الشكل الخطي

لنفترض أن المتجهات في فضاء الإحداثيات الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يتم تمثيلها كمتجهات عمودية $${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

لكل متجه صف${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}}$يوجد دالة خطية${\displaystyle f_{\mathbf {a} }}$محدد بواسطة $${\displaystyle f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},}$$ ويمكن التعبير عن كل دالة خطية بهذا الشكل.

يمكن تفسير ذلك إما على أنه حاصل ضرب المصفوفة أو حاصل الضرب النقطي لمتجه الصف${\displaystyle \mathbf {a} }$والمتجه العمودي${\displaystyle \mathbf {x} }$: $${\displaystyle f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

الأثر​${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$من مصفوفة مربعة${\displaystyle A}$هي مجموع جميع العناصر على قطرها الرئيسي . يمكن ضرب المصفوفات بأعداد قياسية، ويمكن جمع مصفوفتين من نفس البعد؛ تُنشئ هذه العمليات فضاءً متجهيًا من مجموعة جميع${\displaystyle n\times n}$المصفوفات. الأثر هو دالة خطية على هذا الفضاء لأن${\displaystyle \operatorname {tr} (sA)=s\operatorname {tr} (A)}$و${\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)}$لجميع الكميات القياسية${\displaystyle s}$وكل شيء${\displaystyle n\times n}$المصفوفات${\displaystyle A{\text{ و }}B.}$

ظهرت الدوال الخطية لأول مرة في التحليل الوظيفي ، وهو دراسة فضاءات المتجهات للدوال . ومن الأمثلة النموذجية على الدوال الخطية التكامل : وهو التحويل الخطي المعرف بتكامل ريمان.$${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$ هي دالة خطية من الفضاء المتجهي${\displaystyle C[a,b]}$الدوال المتصلة على الفترة${\displaystyle [a,b]}$إلى الأعداد الحقيقية. خطية${\displaystyle I}$ويستنتج ذلك من الحقائق القياسية المتعلقة بالتكامل: $${\displaystyle {\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).\end{aligned}}}$$

يترك${\displaystyle P_{n}}$يرمز إلى فضاء المتجهات للدوال متعددة الحدود ذات القيم الحقيقية من الدرجة${\displaystyle \leq n}$معرفة على فترة${\displaystyle [a,b].}$لو${\displaystyle c\in [a,b],}$ثم دع${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}:P_{n}\to \mathbb {R} }$كن وظيفيًا للتقييم$${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}f=f(c).}$$ رسم الخرائط${\displaystyle f\mapsto f(c)}$خطي لأن $${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c)\\(\alpha f)(c)&=\alpha f(c).\end{aligned}}}$$

لو${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$نكون${\displaystyle n+1}$نقاط متميزة في${\displaystyle [a,b],}$ثم دوال التقييم${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}},}$${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$تشكل أساسًا للفضاء الثنائي لـ${\displaystyle P_{n}}$( يثبت لاكس (1996) هذه الحقيقة الأخيرة باستخدام استيفاء لاغرانج ).

وظيفة${\displaystyle f}$له معادلة خط مستقيم${\displaystyle f(x)=a+rx}$مع${\displaystyle a\neq 0}$(على سبيل المثال،${\displaystyle f(x)=1+2x}$) ليس دالة خطية على${\displaystyle \mathbb {R} }$لأنه ليس خطيًا . ^{[ ملاحظة 2 ]} ومع ذلك، فهو خطي تآلفي .

لو${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$نكون${\displaystyle n+1}$إذا كانت النقاط متميزة في [ أ ، ب ] ، فإن الدوال الخطية${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}}:f\mapsto f\left(x_{i}\right)}$تشكل التعريفات المذكورة أعلاه أساسًا للفضاء الثنائي لـ P _n ، وهو فضاء كثيرات الحدود من الدرجة${\displaystyle \leq n.}$ الدالة التكاملية I هي أيضًا دالة خطية على P _n ، وبالتالي يمكن التعبير عنها كتركيبة خطية من عناصر الأساس هذه. بالرموز، توجد معاملات.${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$والتي $${\displaystyle I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})}$$ للجميع${\displaystyle f\in P_{n}.}$يشكل هذا أساس نظرية التربيع العددي . ^{[ 7 ]}

تُعدّ الدوال الخطية ذات أهمية خاصة في ميكانيكا الكم . تُمثَّل أنظمة ميكانيكا الكم بفضاءات هيلبرت ، وهي فضاءات متماثلة عكسيًا مع فضاءاتها الثنائية. يمكن تحديد حالة نظام ميكانيكا الكم بدالة خطية. لمزيد من المعلومات، انظر إلى ترميز برا-كيت .

في نظرية الدوال المعممة ، يمكن تحقيق أنواع معينة من الدوال المعممة التي تسمى التوزيعات كدوال خطية على فضاءات دوال الاختبار .

ليكن للفضاء المتجهي V أساس${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$، ليس بالضرورة متعامدًا . ثم الفضاء الثنائي${\displaystyle V^{*}}$له أساس${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}}$يُطلق عليه الأساس الثنائي المحدد بالخاصية الخاصة التي $${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\begin{cases}1&{\text{if}}\ i=j\\0&{\text{if}}\ i\neq j.\end{cases}}}$$

أو باختصار أكثر، $${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{ij}}$$

أين${\displaystyle \delta _{ij}}$هي دالة كرونكر دلتا . هنا، لا تمثل الأرقام العلوية للدوال الأساسية الأسس، بل هي مؤشرات متغايرة .

دالة خطية${\displaystyle {\tilde {u}}}$ينتمي إلى الفضاء المزدوج${\displaystyle {\tilde {V}}}$يمكن التعبير عنها كمزيج خطي من الدوال الأساسية، بمعاملات (مكونات) u _i ، $${\displaystyle {\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}.}$$

ثم تطبيق الوظيفة${\displaystyle {\tilde {u}}}$إلى متجه أساسي${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$العائد $${\displaystyle {\tilde {u}}(\mathbf {e} _{j})=\sum _{i=1}^{n}\left(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}\right)\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left(\mathbf {e} _{j}\right)\right]}$$

بسبب خطية المضاعفات العددية للدوال وخطية مجاميع الدوال عند نقاط محددة. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {u}}({\mathbf {e} }_{j})&=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\mathbf {e} }_{j}\right)\right]\\&=\sum _{i}u_{i}{\delta }_{ij}\\&=u_{j}.\end{aligned}}}$$

لذا يمكن استخراج كل مكون من مكونات الدالة الخطية عن طريق تطبيق الدالة على متجه الأساس المقابل.

عندما يحمل الفضاء V جداءً داخليًا ، فإنه من الممكن كتابة صيغة صريحة للأساس الثنائي لأساس معين. ليكن V أساسًا (ليس بالضرورة متعامدًا).${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}.}$في ثلاثة أبعاد ( n = 3 )، يمكن كتابة الأساس الثنائي بشكل صريح. $${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\left\langle {\frac {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}\,(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})}{\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}},\mathbf {v} \right\rangle ,}$$ ل${\displaystyle i=1,2,3,}$حيث ε هو رمز ليفي-تشيفيتا و${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$الضرب الداخلي (أو الضرب النقطي ) على V.

في الأبعاد الأعلى، يُعمم هذا على النحو التالي: $${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )=\left\langle {\frac {\sum _{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star \mathbf {e} _{i_{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{i_{n}})}{\star (\mathbf {e} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{n})}},\mathbf {v} \right\rangle ,}$$ أين${\displaystyle \star }$هو مشغل النجم هودج .

كل دالة خطية على${\displaystyle X}$هي ذات قيم مركبة بينما كل دالة خطية على${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ذات قيمة حقيقية. إذا${\displaystyle \dim X\neq 0}$ثم دالة خطية على أي من${\displaystyle X}$أو${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$غير تافه (بمعنى ليس متطابقًا)${\displaystyle 0}$) إذا وفقط إذا كانت شاملة (لأن إذا${\displaystyle \varphi (x)\neq 0}$ثم لأي كمية قياسية${\displaystyle s,}$${\displaystyle \varphi \left((s/\varphi (x))x\right)=s}$حيث صورة دالة خطية على${\displaystyle X}$يكون${\displaystyle \mathbb {C} }$بينما صورة الدالة الخطية على${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$يكون${\displaystyle \mathbb {R} .}$ وبالتالي، فإن الوظيفة الوحيدة على${\displaystyle X}$هذا دالة خطية على${\displaystyle X}$ودالة خطية على${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$هي الدالة التافهة؛ بعبارة أخرى،${\displaystyle X^{\#}\cap X_{\mathbb {R} }^{\#}=\{0\},}$أين${\displaystyle \,{\cdot }^{\#}}$يشير إلى الفضاء الثنائي الجبري للفضاء . ومع ذلك، كل${\displaystyle \mathbb {C} }$- دالة خطية على${\displaystyle X}$هو${\displaystyle \mathbb {R} }$-مؤثر خطي (بمعنى أنه جمعي ومتجانس على${\displaystyle \mathbb {R} }$)، ولكن ما لم يكن متطابقًا تمامًا${\displaystyle 0,}$ليس كذلك${\displaystyle \mathbb {R} }$- دالة خطية على${\displaystyle X}$لأن مداها (وهو${\displaystyle \mathbb {C} }$) ثنائي الأبعاد على${\displaystyle \mathbb {R} .}$وعلى العكس من ذلك، فإن القيمة غير الصفرية${\displaystyle \mathbb {R} }$- الدالة الخطية لها مدى صغير جدًا بحيث لا يمكن اعتبارها${\displaystyle \mathbb {C} }$-الدوال الخطية أيضًا.

لو${\displaystyle \varphi \in X^{\#}}$ثم نرمز إلى الجزء الحقيقي منه بـ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }$وجزئها الخيالي بواسطة${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .}$ ثم${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:X\to \mathbb {R} }$و${\displaystyle \varphi _{i}:X\to \mathbb {R} }$هي دوال خطية على${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$و${\displaystyle \varphi =\varphi _{\mathbb {R} }+i\varphi _{i}.}$ حقيقة أن${\displaystyle z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz)=\operatorname {Im} (iz)+i\operatorname {Im} z}$للجميع${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$وهذا يعني أنه بالنسبة للجميع${\displaystyle x\in X,}$^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\varphi (x)&=\varphi _{\mathbb {R} }(x)-i\varphi _{\mathbb {R} }(ix)\\&=\varphi _{i}(ix)+i\varphi _{i}(x)\\\end{alignedat}}}$$ وبالتالي، فإن${\displaystyle \varphi _{i}(x)=-\varphi _{\mathbb {R} }(ix)}$و${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\varphi _{i}(ix).}$^{[ 11 ]}

المهمة${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi _{\mathbb {R} }}$يُعرّف الدالة التقابلية ^{[ 11 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$عامل خطي${\displaystyle X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}}$والتي معكوسها هو الخريطة${\displaystyle L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$محدد من خلال التعيين${\displaystyle g\mapsto L_{g}}$هذا يرسل${\displaystyle g:X_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} }$إلى الدالة الخطية${\displaystyle L_{g}:X\to \mathbb {C} }$محدد بواسطة $${\displaystyle L_{g}(x):=g(x)-ig(ix)\quad {\text{ for all }}x\in X.}$$ الجزء الحقيقي من${\displaystyle L_{g}}$يكون${\displaystyle g}$والتقابل${\displaystyle L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$هو${\displaystyle \mathbb {R} }$عامل خطي، بمعنى أن${\displaystyle L_{g+h}=L_{g}+L_{h}}$و${\displaystyle L_{rg}=rL_{g}}$للجميع${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$و${\displaystyle g,h\in X_{\mathbb {R} }^{\#}.}$^{[ 11 ]} وبالمثل بالنسبة للجزء التخيلي، فإن التعيين${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi _{i}}$يحفز${\displaystyle \mathbb {R} }$-التقابل الخطي${\displaystyle X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}}$والتي معكوسها هو الخريطة${\displaystyle X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$يتم تحديده عن طريق الإرسال${\displaystyle I\in X_{\mathbb {R} }^{\#}}$إلى الدالة الخطية على${\displaystyle X}$محدد بواسطة${\displaystyle x\mapsto I(ix)+iI(x).}$

اكتشف هنري لويغ هذه العلاقة عام 1934 (مع أنها تُنسب عادةً إلى ف. موراي)، ^{[ 12 ]} ويمكن تعميمها على أي امتدادات منتهية لحقل ما بطريقة طبيعية. ولها العديد من النتائج المهمة، سنشرح بعضها الآن.

يفترض${\displaystyle \varphi :X\to \mathbb {C} }$دالة خطية على${\displaystyle X}$مع جزء حقيقي${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }$وجزء خيالي${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .}$

ثم${\displaystyle \varphi =0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \varphi _{i}=0.}$

افترض أن${\displaystyle X}$هو فضاء متجهي طوبولوجي . إذن${\displaystyle \varphi }$تكون متصلة إذا وفقط إذا كان الجزء الحقيقي${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }}$تكون متصلة، إذا وفقط إذا${\displaystyle \varphi }$الجزء الخيالي${\displaystyle \varphi _{i}}$متصلة. أي أن جميع الثلاثة${\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },}$و${\displaystyle \varphi _{i}}$إما أن تكون متصلة أو لا تكون أي منها متصلة. ويبقى هذا صحيحًا حتى لو استُبدلت كلمة "متصلة" بكلمة " محدودة ". على وجه الخصوص،${\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }}$حيث تشير العلامة (') إلى الفضاء الثنائي المستمر للفضاء . ^{[ 10 ]}

يترك${\displaystyle B\subseteq X.}$لو${\displaystyle uB\subseteq B}$لجميع الكميات القياسية${\displaystyle u\in \mathbb {C} }$وحدة طول (بمعنى${\displaystyle |u|=1}$) ثم ^{[ الإثبات 1 ] [ 13 ]}$${\displaystyle \sup _{b\in B}|\varphi (b)|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|.}$$ وبالمثل، إذا${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi :X\to \mathbb {R} }$يشير إلى الجزء المعقد من${\displaystyle \varphi }$ثم${\displaystyle iB\subseteq B}$يشير إلى$${\displaystyle \sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{i}(b)\right|.}$$ لو${\displaystyle X}$هو فضاء معياري ذو معيار${\displaystyle \|\cdot \|}$وإذا${\displaystyle B=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}$إذا كانت الكرة المغلقة ذات الوحدة هي ، فإن القيم العليا المذكورة أعلاه هي معايير المؤثرات (المعرفة بالطريقة المعتادة) لـ${\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },}$و${\displaystyle \varphi _{i}}$بحيث ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \|\varphi \|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|=\left\|\varphi _{i}\right\|.}$$ يمتد هذا الاستنتاج إلى البيان المماثل للأقطاب الخاصة بالمجموعات المتوازنة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية العامة .

• لو${\displaystyle X}$هو فضاء هيلبرت معقد ذو جداء داخلي (معقد)${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle }$أي أن الدالة مضادة للخطية في إحداثيتها الأولى (وخطية في الثانية)${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$يصبح فضاء هيلبرت حقيقيًا عندما يُزوَّد بالجزء الحقيقي من${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle .}$بشكل صريح، هذا المنتج الداخلي الحقيقي على${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle \langle x|y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \langle x|y\rangle }$للجميع${\displaystyle x,y\in X}$ويفرض ذلك نفس المعيار على${\displaystyle X}$مثل${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle }$لأن${\displaystyle {\sqrt {\langle x|x\rangle _{\mathbb {R} }}}={\sqrt {\langle x|x\rangle }}}$لجميع المتجهات${\displaystyle x.}$تطبيق نظرية تمثيل ريز على${\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}$(ردًا على${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }}$يضمن وجود متجه فريد${\displaystyle f_{\varphi }\in X}$(على التوالي)${\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\in X_{\mathbb {R} }}$) بحيث${\displaystyle \varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }|\,x\right\rangle }$(على التوالي)${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}|\,x\right\rangle _{\mathbb {R} }}$) لجميع المتجهات${\displaystyle x.}$تضمن النظرية أيضًا أن${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\|\varphi \|_{X^{\prime }}}$و${\displaystyle \left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }}.}$من السهل التحقق من ذلك${\displaystyle f_{\varphi }=f_{\varphi _{\mathbb {R} }}.}$الآن${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|}$وتدل المساواة السابقة على أن${\displaystyle \|\varphi \|_{X^{\prime }}=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }},}$وهو نفس الاستنتاج الذي تم التوصل إليه أعلاه.

تتمتع الدوال الخطية المتصلة بخصائص جيدة للتحليل : فالدالة الخطية تكون متصلة إذا وفقط إذا كانت نواتها مغلقة، ^{[ 15 ]} والدالة الخطية المتصلة غير التافهة هي دالة مفتوحة ، حتى لو لم يكن الفضاء المتجهي (الطوبولوجي) كاملاً. ^{[ 16 ]}

يمكن تمديد أي دالة خطية (جبرية) على فضاء جزئي متجهي إلى الفضاء بأكمله؛ على سبيل المثال، يمكن تمديد دوال التقييم الموصوفة أعلاه إلى فضاء المتجهات لكثيرات الحدود على جميع${\displaystyle \mathbb {R} .}$ مع ذلك، لا يمكن دائمًا إجراء هذا التوسيع مع الحفاظ على استمرارية الدالة الخطية. تُقدّم عائلة نظريات هان-باناخ الشروط التي يُمكن في ظلها إجراء هذا التوسيع. على سبيل المثال،

ليكن X فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا (TVS) ذو فضاء ثنائي متصل${\displaystyle X'.}$

لأي مجموعة جزئية H من${\displaystyle X',}$ما يلي متكافئ: ^{[ 20 ]}

1. H متصلة بشكل متساوٍ ؛
2. يقع H في المنطقة القطبية لبعض الجوار من${\displaystyle 0}$في X ؛
3. المنطقة (ما قبل) القطبية لـ H هي جوار لـ${\displaystyle 0}$في X ؛

إذا كانت H مجموعة جزئية متساوية الاستمرارية من${\displaystyle X'}$إذن، فإن المجموعات التالية تكون أيضًا متساوية الاستمرارية: الإغلاق الضعيف* ، والغطاء المتوازن ، والغطاء المحدب ، والغطاء المحدب المتوازن . ^{[ 20 ]} علاوة على ذلك، تنص نظرية ألا أوغلو على أن الإغلاق الضعيف* لمجموعة فرعية متساوية الاستمرارية من ${\displaystyle X'}$هي مجموعة ضعيفة-* متراصة (وبالتالي فإن كل مجموعة جزئية متساوية الاستمرارية تكون ضعيفة-* متراصة نسبيًا). ^{[ 21 ] [ 20 ]}