تحليل فورييه

في الرياضيات والعلوم والهندسة ، يُعرف تحليل فورييه ( ‎/ ˈfʊriieɪ , -iər / ‎) ^{[ 1 ]} بدراسة كيفية تمثيل أو تقريب الدوال العامة على خط الأعداد الحقيقية، أو الدائرة، أو الأعداد الصحيحة، أو المجموعة الدورية المنتهية، أو المجموعة الأبيلية المحلية المدمجة، بواسطة مجاميع الدوال المثلثية ، أو بشكل أكثر ملاءمة ، الدوال الأسية المركبة . نشأ تحليل فورييه من دراسة متسلسلات فورييه ، وسُمّي نسبةً إلى جوزيف فورييه ، الذي بيّن أن تمثيل دالة ما كمجموع دوال مثلثية يُبسّط دراسة انتقال الحرارة بشكل كبير .

يُستخدم تحليل فورييه في العديد من مجالات الرياضيات البحتة والتطبيقية، والعلوم، والهندسة. تُعرف عملية تحليل دالة إلى مكونات تذبذبية بتحليل فورييه، بينما تُعرف عملية إعادة بناء الدالة من هذه المكونات بتوليف فورييه . على سبيل المثال، يتطلب تحديد ترددات المكونات الموجودة في نغمة موسيقية حساب تحويل فورييه لنوتة موسيقية مسجلة. بعد ذلك، يمكن إعادة توليف الصوت نفسه عن طريق مزج أصوات توافقية بحتة مع مكونات التردد كما هو موضح في تحليل فورييه. في الرياضيات، يشير مصطلح تحليل فورييه غالبًا إلى دراسة كلتا العمليتين.

تُسمى عملية التفكيك نفسها بتحويل فورييه . أما ناتجها، وهو تحويل فورييه ، فيُطلق عليه غالبًا اسم أكثر تحديدًا، يعتمد على مجال وخصائص الدالة المُحوَّلة. علاوة على ذلك، فقد توسع المفهوم الأصلي لتحليل فورييه بمرور الوقت ليشمل حالات أكثر تجريدًا وعمومية، مثل نظرية تمثيل المجموعات ، ويُعرف هذا المجال العام غالبًا بالتحليل التوافقي . لكل تحويل مُستخدم في التحليل (انظر قائمة التحويلات المتعلقة بفورييه ) تحويل عكسي مُقابل يُمكن استخدامه في التركيب.

في التطبيقات، يُطبق تحليل فورييه عادةً على "إشارة" تعتمد على "الزمن" يتم أخذ عينات منها على فترات زمنية متساوية الطول${\displaystyle T}$يحوّل تحويل فورييه هذه المتتالية إلى متتالية متساوية الطول من السعات للدوال الجيبية والجيب التمامية (أو بشكل أكثر ملاءمة، الدوال الأسية المركبة) بترددات مضاعفة لـ${\displaystyle 1/T}$يُعدّ هذا مفيدًا بشكل خاص للكشف عن المكونات الدورية القوية في الإشارة. ويُعتبر تحويل فورييه السريع خوارزمية فعّالة لحساب هذه السعات. وقد طُوّرت مناهج مختلفة لتحليل البيانات غير المتساوية التباعد، ولا سيما طرق تحليل الطيف باستخدام المربعات الصغرى (LSSA) التي تستخدم مطابقة المربعات الصغرى للدوال الجيبية مع عينات البيانات، على غرار تحليل فورييه. ^{[ 2 ] [ 3 ]} ويُضخّم تحليل فورييه، وهو أكثر الطرق الطيفية استخدامًا في العلوم، الضوضاء الدورية الطويلة في السجلات ذات الفجوات الطويلة؛ بينما يُخفف تحليل الطيف باستخدام المربعات الصغرى من هذه المشاكل. ^{[ 4 ]}

لتحليل فورييه العديد من التطبيقات العلمية - في الفيزياء ، والمعادلات التفاضلية الجزئية ، ونظرية الأعداد ، والتوافقية ، ومعالجة الإشارات ، ومعالجة الصور الرقمية ، ونظرية الاحتمالات ، والإحصاء ، وعلم الأدلة الجنائية ، وتسعير الخيارات ، والتشفير ، والتحليل العددي ، وعلم الصوتيات ، وعلم المحيطات ، والسونار ، والبصريات ، والحيود ، والهندسة ، وتحليل بنية البروتين ، وغيرها من المجالات.

ينبع هذا التطبيق الواسع من العديد من الخصائص المفيدة للتحويلات :

• التحويلات عبارة عن مؤثرات خطية ، ومع التطبيع المناسب، تكون وحدوية أيضًا (وهي خاصية تُعرف باسم نظرية بارسيفال أو، بشكل أعم، بنظرية بلانشيريل ، وبشكل أكثر عمومية عبر ازدواجية بونترياجين ). ^{[ 5 ]}
• التحويلات عادة ما تكون قابلة للعكس.
• الدوال الأسية هي دوال ذاتية للتفاضل ، مما يعني أن هذا التمثيل يحوّل المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة إلى معادلات جبرية عادية. ^{[ 6 ]} لذلك، يمكن تحليل سلوك النظام الخطي الثابت مع الزمن عند كل تردد على حدة.
• بحسب نظرية الالتفاف ، تحول تحويلات فورييه عملية الالتفاف المعقدة إلى عملية ضرب بسيطة، مما يعني أنها توفر طريقة فعالة لحساب العمليات القائمة على الالتفاف مثل ترشيح الإشارات وضرب كثيرات الحدود وضرب الأعداد الكبيرة . ^{[ 7 ]}
• يمكن تقييم النسخة المنفصلة من تحويل فورييه (انظر أدناه) بسرعة على أجهزة الكمبيوتر باستخدام خوارزميات تحويل فورييه السريع (FFT). ^{[ 8 ]}

في مجال الطب الشرعي، تستخدم أجهزة قياس الطيف بالأشعة تحت الحمراء المخبرية تحليل تحويل فورييه لقياس أطوال موجات الضوء التي تمتصها المادة في طيف الأشعة تحت الحمراء. تُستخدم طريقة تحويل فورييه لفك تشفير الإشارات المقاسة وتسجيل بيانات الطول الموجي. وباستخدام الحاسوب، تُجرى حسابات فورييه هذه بسرعة، بحيث يمكن لجهاز FT-IR المُشغل بالحاسوب، في غضون ثوانٍ معدودة، إنتاج نمط امتصاص للأشعة تحت الحمراء يُضاهي نمط جهاز الموشور. ^{[ 9 ]}

يُعدّ تحويل فورييه مفيدًا أيضًا كتمثيل مُختصر للإشارة. على سبيل المثال، يستخدم ضغط JPEG نوعًا مُعدّلًا من تحويل فورييه ( تحويل جيب التمام المُتقطّع ) لأجزاء مربعة صغيرة من الصورة الرقمية. تُقرّب مُكوّنات فورييه لكل مربع لتقليل الدقة الحسابية ، وتُحذف المُكوّنات الضعيفة، بحيث يُمكن تخزين المُكوّنات المُتبقية بشكل مُختصر للغاية. في إعادة بناء الصورة، يُعاد تجميع كل مربع من الصورة من المُكوّنات التقريبية المحفوظة بعد تحويل فورييه، والتي تُحوّل عكسيًا بعد ذلك لإنتاج صورة مُقاربة للصورة الأصلية.

في معالجة الإشارات ، غالبًا ما تأخذ تحويلة فورييه سلسلة زمنية أو دالة زمنية مستمرة ، وترسمها في طيف ترددي . أي أنها تنقل الدالة من المجال الزمني إلى المجال الترددي ؛ وهي عبارة عن تحليل للدالة إلى موجات جيبية بترددات مختلفة؛ في حالة متسلسلة فورييه أو تحويلة فورييه المنفصلة ، ​​تكون الموجات الجيبية توافقيات التردد الأساسي للدالة قيد التحليل.

عندما تكون الدالة${\displaystyle s(t)}$هي دالة للزمن وتمثل إشارة فيزيائية ، ويُفسَّر التحويل عادةً على أنه طيف تردد الإشارة. مقدار الدالة المركبة الناتجة${\displaystyle S(f)}$بتردد${\displaystyle f}$يمثل سعة مكون التردد الذي تُعطى طوره الأولي بزاوية${\displaystyle S(f)}$(الإحداثيات القطبية).

لا تقتصر تحويلات فورييه على دوال الزمن والترددات الزمنية فحسب، بل يمكن تطبيقها أيضاً لتحليل الترددات المكانية ، بل ولأي مجال وظيفي تقريباً. وهذا ما يبرر استخدامها في فروع متنوعة مثل معالجة الصور ، وتوصيل الحرارة ، والتحكم الآلي .

عند معالجة الإشارات، مثل الصوت ، وموجات الراديو ، وموجات الضوء، والموجات الزلزالية ، وحتى الصور، يمكن لتحليل فورييه عزل مكونات النطاق الضيق للموجة المركبة، وتركيزها لتسهيل اكتشافها أو إزالتها. تتألف مجموعة كبيرة من تقنيات معالجة الإشارات من تحويل فورييه للإشارة، ومعالجة البيانات المحولة بطريقة بسيطة، وعكس التحويل. ^{[ 10 ]}

تتضمن بعض الأمثلة ما يلي :

• معادلة التسجيلات الصوتية باستخدام سلسلة من مرشحات تمرير النطاق ؛
• استقبال الراديو الرقمي بدون دائرة سوبر هيتروداين ، كما هو الحال في الهاتف الخلوي الحديث أو جهاز استقبال الراديو ؛
• معالجة الصور لإزالة القطع الأثرية الدورية أو غير المتجانسة مثل القطع المسننة من الفيديو المتداخل ، أو القطع الأثرية الشريطية من التصوير الجوي الشريطي ، أو أنماط الموجات الناتجة عن تداخل الترددات الراديوية في الكاميرا الرقمية؛
• الارتباط المتبادل للصور المتشابهة من أجل المحاذاة المشتركة؛
• علم البلورات بالأشعة السينية لإعادة بناء بنية البلورة من نمط حيودها؛
• مطيافية الكتلة بالرنين السيكلوتروني الأيوني بتحويل فورييه لتحديد كتلة الأيونات من تردد حركة السيكلوترون في مجال مغناطيسي؛
• العديد من أشكال التحليل الطيفي الأخرى، بما في ذلك التحليل الطيفي بالأشعة تحت الحمراء والرنين المغناطيسي النووي ؛
• توليد مخططات الطيف الصوتي المستخدمة لتحليل الأصوات؛
• يستخدم السونار السلبي لتصنيف الأهداف بناءً على ضوضاء الآلات.

توجد خمسة أنواع مختلفة من تحليل فورييه تعتمد على خصائص إشارة الإدخال:

• تحويل فورييه الزمني المستمر (CTFT)
• متسلسلة فورييه الزمنية المستمرة (CTFS)
• تحويل فورييه الزمني المنفصل (DTFT)
• متسلسلة فورييه الزمنية المنفصلة (DTFS)
• تحويل فورييه المنفصل (DFT)

يتم تحديد اختيار أي من المتغيرات الأربعة الأولى التي سيتم استخدامها من خلال خاصيتين لدالة الإدخال:

• سواء كان مجال دالة الإدخال متصلاً أم منفصلاً، و
• ما إذا كانت دالة الإدخال دورية أم غير دورية في مجالها.

يُستخدم النوع الخامس، وهو تحويل فورييه المنفصل (DFT)، فقط في حالة كون دالة الإدخال منفصلة في نطاقها ومحدودة بمنطقة دعم محدودة. يُعدّ تحويل فورييه المنفصل النوع الوحيد الذي يمكن حسابه عدديًا، ويمكن استخدامه لتقريب الأنواع الأربعة الأخرى.

ملخص

بالنسبة للدوال الدورية، يتألف كل من تحويل فورييه وتحويل فورييه المنفصل زمنيًا (DTFT) من مجموعة منفصلة من مكونات التردد (متسلسلة فورييه)، ويتباعد التحويلان عند هذه الترددات. ومن الممارسات الشائعة (التي لم تُناقش أعلاه) معالجة هذا التباعد باستخدام دالتي ديراك دلتا وديراك مشط . ولكن يمكن استخلاص المعلومات الطيفية نفسها من دورة واحدة فقط من الدالة الدورية، لأن جميع الدورات الأخرى متطابقة. وبالمثل، يمكن تمثيل الدوال ذات المدة المحدودة كمتسلسلة فورييه، دون أي فقدان فعلي للمعلومات، باستثناء أن دورية التحويل العكسي هي مجرد نتيجة ثانوية.

من الشائع عملياً أن تكون مدة s (•) محدودة بالفترة P أو N. لكن هذه الصيغ لا تتطلب هذا الشرط.

${\displaystyle s(t)}$التحويلات (الزمن المستمر)

	التردد المستمر	الترددات المنفصلة
تحويل	${\displaystyle S(f)\,\triangleq \,\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt}$	${\displaystyle \underbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)} _{S[k]}\,\triangleq \,{\frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt\equiv {\frac {1}{P}}\int _{P}s_{_{P}}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt}$
معكوس	${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df}$	${\displaystyle \underbrace {s_{_{P}}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}} _{\text{Poisson summation formula (Fourier series)}}\,}$

${\displaystyle s(nT)}$التحويلات (الزمن المنفصل)

	التردد المستمر	الترددات المنفصلة
تحويل	${\displaystyle \underbrace {S_{\tfrac {1}{T}}(f)\,\triangleq \,\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}} _{\text{Poisson summation formula (DTFT)}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\underbrace {S_{\tfrac {1}{T}}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{S[k]}\,&\triangleq \,\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}\\&\equiv \underbrace {\sum _{N}s_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}} _{\text{DFT}}\,\end{aligned}}}$
معكوس	${\displaystyle s[n]=\underbrace {T\int _{\frac {1}{T}}S_{\tfrac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\text{Fourier series coefficient}}}$ ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot \delta (t-nT)=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S_{\tfrac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df} _{\text{inverse Fourier transform}}\,}$	${\displaystyle s_{_{N}}[n]=\underbrace {{\frac {1}{N}}\sum _{N}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {kn}{N}}}} _{\text{inverse DFT}}}$

عند تحليل الأجزاء الحقيقية والخيالية لدالة مركبة إلى أجزائها الزوجية والفردية ، نحصل على أربعة مكونات، يُشار إليها أدناه بالرموز السفلية RE وRO وIE وIO. وهناك تطابق تام بين المكونات الأربعة لدالة زمنية مركبة والمكونات الأربعة لتحويلها الترددي المركب : ^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

ومن هذا تتضح علاقات مختلفة، على سبيل المثال :

• تحويل دالة ذات قيم حقيقية${\displaystyle (s_{_{RE}}+s_{_{RO}})}$هي الدالة المتناظرة المرافقة${\displaystyle S_{RE}+i\ S_{IO}.}$ وعلى العكس من ذلك، فإن التحويل المتناظر المترافق يستلزم مجالًا زمنيًا ذا قيم حقيقية.
• تحويل دالة ذات قيمة تخيلية${\displaystyle (i\ s_{_{IE}}+i\ s_{_{IO}})}$هي الدالة المتناظرة المترافقة${\displaystyle S_{RO}+i\ S_{IE},}$والعكس صحيح.
• تحويل الدالة المتناظرة المترافقة${\displaystyle (s_{_{RE}}+i\ s_{_{IO}})}$هي دالة ذات قيم حقيقية${\displaystyle S_{RE}+S_{RO},}$والعكس صحيح.
• تحويل دالة مترافقة مضادة للتناظر${\displaystyle (s_{_{RO}}+i\ s_{_{IE}})}$هي دالة ذات قيم تخيلية${\displaystyle i\ S_{IE}+i\ S_{IO},}$والعكس صحيح.

يعود شكل مبكر من أشكال المتسلسلات التوافقية إلى الرياضيات البابلية القديمة ، حيث استُخدمت لحساب جداول المواقع الفلكية. ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

كانت المفاهيم اليونانية الكلاسيكية للحامل والدائرة الفلكية في النظام البطلمي لعلم الفلك مرتبطة بسلسلة فورييه (انظر الحامل والدائرة الفلكية §  الشكلية الرياضية ).

في العصر الحديث، استُخدمت صيغ مختلفة من تحويل فورييه المنفصل من قِبل ألكسيس كليروت عام 1754 لحساب مدار، ^{[ 16 ]} والذي وُصف بأنه الصيغة الأولى لتحويل فورييه المنفصل، ^{[ 17 ]} وفي عام 1759 من قِبل جوزيف لويس لاغرانج ، لحساب معاملات متسلسلة مثلثية لوتر مهتز. ^{[ 17 ]} من الناحية التقنية، كان عمل كليروت عبارة عن متسلسلة جيب تمام فقط (شكل من أشكال تحويل جيب التمام المنفصل )، بينما كان عمل لاغرانج عبارة عن متسلسلة جيب فقط (شكل من أشكال تحويل الجيب المنفصل )؛ وقد استخدم غاوس تحويل فورييه المنفصل الحقيقي (جيب تمام + جيب) عام 1805 للاستيفاء المثلثي لمدارات الكويكبات . ^{[ 18 ]} قام كل من أويلر ولاغرانج بتقسيم مسألة الوتر المهتز، باستخدام ما يُسمى اليوم بالعينات. ^{[ 17 ]}

كان من بين التطورات الحديثة المبكرة نحو تحليل فورييه ورقة بحثية بعنوان " انعكاسات على الحل الجبري للمعادلات" (Réflexions sur la résolution algébrique des équations) للكاتب لاغرانج عام 1770، والتي استخدمت في طريقة حلول لاغرانج تحليل فورييه المعقد لدراسة حل معادلة تكعيبية : ^{[ 19 ]} قام لاغرانج بتحويل الجذور${\displaystyle x_{1},}$${\displaystyle x_{2},}$${\displaystyle x_{3}}$في المذيبات :

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=x_{1}+x_{2}+x_{3}\\r_{2}&=x_{1}+\zeta x_{2}+\zeta ^{2}x_{3}\\r_{3}&=x_{1}+\zeta ^{2}x_{2}+\zeta x_{3}\end{aligned}}}$

حيث ζ هو الجذر التكعيبي للوحدة ، وهو DFT من الرتبة 3.

استخدم عدد من المؤلفين، ولا سيما جان لو رون دالمبير وكارل فريدريش غاوس ، المتسلسلات المثلثية لدراسة معادلة الحرارة ، ^{[ 20 ]} لكن التطور الأبرز كان ورقة جوزيف فورييه البحثية المنشورة عام 1807 بعنوان " مذكرة حول انتشار الحرارة في الأجسام الصلبة" ، والتي تمثلت فكرته المحورية في نمذجة جميع الدوال باستخدام المتسلسلات المثلثية، مُدخلاً بذلك متسلسلة فورييه. وبشكل مستقل عن فورييه، قدّم عالم الفلك فريدريش فيلهلم بيسل أيضًا متسلسلة فورييه لحل معادلة كبلر . نُشر عمله عام 1819، دون أن يعلم بعمل فورييه الذي ظل غير منشور حتى عام 1822. ^{[ 21 ]}

ينقسم المؤرخون حول مدى إسهام لاغرانج وغيره في تطوير نظرية فورييه : فقد قدم دانيال برنولي وليونهارد أويلر تمثيلات مثلثية للدوال، وقدم لاغرانج حل متسلسلة فورييه لمعادلة الموجة، لذا فإن إسهام فورييه كان بشكل أساسي هو الادعاء الجريء بإمكانية تمثيل أي دالة بواسطة متسلسلة فورييه. ^{[ 17 ]}

يُعرف التطور اللاحق لهذا المجال باسم التحليل التوافقي ، وهو أيضًا مثال مبكر لنظرية التمثيل .

تم اكتشاف أول خوارزمية لتحويل فورييه السريع (FFT) لتحويل فورييه المنفصل (DFT) حوالي عام 1805 بواسطة كارل فريدريش جاوس عند استيفاء قياسات مدار الكويكبين جونو وبالاس ، على الرغم من أن خوارزمية FFT هذه تُنسب في أغلب الأحيان إلى مكتشفيها المعاصرين كولي وتوكي . ^{[ 18 ] [ 16 ]}

في مصطلحات معالجة الإشارات ، فإن الدالة (للزمن) هي تمثيل للإشارة بدقة زمنية مثالية ، ولكن بدون معلومات ترددية، بينما يتمتع تحويل فورييه بدقة ترددية مثالية ، ولكن بدون معلومات زمنية.

كبديل لتحويل فورييه، تُستخدم تحويلات الزمن والتردد في تحليل الزمن والتردد لتمثيل الإشارات بصيغة تتضمن معلومات زمنية وترددية، حيث يوجد توازن دقيق بينهما وفقًا لمبدأ عدم اليقين . ويمكن أن تكون هذه التحويلات تعميمات لتحويل فورييه، مثل تحويل فورييه قصير المدى ، أو تحويل غابور ، أو تحويل فورييه الكسري (FRFT)، أو قد تستخدم دوالًا مختلفة لتمثيل الإشارات، كما في تحويلات المويجات وتحويلات تشيربليت ، حيث يُعد تحويل المويجات المستمر نظيرًا لتحويل فورييه (المستمر) .

يمكن تعميم متغيرات فورييه لتشمل تحويلات فورييه على أي زمر طوبولوجية أبيلية محلية التراص ، والتي تُدرس في التحليل التوافقي ؛ حيث يحوّل تحويل فورييه الدوال على زمرة إلى دوال على الزمرة الثنائية. كما يتيح هذا الأسلوب صياغة عامة لنظرية الالتفاف ، التي تربط بين تحويلات فورييه والالتفافات . انظر أيضًا إلى ازدواجية بونترياجين للاطلاع على الأسس المعممة لتحويل فورييه.

وبشكل أكثر تحديدًا، يمكن إجراء تحليل فورييه على المجموعات المشاركة، ^{[ 22 ]} حتى المجموعات المشاركة المنفصلة.

• جداول التحويلات التكاملية في EqWorld: عالم المعادلات الرياضية.
• شرح بديهي لنظرية فورييه بقلم ستيفن ليهار.
• محاضرات في معالجة الصور: مجموعة من 18 محاضرة بصيغة PDF من جامعة فاندربيلت. تتناول المحاضرة السادسة تحويل فورييه أحادي وثنائي الأبعاد، وتستخدمه المحاضرات من 7 إلى 15. من تأليف آلان بيترز .
• موريارتي، فيليب؛ باولي، روجر (2009). "مجموع سيجما (وتحليل فورييه)" . ستون رمزًا . برادي هاران لجامعة نوتنغهام .
• مقدمة في تحليل فورييه للسلاسل الزمنية في المتوسط