تحليل متعدد الدقة

يُعدّ تحليل الدقة المتعددة ( MRA ) أو تقريب المقاييس المتعددة ( MSA ) أسلوب التصميم لمعظم تحويلات المويجات المنفصلة (DWT) ذات الأهمية العملية، وهو الأساس المنطقي لخوارزمية تحويل المويجات السريع ( FWT). وقد طُرح هذا الأسلوب في هذا السياق عامي 1988/1989 على يد ستيفان مالات وإيف ماير ، وله سوابق في التحليل الميكرولوكالي في نظرية المعادلات التفاضلية ( طريقة الكي ) وطرق الهرم في معالجة الصور التي طُرحت عامي 1981/1983 على يد بيتر ج. بيرت وإدوارد هـ. أديلسون وجيمس ل. كراولي .

تحليل متعدد الدقة لفضاء ليبيغ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$يتكون من سلسلة من الفضاءات الفرعية المتداخلة

${\displaystyle \{0\}\subset \dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset \dots \subset V_{-n}\subset V_{-(n+1)}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}$

والتي تحقق علاقات التشابه الذاتي في الزمان والمكان والمقياس والتردد، بالإضافة إلى علاقات الاكتمال والانتظام.

• يتطلب التشابه الذاتي في الزمن أن يكون كل فضاء جزئي V _k ثابتًا تحت الإزاحات بمضاعفات صحيحة للعدد 2 k ^. أي، لكل${\displaystyle f\in V_{k},\;m\in \mathbb {Z} }$الدالة g المعرفة على النحو التالي:${\displaystyle g(x)=f(x-m2^{k})}$يحتوي أيضًا على${\displaystyle V_{k}}$.
• يتطلب التشابه الذاتي في المقياس أن تكون جميع الفضاءات الفرعية${\displaystyle V_{k}\subset V_{l},\;k>l,}$هي نسخ مُعدّلة زمنيًا من بعضها البعض، بمعامل تمدد 2k ^-l على التوالي . أي، لكل${\displaystyle f\in V_{k}}$يوجد${\displaystyle g\in V_{l}}$مع${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R}$ :\;g(x)=f(2^{kl}x)} .
• في سلسلة الفضاءات الفرعية، بالنسبة لـ k > l يكون دقة الفضاء 2 ^l للفضاء الفرعي l أعلى من دقة 2 ^k للفضاء الفرعي k .
• يقتضي الانتظام أن يتم توليد الفضاء الجزئي النموذجي V ₀ على أنه الغلاف الخطي ( مغلق جبريًا أو حتى طوبولوجيًا ) للإزاحات الصحيحة لدالة توليد واحدة أو عدد محدود من الدوال المولدة${\displaystyle \phi }$أو${\displaystyle \phi _{1},\dots ,\phi _{r}}$ينبغي أن تشكل هذه الإزاحات الصحيحة على الأقل إطارًا للفضاء الفرعي${\displaystyle V_{0}\subset L^{2}(\mathbb {R} )}$وهذا يفرض شروطًا معينة على التضاؤل ​​عند اللانهاية . تُعرف الدوال المولدة أيضًا بدوال القياس أو الموجات الأبوية . في معظم الحالات، يُشترط أن تكون هذه الدوال متصلة قطاعيًا وذات نطاق محدود .
• يقتضي الاكتمال أن تملأ تلك الفضاءات الفرعية المتداخلة الفضاء بأكمله، أي أن اتحادها يجب أن يكون كثيفًا في${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$وأنهم ليسوا زائدين عن الحاجة، أي أن تقاطعهم يجب أن يحتوي فقط على العنصر الصفري .

في حالة دالة قياس متصلة (أو على الأقل ذات تباين محدود) ذات دعم مضغوط مع إزاحات متعامدة، يمكن استخلاص عدد من الاستنتاجات. ويعود برهان وجود هذه الفئة من الدوال إلى إنغريد دوبيشيز .

بافتراض أن دالة القياس لها دعم مضغوط، فإن${\displaystyle V_{0}\subset V_{-1}}$وهذا يعني وجود سلسلة محدودة من المعاملات${\displaystyle a_{k}=2\langle \phi (x),\phi (2x-k)\rangle }$ل${\displaystyle |k|\leq N}$، و${\displaystyle a_{k}=0}$ل${\displaystyle |k|>N}$بحيث

${\displaystyle \phi (x)=\sum _{k=-N}^{N}a_{k}\phi (2x-k).}$

تعريف وظيفة أخرى، تُعرف باسم الموجة الأم أو ببساطة الموجة

${\displaystyle \psi (x):=\sum _{k=-N}^{N}(-1)^{k}a_{1-k}\phi (2x-k),}$

يمكن للمرء أن يوضح أن الفضاء${\displaystyle W_{0}\subset V_{-1}}$، والذي يُعرَّف بأنه الغلاف الخطي (المغلق) لإزاحات الموجة الأم الصحيحة، هو المكمل المتعامد لـ${\displaystyle V_{0}}$داخل${\displaystyle V_{-1}}$[ ^{1 ]} أو بعبارة أخرى ^،${\displaystyle V_{-1}}$هو المجموع المتعامد (يرمز له بـ${\displaystyle \oplus }$) ل${\displaystyle W_{0}}$و${\displaystyle V_{0}}$. وبسبب التشابه الذاتي، توجد نسخ مصغرة${\displaystyle W_{k}}$ل${\displaystyle W_{0}}$وبالكمال يكون المرء

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )={\mbox{إغلاق }}\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }W_{k},}$

وبالتالي المجموعة

${\displaystyle \{\psi _{k,n}(x)={\sqrt {2}}^{-k}\psi (2^{-k}xn):\;k,n\in \mathbb {Z} \}}$

هي أساس موجي متعامد كامل قابل للعد في${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$.

• طريقة الشبكة المتعددة
• النمذجة متعددة المقاييس
• مساحة المقياس
• تحليل الزمن والتردد
• الموجة الصغيرة

• تشوي، تشارلز ك. (1992). مقدمة في الموجات الصغيرة . سان دييغو: دار النشر الأكاديمية. ISBN 0-585-47090-1.
• أكانسو، أ.ن .؛ حداد، ر.أ. (1992). تحليل الإشارة متعددة الدقة: التحويلات، والنطاقات الفرعية، والمويجات . دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-047141-6.
• كراولي، جيه إل، (1982). تمثيلات للمعلومات البصرية ، أطروحة دكتوراه، جامعة كارنيجي ميلون، 1982.
• بوروس، سي إس ؛ جوبيناث، آر إيه؛ غو، إتش. (1997). مقدمة في الموجات الصغيرة وتحويلات الموجات الصغيرة: مدخل تمهيدي . برنتيس هول. ISBN 0-13-489600-9.
• مالات، إس جي (1999). جولة في معالجة الإشارات باستخدام الموجات الصغيرة . دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 0-12-466606-X.