مركز الكتلة

في الفيزياء ، مركز كتلة توزيع الكتلة في الفضاء ( يشار إليه أحيانًا باسم مركز الثقل أو نقطة التوازن ) هو النقطة الوحيدة في أي وقت معين حيث يكون مجموع الموضع النسبي المرجح للكتلة الموزعة يساوي صفرًا. بالنسبة للجسم الصلب الذي يحتوي على مركز كتلته، فهذه هي النقطة التي يمكن تطبيق قوة عليها للتسبب في تسارع خطي بدون تسارع زاوي . غالبًا ما يتم تبسيط الحسابات في الميكانيكا عند صياغتها فيما يتعلق بمركز الكتلة. إنها نقطة افتراضية يمكن افتراض تركيز الكتلة الكاملة لجسم ما فيها لتصور حركته. بعبارة أخرى، مركز الكتلة هو المكافئ الجسيمي لجسم معين لتطبيق قوانين نيوتن للحركة . ^[1]

في حالة الجسم الصلب المفرد ، يكون مركز الكتلة ثابتًا بالنسبة للجسم، وإذا كان للجسم كثافة موحدة ، فسيكون موجودًا عند مركز الثقل . قد يقع مركز الكتلة خارج الجسم المادي ، كما هو الحال أحيانًا بالنسبة للأجسام المجوفة أو المفتوحة الشكل، مثل حدوة الحصان . في حالة توزيع الأجسام المنفصلة، ​​مثل كواكب النظام الشمسي ، قد لا يتوافق مركز الكتلة مع موضع أي عضو فردي في النظام.

مركز الكتلة هو نقطة مرجعية مفيدة للحسابات في الميكانيكا التي تتضمن كتل موزعة في الفضاء، مثل الزخم الخطي والزاوي للأجسام الكوكبية وديناميكيات الأجسام الصلبة . في ميكانيكا المدارات ، يتم صياغة معادلات حركة الكواكب على أنها كتل نقطية تقع في مراكز الكتلة (انظر مركز الثقل (علم الفلك) للحصول على التفاصيل). إطار مركز الكتلة هو إطار بالقصور الذاتي حيث يكون مركز كتلة النظام في حالة سكون بالنسبة لأصل نظام الإحداثيات .

لقد درس عالم الرياضيات والفيزياء والمهندس اليوناني القديم أرخميدس من سيراكيوز مفهوم مركز الثقل أو الوزن على نطاق واسع . لقد عمل على افتراضات مبسطة حول الجاذبية تعادل مجالًا موحدًا، وبالتالي وصل إلى الخصائص الرياضية لما نسميه الآن مركز الكتلة. أظهر أرخميدس أن عزم الدوران الذي يمارسه على رافعة بواسطة أوزان تستقر عند نقاط مختلفة على طول الرافعة هو نفسه ما سيكون عليه إذا تم نقل جميع الأوزان إلى نقطة واحدة - مركز كتلتها. في عمله عن الأجسام العائمة ، أظهر أرخميدس أن اتجاه الجسم العائم هو الذي يجعل مركز كتلته منخفضًا قدر الإمكان. لقد طور تقنيات رياضية لإيجاد مراكز كتلة الأجسام ذات الكثافة المنتظمة ذات الأشكال المختلفة المحددة جيدًا. ^[2]

ومن بين علماء الرياضيات القدماء الآخرين الذين ساهموا في نظرية مركز الكتلة هيرو الإسكندري وبابوس الإسكندري . وفي عصر النهضة والعصر الحديث المبكر ، قام كل من جويدو أوبالدي وفرانشيسكو موروليكو [ ^3] وفيديريكو كوماندينو [ ^4] وإيفانجيليستا توريشيلي وسيمون ستيفين [ ^5] ولوكا فاليريو [ ^6] وجان شارل دي لا فايي وبول جولدين ^[7] وجون واليس وكريستيان هويجنز [ ^8] ولويس كاريه وبيير فاريجنون وأليكسيس كليروت بتوسيع المفهوم بشكل أكبر. [ ^9]

تمت إعادة صياغة قانون نيوتن الثاني فيما يتعلق بمركز الكتلة في قانون أويلر الأول . ^[10]

يحتاج هذا القسم إلى مصادر إضافية للتحقق . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة عن طريق إضافة مصادر موثوقة في هذا القسم. قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها. ( سبتمبر 2024 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

مركز الكتلة هو النقطة الوحيدة في مركز توزيع الكتلة في الفضاء والتي تتمتع بخاصية أن مجموع متجهات الموضع المرجحة بالنسبة لهذه النقطة يساوي صفرًا. وعلى غرار الإحصاءات، فإن مركز الكتلة هو الموقع المتوسط ​​لتوزيع الكتلة في الفضاء.

في حالة نظام الجسيمات P _i , i = 1, ...,  n  , كل منها له كتلة m _i ويقع في الفضاء بإحداثيات r _i , i = 1, ...,  n  , فإن إحداثيات R لمركز الكتلة تحقق ∑ i = 1 n m i ( r i − R ) = 0 . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=\mathbf {0} .}

حل هذه المعادلة لـ R يعطي الصيغة R = ∑ i = 1 n m i r i ∑ i = 1 n m i . {\displaystyle \mathbf {R} ={\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i} \over \sum _{i=1}^{n}m_{i}}.}

إذا كان توزيع الكتلة مستمرًا مع الكثافة ρ( r ) داخل جسم صلب Q ، فإن تكامل إحداثيات الموضع المرجحة للنقط في هذا الحجم بالنسبة لمركز الكتلة R على الحجم V يساوي صفرًا، أي $${\displaystyle \iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=\mathbf {0} .}$$

احل هذه المعادلة للحصول على إحداثيات R حيث M هي الكتلة الكلية في الحجم. $${\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \,dV,}$$

إذا كان توزيع الكتلة المستمر له كثافة موحدة ، مما يعني أن ρ ثابت، فإن مركز الكتلة هو نفس مركز ثقل الحجم. ^[11]

إحداثيات R لمركز كتلة نظام مكون من جسيمين، P ₁ و P ₂ ، بكتلتين m ₁ و m ₂ تُعطى بواسطة $${\displaystyle \mathbf {R} ={{m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}} \على m_{1}+m_{2}}.}$$

دع النسبة المئوية للكتلة الكلية المقسمة بين هذين الجسيمين تتراوح من 100% P ₁ و0% P ₂ إلى 50% P ₁ و50% P ₂ إلى 0% P ₁ و100% P ₂ ، فإن مركز الكتلة R يتحرك على طول الخط من P ₁ إلى P ₂ . يمكن اعتبار النسب المئوية للكتلة عند كل نقطة كإحداثيات إسقاطية للنقطة R على هذا الخط، وتسمى إحداثيات مركزية الثقل . هناك طريقة أخرى لتفسير العملية هنا وهي الموازنة الميكانيكية للعزوم حول نقطة عشوائية. يعطي البسط العزم الكلي الذي يتوازن بعد ذلك بقوة إجمالية مكافئة في مركز الكتلة. يمكن تعميم ذلك على ثلاث نقاط وأربع نقاط لتحديد إحداثيات إسقاطية في المستوى وفي الفضاء على التوالي.

بالنسبة للجسيمات في نظام ذي ظروف حدودية دورية، يمكن لجسيمين أن يكونا متجاورين حتى لو كانا على جانبين متقابلين من النظام. يحدث هذا غالبًا في محاكاة الديناميكيات الجزيئية ، على سبيل المثال، حيث تتشكل العناقيد في مواقع عشوائية وأحيانًا تعبر الذرات المجاورة الحد الدوري. عندما يتخطى العناقيد الحد الدوري، فإن الحساب الساذج لمركز الكتلة سيكون غير صحيح. تتمثل إحدى الطرق المعممة لحساب مركز الكتلة للأنظمة الدورية في التعامل مع كل إحداثي، x و y و/أو z ، كما لو كان على دائرة بدلاً من خط. ^[12] يأخذ الحساب إحداثي x لكل جسيم ويرسمه بزاوية، حيث x _max هو حجم النظام في اتجاه x و . من هذه الزاوية، يمكن إنشاء نقطتين جديدتين ، يمكن ترجيحهما بواسطة كتلة الجسيم لمركز الكتلة أو إعطاؤهما قيمة 1 للمركز الهندسي: $${\displaystyle \theta _{i}={\frac {x_{i}}{x_{\max }}}2\pi }$$${\displaystyle x_{i}\in [0,x_{\max })}$${\displaystyle (\xi _{i},\zeta _{i})}$${\displaystyle x_{i}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&=\cos(\theta _{i})\\\zeta _{i}&=\sin(\theta _{i})\end{aligned}}}$$

في المستوى، تقع هذه الإحداثيات على دائرة نصف قطرها 1. من مجموعة القيم و من جميع الجسيمات، يتم حساب المتوسطات و .${\displaystyle (\xi ,\zeta )}$${\displaystyle \xi _{i}}$${\displaystyle \zeta _{i}}$${\displaystyle {\overline {\xi }}}$${\displaystyle {\overline {\zeta }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\xi }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\xi _{i},\\{\overline {\zeta }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\zeta _{i},\end{aligned}}}$$ حيث M هو مجموع كتل جميع الجسيمات.

يتم تعيين هذه القيم مرة أخرى في زاوية جديدة، ، والتي يمكن من خلالها الحصول على إحداثيات x لمركز الكتلة: ${\displaystyle {\overline {\theta }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\theta }}&=\operatorname {atan2} \left(-{\overline {\zeta }},-{\overline {\xi }}\right)+\pi \\x_{\text{com}}&=x_{\max }{\frac {\overline {\theta }}{2\pi }}\end{aligned}}}$$

يمكن تكرار العملية لجميع أبعاد النظام لتحديد مركز الكتلة الكامل. تكمن فائدة الخوارزمية في أنها تسمح للرياضيات بتحديد مكان "أفضل" مركز كتلة، بدلاً من التخمين أو استخدام تحليل المجموعة "لكشف" مجموعة تمتد على الحدود الدورية. إذا كانت القيمتان المتوسطتان صفرًا، فإن ، تكون غير محددة. هذه نتيجة صحيحة، لأنها تحدث فقط عندما تكون جميع الجسيمات متباعدة بالتساوي تمامًا. في هذه الحالة، تكون إحداثيات x الخاصة بها متطابقة رياضيًا في نظام دوري . ${\displaystyle \left({\overline {\xi }},{\overline {\zeta }}\right)=(0,0)}$${\displaystyle {\overline {\theta }}}$

يحتاج هذا القسم إلى مصادر إضافية للتحقق . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة عن طريق إضافة مصادر موثوقة في هذا القسم. قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها. ( سبتمبر 2024 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

مركز ثقل الجسم هو النقطة التي يتلاشى حولها عزم الدوران الناتج عن قوى الجاذبية. ^[13] عندما يمكن اعتبار مجال الجاذبية موحدًا، فسيكون مركز الكتلة ومركز الجاذبية متماثلين. ومع ذلك، بالنسبة للأقمار الصناعية في مدار حول كوكب، في غياب عزم الدوران الآخر المطبق على القمر الصناعي، فإن الاختلاف الطفيف (التدرج) في مجال الجاذبية بين الأقرب والأبعد عن الكوكب (جاذبية أقوى وأضعف على التوالي) يمكن أن يؤدي إلى عزم دوران يميل إلى محاذاة القمر الصناعي بحيث يكون محوره الطويل عموديًا. في مثل هذه الحالة، من المهم التمييز بين مركز الجاذبية ومركز الكتلة. ^[14] أي إزاحة أفقية بين الاثنين ستؤدي إلى عزم دوران مطبق.

إن مركز الكتلة هو خاصية ثابتة لجسم صلب معين (على سبيل المثال بدون اهتزاز أو حركات مفصلية)، في حين أن مركز الثقل قد يعتمد، بالإضافة إلى ذلك، على اتجاهه في مجال جاذبية غير موحد. في الحالة الأخيرة، سيكون مركز الثقل دائمًا أقرب إلى الجسم الجاذب الرئيسي مقارنة بمركز الكتلة، وبالتالي سيتغير موقعه في الجسم محل الاهتمام مع تغير اتجاهه.

في دراسة ديناميكيات الطائرات والمركبات والسفن، يجب تحديد القوى والعزمات بالنسبة لمركز الكتلة. وهذا صحيح بغض النظر عما إذا كانت الجاذبية نفسها تشكل عاملاً مؤثراً. إن الإشارة إلى مركز الكتلة باعتباره مركز الثقل هي نوع من التعبير العامي، ولكنها شائعة الاستخدام وعندما تكون تأثيرات تدرج الجاذبية ضئيلة، فإن مركز الثقل ومركز الكتلة هما نفس الشيء ويتم استخدامهما بالتبادل.

في الفيزياء، يمكن رؤية فوائد استخدام مركز الكتلة لنمذجة توزيع الكتلة من خلال النظر في محصلة قوى الجاذبية على جسم متصل. لنفترض وجود جسم Q بحجم V وكثافة ρ ( r ) عند كل نقطة r في الحجم. في مجال الجاذبية الموازي، تُعطى القوة f عند كل نقطة r بواسطة، حيث dm هي الكتلة عند النقطة r ، وg هي تسارع الجاذبية، و هو متجه وحدة يحدد الاتجاه الرأسي. $${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )=-dm\,g\mathbf {\hat {k}} =-\rho (\mathbf {r} )\,dV\,g\mathbf { \قبعة {ك}} ,}$$${\textstyle \mathbf {\hat {k}} }$

اختر نقطة مرجعية R في الحجم واحسب القوة المحصلة وعزم الدوران عند هذه النقطة، F = ∭ Q f ( r ) d V = ∭ Q ρ ( r ) d V ( − g k ^ ) = − M g k ^ , {\displaystyle \mathbf {F} =\iiint _{Q}\mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\,dV\left(-g\mathbf {\hat {k}} \right)=-Mg\mathbf {\hat {k}} ,} و T = ∭ Q ( r − R ) × f ( r ) d V = ∭ Q ( r − R ) × ( − g ρ ( r ) d V k ^ ) = ( ∭ Q ρ ( r ) ( r − R ) d V ) × ( − g k ^ ) . {\displaystyle \mathbf {T} =\iiint _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \left(-g\rho (\mathbf {r} )\,dV\,\math bf {\hat {k}} \right)=\left(\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV\right)\times \left(-g\mathbf {\hat {k}} \right).}

إذا تم اختيار نقطة المرجع R بحيث تكون مركز الكتلة، فهذا يعني أن عزم الدوران الناتج T = 0. ولأن عزم الدوران الناتج يساوي صفرًا، فإن الجسم سيتحرك كما لو كان جسيمًا تتركز كتلته في مركز الكتلة. $${\displaystyle \iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0,}$$

من خلال اختيار مركز الثقل كنقطة مرجعية لجسم صلب، فإن قوى الجاذبية لن تتسبب في دوران الجسم، مما يعني أنه يمكن اعتبار وزن الجسم مركّزًا في مركز الكتلة.

يمكن تبسيط الزخم الخطي والزاوي لمجموعة من الجسيمات عن طريق قياس موضع وسرعة الجسيمات بالنسبة لمركز الكتلة. دع نظام الجسيمات P _i , i = 1, ..., n من الكتل m _i يقع عند الإحداثيات r _i بسرعات v _i . حدد نقطة مرجعية R واحسب الموضع النسبي ومتجهات السرعة، $${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {v} .}$$

الزخم الخطي الكلي والزخم الزاوي للنظام هما p = d d t ( ∑ i = 1 n m i ( r i − R ) ) + ( ∑ i = 1 n m i ) v , {\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {v} ,} و L = ∑ i = 1 n m i ( r i − R ) × d d t ( r i − R ) + ( ∑ i = 1 n m i ) [ R × d d t ( r i − R ) + ( r i − R ) × v ] + ( ∑ i = 1 n m i ) R × v {\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\left[\mathbf {R} \times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} \right]+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {R} \times \mathbf {v} }

إذا تم اختيار R كمركز الكتلة، يتم تبسيط هذه المعادلات إلى حيث m هي الكتلة الكلية لجميع الجسيمات، و p هو الزخم الخطي، و L هو الزخم الزاوي. $${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {R} \times \mathbf {v} }$$

يتنبأ قانون الحفاظ على الزخم بأنه بالنسبة لأي نظام غير خاضع لقوى خارجية فإن زخم النظام سيظل ثابتًا، مما يعني أن مركز الكتلة سيتحرك بسرعة ثابتة. وينطبق هذا على جميع الأنظمة ذات القوى الداخلية الكلاسيكية، بما في ذلك المجالات المغناطيسية والحقول الكهربائية والتفاعلات الكيميائية وما إلى ذلك. وبشكل أكثر رسمية، ينطبق هذا على أي قوى داخلية تلغي بعضها البعض وفقًا لقانون نيوتن الثالث . ^[15]

يعتمد تحديد مركز كتلة الجسم تجريبياً على قوى الجاذبية المؤثرة على الجسم، ويعتمد على حقيقة أن مركز الكتلة هو نفسه مركز الجاذبية في مجال الجاذبية الموازي بالقرب من سطح الأرض.

يجب أن يقع مركز كتلة الجسم ذي محور التماثل والكثافة الثابتة على هذا المحور. وبالتالي، فإن مركز كتلة الأسطوانة الدائرية ذات الكثافة الثابتة يكون مركز كتلتها على محور الأسطوانة. وعلى نحو مماثل، يكون مركز كتلة الجسم المتماثل كرويًا ذو الكثافة الثابتة في مركز الكرة. وبشكل عام، بالنسبة لأي تماثل لجسم، سيكون مركز كتلته نقطة ثابتة لهذا التماثل. ^[16]

تتمثل إحدى الطرق التجريبية لتحديد مركز الكتلة في تعليق الجسم من موقعين وإسقاط خطوط عمودية من نقاط التعليق. تقاطع الخطين هو مركز الكتلة. ^[17]

قد يكون شكل الجسم محددًا رياضيًا بالفعل، ولكن قد يكون من المعقد جدًا استخدام صيغة معروفة. في هذه الحالة، يمكن للمرء تقسيم الشكل المعقد إلى أشكال أبسط وأكثر بدائية، والتي يسهل العثور على مراكز كتلتها. إذا كان من الممكن تحديد الكتلة الكلية ومركز الكتلة لكل منطقة، فإن مركز كتلة الكل هو المتوسط ​​المرجح للمراكز. ^[18] يمكن أن تعمل هذه الطريقة حتى للأجسام ذات الثقوب، والتي يمكن اعتبارها كتلًا سالبة. ^[19]

يمكن استخدام التطوير المباشر لجهاز قياس المسافات المعروف باسم مقياس الأعداد الصحيحة لتحديد موضع مركز الثقل أو مركز الكتلة لشكل ثنائي الأبعاد غير منتظم. يمكن تطبيق هذه الطريقة على شكل ذي حدود غير منتظمة أو ناعمة أو معقدة حيث تكون الطرق الأخرى صعبة للغاية. كان بناة السفن يستخدمونها بانتظام للمقارنة بالإزاحة المطلوبة ومركز الطفو للسفينة ، والتأكد من أنها لن تنقلب. ^{[20] [21]}

تبدأ الطريقة التجريبية لتحديد إحداثيات مركز الكتلة ثلاثية الأبعاد بدعم الجسم عند ثلاث نقاط وقياس القوى F ₁ و F ₂ و F ₃ التي تقاوم وزن الجسم، ( هو متجه الوحدة في الاتجاه الرأسي). دع r ₁ و r ₂ و r ₃ تكون إحداثيات موضع نقاط الدعم، ثم تفي إحداثيات مركز الكتلة R بشرط أن عزم الدوران الناتج يساوي صفرًا، أو ${\displaystyle \mathbf {W} =-W\mathbf {\hat {k}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$$${\displaystyle \mathbf {T} =(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{2}+(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{3}=0,}$$$${\displaystyle \mathbf {R} \times \left(-W\mathbf {\hat {k}} \right)=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}.}$$

تعطي هذه المعادلة إحداثيات مركز الكتلة R * في المستوى الأفقي، كما يلي: $${\displaystyle \mathbf {R} ^{*}=-{\frac {1}{W}}\mathbf {\hat {k}} \times (\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}).}$$

يقع مركز الكتلة على الخط الرأسي L ، المعطى بواسطة $${\displaystyle \mathbf {L} (t)=\mathbf {R} ^{*}+t\mathbf {\hat {k}} .}$$

يتم تحديد إحداثيات مركز الكتلة ثلاثية الأبعاد من خلال إجراء هذه التجربة مرتين مع وضع الجسم بحيث يتم قياس هذه القوى لمستويين أفقيين مختلفين عبر الجسم. سيكون مركز الكتلة هو تقاطع الخطين L ₁ و L ₂ الناتجين عن التجربتين.

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (September 2024) (Learn how and when to remove this message)

يحاول المهندسون تصميم سيارة رياضية بحيث يكون مركز كتلتها منخفضًا لتسهيل تعامل السيارة ، أي الحفاظ على قوة الجر أثناء تنفيذ المنعطفات الحادة نسبيًا.

تم تصميم المظهر المنخفض المميز لمركبة همفي العسكرية الأمريكية جزئيًا للسماح لها بالانحناء إلى أبعد من المركبات الأطول دون أن تتدحرج ، من خلال ضمان بقاء مركز كتلتها المنخفض فوق المساحة المحددة بأربع عجلات حتى في زوايا بعيدة عن الأفقي .

مركز الكتلة هو نقطة مهمة في الطائرة ، والتي تؤثر بشكل كبير على استقرار الطائرة. لضمان استقرار الطائرة بما يكفي لتكون آمنة للطيران، يجب أن يقع مركز الكتلة ضمن حدود محددة. إذا كان مركز الكتلة أمام الحد الأمامي ، ستكون الطائرة أقل قدرة على المناورة، وربما إلى الحد الذي تصبح فيه غير قادرة على الدوران للإقلاع أو الاشتعال للهبوط. ^[22] إذا كان مركز الكتلة خلف الحد الخلفي، ستكون الطائرة أكثر قدرة على المناورة، ولكنها أيضًا أقل استقرارًا، وربما غير مستقرة بما يكفي بحيث يصبح من المستحيل الطيران. سيتم أيضًا تقليل ذراع عزم المصعد ، مما يجعل من الصعب التعافي من حالة التوقف . ^[23]

بالنسبة للطائرات المروحية التي تحوم فوق الأرض ، يكون مركز الكتلة دائمًا أسفل رأس الدوار مباشرةً . وفي الطيران الأمامي، يتحرك مركز الكتلة للأمام لموازنة عزم الدوران السلبي الناتج عن تطبيق التحكم الدوري لدفع المروحية للأمام؛ وبالتالي تطير المروحية المتجولة "بمقدمة للأسفل" في الطيران المستوي. ^[24]

يلعب مركز الكتلة دورًا مهمًا في علم الفلك والفيزياء الفلكية، حيث يُشار إليه عادةً باسم مركز الثقل . مركز الثقل هو النقطة بين جسمين حيث يتوازنان مع بعضهما البعض؛ إنه مركز الكتلة حيث يدور جسمان سماويان أو أكثر حول بعضهما البعض. عندما يدور القمر حول كوكب ، أو يدور كوكب حول نجم ، فإن كلا الجسمين يدوران في الواقع حول نقطة تقع بعيدًا عن مركز الجسم الأساسي (الأكبر). ^[25] على سبيل المثال، لا يدور القمر حول مركز الأرض بالضبط ، بل يدور حول نقطة على خط بين مركز الأرض والقمر، على بعد حوالي 1710 كم (1062 ميل) تحت سطح الأرض، حيث تتوازن كتلتهما. هذه هي النقطة التي يدور حولها الأرض والقمر أثناء سفرهما حول الشمس . إذا كانت الكتلتان أكثر تشابهًا، على سبيل المثال، بلوتو وشارون ، فإن مركز الثقل سوف يقع خارج كلا الجسمين.

إن معرفة موقع مركز الثقل عند التجهيز أمر بالغ الأهمية، مما قد يؤدي إلى إصابة خطيرة أو الوفاة إذا تم افتراضه بشكل غير صحيح. من المرجح أن يؤدي مركز الثقل الموجود عند نقطة الرفع أو أعلى منها إلى وقوع حادث انقلاب. بشكل عام، كلما كان مركز الثقل أسفل نقطة الالتقاط، كانت عملية الرفع أكثر أمانًا. هناك أشياء أخرى يجب مراعاتها، مثل نقل الأحمال وقوة الحمل والكتلة والمسافة بين نقاط الالتقاط وعدد نقاط الالتقاط. على وجه التحديد، عند اختيار نقاط الرفع، من المهم جدًا وضع مركز الثقل في المنتصف وأسفل نقاط الرفع. ^[26]

في علم الحركة والميكانيكا الحيوية، يعد مركز الكتلة معلمة مهمة تساعد الأشخاص في فهم حركتهم البشرية. عادةً، يتم اكتشاف مركز كتلة الإنسان بإحدى طريقتين: طريقة لوحة رد الفعل هي تحليل ثابت يتضمن استلقاء الشخص على تلك الأداة واستخدام معادلة التوازن الثابت للعثور على مركز كتلته؛ تعتمد طريقة التجزئة على حل رياضي يعتمد على المبدأ الفيزيائي الذي ينص على أن مجموع عزم الدوران لأقسام الجسم الفردية، بالنسبة لمحور محدد ، يجب أن يساوي عزم دوران النظام بأكمله الذي يشكل الجسم، المقاس بالنسبة لنفس المحور. ^[27]

طريقة مركز الثقل هي طريقة لتحسين المحدب، والتي تستخدم مركز الثقل للمنطقة الممكنة.

• أسيموف، إسحاق (1988) [1966]، فهم الفيزياء ، بارنز أند نوبل بوكس، رقم ISBN 978-0-88029-251-1
• باي، لينج؛ برين، ديفيد (2008). "حساب مركز الكتلة في بيئة ثنائية الأبعاد غير محدودة". مجلة الرسومات ووحدات معالجة الرسومات وأدوات الألعاب . 13 (4): 53-60. doi :10.1080/2151237X.2008.10129266. S2CID  40807367.
• بارون، مارغريت إي. (2004) [1969]، أصول حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي في الصغر ، منشورات كورير دوفر، رقم ISBN 978-0-486-49544-6
• بيتي، ميلارد ف. (2006)، مبادئ ميكانيكا الهندسة، المجلد 2: الديناميكا - تحليل الحركة ، المفاهيم والأساليب الرياضية في العلوم والهندسة، المجلد 33، سبرينغر، رقم ISBN 978-0-387-23704-6
• دي سيلفا، كلارنس دبليو. (2002)، دليل الاهتزاز والصدمة ، مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 978-0-8493-1580-0
• إدارة الطيران الفيدرالية (2007)، دليل وزن وتوازن الطائرات (PDF) ، مكتب الطباعة الحكومي للولايات المتحدة ، تم أرشفته من الأصل (PDF) في 2011-10-19 ، تم استرجاعه في 2011-10-23
• فاينمان، ريتشارد ؛ ليجتون، روبرت ب .؛ ساندز، ماثيو (1963)، محاضرات فاينمان في الفيزياء ، المجلد 1 (الطبعة السادسة، طبعة فبراير 1977)، أديسون ويسلي، ISBN 978-0-201-02010-6
• فراوتشي، ستيفن سي .؛ أولينيك، ريتشارد بي.؛ أبوستول، توم إم .؛ جودشتاين، ديفيد إل. (1986)، الكون الميكانيكي: الميكانيكا والحرارة، الطبعة المتقدمة ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-30432-0
• جيامباتيستا، آلان؛ ريتشاردسون، بيتي مكارثي؛ ريتشاردسون، روبرت كولمان (2007)، فيزياء الكلية، المجلد 1 (الطبعة الثانية)، ماكجرو هيل للتعليم العالي، رقم ISBN 978-0-07-110608-5
• جولدشتاين، هربرت ؛ بول، تشارلز؛ سافكو، جون (2001)، الميكانيكا الكلاسيكية (الطبعة الثالثة)، أديسون ويسلي، ISBN 978-0-201-65702-9
• جولدشتاين، هربرت ؛ بول، تشارلز؛ سافكو، جون (2002)، الميكانيكا الكلاسيكية (الطبعة الثالثة)، أديسون-ويسلي، ISBN 978-0-201-65702-9
• جودمان، لورانس إي؛ وارنر، ويليام إتش. (2001) [1964]، ستاتيكس ، دوفر، رقم ISBN 978-0-486-42005-9
• هاميل، باتريك (2009)، ديناميكيات متوسطة ، جونز وبارتليت ليرنينج، رقم ISBN 978-0-7637-5728-1
• جونج، آي جي؛ روجرز، بي جي (1995)، ميكانيكا الهندسة: الاستاتيكا ، دار نشر كلية سوندرز، رقم ISBN 978-0-03-026309-5
• كليبنر، دانييل ؛ كولينكوف، روبرت (1973)، مقدمة في الميكانيكا (الطبعة الثانية)، ماكجرو هيل، رقم ISBN 978-0-07-035048-9
• ليفي، مارك (2009)، الميكانيكا الرياضية: استخدام المنطق الفيزيائي لحل المشكلات، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 978-0-691-14020-9
• مانكوسو، باولو (1999)، فلسفة الرياضيات والممارسة الرياضية في القرن السابع عشر ، مطبعة جامعة أكسفورد، رقم ISBN 978-0-19-513244-1
• ميليكان، روبرت أندروز (1902)، الميكانيكا والفيزياء الجزيئية والحرارة: دورة جامعية مدتها اثني عشر أسبوعًا، شيكاغو: سكوت، فورسمان وشركاه ، تم الاسترجاع في 2011-05-25
• موري، كارل؛ ديرموت، ستانلي (1999)، ديناميكيات النظام الشمسي ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-57295-8
• أودونيل، بيتر جيه. (2015)، الديناميكيات الأساسية والنسبية ، دار نشر سي آر سي، رقم ISBN 978-1-466-58839-4
• بولارد، ديفيد د.؛ فليتشر، رايموند س. (2005)، أساسيات الجيولوجيا البنيوية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-83927-3
• Pytel, Andrew; Kiusalaas, Jaan (2010)، ميكانيكا الهندسة: الاستاتيكا ، المجلد 1 (الطبعة الثالثة)، Cengage Learning، ISBN 978-0-495-29559-4
• روزن، جو؛ جوثارد، ليزا كوين (2009)، موسوعة العلوم الفيزيائية ، إنفو بيس للنشر، رقم ISBN 978-0-8160-7011-4
• سانجوين، كريستوفر ج. (2006)، "تحديد مركز الكتلة بوسائل ميكانيكية" (PDF) ، مجلة الجمعية الأوتريدية ، 15 (2)، تم أرشفته من الأصل (PDF) في 2011-10-05 ، تم استرجاعه في 2011-10-23
• سيرواي، رايموند أ.؛ جيويت، جون دبليو. (2006)، مبادئ الفيزياء: نص قائم على حساب التفاضل والتكامل ، المجلد 1 (الطبعة الرابعة)، تومسون ليرنينج، رمز الكتاب : 2006ppcb.book.....J، رقم ISBN 978-0-534-49143-7
• شيرلي، جيمس هـ.؛ فيربريدج، رودس ويتمور (1997)، موسوعة علوم الكواكب ، سبرينغر، ISBN 978-0-412-06951-2
• شور، ستيفن ن. (2008)، القوى في الفيزياء: منظور تاريخي ، مطبعة جرينوود، رقم ISBN 978-0-313-33303-3
• سيمون، كيث ر. (1971)، الميكانيكا (الطبعة الثالثة)، أديسون ويسلي، ISBN 978-0-201-07392-8
• تيبلر، بول أ.؛ موسكا، جين (2004)، الفيزياء للعلماء والمهندسين ، المجلد 1أ (الطبعة الخامسة)، دبليو إتش فريمان وشركاه، رقم ISBN 978-0-7167-0900-8
• فان بيلت، مايكل (2005)، السياحة الفضائية: مغامرات في مدار الأرض وما بعده ، سبرينغر، رقم ISBN 978-0-387-40213-0
• فينت، بيتر (2003)، "المختبر: مركز الكتلة (مركز الثقل) في جسم الإنسان" (PDF) ، KIN 335 - الميكانيكا الحيوية ، تم الاسترجاع في 18 أكتوبر 2013
• والتون، ويليام (1855)، مجموعة من المشاكل في توضيح مبادئ الميكانيكا النظرية (الطبعة الثانية)، ديتون، بيل وشركاه.

• تُظهر حركة مركز الكتلة أن حركة مركز كتلة الجسم في السقوط الحر هي نفس حركة الجسم النقطي.
• مركز ثقل النظام الشمسي، محاكاة تظهر التأثير الذي يساهم به كل كوكب في مركز ثقل النظام الشمسي.