إعادة التطبيع

إعادة التطبيع هي مجموعة من التقنيات في نظرية الحقل الكمومي ، ونظرية الحقل الإحصائي ، ونظرية البنى الهندسية ذاتية التشابه ، تُستخدم لمعالجة اللانهاية التي تظهر في الكميات المحسوبة عن طريق تغيير قيم هذه الكميات للتعويض عن تأثيرات تفاعلاتها الذاتية . حتى لو لم تظهر أي لانهاية في مخططات الحلقات في نظرية الحقل الكمومي، يمكن إثبات ضرورة إعادة تطبيع الكتلة والحقول الظاهرة في لاغرانجيان الأصلي . ^{[ 1 ]} هذه هي الطريقة السائدة المستخدمة في الفيزياء النظرية لمعالجة هذه الكميات المتباعدة نظرًا لتطبيقاتها الواسعة، على الرغم من استخدام مناهج أكثر دقة ولكنها محدودة، مثل نظرية الاضطراب السببي .

على سبيل المثال، قد تبدأ نظرية الإلكترون بافتراض وجود إلكترون بكتلة وشحنة ابتدائيتين. في نظرية الحقل الكمومي، تحيط سحابة من الجسيمات الافتراضية ، مثل الفوتونات والبوزيترونات وغيرها، بالإلكترون الابتدائي وتتفاعل معه. يُظهر حساب تفاعلات الجسيمات المحيطة (مثل التصادمات عند طاقات مختلفة) أن نظام الإلكترون يتصرف كما لو كانت له كتلة وشحنة مختلفتان عن المفترضتين في البداية. في هذا المثال، تُستبدل إعادة التطبيع رياضيًا الكتلة والشحنة المفترضتين للإلكترون ( الجسيم المجرد ) بالكتلة والشحنة المرصودتين تجريبيًا ( الجسيم المُعدَّل ). تُثبت الرياضيات والتجارب أن البوزيترونات والجسيمات الأثقل وزنًا، مثل البروتونات، تُظهر نفس الشحنة المرصودة للإلكترون تمامًا، حتى في وجود تفاعلات أقوى بكثير وسحب أكثر كثافة من الجسيمات الافتراضية. تستند إجراءات إعادة التطبيع إلى شرط أن تتساوى كميات فيزيائية معينة (مثل كتلة وشحنة الإلكترون) مع القيم المرصودة (التجريبية).

تُحدد إعادة التطبيع العلاقات بين المعاملات في النظرية عندما تختلف المعاملات التي تصف مقاييس المسافات الكبيرة عن تلك التي تصف مقاييس المسافات الصغيرة. فيزيائيًا، قد يؤدي تراكم المساهمات من عدد لا نهائي من المقاييس المتضمنة في مسألة ما إلى كميات لا نهائية أخرى. عند وصف الزمكان كمتصل، لا تكون بعض البنى الإحصائية والكمية محددة بدقة . ولتحديدها بشكل لا لبس فيه، يجب على حد المتصل إزالة "الهياكل البنائية" للشبكات على مختلف المقاييس بعناية.

طُوِّرت إعادة التطبيع لأول مرة في الديناميكا الكهربائية الكمومية (QED) لفهم التكاملات اللانهائية في نظرية الاضطراب . ورغم اعتبارها في البداية إجراءً مؤقتًا مشكوكًا فيه حتى من قِبَل بعض مُبتكريها، فقد اعتُبرت إعادة التطبيع في نهاية المطاف آليةً مهمةً ومتسقةً ذاتيًا في فيزياء المقياس في العديد من مجالات الفيزياء والرياضيات. وعلى الرغم من تشكيكه اللاحق، كان بول ديراك هو رائد إعادة التطبيع. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

اليوم، وبفضل الرؤى الرائدة لمجموعة إعادة التطبيع التي قدمها نيكولاي بوغوليوبوف وكينيث ويلسون ، ينصب تركيز دراسات إعادة التطبيع على تغير الكميات الفيزيائية عبر المقاييس المتجاورة؛ أما المقاييس المتباعدة فترتبط ببعضها البعض من خلال أوصاف "فعّالة" . وترتبط جميع المقاييس بطريقة منهجية واسعة النطاق، ويتم استخلاص الفيزياء الفعلية المتعلقة بكل مقياس باستخدام تقنيات حسابية مناسبة له. وقد أوضح ويلسون أي متغيرات النظام أساسية وأيها زائدة عن الحاجة.

تُجرى عملية إعادة التطبيع بتحديد "مخطط إعادة التطبيع"، وهو عبارة عن معادلات تُحدد كيفية إعادة قياس المعاملات الفيزيائية ضمن النظرية. وتتطلب هذه العملية مناهج مختلفة، مثل الطرح على الغلاف أو الطرح الأدنى، وذلك تبعًا لنوع التفاعل قيد الدراسة. وتختلف إعادة التطبيع عن التنظيم ، وهو أسلوب آخر للتحكم في اللانهاية بافتراض وجود فيزياء جديدة غير معروفة على مقاييس جديدة، مع إمكانية استخدام كليهما معًا.

ظهرت مشكلة اللانهاية لأول مرة في الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية للجسيمات النقطية في القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين. ^{[ 4 ]} يجب أن تشمل كتلة الجسيم المشحون طاقة الكتلة في مجاله الكهروستاتيكي ( الكتلة الكهرومغناطيسية ). لنفترض أن الجسيم عبارة عن غلاف كروي مشحون نصف قطره r _{_e} . طاقة الكتلة في المجال هي $${\displaystyle m_{\text{em}}c^{2}=\int {\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\,dV=\int _{r_{\text{e}}}^{\infty }{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left({\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}\right)^{2}4\pi r^{2}\,dr={\frac {q^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}r_{\text{e}}}},}$$ والتي تصبح لانهائية عندما يقترب r _e من الصفر . وهذا يعني أن الجسيم النقطي سيكون له قصور ذاتي لانهائي ، وبالتالي لا يمكن تسريعه. وبالمناسبة، فإن قيمة r _e التي تجعل${\displaystyle m_{\text{em}}}$يُطلق على ما يساوي كتلة الإلكترون اسم نصف قطر الإلكترون الكلاسيكي ، والذي (يُحدد${\displaystyle q=e}$وتجاهل عامل${\displaystyle {1}/{2}}$) اتضح أنه $${\displaystyle r_{\text{e}}={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}m_{\text{e}}c^{2}}}=\alpha {\frac {\hbar }{m_{\text{e}}c}}\approx 2.8\times 10^{-15}~{\text{m}},}$$ أين${\displaystyle \alpha \approx 1/137}$هو ثابت البنية الدقيقة ، و${\displaystyle \hbar /(m_{\text{e}}c)}$هو طول موجة كومبتون المختزل للإلكترون.

تشمل الكتلة الفعالة الكلية لجسيم كروي مشحون الكتلة الأساسية للغلاف الكروي (بالإضافة إلى الكتلة المذكورة سابقًا والمرتبطة بمجاله الكهربائي). إذا سُمح لكتلة الغلاف الأساسية بأن تكون سالبة، فقد يكون من الممكن الحصول على حد نقطي متسق. عُرف هذا باسم إعادة التطبيع، وقد حاول لورنتز وأبراهام تطوير نظرية كلاسيكية للإلكترون بهذه الطريقة. شكل هذا العمل المبكر مصدر إلهام لمحاولات لاحقة في التنظيم وإعادة التطبيع في نظرية الحقل الكمومي.

عند حساب التفاعلات الكهرومغناطيسية للجسيمات المشحونة ، يُعدّ رد فعل المجال المغناطيسي للجسيم على نفسه (المماثل للقوة الدافعة الكهربائية العكسية في تحليل الدوائر الكهربائية) ضروريًا لتفسير الاحتكاك الواقع على الجسيمات المشحونة عند انبعاثها للإشعاع. إذا افترضنا أن الإلكترون نقطة، فإن قيمة رد الفعل تتباعد، للسبب نفسه الذي يجعل الكتلة تتباعد، لأن المجال يتناسب عكسيًا مع مربع المجال .

تتضمن نظرية أبراهام-لورنتز "تسارعًا مسبقًا" عكسيًا ، مما يسمح بحلٍّ يبدأ فيه الإلكترون بالحركة قبل تطبيق القوة. تبقى هذه المشكلات قائمة في الصيغة النسبية لمعادلة أبراهام-لورنتز. وهذا مؤشر على عدم اتساق حد النقطة، و/أو على ضرورة المعالجة الميكانيكية الكمومية. ^{[ 5 ]}

كانت المشكلة أشدّ في نظرية الحقل الكلاسيكية منها في نظرية الحقل الكمومي، ففي نظرية الحقل الكمومي، تتعرض الجسيمات المشحونة لظاهرة اهتزاز زيتيربيفيغونغ ^{[ 6 ]} نتيجةً للتداخل مع أزواج الجسيمات والمضادات الافتراضية، مما يؤدي فعليًا إلى توزيع الشحنة على منطقة تُقارب طول موجة كومبتون. أما في الديناميكا الكهربائية الكمومية عند اقتران ضعيف، فإن الكتلة الكهرومغناطيسية تتناسب طرديًا مع لوغاريتم نصف قطر الجسيم.

تُعدّ حالات التباعد ضمن نظريات الحقل الكمومي شائعة، ولكن تمّت مواجهتها لأول مرة في تطوير الديناميكا الكهربائية الكمومية في ثلاثينيات القرن العشرين على يد ماكس بورن ، وفيرنر هايزنبرغ ، وباسكوال جوردان ، وبول ديراك. اكتشفوا أنه عند إضافة تصحيحات اضطرابية، فإن العديد من التكاملات داخل النظرية تكون متباعدة. ^{[ 7 ]}

تم اكتشاف إحدى طرق وصف تباعدات تصحيحات نظرية الاضطراب في الفترة ما بين 1947 و1949 من قبل هانز كرامرز ، ^{[ 8 ]} وهانز بيث ، ^{[ 9 ]} وجوليان شوينجر ، ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} وريتشارد فاينمان ، ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]} وشينيتشيرو توموناغا ، ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]} وتم تنظيمها من قبل فريمان دايسون في عام 1949. ^{[ 24 ]} تظهر التباعدات في التصحيحات الإشعاعية التي تتضمن مخططات فاينمان مع حلقات مغلقة من الجسيمات الافتراضية فيها.

بينما تخضع الجسيمات الافتراضية لقانوني حفظ الطاقة والزخم ، إلا أنها قد تمتلك أي طاقة وزخم، حتى تلك التي لا تسمح بها علاقة الطاقة والزخم النسبية للكتلة المرصودة لتلك الجسيمات. عند وجود حلقة، لا يتحدد زخم الجسيمات المشاركة فيها بشكل فريد من خلال طاقات وزخم الجسيمات الداخلة والخارجة. يمكن موازنة تغير في طاقة أحد الجسيمات في الحلقة بتغير مساوٍ ومعاكس في طاقة جسيم آخر فيها، دون التأثير على الجسيمات الداخلة والخارجة. وبالتالي، فإن العديد من التغيرات ممكنة. يتطلب إيجاد سعة عملية الحلقة إجراء تكامل على جميع التوليفات الممكنة للطاقة والزخم التي يمكن أن تنتقل حول الحلقة. غالبًا ما تكون هذه التكاملات متباعدة.

مثال على الحساب

يوضح الشكل 2 أحد المساهمات المتعددة ذات الحلقة الواحدة في تشتت الإلكترون-إلكترون في الديناميكا الكهربائية الكمية. يبدأ الإلكترون ^{الموجود على الجانب الأيسر من الشكل ،} والمُمثل بالخط المتصل، بزخم رباعي pμ وينتهي بزخم رباعي rμ. يُصدر فوتونًا افتراضيًا يحمل rμ - pμ لنقل الطاقة والزخم إلى ^{الإلكترون} الآخر ( الخط ^{المنحني} الأسود). ولكن في هذا الشكل، قبل حدوث ذلك، يُصدر فوتونًا افتراضيًا آخر يحمل زخمًا رباعيًا qμ ^، والذي يُعاد امتصاصه بعد إصدار الفوتون الافتراضي الأول. لا يُحدد قانونا حفظ الطاقة والزخم الزخم الرباعي qμ بشكل فريد، لذا تُساهم جميع الاحتمالات بالتساوي ^، ويجب إجراء التكامل.

ينتج عن سعة هذا الرسم البياني، من بين أمور أخرى، عامل من حلقة $${\displaystyle -ie^{3}\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}\gamma ^{\mu }{\frac {i(\gamma ^{\alpha }(rq)_{\alpha }+m)}{(rq)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\rho }{\frac {i(\gamma ^{\beta }(pq)_{\beta }+m)}{(pq)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\nu }{\frac {-ig_{\mu \nu }}{q^{2}+i\epsilon }}.}$$تمثل عوامل γ ^μ المختلفة في هذا التعبير مصفوفات غاما كما في الصيغة المتغيرة لمعادلة ديراك ؛ وهي مرتبطة بدوران الإلكترون. هنا، e هو ثابت الاقتران الكهربائي، و${\displaystyle i}$هي الوحدة التخيلية . المفتاح هنا هو اعتماد العوامل الكسرية الثلاثة في التكامل على q ^μ ، وهي ناتجة عن مُوَصِّلات خطي الإلكترون وخط الفوتون في الحلقة.

بتوسيع الدالة التكاملية، يوجد حد ذو قوتين لـ q ^μ في البسط يهيمن عند القيم الكبيرة لـ q ^μ : ^{[ 26 ]}$${\displaystyle e^{3}\gamma ^{\mu}\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\beta }\gamma _{\mu}\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{(rq)^{2}(pq)^{2}q^{2}}}.}$$هذا التكامل متباعد، إلا إذا تم قطع الطاقة والزخم عند قيمة محدودة.

كان حل مشكلة التباعد يكمن في مراعاة أن القيم الأولية لكميات مثل الشحنة الكهربائية وكتلة الإلكترون لا تتطابق فعليًا مع الثوابت الفيزيائية المقاسة في المختبر. فقد اعتمدت النظرية، كما هي مكتوبة، على جسيمات مجردة لم تأخذ في الحسبان تأثير حلقات الجسيمات الافتراضية على الثوابت الفيزيائية نفسها. وبشكل عام، ستكون هذه التأثيرات متباعدة تمامًا مثل السعات قيد الدراسة في المقام الأول، لذا فإن الكميات المقاسة المحدودة ستؤدي إلى كميات مجردة متباعدة.

لربط هذه القيم الأولية بالنتائج التجريبية، يجب إعادة صياغة الصيغ بدلالة كميات قابلة للقياس ومُعاد تطبيعها. على سبيل المثال، يمكن تعريف شحنة الإلكترون بدلالة كمية تُقاس عند نقطة إعادة تطبيع حركية محددة أو نقطة طرح (والتي ستكون لها طاقة مميزة تُسمى مقياس طاقة إعادة التطبيع ). بعد ذلك، يمكن إعادة تفسير الحدود المتبقية، والتي تتضمن الأجزاء المتبقية من الكميات الأولية، كحدود معاكسة ضمن مجموعة جديدة من المخططات التي تلغي تمامًا مجموعة المخططات المتباعدة السابقة.

إعادة التطبيع في الديناميكا الكهربائية الكمية

على سبيل المثال، في لاغرانجيان الديناميكا الكهربائية الكمية$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}_{B}\left[i\gamma _{\mu }\left(\partial ^{\mu }+ie_{B}A_{B}^{\mu }\right)-m_{B}\right]\psi _{B}-{\frac {1}{4}}F_{B\mu \nu }F_{B}^{\mu \nu }}$$ الحقول وثابت الاقتران هما في الواقع كميات مجردة، ومن هنا جاء الرمز السفلي B. تقليديًا، تُكتب الكميات المجردة بحيث تكون حدود لاغرانج المقابلة مضاعفات للحدود المعاد تطبيعها: $${\displaystyle \left({\bar {\psi }}m\psi \right)_{B}=Z_{0}{\bar {\psi }}m\psi }$$$${\displaystyle \left({\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi \right)_{B}=Z_{1}{\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi }$$$${\displaystyle \left(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)_{B}=Z_{2}\,F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.}$$تجدر الإشارة إلى أنه يتم استخدام ثبات القياس ، عبر متطابقة وارد-تاكاهاشي ، في السطر الثاني بحيث يمكن إعادة تطبيع حدي المشتقة المتغيرة معًا. ^{[ 27 ]}

يمكن كتابة تفاعل الإلكترون والفوتون الموضح في الشكل 1 على النحو التالي $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{I}=-e{\bar {\psi}}\gamma _{\mu} A^{\mu }\psi -(Z_{1}-1)e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi }$$يمكن تعريف شحنة الإلكترون e بدلالة تجربة محددة: بجعل مقياس إعادة التطبيع مساويًا لطاقة هذه التجربة، يُعطي الحد الأول التفاعل المرصود في المختبر (مع مراعاة تصحيحات صغيرة ومحدودة من مخططات الحلقات). أما الحد الثاني فهو الحد المعاكس. إذا كانت النظرية قابلة لإعادة التطبيع كما في الديناميكا الكهربائية الكمية، فيمكن تفكيك الأجزاء المتباعدة من مخططات الحلقات إلى أجزاء بثلاثة أرجل أو أقل، بصيغة جبرية يمكن إلغاؤها بالحد الثاني (أو بالحدود المعاكسة المشابهة الناتجة عن Z₀ و _{Z₃ )} .

إن الرسم البياني الذي تم فيه وضع رأس التفاعل للمصطلح المضاد Z ₁ كما هو موضح في الشكل 3 يلغي التباعد من الحلقة في الشكل 2.

تاريخياً، سبق تقسيم "المصطلحات المجردة" إلى المصطلحات الأصلية والمصطلحات المضادة فكرة مجموعة إعادة التطبيع التي قدمها كينيث ويلسون . ^{[ 28 ]} ووفقاً لهذه الأفكار المتعلقة بمجموعة إعادة التطبيع، فإن هذا التقسيم غير فيزيائي، حيث تدخل جميع مقاييس المشكلة بطرق منهجية مستمرة.

بما أن الكمية ∞ − ∞ غير مُعرَّفة بدقة، يُمكن جعل إلغاء التباعدات دقيقًا رياضيًا باستخدام نظرية النهايات ، في عملية تُعرف بالتنظيم . ^{[ 29 ]} يُمكن جعل التكاملات تتقارب عند الزخم والطاقة العاليين بإدخال تعديل إضافي على شكلها يُعرف بالمُنظِّم. للمُنظِّم مقياس طاقة مميز يُعرف بالقطع ؛ بأخذ هذا القطع إلى اللانهاية (أو، بشكل مكافئ، مقياس الطول/الزمن المقابل إلى الصفر) يتم استعادة التكاملات الأصلية. تصبح الحدود المتباعدة في التكاملات محدودة ولكنها تعتمد على القطع، والتي يُمكن إلغاؤها بحدود معاكسة تعتمد على القطع. يتم أخذ القطع إلى اللانهاية ويتم استعادة النتائج الفيزيائية المحدودة؛ إذا كانت الفيزياء على المقاييس القابلة للقياس مستقلة عما يحدث على مقاييس المسافة والزمن القصيرة جدًا، فينبغي أن يكون من الممكن الحصول على نتائج مستقلة عن القطع.

تُستخدم أنواعٌ عديدة من أدوات التنظيم في نظرية الحقل الكمومي. من أكثرها شيوعًا التنظيم البُعدي ^{[ 30 ]} ، حيث تُمدد التكاملات إلى فضاء ذي عدد كسري وهمي من الأبعاد. وهناك تنظيم باولي-فيلارس ، الذي يُضيف جسيمات وهمية ذات كتل هائلة إلى النظرية، بحيث تُلغي دوال التكامل الحلقية التي تتضمن هذه الجسيمات الحلقات الموجودة عند الزخم الكبير. وهناك أيضًا تنظيم الشبكة ، الذي يضع الزمكان رباعي الأبعاد على شبكة ذات حجم ثابت؛ يُقيد هذا الحجم الزخم الذي يمكن أن يمتلكه الجسيم عند انتشاره على الشبكة. بعد معالجة عدة شبكات بأحجام مختلفة، تُعمم النتيجة الفيزيائية إلى حجم شبكة صفري، أي حد الاستمرارية ، مما يُنتج فيزياء الكون الطبيعي.

لم يكن واضعو نظرية الكهروديناميكا الكمية (QED) ونظريات الحقول الكمومية الأخرى راضين، في الغالب، عن هذا الوضع. فقد بدا من غير المنطقي القيام بما يُشبه طرح اللانهاية من اللانهاية للحصول على إجابات محدودة. جادل دايسون بأن هذه اللانهاية ذات طبيعة أساسية ولا يمكن التخلص منها بأي إجراءات رياضية رسمية، مثل طريقة إعادة التطبيع. ^{[ 31 ] [ 32 ]}

كان نقد ديراك هو الأكثر إصراراً. ^{[ 33 ]} وحتى عام 1975، كان يقول: ^{[ 34 ]}

معظم الفيزيائيين راضون تمامًا عن الوضع. يقولون: "الديناميكا الكهربائية الكمومية نظرية جيدة، ولا داعي للقلق بشأنها بعد الآن". لكني، بصراحة، غير راضٍ تمامًا عن هذا الوضع، لأن هذه "النظرية الجيدة" المزعومة تتضمن إهمال اللانهايات التي تظهر في معادلاتها، وتجاهلها بشكل تعسفي. هذا ببساطة ليس من صميم الرياضيات. فالرياضيات السليمة تقتضي تجاهل الكمية عندما تكون صغيرة، لا إهمالها لمجرد أنها كبيرة جدًا ولا نرغب بها!

وكان فاينمان ناقدًا مهمًا آخر. فعلى الرغم من دوره الحاسم في تطوير الديناميكا الكهربائية الكمومية، فقد كتب ما يلي في عام 1985: ^{[ 35 ]}

إنّ أسلوبنا في إيجاد قيمتي n و j يُسمى تقنيًا "إعادة التطبيع". ولكن مهما كان هذا المصطلح مُبهمًا، فهو في رأيي عملية مُضللة! لقد حال اللجوء إلى هذه الأساليب المُلتوية دون إثبات الاتساق الرياضي لنظرية الديناميكا الكهربائية الكمومية. من المُثير للدهشة أن النظرية لم تُثبت اتساقها حتى الآن، سواءً بشكل قاطع أو غير قاطع؛ أظنّ أن إعادة التطبيع غير مُبرّرة رياضيًا.

كان فاينمان قلقًا من أن جميع نظريات المجال المعروفة في ستينيات القرن العشرين تتسم بخاصية أن التفاعلات تصبح قوية للغاية عند مسافات قصيرة جدًا. وقد جعلت أقطاب لاندو هذه من المعقول أن تكون جميع نظريات المجال الكمومي غير متسقة. في عام 1974، أثبت ديفيد غروس وهيو ديفيد بوليتزر وفرانك ويلكزك أن نظرية مجال كمومي أخرى، وهي الديناميكا اللونية الكمومية، لا تحتوي على قطب لاندو. وقد قبل فاينمان، إلى جانب معظم العلماء الآخرين، أن الديناميكا اللونية الكمومية نظرية متسقة تمامًا.

كان القلق العام شبه شامل في النصوص حتى سبعينيات وثمانينيات القرن العشرين. إلا أنه ابتداءً من سبعينيات القرن العشرين، وبفضل العمل على مجموعة إعادة التطبيع ونظرية المجال الفعّالة، وعلى الرغم من أن ديراك وآخرين لم يتراجعوا عن انتقاداتهم، بدأت المواقف تتغير. وقد أثبت كينيث ج. ويلسون وآخرون أن مجموعة إعادة التطبيع مفيدة في نظرية المجال الإحصائي المطبقة على فيزياء المادة المكثفة ، حيث تقدم رؤى مهمة حول سلوك التحولات الطورية . في فيزياء المادة المكثفة، يوجد منظم فيزيائي قصير المدى: تتوقف المادة عن كونها متصلة على مستوى الذرات . لا تمثل التباعدات قصيرة المدى في فيزياء المادة المكثفة مشكلة فلسفية لأن نظرية المجال ليست سوى تمثيل فعّال ومُبسّط لسلوك المادة؛ فلا وجود لللانهايات لأن القطع دائمًا ما يكون محدودًا، والكميات الأساسية تعتمد على القطع.

إذا كانت نظرية المجال الكمومي صحيحة بعد طول بلانك ، فقد لا تكون هناك مشكلة في التباعدات قصيرة المدى في فيزياء الجسيمات أيضًا، ويمكن أن تكون جميع نظريات المجال ببساطة نظريات مجال فعالة.

إلا أن عبد السلام قال ^{[ 36 ]} سنة 1972:

استمرت اللانهائيات في نظرية الحقول - التي ظهرت لأول مرة في حسابات لورنتز لكتلة الإلكترون الذاتية - في الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية لسبعين عامًا، وفي الديناميكا الكهربائية الكمومية لنحو خمسة وثلاثين عامًا. وقد خلّفت هذه السنوات الطويلة من الإحباط لدى الباحثين في هذا المجال ولعًا غريبًا باللانهائيات، وإيمانًا راسخًا بأنها جزء لا يتجزأ من الطبيعة؛ لدرجة أن مجرد التلميح إلى إمكانية تجاوزها - وحساب قيم محددة لثوابت إعادة التطبيع - يُعتبر أمرًا غير منطقي.

في نظرية الحقل الكمومي، تعتمد قيمة الثابت الفيزيائي على المقياس المُختار كنقطة إعادة التطبيع. تتغير ثوابت الاقتران في النموذج القياسي لفيزياء الجسيمات بطرق مختلفة مع ازدياد مستوى الطاقة: يميل اقتران الديناميكا اللونية الكمومية واقتران الدوران النظائري الضعيف للقوة الكهروضعيفة إلى التناقص، بينما يميل اقتران الشحنة الفائقة الضعيفة للقوة الكهروضعيفة إلى الازدياد. عند مستوى طاقة 10 ^{^15} جيجا إلكترون فولت (وهو مستوى يتجاوز بكثير قدرة مسرعات الجسيمات الحالية )، تصبح جميعها متقاربة في الحجم ^{[ 37 ]} ، وهو ما يُعد دافعًا رئيسيًا للتكهنات حول نظرية التوحيد الكبرى .

إذا كان بالإمكان تفسير النظرية المُعاد تطبيعها فقط على أنها نظرية مجال فعّالة، فإن مشكلة اكتشاف نظرية أكثر دقة لا تعاني من مشاكل إعادة التطبيع هذه تبقى قائمة. وكما قال لويس رايدر : "في نظرية الكم، لا تختفي هذه الاختلافات [الكلاسيكية]؛ بل على العكس، يبدو أنها تتفاقم. وعلى الرغم من النجاح النسبي لنظرية إعادة التطبيع، يبقى الشعور قائماً بضرورة وجود طريقة أكثر إرضاءً للقيام بالأمور." ^{[ 38 ]}

لا تُناسب جميع النظريات إعادة التطبيع بالطريقة الموصوفة أعلاه، حيث يكون عدد الحدود المضادة محدودًا وتصبح جميع الكميات مستقلة عن القطع في نهاية الحساب. إذا احتوى لاغرانجيان على تراكيب من مؤثرات المجال ذات بُعد عالٍ بما يكفي بوحدات الطاقة، فسيلزم عدد لا نهائي من الحدود المضادة لإلغاء جميع التباعدات. للوهلة الأولى، قد تبدو النظرية وكأنها تكتسب عددًا لا نهائيًا من المعاملات الحرة، وبالتالي تفقد قدرتها التنبؤية. تُسمى هذه النظريات "غير قابلة لإعادة التطبيع".

يحتوي النموذج القياسي لفيزياء الجسيمات على عوامل قابلة لإعادة التطبيع فقط، ولكن تفاعلات النسبية العامة تصبح غير قابلة لإعادة التطبيع إذا حاول المرء بناء نظرية مجال للجاذبية الكمومية بأبسط طريقة (معاملة المقياس في لاغرانجيان أينشتاين-هيلبرت كاضطراب حول مقياس مينكوفسكي )، مما يشير إلى أن نظرية الاضطراب غير مرضية في تطبيقها على الجاذبية الكمومية.

مع ذلك، في نظرية المجال الفعّالة ، يُعدّ مصطلح "قابلية إعادة التطبيع" تسميةً غير دقيقة . ففي نظرية المجال الفعّالة غير القابلة لإعادة التطبيع، تتضاعف حدود لاغرانجيان إلى ما لا نهاية، لكن معاملاتها تُخفّض بفعل قوى معكوسة متزايدة باستمرار لقيمة قطع الطاقة. إذا كانت قيمة القطع كميةً فيزيائية - أي إذا كانت النظرية وصفًا فعّالًا للفيزياء حتى طاقة قصوى أو مسافة دنيا - فإن هذه الحدود الإضافية قد تُمثّل تفاعلات فيزيائية حقيقية. بافتراض أن الثوابت عديمة الأبعاد في النظرية لا تصبح كبيرة جدًا، يُمكن تجميع الحسابات حسب القوى المعكوسة لقيمة القطع، واستخلاص تنبؤات تقريبية ذات رتبة محدودة في قيمة القطع، مع احتفاظها بعدد محدود من المعاملات الحرة. يُمكن استخدام هذا لإعادة تطبيع هذه التفاعلات "غير القابلة لإعادة التطبيع".

تضعف التفاعلات غير القابلة لإعادة التطبيع في نظريات المجال الفعّالة بسرعة كلما صغر مقياس الطاقة عن حد القطع. والمثال الكلاسيكي على ذلك هو نظرية فيرمي للقوة النووية الضعيفة ، وهي نظرية فعّالة غير قابلة لإعادة التطبيع، ويُقارب حد القطع فيها كتلة جسيم W. قد تُفسر هذه الحقيقة أيضًا سبب إمكانية وصف معظم تفاعلات الجسيمات التي نرصدها بنظريات قابلة لإعادة التطبيع: أما التفاعلات الأخرى التي قد توجد على مقياس التوحيد الكبير أو مقياس بلانك ، فتصبح ببساطة أضعف من أن تُرصد. ويُستثنى من ذلك الجاذبية ، التي يتضخم تفاعلها الضعيف للغاية بوجود الكتل الهائلة للنجوم والكواكب .

• تاريخ نظرية الحقل الكمومي
• التفاهة الكمومية
• مفارقات زينون
• تصحيح غير مائل

• اقتباسات متعلقة بإعادة التطبيع على موقع ويكي الاقتباس