تحويل فورييه قصير المدى

ببساطة، في حالة الزمن المستمر، تُضرب الدالة المراد تحويلها بدالة نافذة لا تساوي الصفر إلا لفترة زمنية قصيرة. ثم يُجرى تحويل فورييه (دالة أحادية البعد) للإشارة الناتجة، وبعد ذلك تُحرَّك النافذة على طول محور الزمن حتى النهاية، مما ينتج عنه تمثيل ثنائي الأبعاد للإشارة. رياضياً، يُكتب هذا على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {STFT} \{x(t)\}(\tau ,\omega )\equiv X(\tau ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)w(t-\tau )e^{-i\omega t}\,dt}$

أين${\displaystyle w(\tau )}$دالة النافذة هي عادةً نافذة هان أو نافذة غاوسية متمركزة حول الصفر، و${\displaystyle x(t)}$هي الإشارة المراد تحويلها (لاحظ الفرق بين دالة النافذة)${\displaystyle w}$والتردد${\displaystyle \omega }$).${\displaystyle X(\tau ,\omega )}$هو في الأساس تحويل فورييه لـ${\displaystyle x(t)w(t-\tau )}$دالة معقدة تمثل طور وسعة الإشارة مع مرور الوقت والتردد. غالبًا ما يُستخدم فك الطور على طول أحد محوري الزمن أو كليهما.${\displaystyle \tau }$ومحور التردد،${\displaystyle \omega }$، وذلك لكبح أي انقطاع مفاجئ في طور نتيجة تحويل فورييه قصير المدى. مؤشر الزمن${\displaystyle \tau }$يُعتبر عادةً وقتًا " بطيئًا " ولا يتم التعبير عنه عادةً بدقة عالية مثل الوقت${\displaystyle t}$. بالنظر إلى أن STFT هو في الأساس تحويل فورييه مضروب في دالة نافذة، فإن STFT يسمى أيضًا تحويل فورييه ذو النافذة أو تحويل فورييه المعتمد على الوقت.

في حالة الزمن المتقطع، يمكن تقسيم البيانات المراد تحويلها إلى أجزاء أو إطارات (تتداخل عادةً لتقليل التشوهات عند الحدود). يُجرى تحويل فورييه لكل جزء ، وتُضاف النتيجة المركبة إلى مصفوفة تسجل السعة والطور لكل نقطة في الزمن والتردد. ويمكن التعبير عن ذلك كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {STFT} \{x[n]\}(m,\omega )\equiv X(m,\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]w[nm]e^{-i\omega n}}$

وبالمثل، مع الإشارة${\displaystyle x[n]}$ونافذة${\displaystyle w[n]}$في هذه الحالة، يكون m منفصلاً وω متصلاً، ولكن في معظم التطبيقات النموذجية يتم إجراء STFT على جهاز كمبيوتر باستخدام تحويل فورييه السريع ، لذلك يكون كلا المتغيرين منفصلين ومكممين .

مربع قيمة تحويل فورييه قصير المدى (STFT) يعطي تمثيل الطيف الترددي لكثافة القدرة الطيفية للدالة:

${\displaystyle \operatorname {spectrogram} \{x(t)\}(\tau ,\omega )\equiv |X(\tau ,\omega )|^{2}}$

انظر أيضًا إلى تحويل جيب التمام المنفصل المعدل (MDCT)، وهو أيضًا تحويل مرتبط بفورييه يستخدم نوافذ متداخلة.

بالنظر إلى عرض وتعريف دالة النافذة w ( t )، فإننا نحتاج مبدئيًا إلى تغيير مقياس مساحة دالة النافذة بحيث

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )\,d\tau =1.}$

ويترتب على ذلك بسهولة أن

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w(t-\tau )\,d\tau =1\quad \forall \ t}$

و

${\displaystyle x(t)=x(t)\int _{-\infty }^{\infty }w(t-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(t)w(t-\tau )\,d\tau .}$

التحويل المستمر لفورييه هو

${\displaystyle X(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i\omega t}\,dt.}$

بالتعويض عن x ( t ) من الأعلى:

${\displaystyle X(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x(t)w(t-\tau )\,d\tau \right]\,e^{-i\omega t}\,dt}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x(t)w(t-\tau )\,e^{-i\omega t}\,d\tau \,dt.}$

تبديل ترتيب التكامل:

${\displaystyle X(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x(t)w(t-\tau )\,e^{-i\omega t}\,dt\,d\tau }$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x(t)w(t-\tau )\,e^{-i\omega t}\,dt\right]\,d\tau }$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }X(\tau ,\omega )\,d\tau .}$

لذا يمكن اعتبار تحويل فورييه بمثابة مجموع متماسك الطور لجميع تحويلات فورييه قصيرة المدى لـ x ( t ). وبما أن تحويل فورييه العكسي هو

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )e^{+i\omega t}\,d\omega ,}$

عندئذٍ يمكن استعادة x ( t ) من X (τ,ω) على النحو التالي:

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }X(\tau ,\omega )e^{+i\omega t}\,d\tau \,d\omega .}$

أو

${\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\tau ,\omega )e^{+i\omega t}\,d\omega \right]\,d\tau .}$

يمكن ملاحظة، بالمقارنة مع ما سبق، أن "الحبيبة" أو "الموجة" المُقاسة بإطار زمني لـ x ( t ) هي

${\displaystyle x(t)w(t-\tau )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\tau ,\omega )e^{+i\omega t}\,d\omega .}$

تحويل فورييه العكسي لـ X (τ,ω) لـ τ ثابت.

التعريف البديل الذي يكون صالحًا فقط في جوار τ، هو التحويل العكسي:

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{w(t-\tau )}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\tau ,\omega )e^{+i\omega t}\,d\omega .}$

بشكل عام، دالة النافذة${\displaystyle w(t)}$له الخصائص التالية:

(أ) التناظر الزوجي:${\displaystyle w(t)=w(-t)}$؛

(ب) غير متزايد (للوقت الموجب):${\displaystyle w(t)\geq w(s)}$لو${\displaystyle |t|\leq |s|}$؛

(ج) دعامة مدمجة:${\displaystyle w(t)}$يساوي الصفر عندما تكون قيمة |t| كبيرة.

عندما تكون الدالة الأصلية هي:

${\displaystyle X(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(t-\tau )x(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }$

يمكننا تقديم مثال بسيط:

w(t) = 1 عندما تكون قيمة |t| أصغر من أو تساوي B

w(t) = 0 فيما عدا ذلك

ب = نافذة

يمكن الآن تغيير الدالة الأصلية لتحويل فورييه قصير المدى إلى

${\displaystyle X(t,f)=\int _{t-B}^{t+B}x(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }$

مثال آخر:

باستخدام إشارة العينة التالية${\displaystyle x(t)}$وهو عبارة عن مجموعة من أربع موجات جيبية متصلة ببعضها البعض بالتتابع. تتكون كل موجة من تردد واحد فقط من بين أربعة ترددات (10، 25، 50، 100 هرتز ). تعريف${\displaystyle x(t)}$يكون:

${\displaystyle x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi 10t)&0\,\mathrm {s} \leq t<5\,\mathrm {s} \\\cos(2\pi 25t)&5\,\mathrm {s} \leq t<10\,\mathrm {s} \\\cos(2\pi 50t)&10\,\mathrm {s} \leq t<15\,\mathrm {s} \\\cos(2\pi 100t)&15\,\mathrm {s} \leq t<20\,\mathrm {s} \\\end{cases}}}$

ثم يتم أخذ عينات منها بتردد 400  هرتز. وقد تم إنتاج المخططات الطيفية التالية:

تتيح لنا نافذة الـ 25  مللي ثانية تحديد لحظة تغير الإشارات بدقة، لكن يصعب تحديد الترددات بدقة. وعلى النقيض، تتيح لنا نافذة الـ 1000 مللي ثانية رؤية الترددات بدقة، لكن الفاصل الزمني بين تغيرات التردد يكون غير واضح.

أمثلة أخرى:

${\displaystyle w(t)=exp(\sigma -t^{2})}$

عادةً ما نتصل${\displaystyle exp(\sigma -t^{2})}$دالة غاوسية أو دالة غابور. عند استخدامها، يُطلق على تحويل فورييه قصير المدى اسم "تحويل غابور".

ويمكن تفسير ذلك أيضاً بالرجوع إلى أخذ العينات وتردد نايكويست .

خذ نافذة من N عينة من إشارة حقيقية عشوائية بمعدل أخذ عينات f _s . ينتج عن إجراء تحويل فورييه N معاملًا مركبًا. من بين هذه المعاملات، نصفها فقط مفيد (المعامل الأخير N/2 هو المرافق المركب للمعامل الأول N/2 بترتيب عكسي، لأن هذه إشارة حقيقية).

تمثل معاملات N/2 هذه الترددات من 0 إلى f _s /2 (Nyquist) ويتم فصل معاملين متتاليين بمقدار f _s / N هرتز.

لزيادة دقة التردد للنافذة، يجب تقليل تباعد الترددات بين المعاملات. يوجد متغيران فقط، لكن تقليل f_{_s} (مع تثبيت N ) سيؤدي إلى زيادة حجم النافذة، نظرًا لانخفاض عدد العينات في وحدة الزمن. البديل الآخر هو زيادة N ، لكن هذا يؤدي أيضًا إلى زيادة حجم النافذة. لذا، فإن أي محاولة لزيادة دقة التردد تؤدي إلى زيادة حجم النافذة، وبالتالي انخفاض دقة الزمن، والعكس صحيح.