التوازن الميكانيكي

جسم مستقر على سطح، ومخطط الجسم الحر المقابل يوضح القوى المؤثرة عليه. القوة العمودية N تساوي قوة الجاذبية mg وتعاكسها وتتجه على نفس الخط، لذا فإن محصلة القوى والعزوم تساوي صفرًا. وبالتالي، يكون الجسم في حالة اتزان ميكانيكي سكوني.

في الميكانيكا الكلاسيكية ، يكون الجسيم في حالة اتزان ميكانيكي إذا كانت محصلة القوى المؤثرة عليه تساوي صفرًا. ^{[ 1 ]}^{: 39} وبالمثل، يكون النظام الفيزيائي المكون من أجزاء عديدة في حالة اتزان ميكانيكي إذا كانت محصلة القوى المؤثرة على كل جزء من أجزائه تساوي صفرًا. ^{[ 1 ]}^{: 45-46}^{[ 2 ]}

بالإضافة إلى تعريف التوازن الميكانيكي من حيث القوة، هناك العديد من التعريفات البديلة للتوازن الميكانيكي والتي جميعها متكافئة رياضياً.

من حيث الزخم، يكون النظام في حالة توازن إذا كان زخم أجزائه ثابتًا.
من حيث السرعة، يكون النظام في حالة توازن إذا كانت السرعة ثابتة.
في حالة التوازن الميكانيكي الدوراني، يكون الزخم الزاوي للجسم محفوظًا ويكون عزم الدوران الكلي صفرًا. ^{[ 2 ]}

وبشكل أكثر عمومية في الأنظمة المحافظة ، يتم تحقيق التوازن عند نقطة في فضاء التكوين حيث يكون تدرج طاقة الوضع بالنسبة للإحداثيات المعممة صفرًا.

إذا كانت سرعة جسيم في حالة اتزان تساوي صفرًا، فإن هذا الجسيم يكون في حالة اتزان سكوني.[ ^{3 ]}^{[ 4 ]}^{بما أن جميع الجسيمات في حالة} التوازن لها سرعة ثابتة، فمن الممكن دائمًا إيجاد إطار مرجعي قصوري يكون فيه الجسيم ثابتًا بالنسبة للإطار.

استقرار

من الخصائص المهمة للأنظمة في حالة التوازن الميكانيكي استقرارها .

اختبار استقرار الطاقة الكامنة

في دالة تصف طاقة الوضع للنظام، يمكن تحديد نقاط اتزان النظام باستخدام حساب التفاضل والتكامل . يكون النظام في حالة اتزان ميكانيكي عند النقاط الحرجة للدالة التي تصف طاقة الوضع . يمكن تحديد هذه النقاط بالاستناد إلى حقيقة أن مشتقة الدالة تساوي صفرًا عند هذه النقاط. لتحديد ما إذا كان النظام مستقرًا أم غير مستقر، يُطبق اختبار المشتقة الثانية . $V$ يمكن إجراء الحسابات التالية عند تمثيل معادلة الحركة الساكنة لنظام ذي درجة حرية واحدة:

المشتقة الثانية < 0: تكون طاقة الوضع عند قيمة عظمى محلية، مما يعني أن النظام في حالة توازن غير مستقرة. إذا أُزيح النظام مسافة صغيرة جدًا عن حالة التوازن، فإن قوى النظام ستدفعه إلى الابتعاد أكثر.

المشتقة الثانية > 0: تكون طاقة الوضع عند أدنى قيمة محلية، وهذا يمثل حالة اتزان مستقرة. وتكون الاستجابة لأي اضطراب طفيف عبارة عن قوى تميل إلى استعادة حالة الاتزان. إذا كان من الممكن وجود أكثر من حالة اتزان مستقرة لنظام ما، فإن أي حالة اتزان تكون طاقة وضعها أعلى من أدنى قيمة مطلقة تمثل حالة شبه مستقرة.

المشتقة الثانية = 0: تكون الحالة محايدة حتى أدنى رتبة، وتكاد تبقى في حالة توازن إذا أُزيحت بمقدار صغير. وللتحقق من استقرار النظام بدقة، يمكن دراسة المشتقات ذات الرتب الأعلى . تكون الحالة غير مستقرة إذا كانت أدنى مشتقة غير صفرية من رتبة فردية أو ذات قيمة سالبة، ومستقرة إذا كانت أدنى مشتقة غير صفرية من رتبة زوجية وذات قيمة موجبة. إذا كانت جميع المشتقات تساوي صفرًا، فمن المستحيل استخلاص أي استنتاجات من المشتقات وحدها. على سبيل المثال، الدالة $e^{-1/x^{2}}$ الدالة (المعرفة بأنها تساوي صفرًا عند x=0) لها جميع المشتقات تساوي صفرًا. في الوقت نفسه، لهذه الدالة قيمة صغرى محلية عند x=0، لذا فهي حالة توازن مستقرة. إذا ضُربت هذه الدالة بدالة الإشارة ، فستظل جميع المشتقات تساوي صفرًا، لكنها ستصبح حالة توازن غير مستقرة.

رسم تخطيطي لكرة موضوعة في حالة توازن محايد.

الدالة ثابتة محليًا: في حالة الحياد التام، لا تتغير الطاقة، ويكون لحالة التوازن نطاق محدود. ويُشار إلى هذه الحالة أحيانًا بالحالة شبه المستقرة، أو حالة اللامبالاة، أو التوازن غير المستقر.

عند النظر إلى أكثر من بُعد، يُمكن الحصول على نتائج مختلفة في اتجاهات مختلفة، على سبيل المثال، الاستقرار بالنسبة للإزاحات في الاتجاه السيني ، ولكن عدم الاستقرار في الاتجاه الصادي ، وهي حالة تُعرف بنقطة السرج . عمومًا، يُشار إلى حالة التوازن بأنها مستقرة فقط إذا كانت مستقرة في جميع الاتجاهات.

نظام غير محدد استاتيكيًا

أحيانًا لا تكفي معادلات الاتزان - شروط اتزان القوى والعزوم - لتحديد القوى وردود الأفعال . ويُطلق على هذه الحالة اسم " غير محددة استاتيكيًا" .

يمكن في كثير من الأحيان حل الحالات غير المحددة إحصائياً باستخدام معلومات من خارج معادلات التوازن القياسية.

أمثلة

يكون الجسم (أو مجموعة الأجسام) الساكن في حالة "اتزان سكوني"، وهي حالة خاصة من الاتزان الميكانيكي. يُعدّ ثقل الورق على المكتب مثالاً على الاتزان السكوني. ومن الأمثلة الأخرى تمثال التوازن الصخري ، أو كومة المكعبات في لعبة جينغا ، بشرط ألا يكون التمثال أو كومة المكعبات في حالة انهيار .

يمكن أن تكون الأجسام المتحركة في حالة توازن أيضًا. فالطفل الذي ينزلق على زلاقة بسرعة ثابتة يكون في حالة توازن ميكانيكي، ولكنه ليس في حالة توازن سكوني (في الإطار المرجعي للأرض أو الزلاقة).

مثال آخر على التوازن الميكانيكي هو شخص يضغط على نابض عند نقطة محددة. يمكنه دفعه إلى أي نقطة وتثبيته هناك، وعندها يتساوى الحمل الضاغط مع رد فعل النابض. في هذه الحالة، يكون النظام في حالة توازن ميكانيكي. وعند إزالة قوة الضغط، يعود النابض إلى حالته الأصلية.

يُعدّ الحد الأدنى لعدد نقاط التوازن الساكنة للأجسام المتجانسة والمحدبة (عند استقرارها تحت تأثير الجاذبية على سطح أفقي) ذا أهمية خاصة. في الحالة المستوية، يبلغ الحد الأدنى 4، بينما في ثلاثة أبعاد، يمكن بناء جسم بنقطة توازن مستقرة واحدة ونقطة توازن غير مستقرة واحدة فقط. ^{[ 5 ]} يُطلق على هذا الجسم اسم " غومبوك" .

انظر أيضاً

ملاحظات ومراجع

1 2 جون إل سينج وبايرون أ جريفيث (1949). مبادئ الميكانيكا ( الطبعة الثانية). ماكجرو هيل.
1 2 بير، إف بي، وجونستون، إي آر، ومازوريك، دي إف، وكورنيل، بي جيه، وإيزنبرغ، إي آر (2009). ميكانيكا المتجهات للمهندسين: السكون والديناميكا ( الطبعة التاسعة). ماكجرو هيل. ص 158. {{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
↑ هربرت تشارلز كوربن وفيليب ستيل (1994). الميكانيكا الكلاسيكية (إعادة طبع الطبعة الثانية لعام 1960 ). منشورات كوريير دوفر. ص 113. ISBN 0-486-68063-0.
^ لاكشمانا سي راو. ج. لاكشميناراسيمهان؛ راجو سيثورامان؛ سرينيفاسان م. سيفاكومار (2004). الميكانيكا الهندسية . فاي التعلم الجندي. المحدودة ص. 6. رقم ISBN 81-203-2189-8.
↑ "الرياضيات" . غومبوك . 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 نوفمبر 2023 .

للمزيد من القراءة

ماريون جيه بي وثورنتون إس تي (1995) الديناميكا الكلاسيكية للجسيمات والأنظمة. الطبعة الرابعة، هاركورت بريس وشركاه.

[Synge-1] 1 2 جون إل سينج وبايرون أ جريفيث (1949). مبادئ الميكانيكا ( الطبعة الثانية). ماكجرو هيل.

[beer-2] 1 2 بير، إف بي، وجونستون، إي آر، ومازوريك، دي إف، وكورنيل، بي جيه، وإيزنبرغ، إي آر (2009). ميكانيكا المتجهات للمهندسين: السكون والديناميكا ( الطبعة التاسعة). ماكجرو هيل. ص 158. {{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )

[Stehle-3] هربرت تشارلز كوربن وفيليب ستيل (1994). الميكانيكا الكلاسيكية (إعادة طبع الطبعة الثانية لعام 1960 ). منشورات كوريير دوفر. ص 113. ISBN 0-486-68063-0.

[Rao-4] لاكشمانا سي راو. ج. لاكشميناراسيمهان؛ راجو سيثورامان؛ سرينيفاسان م. سيفاكومار (2004). الميكانيكا الهندسية . فاي التعلم الجندي. المحدودة ص. 6. رقم ISBN 81-203-2189-8.

[5] "الرياضيات" . غومبوك . 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 نوفمبر 2023 .

[ 1 ]

[ 2 ]

3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗