الكتلة الكهرومغناطيسية

يُعدّ نظامٌ يتألف من شحنتين كهربائيتين نقطيتين q1 و q2 تفصل بينهما مسافة r أبسط توزيعٍ ممتد للشحنات، ويمكن استخدامه لتوضيح طرقٍ مختلفة لحساب الكتلة الكهرومغناطيسية. إضافةً إلى الطرق القائمة على الطاقة والزخم، يمكن حساب كتلة القوة الذاتية كما يلي .

عندما يكون نظام الشحنتين النقطيتين في حالة سكون، تكون القوة الكهربائية التي تؤثر بها الشحنة q1 على الشحنة q2 مساوية ومعاكسة لتلك التي تؤثر بها الشحنة q2 على الشحنة q1 ( قانون كولوم ). إذا تم تسريع زوج الشحنات الآن، بتسارع${\displaystyle {\vec {a}}}$مع توجيه المجال الكهربائي نحو اليمين (مع الحفاظ على المسافة r بين الشحنتين ثابتة)، لم يعد هذا هو الحال ^{[ 4 ]} : ​​بما أن المجال الكهربائي الناتج عن كل شحنة لا ينتشر لحظيًا، بل بسرعة الضوء (c = 299,792,458 م/ث)، فإن القوة المؤثرة على كل شحنة لم تعد تعتمد على الموضع الحالي للشحنة الأخرى، بل على موضعها المتأخر (t' = t − r/c). ونتيجة لذلك، تصبح القوة التي تؤثر بها q2 على q1 أقوى قليلًا من القوة التي تؤثر بها q1 على q2 . يؤدي هذا الاختلال إلى ظهور قوة محصلة F تؤثر على النظام بأكمله. هذه القوة موجهة نحو اليسار، وبالتالي تميل إلى مقاومة التسارع ^{[ 5 ]} .

لحساب F _self ، نحتاج إلى حساب القوة الكهربائية التي تؤثر بها كل شحنة على الأخرى، مع مراعاة تأثيرات التباطؤ في انتشار المجال الكهربائي . وللقيام بذلك، يمكننا استخدام العلاقة F = q_E وحساب المجال الكهربائي E الناتج عن كل شحنة باستخدام نموذج داروين ، الذي يُقارب تعابير المجال إلى رتبة 1/c² في التقريب شبه الساكن ^{[ 6 ]} . والتعبير العام للمجال E هو:

حيث تكون جميع الكميات آنية (أي يتم تقييمها في الوقت الحاضر t ). يمثل الحد الأول مجال كولوم ، أما الحد الثاني فهو حد تصحيحي ناتج عن تسارع الشحنات، والذي يفسر بدقة تأثيرات التباطؤ.

كما ذُكر أعلاه، يُنتج الحد الأول (على الرغم من كونه أكبر بكثير في المقدار من الحد الثاني) قوى متساوية ومتعاكسة. أما الحد الذي يعتمد على التسارع، فيمكن أن يُنتج قوى غير متساوية وغير متعاكسة. بحساب محصلة القوة الذاتية F المؤثرة على النظام، نحصل على ^{[ 4 ]} :

$//$

القوة الناتجة تتناسب مع${\displaystyle {\vec {a}}}$ويزيد ذلك من مقاومة النظام للتسارع . وبالتالي، يمكن اعتباره (بحسب التعريف) بمثابة زيادة في كتلة النظام، حيث تُعطى الزيادة في الكتلة Δm (باستخدام قانون نيوتن الثاني ) بالمعادلة ^{[ 4 ]} :

وباعتبار هذه الزيادة في الكتلة "كتلة التفاعل الكهرومغناطيسي" للشحنتين، نحصل على ^{[ 4 ]} :

${\displaystyle m_{\mathrm {elec} }={\frac {F_{\mathrm {self} }}{a}}={\frac {2q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}}$

لاحظ أنه إذا كانت الشحنات q 1 و q 2 لها نفس الإشارة، فإن الكتلة الكهرومغناطيسية تكون موجبة (يشار إليها باسم فائض الكتلة )، بينما إذا كانت الشحنات لها إشارات متعاكسة، فإن الكتلة الكهرومغناطيسية تكون سالبة (يشار إليها باسم نقص الكتلة ).

إذا رمزنا بـ m1 لكتلة الشحنة q1 ، و m2 لكتلة الشحنة q2 ، و Mtot _للكتلة الكلية للنظام { q1 + q2 } ، فسنحصل في النهاية على :

${\displaystyle M_{tot}=m_{1}+m_{2}+{\frac {2q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}}$

الخلاصة: تُظهر قوانين الكهرومغناطيسية الكلاسيكية أن التفاعلات بعيدة المدى بين الجسيمات المشحونة يمكن أن تؤثر على الكتلة الكلية للنظام، مما يعني أن قصور الجسم الذاتي لا يعتمد فقط على كمية المادة التي يحتويها. وينتج ظهور كتلة التفاعل عن السرعة المحدودة التي تنتشر بها المجالات عبر الفضاء ( c ). وبالتالي، سيكون المكثف المشحون أكبر قليلاً في الكتلة من المكثف نفسه غير المشحون، على الرغم من أن كليهما يتكون من نفس عدد الجسيمات ولم يتم تبادل أي مادة مع الخارج.

في أواخر القرن التاسع عشر، ذهب بعض الفيزيائيين إلى حدّ الادعاء بأن الكتلة "الميكانيكية" غير موجودة، وأن 100% من كتلة الأجسام ذات أصل كهرومغناطيسي ^{[ 3 ]} . مع ذلك، تتطلب هذه الفرضية التعامل مع الإلكترون والجسيمات الأولية الأخرى كتوزيعات شحنة كروية، وهو ما لا يمكن افتراضه دون معرفة تفصيلية بالبنية الداخلية لهذه الجسيمات ^{[ 3 ]} . علاوة على ذلك، بات من المعروف الآن أن تفاعلات أخرى في الطبيعة، مثل الجاذبية والتفاعل النووي القوي ، يمكن أن تؤثر أيضًا على كتلة الأجسام ( وتُعدّ عيوب الكتلة النووية مثالًا واضحًا على ذلك).

بالنظر الآن إلى الوضع الذي يحدث فيه التسارع${\displaystyle {\vec {a}}}$إذا كان نظام الشحنتين متعامدًا مع محور الشحنة (θ = 90°)، فإن قوة التفاعل الذاتي هي ^{[ 4 ] [ 7 ]} :

${\displaystyle F_{\mathrm {self}}={\frac {q_{1}q_{2}a}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}}$

وهذا يعني:

${\displaystyle m_{\mathrm {elec} }={\frac {F_{\mathrm {self} }}{a}}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}}$

كتلة التفاعل التي تم الحصول عليها هي نصف تلك الموجودة في الحالة الطولية ^{[ 4 ]} .

لفهم نشوء قوة التفاعل الذاتي هذه في التكوين المستعرض فهمًا نوعيًا، يمكن العمل في إطار متسارع للشحنتين، حيث تظهر خطوط المجال الكهروستاتيكي منحنية ^{[ 8 ]} ، تمامًا مثل مسار كرة تنس في مجال جاذبية. ستتعرض كل شحنة حينها لمركبة قوة كهربائية طفيفة تعاكس التسارع ، حيث E _{_x} ~ E_{_y} ·(ar/c²) (وفقًا لمبدأ التكافؤ في النسبية العامة ، تكون خطوط المجال الكهروستاتيكي منحنية بشكل مماثل لشحنة ساكنة في مجال جاذبية ^{[ 8 ] [ 9 ]} ). إذا كانت الشحنات ذات إشارات متعاكسة، فإن قوة التفاعل الذاتي تتجه على طول${\displaystyle {\vec {a}}}$.

إذا كان محور الشحنة يصنع زاوية اختيارية θ مع متجه التسارع${\displaystyle {\vec {a}}}$، الكتلة الكهرومغناطيسية التفاعلية للشحنتين هي ^{[ 4 ]} :

${\displaystyle m_{\mathrm {elec} }={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}\left(1+\cos ^{2}\theta \right)}$

حيث يتراوح العامل (1 + cos² θ) بين 1 و 2.

ظهور قوة متعامدة مع التسارع

عندما لا تكون الزاوية θ تساوي 0° ولا 90°، تكون هناك قوة تفاعل ذاتي عمودية على التسارع (${\displaystyle F_{\perp }}$يظهر أيضًا، بالإضافة إلى المكون الموجود على طول التسارع ^{[ 4 ]} :

${\displaystyle F_{\perp }={\frac {q_{1}q_{2}a}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}\cos(\theta )\sin(\theta )}$

لكن فقط${\displaystyle F_{\parallel }}$يمكن اعتبار ذلك مساهماً في قصور النظام الذاتي. للمزيد من المعلومات:

${\displaystyle F_{\parallel }={\frac {q_{1}q_{2}a}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}\left(1+\cos ^{2}\theta \right)}$

${\displaystyle F_{\perp }}$تصل القيمة إلى أقصى حد لها عندما تكون θ = 45°، كما يتضح من المتطابقة المثلثية:

${\displaystyle \cos(\theta )\sin(\theta )={\frac {1}{2}}\sin(2\theta )}$

بما أن sin(2θ) تصل إلى أقصى قيمة لها عند θ = 45°.

تتكون ذرة الهيدروجين من جسيمين لهما شحنات كهربائية متعاكسة ( بروتون وإلكترون ) في تفاعل .

الكتلتان المتقابلتان للبروتون والإلكترون المعزولين هما:

${\displaystyle m_{p}=1{.}672621924\times 10^{-27}\,\mathrm {kg} }$

${\displaystyle m_{e}=9{.}109383702\times 10^{-31}\,\mathrm {kg} }$

مجموعها هو:

${\displaystyle m_{p}+m_{e}=1{.}673532862\times 10^{-27}\,\mathrm {kg} }$

الكتلة المقاسة تجريبياً لذرة الهيدروجين هي:

${\displaystyle m_{H}=1{.}673532838\times 10^{-27}\,\mathrm {kg} }$

يجد المرء:

${\displaystyle m_{H}<m_{p}+m_{e}}$

الفرق بين الكتلتين ( نقص الكتلة ) هو:

${\displaystyle \Delta m=2{.}4\times 10^{-35}\,\mathrm {kg} }$

يمثل هذا النقص الكتلي تحديداً الكتلة الكهرومغناطيسية السالبة الناتجة عن التفاعل بين البروتون والإلكترون. وهو أصغر بحوالي 100 مليون مرة من الكتلة الكلية لذرة الهيدروجين.

إذا كانت الكرة تحمل كثافة شحنة حجمية منتظمة ρ في جميع أنحاء حجمها، فيمكن حساب كتلتها الكهرومغناطيسية بتكامل قوى التفاعل المتبادل بين جميع أزواج الشحنات المتناهية الصغر. الكتلة الكهرومغناطيسية لمثل هذه الكرة المشحونة هي:

${\displaystyle M_{\mathrm {elec} }={\frac {16\pi \,\rho ^{2}R^{5}}{45\varepsilon _{0}}}}$

ويمكن التعبير عن هذه النتيجة أيضاً بدلالة الشحنة الكلية Q التي تحملها الكرة:

${\displaystyle M_{\mathrm {elec} }={\frac {Q^{2}}{5\pi \varepsilon _{0}R}}}$

لنفترض الآن أن الكرة مشحونة سطحياً بكثافة شحنة سطحية منتظمة σ. عندئذٍ يكون لدينا ^{[ 4 ] [ 10 ]} :

${\displaystyle M_{\mathrm {elec} }={\frac {8\pi \,\sigma ^{2}R^{3}}{3\varepsilon _{0}}}}$

أو ما يعادل ذلك:

${\displaystyle M_{\mathrm {elec} }={\frac {Q^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}R}}}$

إلى جانب العلاقة m = F/a ، توجد طرق أخرى لحساب الكتلة الكهرومغناطيسية لنظام ما ^{[ 4 ]} : ​​إحداها تتضمن حساب الزخم${\displaystyle {\vec {p}}}$المجال الكهرومغناطيسي لسرعة عشوائية${\displaystyle {\vec {v}}}$ثم باستخدام m = p/v . يُعطى زخم المجال الكهرومغناطيسي بالعلاقة ^{[ 10 ]} :

بالنسبة لجسمين متفاعلين 1 و 2، يكون لدينا:

${\displaystyle {\vec {E}}={\vec {E}}_{1}+{\vec {E}}_{2}}$ و ${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {B}}_{1}+{\vec {B}}_{2}}$

مما يعطي:

${\displaystyle {\vec {p}}=\varepsilon _{0}\iiint (({\vec {E}}_{1}\times {\vec {B}}_{1})+({\vec {E}}_{2}\times {\vec {B}}_{2})+({\vec {E}}_{1}\times {\vec {B}}_{2})+({\vec {E}}_{2}\times {\vec {B}}_{1}))\,dV}$

من بين المصطلحات الأربعة، يتوافق المصطلحان الأولان مع الكتل الكهرومغناطيسية الفردية للجسمين 1 و2. لحساب الكتلة الكهرومغناطيسية التفاعلية بين 1 و2 فقط، يلزم النظر في المصطلحين الأخيرين فقط ^{[ 4 ]} .

تعطي هذه الطريقة نفس النتائج تمامًا مثل طريقة m = F/a في جميع الحالات ^{[ 4 ]} (تستند كلتا الطريقتين إلى معادلات ماكسويل وقوة لورنتز ).

وتتمثل الطريقة الثالثة في الحساب، لسرعة معينة${\displaystyle {\vec {v}}}$الطاقة U _{_m} المخزنة في المجال المغناطيسي للنظام، باستخدام المعادلة m = 2U_{_m} /v² . في الواقع، يراكم الجسم المشحون المتحرك الطاقة ويخزنها (في صورة مغناطيسية) بنفس الطريقة التي يراكم بها الجسم الضخم المتحرك الطاقة الحركية (ترتبط الكتلة بالطاقة الحركية بالعلاقة m = 2E_{_c}/v² ). الطاقة المغناطيسية U _{_m} التي يراكمها الجسم المشحون المتحرك، وفقًا لنظرية بوينتينغ :

بما أن المجال المغناطيسي B الناتج عن الجسم، وفقًا لقانون بيو-سافار ، يتناسب طرديًا مع سرعته ، فإن مربع المجال المغناطيسي يتناسب طرديًا مع مربع السرعة، مما يسمح بظهور كمية متجانسة مع كتلة (m = 2U _m /v²). بالنسبة لجسمين متفاعلين مرتبطين 1 و2، يكون لدينا:

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {B}}_{1}+{\vec {B}}_{2}}$

وهذا يعني:

${\displaystyle B^{2}=B_{1}^{2}+B_{2}^{2}+2\,{\vec {B}}_{1}\cdot {\vec {B}}_{2}}$

من بين الحدود الثلاثة المُستنتجة، يُمثل الحدّان الأولان الكتلتين الكهرومغناطيسيتين للجسمين 1 و2 على حدة. إذا رغبنا في حساب الكتلة الكهرومغناطيسية التفاعلية بين الجسمين 1 و2 فقط، يكفي النظر في الحد الأخير. في هذه الحالة، نجد:

${\displaystyle m_{\mathrm {elec} }={\frac {2}{\mu _{0}v^{2}}}\iiint \left({\vec {B}}_{1}\cdot {\vec {B}}_{2}\right)\,dV}$

تُعطى طاقة الوضع للتفاعل الكهروستاتيكي بين شحنتين نقطيتين q1 و q2 بالصيغة التالية :

انطلاقاً من النتائج السابقة المتعلقة بتفاعل الكتلة الكهرومغناطيسية، يتبين أنه بالنسبة لنظام مكون من شحنتين محاذيتين لمحور موازٍ لمتجه التسارع${\displaystyle {\vec {a}}}$(θ = 0°):

${\displaystyle m_{\mathrm {elec} }={\frac {2E_{\mathrm {p} }}{c^{2}}}}$

إذا كان محور الشحنة متعامدًا مع متجه التسارع${\displaystyle {\vec {a}}}$(θ = 90°):

${\displaystyle m_{\mathrm {elec} }={\frac {E_{\mathrm {p} }}{c^{2}}}}$

وبالتالي ، تتوافق الحالة العرضية مع علاقة ألبرت أينشتاين العامة بين الكتلة والطاقة ( E = mc² )، بينما تختلف الحالة الطولية عن هذه الصيغة بمعامل 2 ^{[ 4 ]} . وعليه، يبدو أن العلاقة m = E/c² تعطي نتائج للكتلة الكهرومغناطيسية تختلف أحيانًا عن نتائج طرق الحساب الثلاث الأخرى ( m = F/a ، m = p/v، و m = 2U _m /v² ).

الانشطار النووي

في الانشطار النووي ، تنقسم نواة ذرية ثقيلة إلى نوى أخف . تتسبب القوة الكهروستاتيكية بين شظايا النوى (الموجبة الشحنة) في تنافر شديد يُطلق كمية كبيرة من الطاقة. ثم تتحول طاقة الوضع الكهروستاتيكية إلى طاقة حركية وإشعاع (في حالة الاندماج النووي ، تكون طاقة الوضع المرتبطة بالقوة النووية القوية هي التي تُطلق).

تكون الكتلة الإجمالية لنواتج التفاعل أقل من الكتلة الإجمالية الأولية. ويتوافق هذا الفرق مع انخفاض الكتلة الكهرومغناطيسية للنظام نتيجة لانفصال الجسيمات المشحونة ( البروتونات )، التي كانت محصورة في النواة نفسها . وتحدث ظاهرة فقدان الكتلة الكهرومغناطيسية نفسها عند إطلاق الطاقة في التفاعلات الكيميائية ، ولكن على نطاق أصغر بكثير.

لاحظ طومسون (1893) أن الزخم والطاقة الكهرومغناطيسيين للأجسام المشحونة، وبالتالي كتلها، يعتمدان على سرعة هذه الأجسام أيضًا. وكتب: ^{[ 19 ]}

[ص 21] عندما تكون v = c في الحد، فإن الزيادة في الكتلة تكون لانهائية، وبالتالي فإن الكرة المشحونة التي تتحرك بسرعة الضوء تتصرف كما لو كانت كتلتها لانهائية، وبالتالي فإن سرعتها ستظل ثابتة، بمعنى آخر، من المستحيل زيادة سرعة جسم مشحون يتحرك عبر العازل الكهربائي إلى ما بعد سرعة الضوء.

في عام 1897، قدم سيرل صيغة أكثر دقة للطاقة الكهرومغناطيسية للكرة المشحونة المتحركة: ^{[ 20 ]}

${\displaystyle E_{\mathrm {em} }^{v}=E_{\mathrm {em} }\left[{\frac {1}{\beta }}\ln {\frac {1+\beta }{1-\beta }}-1\right],\qquad \beta ={\frac {v}{c}},}$

ومثل تومسون، خلص إلى ما يلي:

... عندما تكون v = c تصبح الطاقة لا نهائية، بحيث يبدو من المستحيل جعل جسم مشحون يتحرك بسرعة أكبر من سرعة الضوء.

من صيغة سيرل، اشتق والتر كوفمان (1901) وماكس أبراهام (1902) الصيغة الخاصة بالكتلة الكهرومغناطيسية للأجسام المتحركة: ^{[ 22 ]}

${\displaystyle m_{L}={\frac {3}{4}}\cdot m_{\mathrm {em} }\cdot {\frac {1}{\beta ^{2}}}\left[-{\frac {1}{\beta }}\ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)+{\frac {2}{1-\beta ^{2}}}\right]}$

مع ذلك، بيّن أبراهام (1902) أن هذه القيمة صالحة فقط في الاتجاه الطولي ("الكتلة الطولية")، أي أن الكتلة الكهرومغناطيسية تعتمد أيضًا على اتجاه الأجسام المتحركة بالنسبة للأثير. ومن ثمّ استنتج أبراهام أيضًا " الكتلة العرضية ": ^{[ 22 ]}

${\displaystyle m_{T}={\frac {3}{4}}\cdot m_{\mathrm {em} }\cdot {\frac {1}{\beta ^{2}}}\left[\left({\frac {1+\beta ^{2}}{2\beta }}\right)\ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)-1\right]}$

من جهة أخرى، افترض لورنتز في عام 1899 أن الإلكترونات تخضع لانكماش في الطول على طول خط حركتها، مما أدى إلى نتائج لتسارع الإلكترونات المتحركة تختلف عن تلك التي قدمها أبراهام. وقد حصل لورنتز على عوامل من${\displaystyle k^{3}\varepsilon }$موازٍ لاتجاه الحركة و${\displaystyle k\varepsilon }$عموديًا على اتجاه الحركة، حيث${\displaystyle k={\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$و${\displaystyle \varepsilon }$هو عامل غير محدد. ^{[ 25 ]} قام لورنتز بتوسيع أفكاره التي طرحها عام 1899 في بحثه الشهير عام 1904، حيث حدد العامل${\displaystyle \varepsilon }$إلى الوحدة، على النحو التالي: ^{[ 21 ]}

${\displaystyle m_{L}={\frac {m_{\mathrm {em} }}{\left({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)^{3}}},\quad m_{T}={\frac {m_{\mathrm {em} }}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$،

وهكذا، توصل لورنتز في النهاية إلى نفس النتيجة التي توصل إليها طومسون في عام 1893: لا يمكن لأي جسم أن يصل إلى سرعة الضوء لأن الكتلة تصبح كبيرة بشكل لا نهائي عند هذه السرعة.

بالإضافة إلى ذلك، طوّر ألفريد بوتشيرر وبول لانجفين نموذجًا ثالثًا للإلكترون ، حيث ينكمش الإلكترون في خط حركته، ويتمدد عموديًا عليه، بحيث يظل حجمه ثابتًا. ^{[ 26 ]} وهذا يعطينا:

${\displaystyle m_{L}={\frac {m_{\mathrm {em} }\left(1-{\frac {1}{3}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)^{8/3}}},\quad m_{T}={\frac {m_{\mathrm {em} }}{\left({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)^{2/3}}}}$

دعمت تجارب والتر كوفمان (1901) تنبؤات نظريتي أبراهام ولورنتز، إلا أن هذه التجارب لم تكن دقيقة بما يكفي للتمييز بينهما. ^{[ 27 ]} وفي عام 1905، أجرى كوفمان سلسلة أخرى من التجارب ( تجارب كوفمان-بوخرر-نيومان ) التي أكدت تنبؤات أبراهام وبوخرر، لكنها تناقضت مع نظرية لورنتز و"الافتراض الأساسي للورنتز وأينشتاين"، أي مبدأ النسبية. ^{[ 28 ] [ 29 ]} وفي السنوات اللاحقة، بدت تجارب ألفريد بوخرر (1908) وغونتر نيومان (1914) وآخرين وكأنها تؤكد صيغة لورنتز للكتلة. أُشير لاحقًا إلى أن تجارب بوخرر-نيومان لم تكن دقيقة بما يكفي للتمييز بين النظريتين، واستمر هذا الوضع حتى عام ١٩٤٠ عندما تحققت الدقة المطلوبة لإثبات صيغة لورنتز ودحض صيغة أبراهام من خلال هذا النوع من التجارب. (مع ذلك، فقد دحضت تجارب أخرى من نوع مختلف صيغتي أبراهام وبوخرر قبل ذلك بكثير). ^{[ ب ٢ ] : ٣٣٤-٣٥٢}

ثمة طريقة أخرى لاستنتاج نوع من الكتلة الكهرومغناطيسية، استندت إلى مفهوم ضغط الإشعاع . وقد استنتج جيمس كلارك ماكسويل (1874) وأدولفو بارتولي (1876) هذه الضغوط أو التوترات في المجال الكهرومغناطيسي. أدرك لورنتز في عام 1895 ^{[ 30 ]} أن هذه التوترات تنشأ أيضًا في نظريته عن الأثير الساكن. فإذا كان المجال الكهرومغناطيسي للأثير قادرًا على تحريك الأجسام، فإن مبدأ الفعل ورد الفعل يقتضي أن يتحرك الأثير بفعل المادة أيضًا. مع ذلك، أشار لورنتز إلى أن أي توتر في الأثير يتطلب حركة أجزاء الأثير، وهو أمر غير ممكن لأن الأثير في نظريته ثابت (على عكس معاصريه مثل طومسون ^{[ 19 ]} الذين استخدموا أوصافًا سائلة). يمثل هذا انتهاكًا لمبدأ رد الفعل الذي قبله لورنتز عن وعي. وتابع قائلاً إنه لا يمكن للمرء أن يتحدث إلا عن التوترات الوهمية، لأنها مجرد نماذج رياضية في نظريته لتسهيل وصف التفاعلات الكهروضوئية.

في عام 1900 ^{[ 31 ]،} درس بوانكاريه التناقض بين مبدأ الفعل ورد الفعل ونظرية لورنتز. حاول تحديد ما إذا كان مركز الثقل لا يزال يتحرك بسرعة منتظمة عند وجود المجالات الكهرومغناطيسية والإشعاع. لاحظ أن مبدأ الفعل ورد الفعل لا ينطبق على المادة وحدها، بل إن للمجال الكهرومغناطيسي زخمه الخاص (وقد اشتق طومسون هذا الزخم أيضًا في عام 1893 بطريقة أكثر تعقيدًا ^{[ 19 ]} ). وخلص بوانكاريه إلى أن طاقة المجال الكهرومغناطيسي تتصرف كسائل وهمي ("سائل وهمي") بكثافة كتلة${\displaystyle E_{\mathrm {em} }/c^{2}}$(بعبارة أخرى${\displaystyle m_{\mathrm {em} }=E_{\mathrm {em} }/c^{2}}$). الآن، إذا تم تعريف إطار مركز الكتلة (COM-frame) بواسطة كل من كتلة المادة وكتلة السائل الوهمي، وإذا كان السائل الوهمي غير قابل للتدمير - فهو لا يُخلق ولا يُدمر - فإن حركة إطار مركز الكتلة تظل منتظمة.

لكن هذا السائل الكهرومغناطيسي ليس غير قابل للتدمير، إذ يمكن امتصاصه بواسطة المادة (وهو ما اعتبره بوانكاريه السبب في اعتباره السائل الكهرومغناطيسي "وهميًا" وليس "حقيقيًا"). وبالتالي، سيُنتَهك مبدأ مركز الكتلة مرة أخرى. وكما فعل أينشتاين لاحقًا، يتمثل الحل السهل لهذه المشكلة في افتراض أن كتلة المجال الكهرومغناطيسي تنتقل إلى المادة أثناء عملية الامتصاص. لكن بوانكاريه ابتكر حلاً آخر: فقد افترض وجود سائل طاقة غير كهرومغناطيسي ثابت في كل نقطة من الفضاء، يحمل أيضًا كتلة تتناسب مع طاقته. فعندما يُدمَّر السائل الكهرومغناطيسي الوهمي أو يُمتص، لا تنتقل طاقته الكهرومغناطيسية وكتلته مع المادة المتحركة، بل تنتقل إلى السائل غير الكهرومغناطيسي وتبقى في نفس المكان تمامًا داخله. (وأضاف بوانكاريه أنه لا ينبغي للمرء أن يتفاجأ كثيراً بهذه الافتراضات، لأنها مجرد خيالات رياضية.) وبهذه الطريقة، تظل حركة إطار مركز الكتلة، بما في ذلك المادة، والسائل الكهرومغناطيسي الوهمي، والسائل غير الكهرومغناطيسي الوهمي، منتظمة نظرياً على الأقل.

مع ذلك، بما أن المادة والطاقة الكهرومغناطيسية فقط هما ما يمكن رصدهما تجريبياً بشكل مباشر (وليس المائع غير الكهرومغناطيسي)، فإن حل بوانكاريه لا يزال يخالف مبدأ التفاعل ونظرية مركز الكتلة، عند النظر عملياً في عملية الانبعاث/الامتصاص. يؤدي هذا إلى مفارقة عند تغيير الإطار المرجعي: إذا تم إشعاع الموجات في اتجاه معين، فسيتعرض الجهاز لارتداد ناتج عن زخم المائع الافتراضي. بعد ذلك، أجرى بوانكاريه تحويل لورنتز (إلى الرتبة الأولى في v/c ) إلى إطار المصدر المتحرك. لاحظ أن قانون حفظ الطاقة قائم في كلا الإطارين، لكن قانون حفظ الزخم يُخالف. هذا من شأنه أن يسمح بالحركة الدائمة ، وهي فكرة كان يرفضها بشدة. إذ ستكون قوانين الطبيعة مختلفة في الإطارين المرجعيين، ولن يكون مبدأ النسبية صحيحاً. لذلك، جادل بأنه حتى في هذه الحالة، لا بد من وجود آلية تعويض أخرى في الأثير. ^{[ ب 2 ] : 41 وما بعدها [ ب 6 ] : 18-21}

عاد بوانكاريه إلى هذا الموضوع عام ١٩٠٤. ^{[ ٣٢ ]} هذه المرة رفض حله السابق القائل بأن حركات الأثير يمكن أن تعوض حركة المادة، لأن أي حركة من هذا القبيل غير قابلة للملاحظة، وبالتالي فهي عديمة القيمة العلمية. كما تخلى عن مفهوم أن الطاقة تحمل كتلة، وكتب في سياق الارتداد المذكور آنفًا:

سوف يرتد الجهاز كما لو كان مدفعًا والطاقة المقذوفة كرة، وهذا يتناقض مع مبدأ نيوتن، لأن المقذوف الحالي ليس له كتلة؛ إنه ليس مادة، إنه طاقة.

بلغت هذه التطورات المتكررة ذروتها في منشوره عام 1906 بعنوان "نهاية المادة" ^{[ 24 ]} ، حيث أشار إلى أنه عند تطبيق منهجية استخدام انحرافات المجال الكهربائي أو المغناطيسي لتحديد نسب الشحنة إلى الكتلة، يجد المرء أن الكتلة الظاهرية المضافة بالشحنة تشكل كل الكتلة الظاهرية، وبالتالي فإن "الكتلة الحقيقية تساوي صفرًا". ومن ثمّ يمضي ليفترض أن الإلكترونات ليست سوى ثقوب أو تأثيرات حركية في الأثير، بينما الأثير نفسه هو الشيء الوحيد "المُزوَّد بالقصور الذاتي".

ثم ينتقل إلى معالجة إمكانية أن تشترك جميع المواد في هذه الخاصية نفسها، وبالتالي يتغير موقفه من اعتبار الأثير "سائلاً وهمياً" إلى اقتراح أنه قد يكون الشيء الوحيد الموجود بالفعل في الكون، ويصرح في النهاية قائلاً: "في هذا النظام لا توجد مادة فعلية، بل توجد فقط ثقوب في الأثير".

وأخيرًا، يُعيد طرح مشكلة "مبدأ نيوتن" نفسها من عام 1904 في منشور عام 1908 ^{[ 33 ]} ، حيث يُشير في قسمه الخاص بـ"مبدأ رد الفعل" إلى أن تأثيرات ضغط الإشعاع لا يُمكن ربطها بالمادة وحدها، وذلك في ضوء برهان فيزو على عدم صحة مفهوم هيرتز عن مقاومة الأثير الكلية. ويُوضح ذلك في القسم التالي ضمن شرحه الخاص لتكافؤ الكتلة والطاقة .

حسناً، إن تشوه الإلكترونات، وهو تشوه يعتمد على سرعتها، سيؤدي إلى تغيير توزيع الكهرباء على سطحها، وبالتالي شدة تيار الحمل الحراري الذي تنتجه، وبالتالي القوانين التي سيتغير بموجبها الحث الذاتي لهذا التيار كدالة للسرعة.

بهذا السعر، سيكون التعويض مثالياً وسيتوافق مع متطلبات مبدأ النسبية، ولكن فقط بشرطين  :

1° أن الإلكترونات الموجبة ليس لها كتلة حقيقية، ولكن لها كتلة كهرومغناطيسية وهمية فقط؛ أو على الأقل أن كتلتها الحقيقية، إن وجدت، ليست ثابتة وتتغير مع السرعة وفقًا لنفس القوانين التي تتغير بها كتلتها الوهمية؛

2° أن جميع القوى ذات أصل كهرومغناطيسي، أو على الأقل أنها تتغير مع السرعة وفقًا لنفس القوانين التي تتغير بها القوى ذات الأصل الكهرومغناطيسي.

لا يزال لورنتز هو من توصل إلى هذا التركيب المذهل؛ توقف لحظة وانظر إلى ما يترتب عليه. أولًا، لم تعد هناك مادة، لأن الإلكترونات الموجبة لم تعد تمتلك كتلة حقيقية، أو على الأقل ليس لها كتلة حقيقية ثابتة. لذلك، يجب تعديل المبادئ الحالية لميكانيكا الفيزياء، القائمة على ثبات الكتلة. ثانيًا، يجب البحث عن تفسير كهرومغناطيسي لجميع القوى المعروفة، وخاصة الجاذبية، أو على الأقل يجب تعديل قانون الجاذبية بحيث تتغير هذه القوة بتغير السرعة بنفس طريقة تغير القوى الكهرومغناطيسية.

وهكذا قادت كتلة السائل الوهمي التي افترضها بوانكاريه إلى اكتشاف لاحق أن كتلة المادة نفسها كانت "وهمية".

ينسب منشور أينشتاين نفسه لعام 1906 ^{[ 34 ]} الفضل إلى بوانكاريه لاستكشافه سابقًا تكافؤ الكتلة والطاقة، ومن هذه التعليقات يتم الإبلاغ بشكل شائع أن نظرية لورنتز للأثير "مكافئة رياضيًا".

ومع ذلك، أثبتت فكرة بوانكاريه عن الزخم والكتلة المرتبطين بالإشعاع جدواها، عندما قدم ماكس أبراهام في عام 1903 ^{[ 22 ]} مصطلح "الزخم الكهرومغناطيسي"، الذي يتميز بكثافة مجال تبلغ${\displaystyle E_{em}/c^{2}}$لكل سنتيمتر ^مكعب و${\displaystyle E_{em}/c}$لكل سنتيمتر ^مربع . على عكس لورنتز وبوانكاريه، اللذين اعتبرا الزخم قوة وهمية ، فقد جادل بأنه كيان فيزيائي حقيقي، وبالتالي فإن حفظ الزخم مضمون.

في عام 1904، ربط فريدريك هازينورل القصور الذاتي بالإشعاع تحديدًا من خلال دراسة ديناميكيات تجويف متحرك . ^{[ 35 ]} اقترح هازينورل أن جزءًا من كتلة الجسم (الذي أطلق عليه اسم "الكتلة الظاهرية") يمكن اعتباره إشعاعًا يرتد داخل التجويف. تعتمد الكتلة الظاهرية للإشعاع على درجة الحرارة (لأن كل جسم ساخن يُصدر إشعاعًا) وتتناسب طرديًا مع طاقته، وقد استنتج أولًا أن${\displaystyle m={\tfrac {8}{3}}E/c^{2}}$مع ذلك، في عام 1905، نشر هاسينورل ملخصًا لرسالة كتبها أبراهام إليه. وخلص أبراهام إلى أن صيغة هاسينورل للكتلة الظاهرية للإشعاع غير صحيحة، وبناءً على تعريفه للزخم الكهرومغناطيسي والكتلة الكهرومغناطيسية الطولية، عدّلها أبراهام إلى${\displaystyle m={\tfrac {4}{3}}E/c^{2}}$وهي القيمة نفسها للكتلة الكهرومغناطيسية لجسم ساكن. أعاد هاسينورل حساب اشتقاقه الخاص وتحقق من نتيجة أبراهام. كما لاحظ التشابه بين الكتلة الظاهرية والكتلة الكهرومغناطيسية الذي علّق عليه بوانكاريه عام 1906. ومع ذلك، ذكر هاسينورل أن علاقة الطاقة-الكتلة الظاهرية هذه لا تصح إلا طالما أن الجسم يشع، أي إذا كانت درجة حرارة الجسم أكبر من صفر كلفن . ^{[ 36 ] [ B2 ] : 359-360}

لقد تم تجاوز فكرة أن العلاقات الرئيسية بين الكتلة والطاقة والزخم والسرعة لا يمكن النظر إليها إلا على أساس التفاعلات الديناميكية للمادة، عندما اكتشف ألبرت أينشتاين في عام 1905 أن الاعتبارات القائمة على مبدأ النسبية الخاصة تتطلب أن جميع أشكال الطاقة (وليس الكهرومغناطيسية فقط) تساهم في كتلة الأجسام ( تكافؤ الكتلة والطاقة ). ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]} أي أن الكتلة الكلية للجسم هي مقياس لمحتواه من الطاقة.${\displaystyle E=mc^{2}}$وكانت اعتبارات أينشتاين مستقلة عن الافتراضات المتعلقة بتكوين المادة. ^{[ ب ٥ ] : ١٥٥-١٥٩.} وبناءً على هذا التكافؤ، يمكن حل مفارقة إشعاع بوانكاريه دون استخدام "قوى تعويضية"، لأن كتلة المادة نفسها (وليس سائل الأثير غير الكهرومغناطيسي كما اقترح بوانكاريه) تزداد أو تنقص بفعل كتلة الطاقة الكهرومغناطيسية أثناء عملية الانبعاث/الامتصاص. ^{[ ب ٦ ]} كما تم تجاوز فكرة التفسير الكهرومغناطيسي للجاذبية في سياق تطوير النسبية العامة . ^{[ ب ٦ ]}

لذا، يجب صياغة كل نظرية تتناول كتلة الجسم بطريقة نسبية منذ البداية. وهذا ما ينطبق، على سبيل المثال، على التفسير الكمومي الحالي لكتلة الجسيمات الأولية في إطار النموذج القياسي ، أي آلية هيغز . ولهذا السبب، لم تعد فكرة أن أي شكل من أشكال الكتلة ناتج كليًا عن التفاعلات مع المجالات الكهرومغناطيسية ذات صلة.

استخدم آينشتاين مفاهيم الكتلة الطولية والعرضية (المكافئة لمفاهيم لورنتز) في أبحاثه الأولى حول النسبية. ^{[ 37 ]} مع ذلك، في النسبية الخاصة، تنطبق هذه المفاهيم على كتلة المادة بأكملها، وليس فقط على الجزء الكهرومغناطيسي. لاحقًا، بيّن فيزيائيون مثل ريتشارد تشيس تولمان ^{[ 40 ]} أن التعبير عن الكتلة كنسبة بين القوة والتسارع ليس مفيدًا. لذلك، يُستخدم مفهوم مشابه بدون حدود تعتمد على الاتجاه، حيث تُعرَّف القوة على أنها${\displaystyle {\vec {F}}=\mathrm {d} {\vec {p}}/\mathrm {d} t}$، تم استخدامه ككتلة نسبية

${\displaystyle M={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\qquad m_{0}={\frac {E}{c^{2}}},}$

لا يزال هذا المفهوم يستخدم أحيانًا في كتب الفيزياء الحديثة، على الرغم من أن مصطلح "الكتلة" يعتبره الكثيرون الآن يشير إلى الكتلة الثابتة ، انظر الكتلة في النسبية الخاصة .

عند مناقشة الحالة الخاصة للطاقة الذاتية الكهرومغناطيسية أو القوة الذاتية للجسيمات المشحونة، يُطرح في النصوص الحديثة أيضًا نوع من الكتلة الكهرومغناطيسية "الفعّالة" - ليس كتفسير للكتلة بحد ذاتها، بل بالإضافة إلى الكتلة العادية للأجسام. ^{[ ب 7 ]} وقد تم اشتقاق العديد من الصيغ المختلفة لقوة أبراهام-لورنتز - على سبيل المثال، لمعالجة مشكلة 4/3 (انظر القسم التالي) وغيرها من المشكلات التي نشأت عن هذا المفهوم. وتُناقش هذه المسائل في سياق إعادة التطبيع ، وعلى أساس ميكانيكا الكم ونظرية الحقل الكمومي ، والتي يجب تطبيقها عند اعتبار الإلكترون نقطةً فيزيائية. وعند المسافات الواقعة في المجال الكلاسيكي، تعود المفاهيم الكلاسيكية إلى الظهور. ^{[ ب 8 ]} وقد نشر غرالا وآخرون (2009) اشتقاقًا دقيقًا للقوة الذاتية الكهرومغناطيسية، بما في ذلك مساهمتها في كتلة الجسم. ^{[ 41 ]}

استخدم ماكس فون لاو في عام 1911 ^{[ 42 ]} معادلات أبراهام-لورنتز للحركة في تطويره للديناميكا النسبية الخاصة ، بحيث يظهر العامل 4/3 أيضًا في النسبية الخاصة عند حساب الكتلة الكهرومغناطيسية لكرة مشحونة. وهذا يتعارض مع صيغة تكافؤ الكتلة والطاقة، التي تتطلب العلاقة التالية :${\displaystyle m_{\mathrm {em} }=E_{\mathrm {em} }/c^{2}}$بدون عامل 4/3 ، أو بعبارة أخرى، لا يتحول الزخم الرباعي بشكل صحيح كمتجه رباعي عند وجود عامل 4/3 . وجد لاو حلاً مكافئاً لإدخال بوانكاريه للجهد غير الكهرومغناطيسي (الذي يؤكد عليه بوانكاريه)، لكن لاو أظهر معناه النسبي الأعمق من خلال توظيف وتطوير صيغة الزمكان لهيرمان مينكوفسكي . تطلبت صيغة لاو وجود مكونات وقوى إضافية، تضمن أن الأنظمة الممتدة مكانياً (حيث تتحد الطاقات الكهرومغناطيسية وغير الكهرومغناطيسية) تُشكل نظاماً مستقراً أو "مغلقاً " وتتحول كمتجه رباعي. أي أن عامل 4/3 ينشأ فقط فيما يتعلق بالكتلة الكهرومغناطيسية، بينما يمتلك النظام المغلق كتلة سكون وطاقة إجمالية مقدارها 4/3 .${\displaystyle m_{\mathrm {tot} }=E_{\mathrm {tot} }/c^{2}}$[ ^{ب 1 ]}

وُجِد حلٌ آخر على يد مؤلفين مثل إنريكو فيرمي (1922)، ^{[ 43 ]} وبول ديراك (1938)، ^{[ 44 ]} وفريتز رورليش (1960)، ^{[ 45 ]} وجوليان شوينجر (1983)، ^{[ 46 ]} الذين أشاروا إلى أن استقرار الإلكترون ومسألة الزخم الرباعي أمران مختلفان. بيّنوا أن التعريفات السابقة للزخم الرباعي غير نسبية في حد ذاتها، وبتحويل التعريف إلى صيغة نسبية، يمكن كتابة الكتلة الكهرومغناطيسية ببساطة على النحو التالي:${\displaystyle m_{\mathrm {em} }=E_{\mathrm {em} }/c^{2}}$وبالتالي، لا يظهر العامل 4/3 على الإطلاق. لذا ، يتحول كل جزء من النظام، وليس فقط الأنظمة "المغلقة"، بشكل صحيح كمتجه رباعي. ومع ذلك، لا تزال قوى الربط، مثل إجهادات بوانكاريه، ضرورية لمنع الإلكترون من الانفجار بسبب التنافر الكولومبي . ولكن بناءً على تعريف فيرمي-رورليخ، فإن هذه مجرد مشكلة ديناميكية ولا علاقة لها بخصائص التحويل. ^{[ ب 1 ]}

كما طُرحت حلول أخرى، فعلى سبيل المثال، تناول فاليري موروزوف (2011) ^{[ 47 ]} حركة كرة مشحونة غير قابلة للقياس. واتضح وجود تدفق للطاقة غير الكهرومغناطيسية داخل الكرة. ويمتلك هذا التدفق دافعًا يساوي ثلث الدافع الكهرومغناطيسي للكرة ، بغض النظر عن بنيتها الداخلية أو المادة المصنوعة منها. وقد حُلّت المسألة دون الحاجة إلى أي فرضيات إضافية. في هذا النموذج، لا ترتبط قوى التوتر في الكرة بكتلتها. ^{[ B1 ]}

قدّم فيدوسين (2024) ^{[ 48 ]} صيغًا لحساب الزخم الرباعي في الزمكان المنحني. يُظهر استخدام هذه الصيغ لنظام نسبي منتظم أن التكامل الحجمي للمكونات الزمنية لموتر الإجهاد والطاقة للنظام، مع الأخذ في الاعتبار الحقول، يُعطي متجهًا تكامليًا ليس متجهًا رباعيًا. يُعد موتر الإجهاد والطاقة للحقل الكهرومغناطيسي جزءًا من موتر الإجهاد والطاقة للنظام، وبالتالي، فإن تكامل المكونات الزمنية لموتر الإجهاد والطاقة للحقل الكهرومغناطيسي لا يُعطي زخمًا رباعيًا للحقل، بل متجهًا تكامليًا للحقل الكهرومغناطيسي. من مكونات هذا المتجه التكاملي، يُمكن استخلاص كتل وطاقات الحقل الكهرومغناطيسي المناظرة، والتي تبلغ نسبتها 4/3. وبالتالي، فإن ظهور مشكلة 4/3 يرجع إلى حقيقة أنه بدلاً من استخدام الصيغة المتغيرة للزخم الرباعي للمجال الكهرومغناطيسي، يتم استخدام تكامل المكونات الزمنية لموتر الإجهاد والطاقة للمجال الكهرومغناطيسي، وهو ما لا يعطي الزخم الرباعي للمجال الكهرومغناطيسي.