فصل المتغيرات

قد يفضل أولئك الذين لا يفضلون اعتبار التفاضلات كيانات منفصلة كتابة هذا على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x),}$

لكن هذا لا يوضح تمامًا سبب تسمية هذه العملية بـ "فصل المتغيرات". يتم تكامل طرفي المعادلة بالنسبة إلى${\displaystyle x}$لدينا

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx,}$

A1

أو ما يعادل ذلك،

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx}$

بسبب قاعدة الاستبدال للتكاملات .

إذا أمكن حساب التكاملين، فإنه يمكن إيجاد حل للمعادلة التفاضلية. لاحظ أن هذه العملية تسمح لنا فعليًا بمعالجة المشتقة${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ككسر يمكن فصله. وهذا يسمح لنا بحل المعادلات التفاضلية القابلة للفصل بسهولة أكبر، كما هو موضح في المثال أدناه.

(لاحظ أننا لسنا بحاجة إلى استخدام ثابتين للتكامل في المعادلة ( A1 ) كما في

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy+C_{1}=\int g(x)\,dx+C_{2},}$

لأن ثابت واحد${\displaystyle C=C_{2}-C_{1}}$(مكافئ).

غالباً ما يتم نمذجة النمو السكاني بواسطة المعادلة التفاضلية "اللوجستية".

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$

أين${\displaystyle P}$يمثل عدد السكان بالنسبة للوقت${\displaystyle t}$،${\displaystyle k}$هو معدل النمو، و${\displaystyle K}$هي القدرة الاستيعابية للبيئة. يؤدي فصل المتغيرات الآن إلى

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {dP}{P\left(1-P/K\right)}}=\int k\,dt\end{aligned}}}$

والتي يمكن تكاملها بسهولة باستخدام الكسور الجزئية في الطرف الأيسر، مما ينتج عنه

${\displaystyle P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$

حيث A هو ثابت التكامل. يمكننا إيجاد ${\displaystyle A}$من ناحية${\displaystyle P\left(0\right)=P_{0}}$عند الزمن t=0. ملاحظة${\displaystyle e^{0}=1}$نحصل

${\displaystyle A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}.}$

كما يمكن الحديث عن معادلة تفاضلية عادية قابلة للفصل من الرتبة الأولى، يمكن الحديث أيضاً عن معادلة تفاضلية عادية قابلة للفصل من الرتبة الثانية، أو الثالثة، أو حتى من الرتبة n . لنأخذ مثالاً على معادلة تفاضلية عادية قابلة للفصل من الرتبة الأولى:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(y)g(x)}$

يمكن كتابة المشتقة بطريقة بديلة على النحو التالي للتأكيد على أنها عامل يعمل على الدالة المجهولة، y :

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}(y)}$

وبالتالي، عند فصل المتغيرات في المعادلات من الدرجة الأولى، يتم في الواقع نقل مقام المؤثر dx إلى جانب المتغير x ، بينما يبقى d ( y ) في جانب المتغير y . وبالمثل، ينقسم مؤثر المشتقة الثانية كما يلي:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}(y)\right)}$

تتفكك معاملات المشتقات من الرتبة الثالثة والرابعة والرتبة n بنفس الطريقة. وبالتالي، كما هو الحال مع معادلة تفاضلية عادية قابلة للفصل من الرتبة الأولى، يمكن اختزالها إلى الشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(y)g(x)}$

يمكن اختزال معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية قابلة للفصل إلى الشكل التالي

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f\left(y'\right)g(x)}$

ويمكن اختزال معادلة تفاضلية عادية قابلة للفصل من الرتبة n إلى

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=f\!\left(y^{(n-1)}\right)g(x)}$

لنفترض المعادلة التفاضلية البسيطة غير الخطية من الدرجة الثانية:$${\displaystyle y''=(y')^{2}.}$$هذه المعادلة هي معادلة لـ y '' و y' فقطوهذا يعني أنها قابلة للاختزال إلى الشكل العام الموصوف أعلاه، وبالتالي فهي قابلة للفصل. وبما أنها معادلة قابلة للفصل من الدرجة الثانية، نجمع جميع متغيرات x في طرف واحد وجميع متغيرات y' في الطرف الآخر.المتغيرات على الجانب الآخر للحصول على:$${\displaystyle {\frac {d(y')}{(y')^{2}}}=dx.}$$الآن، قم بتكامل الطرف الأيمن بالنسبة إلى x والطرف الأيسر بالنسبة إلى y' :$${\displaystyle \int {\frac {d(y')}{(y')^{2}}}=\int dx.}$$هذا يعطي$${\displaystyle -{\frac {1}{y'}}=x+C_{1},}$$والذي يتبسط إلى:$${\displaystyle y'=-{\frac {1}{x+C_{1}}}~.}$$هذه الآن مسألة تكاملية بسيطة تعطي الإجابة النهائية:$${\displaystyle y=C_{2}-\ln |x+C_{1}|.}$$

لنفترض معادلة الحرارة أحادية البعد . المعادلة هي

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$

1

يرمز المتغير u إلى درجة الحرارة. الشرط الحدودي متجانس، أي

${\displaystyle u{\big |}_{x=0}=u{\big |}_{x=L}=0}$

2

لنحاول إيجاد حل غير تافه يحقق الشروط الحدية ولكن مع الخاصية التالية: u هو حاصل ضرب يتم فيه فصل اعتماد u على x و t ، أي:

${\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t).}$

3

بإدخال قيمة u مرة أخرى في المعادلة ( 1 ) وباستخدام قاعدة الضرب ،

${\displaystyle {\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}=-\lambda ,}$

4

حيث يجب أن تكون λ ثابتة لأن الطرف الأيمن يعتمد فقط على x والطرف الأيسر يعتمد فقط على t . وبالتالي:

${\displaystyle T'(t)=-\lambda \alpha T(t),}$

5

و

${\displaystyle X''(x)=-\lambda X(x).}$

6

− λ هنا هي القيمة الذاتية لكلا المؤثرين التفاضليين، و T ( t ) و X ( x ) هما الدوال الذاتية المقابلة .

سنوضح الآن أن حلول X ( x ) لقيم λ ≤ 0 لا يمكن أن تحدث:

لنفترض أن λ < 0. عندئذٍ يوجد عددان حقيقيان B و C بحيث

${\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}.}$

من ( 2 ) نحصل على

${\displaystyle X(0)=0=X(L),}$

7

وبالتالي فإن B = 0 = C مما يعني أن u يساوي صفرًا تمامًا.

لنفترض أن λ = 0. عندئذٍ يوجد عددان حقيقيان B و C بحيث

${\displaystyle X(x)=Bx+C.}$

من ( 7 ) نستنتج بنفس الطريقة كما في 1 أن u يساوي 0 تمامًا.

لذلك، يجب أن يكون λ > 0. عندئذٍ توجد أعداد حقيقية A و B و C بحيث

${\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t},}$

و

${\displaystyle X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x).}$

من ( 7 ) نحصل على C = 0 وأنه بالنسبة لعدد صحيح موجب n ،

${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.}$

هذا يحل معادلة الحرارة في الحالة الخاصة التي يكون فيها اعتماد u بالشكل الخاص ( 3 ) .

بشكل عام، فإن مجموع حلول المعادلة ( 1 ) التي تحقق الشروط الحدية ( 2 ) يحقق أيضًا المعادلتين ( 1 ) و ( 3 ) . وبالتالي، يمكن إعطاء الحل الكامل على النحو التالي:

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}\exp \left(-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}\right),}$

حيث D _n هي معاملات يتم تحديدها بواسطة الشروط الأولية.

بالنظر إلى الحالة الأولية

${\displaystyle u{\big |}_{t=0}=f(x),}$

8

يمكننا الحصول على

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty}D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}.}$

هذا هو مفكوك متسلسلة الجيب لفورييه للدالة f ( x ) والذي يمكن تحليله باستخدام تحليل فورييه . بضرب كلا الطرفين في${\textstyle \sin {\frac {n\pi x}{L}}}$والتكامل على الفترة [ 0، L ] ينتج عنه

${\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx.}$

تتطلب هذه الطريقة أن تكون الدوال الذاتية X ، هنا${\textstyle \left\{\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right\}_{n=1}^{\infty }}$وهي متعامدة وكاملة . وبشكل عام ، تضمن نظرية ستورم-ليوفيل ذلك .

لنفترض أن المعادلة غير متجانسة،

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=h(x,t)}$

8

مع كون شرط الحدود هو نفسه ( 2 ) والشرط الابتدائي هو نفسه ( 8 ) .

قم بتوسيع h ( x,t ) و u ( x , t ) و f ( x ) إلى

${\displaystyle h(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }h_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L}},}$

9

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L}},}$

10

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}},}$

11

حيث يمكن حساب h _n ( t ) و b _n عن طريق التكامل، بينما يجب تحديد u _n ( t ).

بالتعويض بالمعادلتين ( 9 ) و ( 10 ) في المعادلة ( 8 ) ، وبالنظر إلى تعامد دوال الجيب، نحصل على

${\displaystyle u'_{n}(t)+\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}u_{n}(t)=h_{n}(t),}$

وهي عبارة عن سلسلة من المعادلات التفاضلية الخطية التي يمكن حلها بسهولة باستخدام، على سبيل المثال، تحويل لابلاس ، أو عامل التكامل . وأخيرًا، يمكننا الحصول على

${\displaystyle u_{n}(t)=e^{-\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}t}\left(b_{n}+\int _{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}s}\,ds\right).}$

إذا كان شرط الحدود غير متجانس، فإن توسيع المعادلتين ( 9 ) و ( 10 ) يصبح غير صالح. يجب إيجاد دالة v تحقق شرط الحدود فقط، ثم طرحها من u . عندئذٍ، تحقق الدالة uv شرط الحدود المتجانس، ويمكن حلها بالطريقة المذكورة أعلاه.

بالنسبة لبعض المعادلات التي تتضمن مشتقات مختلطة، لا تنفصل المعادلة بسهولة كما حدث مع معادلة الحرارة في المثال الأول أعلاه، ولكن مع ذلك، يمكن تطبيق فصل المتغيرات. لنأخذ على سبيل المثال المعادلة التوافقية ثنائية الأبعاد

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}u}{\partial y^{4}}}=0.}$

وباتباع الأسلوب المعتاد، نبحث عن حلول من الشكل التالي:

${\displaystyle u(x,y)=X(x)Y(y)}$

وبذلك نحصل على المعادلة

${\displaystyle {\frac {X^{(4)}(x)}{X(x)}}+2{\frac {X''(x)}{X(x)}}{\frac {Y''(y)}{Y(y)}}+{\frac {Y^{(4)}(y)}{Y(y)}}=0.}$

كتابة هذه المعادلة على الصورة

${\displaystyle E(x)+F(x)G(y)+H(y)=0,}$

بأخذ مشتقة هذا التعبير بالنسبة إلى${\displaystyle x}$أعطِ${\displaystyle E'(x)+F'(x)G(y)=0}$وهذا يعني${\displaystyle G(y)=const.}$أو${\displaystyle F'(x)=0}$وبالمثل، عند حساب المشتقة بالنسبة إلى${\displaystyle y}$يؤدي إلى${\displaystyle F(x)G'(y)+H'(y)=0}$وبالتالي${\displaystyle F(x)=const.}$أو${\displaystyle G'(y)=0}$وبالتالي، يجب أن تكون إما F ( x ) أو G ( y ) ثابتة، ولتكن -λ. وهذا يعني أيضاً أنه إما${\displaystyle -E(x)=F(x)G(y)+H(y)}$أو${\displaystyle -H(y)=E(x)+F(x)G(y)}$ثابتة. بالعودة إلى معادلة X و Y ، لدينا حالتان

${\displaystyle {\begin{aligned}X''(x)&=-\lambda _{1}X(x)\\X^{(4)}(x)&=\mu _{1}X(x)\\Y^{(4)}(y)-2\lambda _{1}Y''(y)&=-\mu _{1}Y(y)\end{aligned}}}$

و

${\displaystyle {\begin{aligned}Y''(y)&=-\lambda _{2}Y(y)\\Y^{(4)}(y)&=\mu _{2}Y(y)\\X^{(4)}(x)-2\lambda _{2}X''(x)&=-\mu _{2}X(x)\end{aligned}}}$

والتي يمكن حل كل منها من خلال النظر في الحالات المنفصلة لـ${\displaystyle \lambda _{i}<0,\lambda _{i}=0,\lambda _{i}>0}$مع ملاحظة أن${\displaystyle \mu _{i}=\lambda _{i}^{2}}$.

في الإحداثيات المنحنية المتعامدة ، لا يزال بالإمكان استخدام فصل المتغيرات، ولكن بتفاصيل تختلف عن تلك المستخدمة في الإحداثيات الديكارتية. على سبيل المثال، قد تحدد شروط الانتظام أو الدورية القيم الذاتية بدلاً من الشروط الحدية. انظر إلى التوافقيات الكروية على سبيل المثال.

بالنسبة للعديد من المعادلات التفاضلية الجزئية، مثل معادلة الموجة، ومعادلة هيلمهولتز، ومعادلة شرودنغر، فإن إمكانية تطبيق فصل المتغيرات هي نتيجة لنظرية الطيف . في بعض الحالات، قد لا يكون فصل المتغيرات ممكنًا. قد يكون فصل المتغيرات ممكنًا في بعض أنظمة الإحداثيات دون غيرها، ^{[ 2 ]} وتعتمد أنظمة الإحداثيات التي تسمح بالفصل على خصائص التناظر للمعادلة. ^{[ 3 ]} فيما يلي ملخص لحجة توضح إمكانية تطبيق هذه الطريقة على بعض المعادلات الخطية، على الرغم من أن الطريقة الدقيقة قد تختلف في حالات فردية (على سبيل المثال، في المعادلة ثنائية التوافق المذكورة أعلاه).

لنفترض مسألة قيمة حدية ابتدائية لدالة${\displaystyle u(x,t)}$على${\displaystyle D=\{(x,t):x\in [0,l],t\geq 0\}}$في متغيرين:

${\displaystyle (Tu)(x,t)=(Su)(x,t)}$

أين${\displaystyle T}$هو مؤثر تفاضلي بالنسبة إلى${\displaystyle x}$و${\displaystyle S}$هو مؤثر تفاضلي بالنسبة إلى${\displaystyle t}$مع بيانات الحدود:

${\displaystyle (Tu)(0,t)=(Tu)(l,t)=0}$ل${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle (Su)(x,0)=h(x)}$ل${\displaystyle 0\leq x\leq l}$

أين${\displaystyle h}$هي وظيفة معروفة.

نبحث عن حلول من الشكل${\displaystyle u(x,t)=f(x)g(t)}$قسمة المعادلة التفاضلية الجزئية على${\displaystyle f(x)g(t)}$أعطِ

${\displaystyle {\frac {Tf}{f}}={\frac {Sg}{g}}}$

يعتمد الجانب الأيمن فقط على${\displaystyle x}$والجانب الأيسر فقط على${\displaystyle t}$لذا يجب أن يكون كلاهما مساوياً لثابت${\displaystyle K}$وهذا يعطي معادلتين تفاضليتين عاديتين

${\displaystyle Tf=Kf,Sg=Kg}$

والتي يمكننا التعرف عليها على أنها مسائل القيم الذاتية للمؤثرات لـ${\displaystyle T}$و${\displaystyle S}$. لو${\displaystyle T}$هو مشغل صغير الحجم ومتصل ذاتيًا في الفضاء${\displaystyle L^{2}[0,l]}$بالإضافة إلى شروط الحدود ذات الصلة، فإنه بموجب نظرية الطيف يوجد أساس لـ${\displaystyle L^{2}[0,l]}$يتكون من الدوال الذاتية لـ${\displaystyle T}$لنفترض أن طيف${\displaystyle T}$يكون${\displaystyle E}$ودع${\displaystyle f_{\lambda }}$تكون وظيفة ذاتية ذات قيمة ذاتية${\displaystyle \lambda \in E}$ثم لأي دالة تكون في كل وقت${\displaystyle t}$قابلة للتكامل التربيعي بالنسبة إلى${\displaystyle x}$يمكننا كتابة هذه الدالة كتركيبة خطية من${\displaystyle f_{\lambda }}$وعلى وجه الخصوص، نحن نعرف الحل${\displaystyle u}$يمكن كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{\lambda \in E}c_{\lambda }(t)f_{\lambda }(x)}$

بالنسبة لبعض الوظائف${\displaystyle c_{\lambda }(t)}$في فصل المتغيرات، تُعطى هذه الدوال بواسطة حلول لـ${\displaystyle Sg=Kg}$

وبالتالي، تضمن نظرية الطيف أن فصل المتغيرات سيجد (عندما يكون ذلك ممكناً) جميع الحلول.

بالنسبة للعديد من المؤثرات التفاضلية، مثل${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$يمكننا إثبات أنها ذاتية الترافق بالتكامل بالتجزئة. ورغم أن هذه المؤثرات قد لا تكون متراصة، فإن معكوساتها (إن وُجدت) قد تكون كذلك، كما في حالة معادلة الموجة، وهذه المعكوسات لها نفس الدوال الذاتية والقيم الذاتية للمؤثر الأصلي (باستثناء الصفر إن أمكن). ^{[ 4 ]}