تكامل الحجم

في الرياضيات (وخاصة حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات )، يُعد التكامل الحجمي (∭) تكاملاً على نطاق ثلاثي الأبعاد ؛ أي أنه حالة خاصة من التكاملات المتعددة . وتكتسب التكاملات الحجمية أهمية خاصة في الفيزياء للعديد من التطبيقات، على سبيل المثال، لحساب كثافات التدفق ، أو لحساب الكتلة من دالة الكثافة المناظرة.

غالباً ما يتم تمثيل التكامل الحجمي بدلالة عنصر حجم تفاضلي${\displaystyle dV=dx\,dy\,dz}$. $${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dV.}$$ ويمكن أن يعني أيضًا التكامل الثلاثي داخل منطقة معينة${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$دالة​${\displaystyle f(x,y,z),}$وعادة ما تُكتب على النحو التالي: $${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$$ التكامل الحجمي في الإحداثيات الأسطوانية هو $${\displaystyle \iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,}$$ وتكامل حجمي في الإحداثيات الكروية (باستخدام اصطلاح ISO للزوايا ذات${\displaystyle \varphi }$مثل السمت و${\displaystyle \theta }$عند قياسها من المحور القطبي (انظر المزيد حول الاصطلاحات )، يكون شكلها $${\displaystyle \iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .}$$ يمكن تحويل التكامل الثلاثي من الإحداثيات الديكارتية إلى أي نظام إحداثيات اختياري باستخدام مصفوفة جاكوبي والمحدد . لنفترض أن لدينا تحويلًا للإحداثيات من${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (u,v,w)}$يمكننا تمثيل التكامل على النحو التالي. $${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{D}f(u,v,w)\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}\right|\,du\,dv\,dw}$$ حيث نحدد محدد جاكوبي. $${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial x}{\partial v}}&{\frac {\partial x}{\partial w}}\\{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}&{\frac {\partial y}{\partial w}}\\{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&{\frac {\partial z}{\partial w}}\\\end{vmatrix}}}$$

تكامل المعادلة${\displaystyle f(x,y,z)=1}$ينتج عن حساب ذلك على مكعب وحدة واحدة النتيجة التالية: $${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1}$$

إذن، حجم مكعب الوحدة يساوي 1 كما هو متوقع. مع ذلك، هذا أمرٌ بديهي، والتكامل الحجمي أكثر فعالية بكثير. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا دالة كثافة قياسية على مكعب الوحدة، فإن التكامل الحجمي سيعطي الكتلة الكلية للمكعب. على سبيل المثال، بالنسبة لدالة الكثافة: $${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}}$$ الكتلة الإجمالية للمكعب هي: $${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}}$$

• نظرية التباعد
• تكامل السطح
• عنصر الحجم
• عنصر الخط
• التكامل الخطي

• "التكامل المتعدد" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• وايسستين، إريك دبليو. “تكامل الحجم” . عالم الرياضيات .