الفضاء الفرعي الخطي

في الفضاء المتجهي V = R ³ ( الفضاء الإحداثي الحقيقي على حقل الأعداد الحقيقية R ) ، خذ W لتكون مجموعة جميع المتجهات في V التي يكون مكونها الأخير 0. عندئذٍ W هو فضاء جزئي من V.

دليل:

1. إذا كان _u و v ينتميان إلى W ، فيمكن التعبير عنهما على النحو التالي: u = (u₁, u₂ , 0 ₎ و _v = ( v₁ , v₂ , 0 ₎ . وبالتالي، فإن _{u +} v = ( u₁ + _v₁ , u₂ ₊ v₂ , 0 ) = ( u₁ ₊ v₁ , u₂ + v₂ , ₀ ) . إذن، u + v هو عنصر من عناصر _{W أيضًا} .
2. إذا كان لدينا u في W وعدد قياسي c في R ، وإذا كان u = (u1, u2 , 0 ₎ مرة _أخرى ، فإن c u = ( cu1 _, cu2 _, c0 ) = ( _cu1 , cu2 , ₀ ) . وبالتالي، فإن c u هو عنصر من W أيضًا.

لنفترض أن الحقل هو R مرة أخرى، ولكن لنفترض الآن ^أن الفضاء المتجهي V هو المستوى الديكارتي R² . ولنأخذ W كمجموعة النقاط ( x , y ) من R² بحيث x = y . عندئذٍ ^، W هو فضاء جزئي من R² ^.

دليل:

1. لنفترض _أن p = ( p1 _, p2 ₎ و q = ( q1 _, q2 ) عنصران من W ، أي نقطتان في المستوى بحيث p1 = _p2 و _q1 = q2 . إذن p + q = ( p1 ₊ q1 , p2 + _q2 ) ؛ _وبما أن p1 ₌ p2 و _{q1 =} q2 ، فإن _{p1 + q1} = p2 + q2 _، وبالتالي _فإن p ₊ q _عنصر من W.​​​_​
2. ليكن p = ( p1 _, p2 ₎ عنصرًا من W ، أي نقطة في المستوى بحيث يكون p1 = p2 _، وليكن c عددًا _{قياسيًا} في R. إذن cp = ( cp1 _, cp2 ₎ ؛ بما أن _p1 = _p2 ، فإن cp1 = _cp2 ، لذا فإن cp عنصر _من W.

بشكل عام، أي مجموعة جزئية من فضاء الإحداثيات الحقيقي R ⁿ تُعرَّف بنظام متجانس من المعادلات الخطية ستُنتج فضاءً جزئياً. (المعادلة في المثال الأول كانت z  =  0، والمعادلة في المثال الثاني كانت x  = y ). 

لنفترض مجددًا أن الحقل هو R ، ولكن الآن لنفترض أن الفضاء المتجهي V هو مجموعة جميع الدوال من R إلى ^R. ولتكن C( R ) المجموعة الجزئية التي تتكون من الدوال المتصلة . عندئذٍ ، تكون C( R ) فضاءً جزئيًا ^من R.

دليل:

1. نعلم من حساب التفاضل والتكامل أن 0 ∈ C( R ) ⊂ R ^R .
2. نعلم من حساب التفاضل والتكامل أن مجموع الدوال المتصلة يكون دالة متصلة.
3. مرة أخرى، نعلم من حساب التفاضل والتكامل أن حاصل ضرب دالة متصلة في عدد ما يكون متصلاً.

احتفظ بنفس الحقل والفضاء المتجهي كما في السابق، ولكن الآن انظر إلى مجموعة Diff( R ) التي تضم جميع الدوال القابلة للتفاضل . يُظهر نفس نوع الحجة السابقة أن هذه المجموعة هي فضاء جزئي أيضًا.

تُعد الأمثلة التي توسع هذه المواضيع شائعة في التحليل الوظيفي .

مجموعة حلول أي نظام متجانس من المعادلات الخطية ذات n متغيرات هي فضاء جزئي في فضاء الإحداثيات K ⁿ : $${\displaystyle \left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{6}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=0&\\&&&&&&&&&&&\vdots \quad &\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=0&\end{alignedat}}\right\}.}$$

على سبيل المثال، مجموعة جميع المتجهات ( x ، y ، z ) (على الأعداد الحقيقية أو النسبية ) التي تحقق المعادلات $${\displaystyle x+3y+2z=0\quad {\text{و}}\quad 2x-4y+5z=0}$$ هو فضاء جزئي أحادي البعد. وبشكل أعم، يعني هذا أنه بالنظر إلى مجموعة من n دالة مستقلة، فإن بُعد الفضاء الجزئي في K ^k سيكون بُعد المجموعة الصفرية لـ A ، وهي المصفوفة المركبة للدوال n .

في فضاء محدود الأبعاد، يمكن كتابة نظام متجانس من المعادلات الخطية على شكل معادلة مصفوفية واحدة:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} .}$

تُعرف مجموعة حلول هذه المعادلة بالفضاء الصفري للمصفوفة. على سبيل المثال، الفضاء الجزئي الموصوف أعلاه هو الفضاء الصفري للمصفوفة.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&-4&5\end{bmatrix}}.}$

يمكن وصف كل فضاء جزئي من K ⁿ بأنه الفضاء الصفري لبعض المصفوفات (انظر §  الخوارزميات أدناه لمزيد من المعلومات).

المجموعة الجزئية من K ⁿ الموصوفة بنظام من المعادلات الخطية المتجانسة ذات المعاملات هي فضاء جزئي:

${\displaystyle \left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{7}x_{1}&&\;=\;&&a_{11}t_{1}&&\;+\;&&a_{12}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1m}t_{m}&\\x_{2}&&\;=\;&&a_{21}t_{1}&&\;+\;&&a_{22}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2m}t_{m}&\\&&\vdots \;\;&&&&&&&&&&&\\x_{n}&&\;=\;&&a_{n1}t_{1}&&\;+\;&&a_{n2}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{nm}t_{m}&\\\end{alignedat}}{\text{ for some }}t_{1},\ldots ,t_{m}\in K\right\}.}$

على سبيل المثال، مجموعة جميع المتجهات ( x ، y ، z ) التي يتم تحديدها بواسطة المعادلات  

${\displaystyle x=2t_{1}+3t_{2},\;\;\;\;y=5t_{1}-4t_{2},\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;z=-t_{1}+2t_{2}}$

هو فضاء جزئي ثنائي الأبعاد من K ³ ، إذا كان K حقل أعداد (مثل الأعداد الحقيقية أو النسبية). ^{[ ملاحظة 2 ]}

في الجبر الخطي، يمكن كتابة نظام المعادلات البارامترية كمعادلة متجهة واحدة:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\;=\;t_{1}\!{\begin{bmatrix}2\\5\\-1\end{bmatrix}}+t_{2}\!{\begin{bmatrix}3\\-4\\2\end{bmatrix}}.}$

يُطلق على التعبير الموجود على اليمين اسم التركيبة الخطية للمتجهين (2،  5،  -1) و(3،  -4،  2). ويُقال إن هذين المتجهين يُولِّدان الفضاء الجزئي الناتج.

بشكل عام، فإن _{التركيبة} الخطية للمتجهات v1 ، _v2 ، _... ، vk هي أي متجه على الصورة التالية :    

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}.}$

تُسمى مجموعة جميع التركيبات الخطية الممكنة بالمدى :

${\displaystyle {\text{Span}}\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}=\left\{t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}:t_{1},\ldots ,t_{k}\in K\right\}.}$

إذا كانت المتجهات v1 _،  ...  ، vk تحتوي على n مركبة، فإن امتدادها هو فضاء جزئي من Kn ^. هندسيًا ، يكون الامتداد هو المستوى الممتد عبر نقطة الأصل في فضاء _ذي n بُعد ، والذي تحدده النقاط v1 _، ... ، vk _.    

مثال

يمكن تمثيل المستوى xz في الفضاء ثلاثي الأبعاد R³ بالمعادلات ^{التالية}

${\displaystyle x=t_{1},\;\;\;y=0,\;\;\;z=t_{2}.}$

باعتبارها فضاءً جزئياً، فإن المستوى xz يمتد بواسطة المتجهين (1،  0،  0) و(0،  0،  1). ويمكن كتابة كل متجه في المستوى xz كتركيبة خطية لهذين المتجهين.

${\displaystyle (t_{1},0,t_{2})=t_{1}(1,0,0)+t_{2}(0,0,1){\text{.}}}$

هندسياً، يتوافق هذا مع حقيقة أنه يمكن الوصول إلى كل نقطة على المستوى xz من نقطة الأصل عن طريق التحرك أولاً مسافة معينة في اتجاه (1،  0،  0) ثم التحرك مسافة معينة في اتجاه (0،  0،  1).

يمكن أيضًا كتابة نظام المعادلات الخطية البارامترية في فضاء محدود الأبعاد على شكل معادلة مصفوفية واحدة:

${\displaystyle \mathbf {x} =A\mathbf {t} \;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;A=\left[{\begin{alignedat}{2}2&&3&\\5&&\;\;-4&\\-1&&2&\end{alignedat}}\,\right]{\text{.}}}$

في هذه الحالة، يتكون الفضاء الجزئي من جميع القيم الممكنة للمتجه x . في الجبر الخطي ^، يُعرف هذا الفضاء الجزئي باسم فضاء الأعمدة (أو الصورة ) للمصفوفة A. وهو تحديدًا الفضاء الجزئي من Kⁿ المولد بواسطة متجهات أعمدة A.

فضاء الصفوف للمصفوفة هو الفضاء الجزئي الذي تولده متجهات صفوفها. ويكتسب فضاء الصفوف أهمية خاصة لأنه المتمم المتعامد للفضاء الصفري (انظر أدناه).

بشكل عام، يكون للفضاء الجزئي من Kⁿ المحدد بواسطة k ^من المعاملات (أو الممتد بواسطة k ^من المتجهات) بُعد k . ومع ذلك، توجد استثناءات لهذه القاعدة. على سبيل المثال، الفضاء الجزئي من K³ الممتد بواسطة المتجهات الثلاثة (1، 0، 0 )، (0، 0، 1)، و(2، 0، 3) هو ببساطة المستوى xz ، حيث تُوصف كل نقطة على المستوى بعدد لا نهائي من القيم المختلفة لـ t₁ _، t₂ _، t₃ _.      

بشكل عام، _تُسمى المتجهات v1 _،  ... ، vk  مستقلة خطيًا إذا 

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}\;\neq \;u_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +u_{k}\mathbf {v} _{k}}$

for ( t ₁ , t ₂ , ... , t _k ) ≠ ( u ₁ , u ₂ , ... , u _k ). ^{[ ملاحظة 3 ]} إذا كانت v ₁ , ..., v _k مستقلة خطيًا، فإن إحداثيات t ₁ , ..., t _k لمتجه في الفضاء الممتد تُحدد بشكل فريد.         

الأساس للفضاء الجزئي S هو مجموعة من المتجهات المستقلة خطيًا التي يمتد عليها الفضاء S. عدد عناصر الأساس يساوي دائمًا البعد الهندسي للفضاء الجزئي. يمكن تحويل أي مجموعة مولدة للفضاء الجزئي إلى أساس عن طريق إزالة المتجهات الزائدة (انظر قسم الخوارزميات أدناه لمزيد من المعلومات).

مثال

ليكن S الفضاء الجزئي من R ⁴ المعرف بالمعادلات

${\displaystyle x_{1}=2x_{2}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;x_{3}=5x_{4}.}$

إذن، المتجهان (2،  1،  0،  0) و(0،  0،  5،  1) يشكلان أساسًا لـ S. وعلى وجه الخصوص، يمكن كتابة كل متجه يحقق المعادلات المذكورة أعلاه بشكل فريد كتركيبة خطية من متجهي الأساس:

${\displaystyle (2t_{1},t_{1},5t_{2},t_{2})=t_{1}(2,1,0,0)+t_{2}(0,0,5,1).}$

الفضاء الجزئي S ثنائي الأبعاد. هندسياً، هو المستوى في R ⁴ الذي يمر عبر النقاط (0،  0،  0،  0)، (2،  1،  0،  0)، و(0،  0،  5،  1).

تحدد العلاقة الثنائية للاحتواء في نظرية المجموعات ترتيبًا جزئيًا على مجموعة جميع الفضاءات الفرعية (من أي بُعد).

لا يمكن أن يقع فضاء جزئي في أي فضاء جزئي ذي بُعد أقل. إذا كان بُعد U يساوي k ، وهو عدد محدود، وكان U ⊂ W ، فإن بُعد W يساوي k إذا وفقط إذا كان U = W.          

إذا كان لدينا فضاءان جزئيان U و W من فضاء متجهي V ، فإن تقاطعهما U  ∩ W := { v ∈ V : v عنصر من كل من U و W } هو أيضًا فضاء جزئي من V. ^{[ 10 ]}       

دليل:

1. ليكن v و w عنصرين من U  ∩ W. إذن، ينتمي v و w إلى كل من U و W. ولأن U فضاء جزئي، فإن v + w ينتمي إلى U. وبالمثل، ولأن W فضاء جزئي، فإن v + w ينتمي إلى W. وبالتالي، فإن v + w ينتمي إلى U ∩ W.         
2. ليكن v ينتمي إلى U  ∩ W ، وليكن c عددًا قياسيًا. عندئذٍ، ينتمي v إلى كلٍّ من U و W. وبما أن U و W فضاءان جزئيان، فإن c v ينتمي إلى كلٍّ من U و W.  
3. بما أن U و W فضاءات متجهة، فإن 0 ينتمي إلى كلتا المجموعتين. وبالتالي، فإن 0 ينتمي إلى U  ∩ W. 

لكل فضاء متجهي V ، فإن المجموعة { 0 } و V نفسها فضاءات جزئية من V. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

إذا كانت U و W فضاءات جزئية، فإن مجموعهما هو الفضاء الجزئي ^{[ 13 ] [ 14 ]}$${\displaystyle U+W=\left\{\mathbf {u} +\mathbf {w} \colon \mathbf {u} \in U,\mathbf {w} \in W\right\}.}$$

على سبيل المثال، مجموع خطين هو المستوى الذي يحتويهما معًا. ويحقق بُعد المجموع المتباينة التالية $${\displaystyle \max(\dim U,\dim W)\leq \dim(U+W)\leq \dim(U)+\dim(W).}$$

هنا، لا يتحقق الحد الأدنى إلا إذا احتوى أحد الفضاءين الجزئيين على الآخر، بينما يمثل الحد الأقصى الحالة الأكثر عمومية. ويرتبط بُعد التقاطع والمجموع بالمعادلة التالية: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).}$$

تكون مجموعة الفضاءات الجزئية مستقلة عندما يكون التقاطع الوحيد بين أي زوج من الفضاءات الجزئية هو الفضاء الجزئي التافه. المجموع المباشر هو مجموع الفضاءات الجزئية المستقلة، ويكتب على النحو التالي:${\displaystyle U\oplus W}$ويمكن إعادة صياغة ذلك بشكل مكافئ بالقول إن المجموع المباشر هو مجموع فضاء جزئي بشرط أن يساهم كل فضاء جزئي في امتداد المجموع. ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

بُعد المجموع المباشر${\displaystyle U\oplus W}$هو نفسه مجموع الفضاءات الجزئية، ولكن يمكن اختصاره لأن بُعد الفضاء الجزئي التافه يساوي صفرًا. ^{[ 20 ]}

$${\displaystyle \dim(U\oplus W)=\dim(U)+\dim(W)}$$

إن عمليتي التقاطع والجمع تجعلان مجموعة جميع الفضاءات الفرعية شبكة نمطية محدودة ، حيث يكون الفضاء الفرعي {0} ، وهو العنصر الأصغر ، عنصرًا محايدًا لعملية الجمع، ويكون الفضاء الفرعي المتطابق V ، وهو العنصر الأكبر، عنصرًا محايدًا لعملية التقاطع.

لو${\displaystyle V}$هو مساحة منتج داخلية و${\displaystyle N}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle V}$ثم المتمم المتعامد لـ${\displaystyle N}$، المشار إليه${\displaystyle N^{\perp }}$، هو فضاء جزئي أيضًا. ^{[ 21 ]} إذا${\displaystyle V}$هو ذو أبعاد محدودة و${\displaystyle N}$إذا كان فضاءً جزئياً، فإن أبعاد${\displaystyle N}$و${\displaystyle N^{\perp }}$تلبية العلاقة التكاملية${\displaystyle \dim(N)+\dim(N^{\perp })=\dim(V)}$^{[ 22 ]} علاوة على ذلك ، لا يوجد متجه متعامد مع نفسه، لذلك${\displaystyle N\cap N^{\perp }=\{0\}}$و${\displaystyle V}$هو المجموع المباشر لـ${\displaystyle N}$و${\displaystyle N^{\perp }}$[ ^{23 ] تطبيق المكملات} المتعامدة مرتين يعيد الفضاء الجزئي الأصلي:${\displaystyle (N^{\perp })^{\perp }=N}$لكل فضاء فرعي${\displaystyle N}$[ ^{24 ]​}

هذه العملية، التي تُفهم على أنها نفي (${\displaystyle \neg }$), يجعل شبكة الفضاءات الفرعية شبكة متعامدة مكملة (ربما لا نهائية ) (على الرغم من أنها ليست شبكة توزيعية).

في الفضاءات ذات الأشكال الثنائية الخطية الأخرى ، تظل بعض هذه النتائج صحيحة، ولكن ليس كلها. ففي الفضاءات شبه الإقليدية والفضاءات المتجهة التبسيطية ، على سبيل المثال، توجد مكملات متعامدة. ومع ذلك، قد تحتوي هذه الفضاءات على متجهات صفرية متعامدة مع نفسها، وبالتالي توجد فضاءات جزئية.${\displaystyle N}$بحيث${\displaystyle N\cap N^{\perp }\neq \{0\}}$ونتيجة لذلك، فإن هذه العملية لا تحول شبكة الفضاءات الفرعية إلى جبر بولياني (ولا جبر هيتينغ ).

أدخل مصفوفة A من الرتبة m  × n . 

قم بإخراج أساس للفضاء الصفّي للمصفوفة A.

1. استخدم عمليات الصفوف الأولية لوضع المصفوفة A في شكل صفوف متدرجة.
2. الصفوف غير الصفرية للشكل المتدرج هي أساس لفضاء الصفوف لـ A.

راجع المقال الخاص بمساحة الصفوف للاطلاع على مثال .

إذا وضعنا المصفوفة A في صيغة الصف المختزلة، فإن الأساس الناتج لفضاء الصف يُحدد بشكل فريد. وهذا يوفر خوارزمية للتحقق مما إذا كان فضاءا صف متساويين، وبالتالي، ما إذا كان فضاءان جزئيان من Kⁿ متساويين ^.

أدخل أساسًا { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } لفضاء جزئي S من K ⁿ ، ومتجه v مع n مكونات.

تحدد المخرجات ما إذا كان v عنصرًا من S

1. قم بإنشاء مصفوفة A بحجم ( k  +  1)  × n تكون صفوفها _هي المتجهات b1 _، ... ، bk و v .    
2. استخدم عمليات الصفوف الأولية لوضع المصفوفة A في شكل صفوف متدرجة.
3. إذا كان الشكل المتدرج يحتوي على صف من الأصفار، فإن المتجهات { b ₁ , ..., b _k , v } مرتبطة خطيًا، وبالتالي فإن v ∈ S .

أدخل مصفوفة A من الرتبة m  × n 

استخرج أساسًا لفضاء الأعمدة لـ A

1. استخدم عمليات الصفوف الأولية لوضع المصفوفة A في شكل صفوف متدرجة.
2. حدد أي أعمدة من الشكل المتدرج تحتوي على محاور . الأعمدة المقابلة في المصفوفة الأصلية تشكل أساسًا لفضاء الأعمدة.

راجع المقال الخاص بمساحة الأعمدة للاطلاع على مثال .

ينتج عن ذلك أساسٌ لفضاء الأعمدة، وهو مجموعة جزئية من متجهات الأعمدة الأصلية. ينجح هذا الأسلوب لأن الأعمدة ذات المحاور تُشكّل أساسًا لفضاء الأعمدة في الشكل المتدرج، كما أن اختزال الصفوف لا يُغيّر علاقات التبعية الخطية بين الأعمدة.

أدخل أساسًا { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } لفضاء جزئي S من K ⁿ ، ومتجهًا v ∈ S

أخرج الأرقام t1 _، t2 _، ... _، tk بحيث _يكون v = t1b1 + ... + _tkbk​_​​_​

1. قم بإنشاء مصفوفة موسعة A أعمدتها هي b ₁ ,..., b _k ، مع كون العمود الأخير هو v .
2. استخدم عمليات الصفوف الأولية لوضع المصفوفة A في شكل صفوف مختزلة.
3. عبّر عن العمود الأخير من الشكل المختزل للصفوف المتدرجة كتركيبة خطية للأعمدة k الأولى . المعاملات المستخدمة هي الأعداد المطلوبة t1 _، t2 _، ...، _tk . (يجب أن تكون هذه هي تحديدًا أول k مدخلات في العمود الأخير من الشكل المختزل للصفوف المتدرجة).

إذا كان العمود الأخير من شكل الصف المختزل يحتوي على عنصر محوري، فإن متجه الإدخال v لا يقع في S.

أدخل مصفوفة A من الرتبة m  × n . 

استخرج أساسًا للفضاء الصفري لـ A

1. استخدم عمليات الصفوف الأولية لوضع المصفوفة A في شكل صفوف مختزلة.
2. باستخدام صيغة الصف المختزل، حدد أي من المتغيرات x1 _، x2 _، ...، _xn هي متغيرات حرة. اكتب معادلات للمتغيرات التابعة بدلالة المتغيرات الحرة.
3. لكل متغير حر xᵢ _، اختر متجهًا في الفضاء الصفري بحيث يكون xᵢ = 1 _وتكون قيم المتغيرات الحرة المتبقية صفرًا. تشكل مجموعة المتجهات الناتجة أساسًا للفضاء الصفري للمصفوفة A.

راجع المقال الخاص بالفضاء الصفري للاطلاع على مثال .

بفرض وجود فضاءين جزئيين U و W من V ، فإن أساس المجموع${\displaystyle U+W}$والتقاطع${\displaystyle U\cap W}$يمكن حسابها باستخدام خوارزمية زاسنهاوس .

أدخل أساسًا { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } لفضاء جزئي S من K ⁿ

قم بإخراج مصفوفة ( n  − k ) × n التي يكون فضاءها الصفري هو S.   

1. أنشئ مصفوفة A تكون صفوفها b ₁ ، b ₂ ، ... ، b _k .
2. استخدم عمليات الصفوف الأولية لوضع المصفوفة A في شكل صفوف مختزلة.
3. لتكن c₁ _, c₂ _, ..., cₙ _أعمدة الشكل المختزل للصفوف. لكل عمود بدون محور، اكتب معادلة تعبر عن هذا العمود كتركيبة خطية للأعمدة ذات المحاور.
4. ينتج عن ذلك نظام متجانس من n − k معادلة خطية تتضمن المتغيرات c ₁ ,..., c _n . المصفوفة ( n − k ) × n المقابلة لهذا النظام هي المصفوفة المطلوبة ذات الفضاء الصفري S .

مثال

إذا كان الشكل المختزل للصفوف للمصفوفة A هو

${\displaystyle \left[{\begin{alignedat}{6}1&&0&&-3&&0&&2&&0\\0&&1&&5&&0&&-1&&4\\0&&0&&0&&1&&7&&-9\\0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0\end{alignedat}}\,\right]}$

إذن، تحقق متجهات الأعمدة c1 _، ...، c6 المعادلات التالية _:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {c} _{3}&=-3\mathbf {c} _{1}+5\mathbf {c} _{2}\\\mathbf {c} _{5}&=2\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}+7\mathbf {c} _{4}\\\mathbf {c} _{6}&=4\mathbf {c} _{2}-9\mathbf {c} _{4}\end{alignedat}}}$

ويترتب على ذلك أن متجهات الصفوف للمصفوفة A تحقق المعادلات

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x_{3}&=-3x_{1}+5x_{2}\\x_{5}&=2x_{1}-x_{2}+7x_{4}\\x_{6}&=4x_{2}-9x_{4}.\end{alignedat}}}$

على وجه الخصوص، تعتبر متجهات الصفوف للمصفوفة A أساسًا للفضاء الصفري للمصفوفة المقابلة.

• أنطون، هوارد (2005)، الجبر الخطي الابتدائي (نسخة التطبيقات) (  الطبعة التاسعة)، وايلي إنترناشونال
• أكسلر، شيلدون جاي (2015). الجبر الخطي بأسلوب صحيح (  الطبعة الثالثة). سبرينغر . ISBN 978-3-319-11079-0.
• بوريجارد، ريموند أ.؛ فرالي، جون ب. (1973)، دورة تمهيدية في الجبر الخطي: مع مقدمة اختيارية للمجموعات والحلقات والحقول ، بوسطن: شركة هوتون ميفلين ، رقم ISBN 0-395-14017-X
• هالموس، بول ريتشارد (1974) [1958]. فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة (  الطبعة الثانية). سبرينغر . ISBN 0-387-90093-4.
• هيفرون، جيم (2020). الجبر الخطي (  الطبعة الرابعة). دار النشر المتعامدة. رقم ISBN 978-1-944325-11-4.
• هيرستين، إنديانا (1964)، مواضيع في الجبر ، والتهام: شركة بلايسديل للنشر ، رقم ISBN 978-1114541016{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• كاتسنلسون, اسحق ; كاتسنلسون، يوناتان ر. (2008). (مقتضب) مقدمة في الجبر الخطي . جمعية الرياضيات الأمريكية . رقم ISBN 978-0-8218-4419-9.
• كريزيج، إروين (1972)، الرياضيات الهندسية المتقدمة (  الطبعة الثالثة)، نيويورك: وايلي ، رقم ISBN 0-471-50728-8
• لاي، ديفيد سي. (22 أغسطس 2005)، الجبر الخطي وتطبيقاته (  الطبعة الثالثة)، أديسون ويسلي، رقم ISBN 978-0-321-28713-7
• ليون، ستيفن ج. (2006)، الجبر الخطي مع التطبيقات (  الطبعة السابعة)، بيرسون برنتيس هول
• ماير، كارل د. (15 فبراير 2001)، تحليل المصفوفات والجبر الخطي التطبيقي ، جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية (SIAM)، رقم ISBN 978-0-89871-454-8تمت أرشفة هذا النص من النسخة الأصلية في 1 مارس 2001
• نيرينج، إيفار د. (1970)، الجبر الخطي ونظرية المصفوفات (الطبعة الثانية  )، نيويورك: وايلي ، LCCN 76091646 
• بول، ديفيد (2006)، الجبر الخطي: مقدمة حديثة (  الطبعة الثانية)، بروكس/كول، رقم ISBN 0-534-99845-3

• وايسشتاين، إريك وولفغانغ . "الفضاء الجزئي" . ماث وورلد . تم الاسترجاع في 16 فبراير 2021 .
• دوشاتو، بول (5 سبتمبر 2002). "حقائق أساسية حول فضاء هيلبرت" (ملف PDF) . جامعة ولاية كولورادو . تاريخ الاسترجاع: 17 فبراير 2021 .