النموذج (النماذج) القياسية وما بعدها”. جيهيب . 2020 (7): 232. أرخايف : 1910.11277 . بيب كود : 2020JHEP...07..232D . دوى : 10.1007/JHEP07(2020)232 . ردمك 1029-8479 . S2CID 204852053 .  
  16. ↑ وان، زيان؛ وانغ، جوفين (يوليو 2020). "ما وراء النماذج القياسية والتوحيدات الكبرى: الشذوذات، والمصطلحات الطوبولوجية، والقيود الديناميكية عبر التماثلات". مجلة فيزياء الطاقة العالية . 2020 (7): 62. arXiv : 1910.14668 . Bibcode : 2020JHEP...07..062W . doi : 10.1007/JHEP07(2020)062 . ISSN 1029-8479 . S2CID 207800450 .  
  17. ↑ عطية، مايكل فرانسيس ؛ باتودي، في كيه؛ سينغر، آي إم (1973)، "عدم التناظر الطيفي والهندسة الريمانية"، نشرة جمعية لندن الرياضية ، 5 (2): 229-234 ، CiteSeerX 10.1.1.597.6432 ، doi : 10.1112/blms/5.2.229 ، ISSN 0024-6093 ، MR 0331443   
  18. ↑ عطية، مايكل فرانسيس ؛ باتودي، في كيه؛ سينغر، آي إم (1975)، "عدم التناظر الطيفي والهندسة الريمانية. الجزء الأول"، وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج ، 77 (1): 43-69 ، رمز Bibcode : 1975MPCPS..77...43A ، doi : 10.1017/S0305004100049410 ، ISSN 0305-0041 ، MR 0397797 ، S2CID 17638224   
  19. ↑ ويتن، إدوارد؛ يونيكورا، كازويا (2019). "تدفق الشذوذ وثابت إيتا". arXiv : 1909.08775 [ hep-th ].
عام