اضمحلال أسي

إذا كانت الكمية المتناقصة، N ( t )، هي عدد العناصر المنفصلة في مجموعة معينة ، فمن الممكن حساب متوسط ​​المدة الزمنية التي يبقى فيها العنصر في المجموعة. يُسمى هذا متوسط ​​العمر (أو ببساطة العمر )، حيث ثابت الزمن الأسي .${\displaystyle \tau }$، يرتبط بثابت معدل الاضمحلال، λ ، بالطريقة التالية:

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}.}$

يمكن اعتبار متوسط ​​العمر بمثابة "زمن قياس"، لأن معادلة الاضمحلال الأسي يمكن كتابتها بدلالة متوسط ​​العمر.${\displaystyle \tau }$، بدلاً من ثابت الاضمحلال، λ :

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/\tau },}$

وذلك${\displaystyle \tau }$هو الوقت الذي ينخفض ​​فيه عدد سكان التجمع إلى 1 / e ≈ 0.367879441 ضعف قيمته الأولية. وهذا يعادل${\displaystyle \log _{2}{e}}$≈ 1.442695 نصف عمر.

على سبيل المثال، إذا كان عدد السكان الأولي للمجموعة، N (0)، هو 1000، فإن عدد السكان في الوقت${\displaystyle \tau }$،${\displaystyle N(\tau )}$، هو 368.

ستظهر معادلة مشابهة جدًا أدناه، والتي تنشأ عندما يتم اختيار أساس الدالة الأسية ليكون 2، بدلاً من e . في هذه الحالة، يكون وقت القياس هو "نصف العمر".

من الخصائص البديهية للتضاؤل ​​الأسي بالنسبة للكثيرين هو الوقت اللازم لانخفاض الكمية المتضاؤلة إلى نصف قيمتها الابتدائية. (إذا كانت N ( t ) متقطعة، فإن هذا هو متوسط ​​العمر وليس متوسط ​​العمر). يُسمى هذا الوقت بنصف العمر ، ويُرمز له غالبًا بالرمز t¹ _/² . يمكن كتابة نصف العمر بدلالة ثابت التضاؤل، أو متوسط ​​العمر، كما يلي:

${\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}=\tau \ln(2).}$

عند إدخال هذا التعبير لـ${\displaystyle \tau }$في المعادلة الأسية أعلاه، وبعد دمج ln  2 في الأساس، تصبح هذه المعادلة كالتالي:

${\displaystyle N(t)=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}.}$

وبالتالي، فإن كمية المادة المتبقية هي 2 ^{- 1}  =  1/2 مرفوعة إلى عدد فترات نصف العمر (الصحيح أو الكسري) التي انقضت. لذا، بعد ثلاث فترات نصف عمر، ستتبقى 1/2 ³  =  1/8 من المادة الأصلية.

وبالتالي، فإن متوسط ​​العمر${\displaystyle \tau }$يساوي نصف العمر مقسومًا على اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2، أو:

${\displaystyle \tau ={\frac {t_{1/2}}{\ln(2)}}\approx 1.4427\cdot t_{1/2}.}$

على سبيل المثال، يبلغ عمر النصف للبولونيوم-210 138 يومًا، ويبلغ متوسط ​​عمره 200 يومًا.

بالنظر إلى مجموعة من العناصر، يتناقص عددها في النهاية إلى الصفر، فإن متوسط ​​العمر ،${\displaystyle \tau }$يُعرف متوسط ​​العمر (أو ببساطة العمر الافتراضي ) بأنه القيمة المتوقعة للوقت الذي يستغرقه عنصر ما قبل إزالته من المجموعة. وبالتحديد، إذا كان العمر الافتراضي لعنصر ما في المجموعة هو الوقت المنقضي بين وقت مرجعي معين وإزالة ذلك العنصر من المجموعة، فإن متوسط ​​العمر هو المتوسط ​​الحسابي للأعمار الافتراضية الفردية.

انطلاقاً من صيغة السكان

${\displaystyle N=N_{0}e^{-\lambda t},\,}$

لنفترض أولاً أن c هو عامل التطبيع للتحويل إلى دالة كثافة احتمالية :

${\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}}$

أو عند إعادة الترتيب،

${\displaystyle c={\frac {\lambda }{N_{0}}}.}$

يُعدّ التضاؤل ​​الأسي مضاعفًا قياسيًا للتوزيع الأسي (أي أن عمر كل جسم يتوزع توزيعًا أسيًا)، وله قيمة متوقعة معروفة . ويمكننا حسابها هنا باستخدام التكامل بالتجزئة .

${\displaystyle \tau =\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=\int _{0}^{\infty }\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}.}$

قد تتحلل كمية ما عبر عمليتين مختلفتين أو أكثر في آن واحد. وبشكل عام، تختلف احتمالات حدوث هذه العمليات (التي تُسمى غالبًا "أنماط التحلل" أو "قنوات التحلل" أو "مسارات التحلل" وما إلى ذلك)، وبالتالي تحدث بمعدلات مختلفة وبفترات عمر نصف مختلفة، بالتوازي. يُعطى معدل التحلل الكلي للكمية N بمجموع مسارات التحلل؛ وبالتالي، في حالة عمليتين: 

${\displaystyle -{\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})N.}$

تم تقديم حل هذه المعادلة في القسم السابق، حيث مجموع${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}\,}$يتم التعامل معه كثابت اضمحلال كلي جديد${\displaystyle \lambda _{c}}$.

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})t}=N_{0}e^{-(\lambda _{c})t}.}$

العمر المتوسط ​​الجزئي المرتبط بالعمليات الفردية هو، بحكم التعريف، المعكوس المضاعف لثابت الاضمحلال الجزئي المقابل:${\displaystyle \tau =1/\lambda }$. مزيج${\displaystyle \tau _{c}}$يمكن التعبير عنها بدلالة${\displaystyle \lambda }$s:

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}=\lambda _{c}=\lambda _{1}+\lambda _{2}={\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}}$

${\displaystyle \tau _{c}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}.}$

هذا هو المتوسط ​​التوافقي لـ${\displaystyle \tau _{1}}$و${\displaystyle \tau _{2}}$بما أن فترات نصف العمر تختلف عن متوسط ​​العمر${\displaystyle \tau }$وبمعامل ثابت، تنطبق المعادلة نفسها من حيث نصفي العمر المتناظرين:

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}}$

أين${\displaystyle T_{1/2}}$هو نصف العمر الكلي أو المجمع للعملية،${\displaystyle t_{1}}$و${\displaystyle t_{2}}$تُعرف هذه الفترات باسم أنصاف العمر الجزئية للعمليات المقابلة. يشير مصطلحا "نصف العمر الجزئي" و"متوسط ​​العمر الجزئي" إلى كميات مُشتقة من ثابت الاضمحلال كما لو كان نمط الاضمحلال المُعطى هو نمط الاضمحلال الوحيد لتلك الكمية. يُعدّ مصطلح "نصف العمر الجزئي" مُضللاً، لأنه لا يُمكن قياسه كفترة زمنية تُقسّم فيها كمية مُعينة إلى النصف .

من حيث ثوابت الاضمحلال المنفصلة، ​​نصف العمر الكلي${\displaystyle T_{1/2}}$يمكن إثبات ذلك

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$

بالنسبة للتحلل بثلاث عمليات أسية متزامنة، يمكن حساب نصف العمر الكلي كما هو موضح أعلاه:

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}={\frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3})}}.}$

في العلوم النووية وعلم حركية الدواء ، قد يكون العامل محل الاهتمام موجودًا في سلسلة اضمحلال، حيث يتم التحكم في التراكم عن طريق الاضمحلال الأسي لعامل المصدر، بينما يتحلل العامل محل الاهتمام نفسه عن طريق عملية أسية.

يتم حل هذه الأنظمة باستخدام معادلة باتمان .

في مجال علم الأدوية، قد يتم امتصاص بعض المواد التي يتم تناولها في الجسم من خلال عملية يمكن نمذجتها بشكل معقول على أنها انحلال أسي، أو قد يتم تركيبها عمداً ليكون لها مثل هذا النمط من الإطلاق.

• التفاعلات الكيميائية : تعتمد سرعة أنواعمعينة من التفاعلات الكيميائية على تركيز أحد المتفاعلات . وبالتالي، فإن التفاعلات التي تعتمد سرعتها على تركيز متفاعل واحد فقط (المعروفة بتفاعلات الرتبة الأولى ) تتبع التضاؤل ​​الأسي. على سبيل المثال، تسلك العديد من التفاعلات المحفزة بالإنزيمات هذاالمسار .
• الكهرباء الساكنة : في دائرة RC ، تفرغ الشحنة الكهربائية (أو الجهد الكهربائي ) الموجودة في مكثف (سعته C ) عبر حمل خارجي ثابت(مقاومته R ) بمعدل اضمحلال أسي، وبالمثل تُشحن بمعدل اضمحلال أسي معكوس (عندما يُشحن المكثف من مصدر جهد ثابت عبر مقاومة ثابتة). ثابت الزمن الأسي لهذه العملية هو${\displaystyle \tau =R\,C,}$إذن، نصف العمر هو${\displaystyle R\,C\,\ln(2).}$يمكن تطبيق المعادلات نفسها على التيار المزدوج في المحث.
  • علاوة على ذلك، تُعدّ حالة المكثف أو المحث الذي يمر عبر عدة مقاومات متوازية مثالًا مثيرًا للاهتمام على عمليات التحلل المتعددة، حيث تمثل كل مقاومة عملية منفصلة. في الواقع، يعكس تعبير المقاومة المكافئة لمقاومتين متوازيتين معادلة نصف العمر مع عمليتي تحلل.
• الجيوفيزياء : ينخفض ​​الضغط الجوي بشكل أسي تقريبًا مع زيادة الارتفاع فوق مستوى سطح البحر، بمعدل حوالي 12٪ لكل 1000 متر.
• انتقال الحرارة : إذا تعرض جسم ذو درجة حرارة معينة لوسط ذي درجة حرارة أخرى، فإن فرق درجة الحرارة بين الجسم والوسط يتناقص أُسّيًا (في حالة العمليات البطيئة؛ وهو ما يعادل التوصيل الحراري الجيد داخل الجسم، بحيث تبقى درجة حرارته متجانسة نسبيًا في جميع أنحاء حجمه). انظر أيضًا قانون نيوتن للتبريد .
• التلألؤ : بعد الإثارة، تتناقص شدة الانبعاث - التي تتناسب مع عدد الذرات أو الجزيئات المثارة - لمادة متلألئة بشكل أُسّي. وبحسب عدد الآليات المشاركة، قد يكون التناقص أُسّيًا أحاديًا أو متعدد الأُسّيات.
• علم الأدوية وعلم السموم : وُجد أن العديد من المواد المُعطاة تتوزع وتُستقلب (انظر التصفية ) وفقًا لأنماط التحلل الأسي. يقيس عمر النصف البيولوجي "عمر النصف ألفا" و"عمر النصف بيتا" للمادة مدى سرعة توزيعها وإخراجها.
• البصريات الفيزيائية : تتناقص شدة الإشعاع الكهرومغناطيسي ، كالضوء أو الأشعة السينية أو أشعة غاما، في وسط ماص، تناقصاً أُسّياً مع المسافة داخل هذا الوسط. يُعرف هذا بقانون بير-لامبرت .
• النشاط الإشعاعي : في عينة من نظير مشع تخضع لتحلل إشعاعي إلى حالة مختلفة، يتبع عدد الذرات في الحالة الأصلية تناقصًا أُسّيًا طالما أن عدد الذرات المتبقية كبير. يُطلق على ناتج التحلل اسم النظير المشع .
• الكهروحرارية : انخفاض مقاومة الثرمستور ذي معامل درجة الحرارة السالب مع زيادة درجة الحرارة.
• الاهتزازات : قد تتلاشى بعض الاهتزازات بشكل أُسّي؛ وتُلاحظ هذه الخاصية غالبًا في المذبذبات الميكانيكية المُخمّدة ، وتُستخدم في إنشاء أغلفة ADSR في أجهزة المزج . أما النظام المُخمّد بشدة، فسيعود ببساطة إلى حالة التوازن عبر تلاشي أُسّي.
• رغوة البيرة: فاز أرند ليك، من جامعة لودفيغ ماكسيميليان في ميونخ ، بجائزة إيغ نوبل لإثباته أن رغوة البيرة تخضع لقانون التضاؤل ​​الأسي. ^{[ 4 ]}
• يُعد كبح السيارة مثالاً عالميًا على التضاؤل ​​الأسي، كما أن تغيرات الدوال والأسس الرياضية التي يطبقها القدم مهمة لراحة الركاب وتجنب الحوادث.

• التمويل : يتناقص رصيد صندوق التقاعد بشكل أُسّي، حيث يخضع لمبالغ دفع منفصلة، ​​عادةً ما تكون شهرية، بينما يخضع رأس المال لمعدل فائدة مستمر. يمكن كتابة معادلة تفاضلية dA/dt = المدخلات - المخرجات وحلها لإيجاد الوقت اللازم للوصول إلى أي مبلغ A متبقٍ في الصندوق.
• في علم تحديد عمر اللغات البسيط ، يسمح الافتراض (المثير للجدل) لمعدل اضمحلال ثابت في اللغات بتقدير عمر اللغات المفردة. (يتطلب حساب وقت الانقسام بين لغتين افتراضات إضافية، مستقلة عن الاضمحلال الأسي).

• يُعدّ بروتوكول BGP ، وهو بروتوكول التوجيه الأساسي على الإنترنت ، بحاجة إلى الاحتفاظ بجدول توجيه لتذكر المسارات التي يمكن توجيه الحزمة إليها. عندما يتغير أحد هذه المسارات بشكل متكرر من متاح إلى غير متاح (والعكس صحيح )، يضطر موجّه BGP المتحكم في هذا المسار إلى إضافة سجل المسار وإزالته من جدول التوجيه بشكل متكرر ( يُعرف هذا بـ"تقلب المسار")، مما يُهدر موارد محلية مثل وحدة المعالجة المركزية وذاكرة الوصول العشوائي ، والأهم من ذلك، يُرسل معلومات غير ضرورية إلى موجّهات النظراء. ولمنع هذا السلوك غير المرغوب فيه، تُعيّن خوارزمية تُسمى " تخميد تقلب المسار" وزنًا لكل مسار، يزداد مع كل تغيير في حالته ويتناقص أُسّيًا مع مرور الوقت. وعندما يصل الوزن إلى حد معين، يتوقف التقلب، وبالتالي يتم كبح المسار.

رسوم بيانية تقارن أوقات التضاعف ونصف العمر للنمو الأسي (خطوط سميكة) والاضمحلال الأسي (خطوط باهتة)، وتقريباتها 70/ t و72/ t . في نسخة SVG ، مرر مؤشر الماوس فوق الرسم البياني لتمييزه وتمييز مكمله.