حساب التفاضل والتكامل

عادةً ما يُطوَّر علم التفاضل والتكامل من خلال التعامل مع كميات صغيرة جدًا. تاريخيًا، كانت الطريقة الأولى للقيام بذلك هي استخدام الكميات المتناهية في الصغر . هذه الكميات يمكن التعامل معها كأعداد حقيقية، ولكنها، بمعنى ما، "متناهية الصغر". على سبيل المثال، يمكن أن يكون العدد المتناهي في الصغر أكبر من صفر، ولكنه أصغر من أي عدد في المتتالية 1، 1/2، 1/3، ... وبالتالي أصغر من أي عدد حقيقي موجب . من هذا المنظور، يُعدّ علم التفاضل والتكامل مجموعة من التقنيات لمعالجة الكميات المتناهية في الصغر. ^{[ 12 ]}

${\displaystyle x}$	${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

لنفترض أن هناك دالة، مثل النسبة ⁠${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}}}$، وهو ما لا يمكن تعريفه عند الصفر. ومع ذلك، كلمااقتربت قيمة x من الصفر ،${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}}}$يصبح قريبًا جدًا من 1. بعبارة أخرى، نهاية${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}},}$عندما يقترب x منالصفر، يساوي 1. ^{[ 10 ] : 224}

تراجع استخدام المنهج المتناهي الصغر في القرن التاسع عشر لصعوبة تحديد مفهومه بدقة. وفي أواخر القرن نفسه، استُبدلت المتناهيات الصغر في الأوساط الأكاديمية بمنهج إبسيلون ودلتا في حساب النهايات . تصف النهايات سلوك الدالة عند قيمة معينة بدلالة قيمها عند قيم قريبة منها، إذ تُجسّد السلوك على نطاق صغير باستخدام البنية الجوهرية لنظام الأعداد الحقيقية . في هذا السياق، يُعرّف التفاضل والتكامل بأنه مجموعة من التقنيات لمعالجة النهايات. تُستبدل المتناهيات الصغر بمتتاليات من أعداد أصغر فأصغر، ويُحدد سلوك الدالة عند القيم المتناهية الصغر بأخذ سلوكها عند النهايات لهذه المتتاليات. اعتُبرت النهايات أساسًا أكثر دقة للتفاضل والتكامل، ولذلك أصبحت المنهج القياسي خلال القرن العشرين. ومع ذلك، فقد تم إحياء مفهوم الكميات المتناهية الصغر في القرن العشرين مع ظهور التحليل غير القياسي وتحليل الكميات المتناهية الصغر السلس ، مما وفر أسسًا متينة لمعالجة الكميات المتناهية الصغر. ^{[ 12 ]}

التفاضل والتكامل هو دراسة تعريف وخصائص وتطبيقات مشتقة الدالة . تُسمى عملية إيجاد المشتقة بالتفاضل . عند إعطاء دالة ونقطة في مجال تعريفها، تُعدّ المشتقة عند تلك النقطة وسيلةً لوصف سلوك الدالة على نطاق صغير بالقرب من تلك النقطة. من خلال إيجاد مشتقة الدالة عند كل نقطة في مجال تعريفها، يُمكن إنتاج دالة جديدة، تُسمى دالة المشتقة أو ببساطة مشتقة الدالة الأصلية. ^{[ 13 ] : 32.} من الناحية الهندسية، تُعمّم المشتقة فكرة ميل الخط المستقيم: فهي تُتيح قياس انحدار منحنى الدالة، حتى عندما لا يكون هذا المنحنى خطًا مستقيمًا. ^{[ 10 ] : 78-79}

في ترميز لاغرانج ، يُرمز للمشتقة بعلامة تشبه الفاصلة العليا تُسمى علامة الفتحة (' ). لذا، يُرمز لمشتقة دالة تُسمى f بالرمز f′ ، ويُنطق "f′" أو "f-". على سبيل المثال، إذا كانت f ( x ) = x² هي دالة التربيع، فإن f′ ( x ) = 2x ^هي مشتقتها ^{. [ 10 ] :} 63

إذا كانت الدالة خطية (أي إذا كان الرسم البياني للدالة خطًا مستقيمًا)، فيمكن كتابة الدالة على النحو التالي: y = mx + b ، حيث x هو المتغير المستقل، و y هو المتغير التابع، و b هو الجزء المقطوع من محور الصادات ، و:

${\displaystyle m={\frac {\text{الارتفاع}}{\text{المسافة الأفقية}}}={\frac {{\text{التغير في }}y}{{\text{التغير في }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}$

هذا يعطي قيمة دقيقة لميل الخط المستقيم. ^{[ 10 ] : 6} إذا لم يكن منحنى الدالة خطًا مستقيمًا، فإن التغير في y مقسومًا على التغير في x يتغير. تعطي المشتقات معنى دقيقًا لمفهوم التغير في الناتج بالنسبة للتغير في المدخلات. على سبيل المثال، لنفترض أن f دالة، ولنثبت نقطة a في مجال f . النقطة ( a , f ( a )) هي نقطة على منحنى الدالة. إذا كان h عددًا قريبًا من الصفر، فإن a + h عدد قريب من a . لذلك، فإن النقطة ( a + h , f ( a + h )) قريبة من النقطة ( a , f ( a )) . ميل الخط بين هاتين النقطتين هو

${\displaystyle m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

يُسمى هذا التعبير خارج قسمة الفرق . يُسمى الخط المار بنقطتين على منحنى بالخط القاطع ، لذا فإن m هو ميل الخط القاطع بين ( a , f ( a )) و ( a + h , f ( a + h )) . يُعد الخط القاطع تقريبًا فقط لسلوك الدالة عند النقطة a لأنه لا يأخذ في الحسبان ما يحدث بين a و a + h . لا يمكن اكتشاف السلوك عند a بجعل h تساوي صفرًا لأن هذا يتطلب القسمة على صفر ، وهي عملية غير مُعرَّفة. تُعرَّف المشتقة بأخذ النهاية عندما يؤول h إلى الصفر، مما يعني أنها تأخذ في الاعتبار سلوك f لجميع القيم الصغيرة لـ h وتستخرج قيمة ثابتة للحالة التي يكون فيها h يساوي صفرًا.

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.}$

هندسيًا، المشتقة هي ميل المماس لمنحنى الدالة f عند النقطة a . المماس هو نهاية لخطوط القاطع، تمامًا كما أن المشتقة هي نهاية لفروق القسمة. ^{[ 10 ] : 61-63}

إذا كان مُدخل الدالة يُمثل الزمن، فإن مشتقتها تُمثل التغير بالنسبة للزمن. على سبيل المثال، إذا كانت f دالة تأخذ الزمن كمدخل وتُخرج موضع كرة عند ذلك الزمن، فإن مشتقة f تُمثل كيفية تغير الموضع مع الزمن، أي أنها سرعة الكرة. ^{[ 13 ] : 18-20}

الترميز الشائع، الذي قدمه لايبنتز، للمشتقة في المثال أعلاه هو

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}}$

في منهج قائم على النهايات، لا يُفسَّر الرمز ⁠ dy / dx ⁠ على أنه ناتج قسمة عددين، بل كاختصار للنهاية المحسوبة أعلاه. ^{[ 10 ] : 74} مع ذلك، قصد لايبنتز أن يُمثِّل ناتج قسمة عددين متناهيين في الصغر، حيث يُمثِّل dy التغير المتناهي في الصغر في y الناتج عن تغير متناهي في الصغر dx مُطبَّق على x . ويمكننا أيضًا اعتبار ⁠ d / dx ⁠ عامل تفاضل ، يأخذ دالة كمدخل ويُعطي دالة أخرى، وهي المشتقة، كمخرج. على سبيل المثال:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.}$

في هذا الاستخدام، يُقرأ dx في المقام على أنه "بالنسبة إلى x ". ^{[ 10 ] : 79} مثال آخر على الترميز الصحيح هو: ^{[ 10 ] : 74}

${\displaystyle {\begin{aligned}g(t)&=t^{2}+3t+1\\{d \over dt}g(t)&=2t+3\end{aligned}}}$

يمكن اعتبار التكامل بمثابة قياس المساحة تحت منحنى، يتم تعريفه بواسطة f ( x ) ، بين نقطتين (هنا a و b ).

سلسلة من مجاميع ريمان لنقطة المنتصف على تقسيم منتظم لفترة زمنية: المساحة الكلية للمستطيلات تتقارب إلى تكامل الدالة.

علم التكامل هو دراسة تعريفات وخصائص وتطبيقات مفهومين مترابطين، وهما التكامل غير المحدد والتكامل المحدد . تُسمى عملية إيجاد قيمة التكامل بالتكامل . ^{[ 11 ] : 508.} التكامل غير المحدد، المعروف أيضًا بالدالة الأصلية ، هو العملية العكسية للمشتقة. ^{[ 10 ] : 163-165.} F هو تكامل غير محدد للدالة f عندما تكون f مشتقة من F. (يُعد استخدام الأحرف الصغيرة والكبيرة للدالة وتكاملها غير المحدد شائعًا في علم التكامل). يُدخل التكامل المحدد دالة ويُخرج عددًا، وهو المجموع الجبري للمساحات بين منحنى الدالة المدخلة ومحور السينات . يتضمن التعريف التقني للتكامل المحدد نهاية مجموع مساحات المستطيلات، والذي يُسمى مجموع ريمان . ^{[ 14 ] : 282}

ومن الأمثلة المحفزة المسافة المقطوعة في فترة زمنية محددة. ^{[ 10 ] : 153} إذا كانت السرعة ثابتة، فلا حاجة إلا للضرب:

${\displaystyle \mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time} }$

لكن إذا تغيرت السرعة، يصبح من الضروري استخدام طريقة أكثر دقة لحساب المسافة. إحدى هذه الطرق هي تقريب المسافة المقطوعة بتقسيم الزمن إلى فترات زمنية قصيرة، ثم ضرب الزمن المنقضي في كل فترة بإحدى السرعات في تلك الفترة، ثم حساب مجموع المسافات التقريبية المقطوعة في كل فترة ( مجموع ريمان ). الفكرة الأساسية هي أنه إذا انقضى زمن قصير فقط، فإن السرعة ستبقى ثابتة تقريبًا. مع ذلك، فإن مجموع ريمان لا يُعطي سوى تقريب للمسافة المقطوعة. يجب علينا حساب نهاية جميع مجاميع ريمان هذه لإيجاد المسافة المقطوعة بدقة.

عندما تكون السرعة ثابتة، يمكن حساب المسافة الإجمالية المقطوعة خلال فترة زمنية محددة بضرب السرعة في الزمن. على سبيل المثال، السفر بسرعة ثابتة 50  ميلاً في الساعة لمدة 3 ساعات ينتج عنه مسافة إجمالية قدرها 150 ميلاً. رسم السرعة كدالة للزمن يُنتج مستطيلاً ارتفاعه يساوي السرعة وعرضه يساوي الزمن المنقضي. لذلك، فإن حاصل ضرب السرعة في الزمن يحسب أيضًا مساحة المستطيل أسفل منحنى السرعة (الثابتة). ^{[ 11 ] : 535} يمكن تعميم هذه العلاقة بين المساحة أسفل المنحنى والمسافة المقطوعة على أي منطقة غير منتظمة الشكل تُظهر سرعة متذبذبة خلال فترة زمنية محددة. إذا كانت f ( x ) تُمثل السرعة أثناء تغيرها مع الزمن، فإن المسافة المقطوعة بين الزمنين المُمثلين بـ a و b هي مساحة المنطقة المحصورة بين f ( x ) ومحور السينات ، بين x = a و x = b .

لتقدير تلك المساحة، تتمثل إحدى الطرق البديهية في تقسيم المسافة بين النقطتين a و b إلى عدة أجزاء متساوية، يُرمز إلى طول كل جزء منها بالرمز Δx . لكل جزء صغير، نختار قيمة واحدة للدالة f ( x ) . لنُسمِّ هذه القيمة h . عندئذٍ ، تُعطي مساحة المستطيل ذي القاعدة Δx والارتفاع h المسافة (الزمن Δx مضروبًا في السرعة h ) المقطوعة في ذلك الجزء. يرتبط بكل جزء متوسط ​​قيمة الدالة فوقه، f ( x ) = h . يُعطي مجموع جميع هذه المستطيلات تقريبًا للمساحة بين المحور والمنحنى، وهو تقريب للمسافة الكلية المقطوعة. كلما صغرت قيمة Δx ، زاد عدد المستطيلات، وفي معظم الحالات ، كان التقريب أفضل، ولكن للحصول على إجابة دقيقة، نحتاج إلى حساب النهاية عندما تقترب Δx من الصفر. ^{[ 11 ] : 512-522}

رمز التكامل هو${\displaystyle \int }$، تم اختيار S ممدودة للدلالة على الجمع. ^{[ 11 ] : 529} يُكتب التكامل المحدد على النحو التالي:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

ويُقرأ "التكامل من a إلى b للدالة f( x ) بالنسبة إلى x ". ويهدف رمز لايبنتز dx إلى الإشارة إلى تقسيم المساحة تحت المنحنى إلى عدد لا نهائي من المستطيلات بحيث يصبح عرضها Δx هو dx الصغير جدًا . ^{[ 13 ] : 44}

يُكتب التكامل غير المحدد، أو الدالة الأصلية، على النحو التالي:

${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$

الدوال التي تختلف بمقدار ثابت فقط لها نفس المشتقة، ويمكن إثبات أن الدالة الأصلية لدالة معينة هي عائلة من الدوال التي تختلف بمقدار ثابت فقط. ^{[ 14 ] : 326} بما أن مشتقة الدالة y = x² + C ، حيث C أي ثابت، هي y′ = 2x ، ^فإن الدالة الأصلية لهذه الدالة تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \int 2x\,dx=x^{2}+C.}$

يُعرف الثابت غير المحدد C الموجود في التكامل غير المحدد أو الدالة الأصلية بثابت التكامل . ^{[ 15 ] : 135}

تنص النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل على أن التفاضل والتكامل عمليتان عكسيتان. ^{[ 14 ] : 290} وبشكل أدق، تربط هذه النظرية قيم الدوال الأصلية بالتكاملات المحددة. ولأن حساب الدالة الأصلية أسهل عادةً من تطبيق تعريف التكامل المحدد، فإن النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل توفر طريقة عملية لحساب التكاملات المحددة. ويمكن تفسيرها أيضًا على أنها بيان دقيق لحقيقة أن التفاضل هو عكس التكامل.

تنص النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل على ما يلي: إذا كانت الدالة f متصلة على الفترة [ a , b ] ، وإذا كانت F دالة مشتقتها f على الفترة ( a , b ) ، فإن

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

علاوة على ذلك، لكل قيمة x في الفترة ( a , b ) ،

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).}$

كان هذا الإدراك، الذي توصل إليه كل من نيوتن وليبنيز ، مفتاحًا لانتشار النتائج التحليلية بعد أن عُرفت أعمالهما. ( يصعب تحديد مدى تأثر نيوتن وليبنيز بمن سبقوهما مباشرة، وخاصة ما تعلمه ليبنيز من أعمال إسحاق بارو ، نظرًا للخلاف حول الأسبقية بينهما. ^{[ 16 ]} ) تُقدم النظرية الأساسية طريقة جبرية لحساب العديد من التكاملات المحددة - دون إجراء عمليات حسابية حدية - من خلال إيجاد صيغ للدوال الأصلية . وهي أيضًا حل نموذجي لمعادلة تفاضلية . تربط المعادلات التفاضلية دالة مجهولة بمشتقاتها، وهي شائعة في العلوم. ^{[ 17 ] : 351-352}

حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات هو امتداد لحساب التفاضل والتكامل في متغير واحد إلى دوال لعدة متغيرات : وهو تفاضل وتكامل الدوال التي تتضمن متغيرات متعددة ( متعددة المتغيرات )، بدلاً من متغير واحد فقط. ^{[ 18 ]}

حساب المتجهات هو فرع من حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات يهتم بتفاضل وتكامل حقول المتجهات ، وخاصة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد .${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$^{[ 19 ] [ 20 ] : 28}(يُستخدم مصطلححساب المتجهاتأحيانًا كمرادف لموضوع حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات بشكل عام). يلعب حساب المتجهات دورًا هامًا فيالهندسة التفاضليةوفي دراسةالمعادلات التفاضلية الجزئية. ويُستخدم على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة، وخاصة في وصفالمجالات الكهرومغناطيسية،ومجالات الجاذبية،وتدفق الموائع.

المعادلة التفاضلية هي معادلة تربط بين دالة واحدة أو أكثر مجهولة ومشتقاتها. ^{[ 21 ]} في التطبيقات، تمثل الدوال عادةً كميات فيزيائية، وتمثل المشتقات معدلات تغيرها، وتحدد المعادلة التفاضلية العلاقة بينهما. تُعد هذه العلاقات شائعة في النماذج الرياضية والقوانين العلمية ؛ ولذلك، تلعب المعادلات التفاضلية دورًا بارزًا في العديد من التخصصات، بما في ذلك الهندسة والفيزياء والاقتصاد وعلم الأحياء .

على سبيل المثال، المعادلة التفاضلية $${\displaystyle {\frac {df}{dt}}=-af(t)}$$ يتم حلها بواسطة دالة${\displaystyle f(t)}$أي دالة تتناسب مع مشتقتها. أي دالة من هذا القبيل تأخذ الشكل التالي: $${\displaystyle f(t)=Ce^{-at},}$$ أين${\displaystyle C}$ثابت. تصف هذه المعادلة التفاضلية الاضمحلال الأسي . ^{[ 20 ] : 458}

يتألف علم المعادلات التفاضلية أساسًا من دراسة حلولها (مجموعة الدوال التي تحقق كل معادلة)، وخصائص هذه الحلول. لا يمكن حل سوى أبسط المعادلات التفاضلية باستخدام صيغ صريحة؛ ومع ذلك، يمكن تحديد العديد من خصائص حلول معادلة تفاضلية معينة دون حسابها بدقة، وغالبًا ما تكون المعادلات التفاضلية التي لا يمكن حلها بدقة قابلة للتقريب العددي.

يُوفّر التحليل الحقيقي الأسس الدقيقة لحساب التفاضل والتكامل، مُثبتًا أن الأفكار التي غالبًا ما تُقدّم بشكلٍ استدلالي في حساب التفاضل والتكامل التمهيدي لها أساسٌ متين. وهو يدرس سلوك الأعداد الحقيقية ، والمتتابعات والمتسلسلات من الأعداد الحقيقية، والدوال الحقيقية . ^{[ 22 ]} تتضمن بعض الخصائص الخاصة للمتتابعات والدوال ذات القيم الحقيقية التي يدرسها التحليل الحقيقي: التقارب ، والنهايات، والاستمرارية ، والسلاسة ، وقابلية الاشتقاق، وقابلية التكامل.

يُعنى التحليل المركب بدراسة الدوال ذات المتغير المركب . ^{[ 20 ] : 253} وهو مفيد في العديد من فروع الرياضيات، بما في ذلك التحليل الحقيقي، والهندسة الجبرية ، ونظرية الأعداد ، والتوافقية التحليلية ، والرياضيات التطبيقية ، وكذلك في الفيزياء، بما في ذلك فروع الديناميكا المائية ، والديناميكا الحرارية ، وميكانيكا الكم ، ونظرية التويستر . وبالتوسع، فإن استخدام التحليل المركب له تطبيقات في مجالات هندسية مثل الهندسة النووية ، وهندسة الطيران ، والهندسة الميكانيكية ، والهندسة الكهربائية . ^{[ 23 ]}

مشتقة الدالة${\displaystyle f}$لمتغير معقد${\displaystyle z}$يمكن تعريفها تمامًا كما في حساب التفاضل والتكامل الابتدائي: $${\displaystyle {\frac {df}{dz}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}.}$$ لأن الحد${\displaystyle \Delta z\to 0}$يمكن أخذ الدوال في أي اتجاه في المستوى المركب، ويكون شرط قابلية الاشتقاق أكثر تقييدًا لدوال المتغير المركب مقارنةً بدوال المتغير الحقيقي. ^{[ 24 ]} يدرس التحليل المركب الدوال التحليلية ، وهي الدوال القابلة للاشتقاق لمتغير مركب. على عكس الحالة الحقيقية، تكون الدالة التحليلية قابلة للاشتقاق إلى ما لا نهاية وتساوي مجموع متسلسلة تايلور الخاصة بها في جوار ما لكل نقطة من مجالها . هذا ما يجعل أساليب ونتائج التحليل المركب مختلفة اختلافًا كبيرًا عن تلك الخاصة بالتحليل الحقيقي.

يدرس حساب التفاضل والتكامل التغيري (أو حساب التفاضل والتكامل التغيري ) الدوال الوظيفية قياسًا على كيفية دراسة حساب التفاضل والتكامل الابتدائي للدوال. فبينما يدرس حساب التفاضل والتكامل الابتدائي التغيرات المتناهية الصغر في قيم المدخلات والمخرجات للدوال، يدرس حساب التفاضل والتكامل التغيري التغيرات المتناهية الصغر في الدوال نفسها. الدالة الوظيفية هي دالة تربط مجموعة من الدوال بالأعداد الحقيقية. ويدرس حساب التفاضل والتكامل التغيري كيفية تغير مخرجات الدالة الوظيفية عند حدوث اضطراب متناهي الصغر في دالة الإدخال.

من الأمثلة البسيطة على هذه المسألة إيجاد أقصر منحنى يصل بين نقطتين. إذا لم تكن هناك قيود، يكون الحل خطًا مستقيمًا بين النقطتين. أما إذا كان المنحنى مقيدًا بالوقوع على سطح في الفضاء، فإن الحل يصبح أقل وضوحًا، وقد توجد حلول متعددة. تُعرف هذه الحلول بالجيوديسيات . [ ^{25 ] : 472 وتُطرح} مسألة مشابهة من خلال مبدأ فيرما : يسلك الضوء أقصر مسار بصري يصل بين نقطتين، وهو ما يعتمد على مادة الوسط. ^{[ 20 ] : 715-718} ومن المفاهيم المقابلة في الميكانيكا مبدأ الفعل الأدنى/الثابت . ^{[ 20 ] : 720}

غالبًا ما تُعبَّر الدوال الوظيفية عن طريق تكاملات محددة تتضمن الدوال ومشتقاتها . ويمكن إيجاد الدوال التي تُعظِّم أو تُصغِّر الدوال الوظيفية باستخدام معادلة أويلر-لاغرانج في حساب التفاضل والتكامل. ^{[ 25 ] : 476-477}

شكّل كتاب يوهانس كيبلر "Stereometria Doliorum" (1615) أساس حساب التكامل. ^{[ 38 ]} طوّر كيبلر طريقة لحساب مساحة القطع الناقص عن طريق جمع أطوال العديد من أنصاف الأقطار المرسومة من إحدى بؤرتي القطع الناقص. ^{[ 39 ]} جادل بونافنتورا كافالييري ، مستندًا في عمله إلى عمل كيبلر، ^{[ 39 ]} بأن الأحجام والمساحات يجب حسابها كمجموع أحجام ومساحات مقاطع عرضية متناهية الصغر.

جمعت الدراسة الرسمية للتفاضل والتكامل بين مفهوم كافاليري للمتناهيات في الصغر وحساب الفروق المحدودة الذي طُوّر في أوروبا في نفس الفترة تقريبًا. وقدّم بيير دي فيرما ، الذي ادّعى أنه استعار من ديوفانتوس ، مفهوم المساواة ، الذي يُمثّل المساواة حتى حد خطأ متناهي الصغر. ^{[ 40 ]} وقد تحقّق هذا الجمع على يد جون واليس وإسحاق بارو وجيمس غريغوري ، حيث أثبت الأخيران جزءًا من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل حوالي عام 1670. ^{[ 41 ] [ 42 ]}

استخدم إسحاق نيوتن قاعدة الضرب وقاعدة السلسلة ^{[ 43 ]} ، ومفاهيم المشتقات العليا ومتسلسلات تايلور ^{[ 44 ]} ، والدوال التحليلية ^{[ 45 ]} في تدوين خاص به، وظّفها لحل مسائل الفيزياء الرياضية . في مؤلفاته، أعاد نيوتن صياغة أفكاره لتلائم اللغة الرياضية السائدة آنذاك، مستبدلاً الحسابات المتعلقة بالكميات المتناهية الصغر بحجج هندسية مكافئة اعتُبرت لا تشوبها شائبة. استخدم نيوتن أساليب التفاضل والتكامل لحل مسألة حركة الكواكب، وشكل سطح سائل دوّار، وتفلطح الأرض، وحركة ثقل ينزلق على منحنى دائري ، والعديد من المسائل الأخرى التي نوقشت في كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية " (1687). في أعمال أخرى، طوّر نيوتن متسلسلات للدوال، بما في ذلك القوى الكسرية وغير النسبية، وكان من الواضح أنه كان مُلِمًّا بمبادئ متسلسلة تايلور . لم ينشر كل هذه الاكتشافات، وفي ذلك الوقت، كانت الأساليب المتناهية الصغر لا تزال تعتبر غير موثوقة. ^{[ 46 ]}

قام إسحاق نيوتن بتطوير استخدام حساب التفاضل والتكامل في قوانينه للحركة والجاذبية الكونية .

كان غوتفريد فيلهلم لايبنتز أول من أوضح قواعد حساب التفاضل والتكامل بشكل واضح.

قام غوتفريد فيلهلم لايبنتز ، الذي اتهمه نيوتن في البداية بالسرقة الأدبية ، بتنظيم هذه الأفكار في حساب تفاضلي حقيقي للمتناهيات في الصغر . ^{[ 47 ]} ويُعتبر الآن مخترعًا مستقلًا ومساهمًا في علم التفاضل والتكامل. تمثلت مساهمته في توفير مجموعة واضحة من القواعد للتعامل مع الكميات المتناهية في الصغر، مما أتاح حساب المشتقات الثانية وما فوقها، بالإضافة إلى توفير قاعدة الضرب وقاعدة السلسلة ، بصيغتيهما التفاضلية والتكاملية. وعلى عكس نيوتن، بذل لايبنتز جهدًا دقيقًا في اختياراته للرموز. ^{[ 48 ]}

يُنسب الفضل اليوم إلى كل من نيوتن وليبنيز في ابتكار وتطوير علم التفاضل والتكامل بشكل مستقل. كان نيوتن أول من طبق التفاضل والتكامل على الفيزياء العامة . أما ليبنيز فقد طور الكثير من الرموز المستخدمة في التفاضل والتكامل اليوم. ^{[ 13 ] : 51-52} أدت الأفكار الأساسية التي قدمها كل من نيوتن وليبنيز إلى تطوير قوانين التفاضل والتكامل، وتأكيدهما على أن التفاضل والتكامل عمليتان عكسيتان، وتطويرهما لطرق حساب المشتقات الثانية وما فوقها، وطرحهما لمفهوم تقريب متسلسلة كثيرات الحدود.

عندما نشر نيوتن وليبنيز نتائجهما لأول مرة، ثار جدل كبير حول أيٍّ من هذين الرياضيين (وبالتالي أي بلد) يستحق الفضل. توصل نيوتن إلى نتائجه أولًا في الفترة ما بين 1665 و1666 (والتي نُشرت لاحقًا في كتابه " طريقة التدفقات ")، بينما نشر ليبنيز " الطريقة الجديدة للعظمى والصغرى " أولًا في عام 1684. ادعى نيوتن أن ليبنيز سرق أفكارًا من ملاحظاته غير المنشورة، والتي كان نيوتن قد شاركها مع عدد قليل من أعضاء الجمعية الملكية . أدى هذا الجدل إلى انقسام الرياضيين الناطقين بالإنجليزية عن نظرائهم في أوروبا القارية لسنوات عديدة، مما أضر بالرياضيات الإنجليزية. ^{[ 49 ]} يُظهر فحص دقيق لأوراق ليبنيز ونيوتن أنهما توصلا إلى نتائجهما بشكل مستقل، حيث بدأ ليبنيز أولًا بالتكامل، بينما بدأ نيوتن بالتفاضل. ومع ذلك، فإن ليبنيز هو من أطلق اسم "الرياضيات" على هذا التخصص الجديد. أطلق نيوتن على حسابه اسم " علم التدفقات "، وهو مصطلح ظل شائعًا في المدارس الإنجليزية حتى القرن التاسع عشر. ^{[ 50 ] : 100} لم تُنشر أول أطروحة كاملة عن حساب التفاضل والتكامل مكتوبة باللغة الإنجليزية وتستخدم رموز لايبنتز إلا في عام 1815. ^{[ 51 ]}

منذ عهد نيوتن وليبنيز، ساهم العديد من علماء الرياضيات في التطوير المستمر لعلم التفاضل والتكامل. ومن أوائل وأشمل الأعمال في كل من حساب التفاضل والتكامل المتناهي الصغر وحساب التكامل، كتابٌ كتبته ماريا غايتانا أنييزي عام ١٧٤٨. ^{[ ٥٢ ] [ ٥٣ ]}

في علم التفاضل والتكامل، تشير الأسس إلى التطوير الدقيق للموضوع انطلاقًا من البديهيات والتعريفات. في بدايات علم التفاضل والتكامل، اعتُبر استخدام الكميات المتناهية الصغر غير دقيق، وتعرض لانتقادات شديدة من قِبل العديد من المؤلفين، أبرزهم ميشيل رول والأسقف بيركلي . وقد وصف بيركلي الكميات المتناهية الصغر في كتابه "المحلل" عام 1734 بأنها أشباح كمياتٍ زائلة. وقد شغل وضع أساس دقيق لعلم التفاضل والتكامل علماء الرياضيات طوال معظم القرن الذي تلا نيوتن وليبنيز. ^{[ 12 ]}

حاول العديد من علماء الرياضيات، بمن فيهم ماكلورين ، إثبات صحة استخدام المتناهيات في الصغر، ولكن لم يتم التوصل إلى طريقة لتجنب مجرد "مفاهيم" الكميات المتناهية في الصغر إلا بعد 150 عامًا، بفضل عمل كوشي وويرستراس . ^{[ 54 ]} وهكذا وُضعت أسس حساب التفاضل والتكامل. في كتاب كوشي " دروس التحليل" ، نجد مجموعة واسعة من المناهج التأسيسية، بما في ذلك تعريف الاستمرارية بدلالة المتناهيات في الصغر، ونموذج أولي (غير دقيق إلى حد ما) لتعريف (ε، δ) للنهاية في تعريف التفاضل. ^{[ 55 ]} في عمله، صاغ وييرشتراس مفهوم النهاية بشكل رسمي وألغى المتناهيات في الصغر (مع أن تعريفه يمكن أن يُثبت صحة المتناهيات في الصغر الصفرية ). بعد أعمال فايرشتراس، أصبح من الشائع في نهاية المطاف بناء حساب التفاضل والتكامل على النهايات بدلاً من الكميات المتناهية الصغر، مع أن هذا الموضوع لا يزال يُطلق عليه أحيانًا اسم "حساب التفاضل والتكامل المتناهي الصغر". استخدم برنارد ريمان هذه الأفكار لتقديم تعريف دقيق للتكامل. ^{[ 56 ]} وفي هذه الفترة أيضًا، عُممت أفكار حساب التفاضل والتكامل لتشمل المستوى المركب مع تطور التحليل المركب . ^{[ 57 ]}

في الرياضيات الحديثة، تُعتبر أسس حساب التفاضل والتكامل جزءًا من مجال التحليل الحقيقي ، الذي يتضمن تعريفات كاملة وبراهين لنظريات حساب التفاضل والتكامل. كما اتسع نطاق حساب التفاضل والتكامل بشكل كبير. فقد ابتكر هنري لوبيغ نظرية القياس ، استنادًا إلى تطويرات سابقة لإميل بوريل ، واستخدمها لتعريف تكاملات جميع الدوال باستثناء الدوال الشاذة جدًا . ^{[ 58 ]} وقدّم لوران شوارتز التوزيعات ، التي يمكن استخدامها لحساب مشتقة أي دالة مهما كانت. ^{[ 59 ]}

لا تُعدّ النهايات المنهجَ الدقيقَ الوحيدَ لتأسيس حساب التفاضل والتكامل. ثمة طريقة أخرى تتمثل في استخدام التحليل غير القياسي لأبراهام روبنسون . يستخدم منهج روبنسون، الذي طُوِّر في ستينيات القرن العشرين، أدواتٍ تقنيةً من المنطق الرياضي لتوسيع نظام الأعداد الحقيقية بأعداد متناهية الصغر وأعداد غير محدودة ، كما في مفهوم نيوتن-لايبنتز الأصلي. تُسمى الأعداد الناتجة بالأعداد فائقة الواقعية ، ويمكن استخدامها لتقديم تطويرٍ شبيهٍ بمنهج لايبنتز لقواعد حساب التفاضل والتكامل المعتادة. ^{[ 60 ]} يوجد أيضًا تحليل التفاضل والتكامل السلس ، الذي يختلف عن التحليل غير القياسي في أنه يُلزم بإهمال التفاضل والتكامل ذي القوى الأعلى أثناء الاشتقاقات. ^{[ 12 ]} استنادًا إلى أفكار فريدريك ويليم لوفير ، وباستخدام أساليب نظرية الفئات ، ينظر تحليل التفاضل والتكامل السلس إلى جميع الدوال على أنها متصلة وغير قابلة للتعبير عنها بدلالة كيانات منفصلة . أحد جوانب هذه الصياغة هو عدم انطباق قانون الوسط المرفوع . ^{[ 12 ]} يُرفض قانون الوسط المرفوع أيضًا في الرياضيات البنائية ، وهو فرع من الرياضيات يُصرّ على أن براهين وجود عدد أو دالة أو أي كائن رياضي آخر يجب أن تُقدّم بناءً لهذا الكائن. وتُعدّ إعادة صياغة حساب التفاضل والتكامل في إطار بنائي جزءًا من موضوع التحليل البنائي . ^{[ 12 ]}

على الرغم من أن العديد من أفكار حساب التفاضل والتكامل قد طُوِّرت سابقًا في اليونان والصين والهند والعراق وبلاد فارس واليابان ، إلا أن استخدام حساب التفاضل والتكامل بدأ في أوروبا خلال القرن السابع عشر، عندما بنى نيوتن وليبنيز على أعمال علماء الرياضيات السابقين لتقديم مبادئه الأساسية. ^{[ 31 ] [ 46 ] [ 61 ]} وقد كتب العالم المجري الموسوعي جون فون نيومان عن هذا العمل،

كان حساب التفاضل والتكامل أول إنجاز للرياضيات الحديثة، ومن الصعب المبالغة في تقدير أهميته. أعتقد أنه يُحدد، بشكل لا لبس فيه، نشأة الرياضيات الحديثة، ولا يزال نظام التحليل الرياضي، الذي يُعد تطورًا منطقيًا لها، يُمثل أعظم تقدم تقني في التفكير الدقيق. ^{[ 62 ]}

تشمل تطبيقات حساب التفاضل والتكامل حسابات السرعة والتسارع ، وميل المنحنى ، والتحسين . ^{[ 11 ] : 341-453.} وتشمل تطبيقات حساب التكامل حسابات المساحة، والحجم ، وطول القوس ، ومركز الكتلة ، والشغل ، والضغط . ^{[ 11 ] : 685-700.} وتشمل التطبيقات الأكثر تقدماً متسلسلات القوى ومتسلسلات فورييه .

يُستخدم حساب التفاضل والتكامل أيضًا لفهم طبيعة المكان والزمان والحركة فهمًا أدق. ولعدة قرون، انشغل علماء الرياضيات والفلاسفة بحلّ المفارقات المتعلقة بالقسمة على صفر أو بجمع أعداد لا نهائية. وتبرز هذه المسائل في دراسة الحركة والمساحة. وقدّم الفيلسوف اليوناني القديم زينون الإيلي أمثلةً شهيرةً عديدةً على هذه المفارقات . يوفر حساب التفاضل والتكامل أدوات، ولا سيما النهايات والمتسلسلات اللانهائية ، التي تُسهم في حلّ هذه المفارقات. ^{[ 63 ]}