وحدة إسقاطية

📅 آخر تحديث: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 40 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وخاصة في الجبر ، تُوسّع فئة الوحدات الإسقاطية فئة الوحدات الحرة (أي الوحدات ذات متجهات الأساس ) على حلقة ، مع الحفاظ على بعض الخصائص الرئيسية للوحدات الحرة. تظهر أدناه توصيفات مكافئة مختلفة لهذه الوحدات.

كل وحدة حرة هي وحدة إسقاطية، لكن العكس لا ينطبق على بعض الحلقات، مثل حلقات ديديكيند التي ليست مجالات مثالية رئيسية . مع ذلك، كل وحدة إسقاطية هي وحدة حرة إذا كانت الحلقة مجالًا مثاليًا رئيسيًا مثل الأعداد الصحيحة ، أو حلقة متعددة الحدود (متعددة المتغيرات) على حقل (وهذه هي نظرية كويلين-سوسلين ).

تم تقديم الوحدات الإسقاطية لأول مرة في عام 1956 في كتاب الجبر المتجانس المؤثر لهنري كارتان وصموئيل إيلنبرغ .

التعريفات

رفع الممتلكات

التعريف النظري المعتاد للفئات يعتمد على خاصية الرفع التي تنتقل من الوحدات الحرة إلى الوحدات الإسقاطية: الوحدة P إسقاطية إذا وفقط إذا كان لكل تشاكل وحدات شامل f : N ↠ M ولكل تشاكل وحدات g : P → M ، يوجد تشاكل وحدات h : P → N بحيث يكون fh = g . (لا نشترط أن يكون تشاكل الرفع h وحيدًا؛ فهذه ليست خاصية شاملة ).   

تكمن ميزة هذا التعريف لـ "الإسقاطي" في إمكانية تطبيقه على فئات أعم من فئات الوحدات النمطية : فنحن لسنا بحاجة إلى مفهوم "الكائن الحر". كما يمكن صياغته ثنائياً ، مما يؤدي إلى وحدات نمطية حقنية . ويمكن إعادة صياغة خاصية الرفع على أنها كل تشاكل منP{\displaystyle P}لم{\displaystyle M}العوامل من خلال كل عملية تحول إلىم{\displaystyle M}وبالتالي، بحسب التعريف، فإن الوحدات الإسقاطية هي بالضبط الكائنات الإسقاطية في فئة الوحدات R.

تسلسلات الانقسام الدقيق

تكون الوحدة النمطية P إسقاطية إذا وفقط إذا كان كل تسلسل تام قصير من الوحدات النمطية على الشكل

0→أ→ب→P→0{\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow P\rightarrow 0}

هي متتالية تامة منقسمة . أي أنه لكل تشاكل نمطي شامل f  : B ↠ P، يوجد تطبيق مقطعي ، أي تشاكل نمطي h  : P → B بحيث يكون fh = id P. في هذه الحالة، يكون h ( P ) عنصرًا مباشرًا في B ، ويكون h تشاكلًا من P إلى h ( P ) ، ويكون hf إسقاطًا على العنصر h ( P ) . بصورة مكافئة،

ب=أنا⁡(ح)⊕كير⁡(و)   أين كير⁡(و)≅أ  و أنا⁡(ح)≅P.{\displaystyle B=\operatorname {Im} (h)\oplus \operatorname {Ker} (f)\ \ {\text{ حيث }}\operatorname {Ker} (f)\cong A\ {\text{ و }}\operatorname {Im} (h)\cong P.}

المجموع المباشر للوحدات الحرة

تكون الوحدة النمطية P إسقاطية إذا وفقط إذا كانت هناك وحدة نمطية أخرى Q بحيث يكون المجموع المباشر لـ P و Q وحدة نمطية حرة.

دقة

تكون الوحدة النمطية P على R إسقاطية إذا وفقط إذا كان المؤثر المتغير Hom( P , -): R - Mod → Ab مؤثرًا تامًا ، حيث R - Mod هي فئة الوحدات النمطية اليسرى على R و Ab هي فئة الزمر الأبيلية . عندما تكون الحلقة R تبديلية ، يُستعاض عن Ab بـ R - Mod في التوصيف السابق. هذا المؤثر تام دائمًا من اليسار ، ولكن عندما تكون P إسقاطية، يكون تامًا من اليمين أيضًا. هذا يعني أن P إسقاطية إذا وفقط إذا حافظ هذا المؤثر على التشاكلات الشاملة (التشاكلات المتجانسة)، أو إذا حافظ على النهايات المشتركة المنتهية .

أساس مزدوج

تكون الوحدة P إسقاطية إذا وفقط إذا وُجدت مجموعة{أأنا∈P|أنا∈أنا}{\displaystyle \{a_{i}\in P\mid i\in I\}}ومجموعة{وأنا∈حoم(P،R)|أنا∈أنا}{\displaystyle \{f_{i}\in \mathrm {Hom} (P,R)\mid i\in I\}}بحيث يكون لكل x في P ، فإن f i ( x ) لا يساوي الصفر إلا لعدد محدود من i ، وx=∑وأنا(x)أأنا{\displaystyle x=\sum f_{i}(x)a_{i}}.

أمثلة وخصائص أساسية

يمكن استنتاج الخصائص التالية للوحدات الإسقاطية بسرعة من أي من التعريفات (المكافئة) المذكورة أعلاه للوحدات الإسقاطية:

  • المجاميع المباشرة والمجاميع المباشرة للوحدات الإسقاطية هي إسقاطية.
  • إذا كان e = e 2 عنصرًا متساوي القوة في الحلقة R ، فإن Re عبارة عن وحدة إسقاطية يسارية فوق R.

يتركR=R1×R2{\displaystyle R=R_{1}\times R_{2}}ليكن الناتج المباشر لحلقتينR1{\displaystyle R_{1}}وR2،{\displaystyle R_{2},}وهي حلقة تُعرَّف عملياتها على مستوى كل عنصر. ليكنهـ1=(1،0){\displaystyle e_{1}=(1,0)}وهـ2=(0،1).{\displaystyle e_{2}=(0,1).}ثمهـ1{\displaystyle e_{1}}وهـ2{\displaystyle e_{2}}هي عناصر متطابقة، وتنتمي إلى مركزR.{\displaystyle R.}المثل العليا ذات الجانبينRهـ1{\displaystyle Re_{1}}وRهـ2{\displaystyle Re_{2}}هي وحدات إسقاطية، لأن مجموعها المباشر ( كوحدات R ) يساوي وحدة R الحرة R. ومع ذلك، إذاR1{\displaystyle R_{1}}وR2{\displaystyle R_{2}}إذا كانت غير تافهة، فإنها لا تُعتبر وحدات مجانية.R{\displaystyle R}. على سبيل المثالZ/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }هو إسقاطي ولكنه ليس حراً.Z/6Z{\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }.

العلاقة بخصائص نظرية الوحدات الأخرى

تُدرج العلاقة بين الوحدات الإسقاطية والوحدات الحرة والمسطحة في الرسم التخطيطي التالي لخصائص الوحدات:

خصائص الوحدات في الجبر التبادلي

تكون الاستلزامات من اليسار إلى اليمين صحيحة على أي حلقة، مع أن بعض المؤلفين يُعرّفون الوحدات الخالية من الالتواء فقط على نطاق معين . أما الاستلزامات من اليمين إلى اليسار فتكون صحيحة على الحلقات التي تحمل هذا الاسم. وقد توجد حلقات أخرى تكون صحيحة عليها. على سبيل المثال، الاستلزام المسمى " حلقة محلية أو PID" صحيح أيضًا لحلقات كثيرات الحدود (متعددة المتغيرات) على حقل ما : وهذا ما يُعرف بنظرية كويلين-سوسلين .

الوحدات الإسقاطية مقابل الوحدات الحرة

أي وحدة حرة هي إسقاطية. والعكس صحيح في الحالات التالية:

لكن بشكل عام، لا يشترط أن تكون الوحدات الإسقاطية مجانية:

إن الفرق بين الوحدات الحرة والوحدات الإسقاطية، بمعنى ما، يتم قياسه بواسطة مجموعة نظرية K الجبرية K 0 ( R )؛ انظر أدناه.

الوحدات الإسقاطية مقابل الوحدات المسطحة

كل وحدة إسقاطية مسطحة . [ 1 ] والعكس ليس صحيحًا بشكل عام: فالمجموعة الأبيلية Q هي وحدة Z مسطحة، ولكنها ليست إسقاطية. [ 2 ]

وعلى العكس من ذلك، فإن الوحدة المسطحة ذات الصلة المحدودة تكون إسقاطية. [ 3 ]

أثبت جوفوروف (1965) ولازارد (1969) أن الوحدة النمطية M مسطحة إذا وفقط إذا كانت نهاية مباشرة للوحدات النمطية الحرة المولدة بشكل محدود .

بشكل عام، تم تحديد العلاقة الدقيقة بين التسطيح والإسقاطية بواسطة رينو وغروسون (1971) (انظر أيضًا درينفيلد (2006) وبراونلينغ ، غروتشينغ وولفسون (2016) ) الذين أظهروا أن الوحدة النمطية M تكون إسقاطية إذا وفقط إذا كانت تفي بالشروط التالية:

يمكن استخدام هذا التوصيف لإظهار أنه إذاR→S{\displaystyle R\to S}هي خريطة مسطحة بدقة للحلقات التبادلية وم{\displaystyle M}هوR{\displaystyle R}-وحدة، ثمم{\displaystyle M}تكون إسقاطية إذا وفقط إذام⊗RS{\displaystyle M\otimes _{R}S}[ 4 ] بعبارة أخرى، فإن خاصية كونها إسقاطية تحقق الهبوط المسطح الأمين .

فئة الوحدات الإسقاطية

لا يشترط أن تكون الوحدات الفرعية للوحدات الإسقاطية إسقاطية؛ تسمى الحلقة R التي تكون فيها كل وحدة فرعية من وحدة إسقاطية يسارية إسقاطية بالحلقة الوراثية اليسارية .

لا يشترط أن تكون خارج قسمة الوحدات الإسقاطية إسقاطية أيضًا، على سبيل المثال Z / n هو خارج قسمة Z ، ولكنه ليس خاليًا من الالتواء ، وبالتالي ليس مسطحًا، وبالتالي ليس إسقاطيًا.

تُعد فئة الوحدات الإسقاطية المولدة بشكل نهائي على حلقة فئة تامة . (انظر أيضًا نظرية K الجبرية ).

القرارات الإسقاطية

بالنظر إلى وحدة نمطية M ، فإن التحليل الإسقاطي لـ M هو متتالية تامة لانهائية من الوحدات النمطية

⋅ ⋅ ⋅ → P n → ⋅ ⋅ ⋅ → P 2 → P 1 → P 0 → M → 0,

مع كون جميع وحدات P إسقاطية . يمتلك كل نموذج حلاً إسقاطياً. في الواقع، يوجد حل حر (حل بواسطة نماذج حرة). يمكن اختصار التسلسل الدقيق للنماذج الإسقاطية أحيانًا إلى P ( M ) → M → 0 أو P • → M → 0. مثال كلاسيكي على الحل الإسقاطي هو مُركّب كوزول لتسلسل منتظم ، وهو حل حر للمثالي المُوَلَّد بواسطة التسلسل.

طول التحليل المحدود هو الدليل n الذي يجعل P <sub> n</sub> غير صفري و P <sub>i</sub> = 0 لكل i أكبر من n . إذا كان M يقبل تحليلًا إسقاطيًا محدودًا، يُسمى أقصر طول بين جميع التحليلات الإسقاطية المحدودة لـ M بالبعد الإسقاطي ويُرمز له بـ pd( M ). إذا كان M لا يقبل تحليلًا إسقاطيًا محدودًا، يُقال اصطلاحًا أن البعد الإسقاطي غير محدود. على سبيل المثال، لنفترض وحدة نمطية M بحيث pd( M ) = 0. في هذه الحالة، تشير دقة المتتالية 0 → P<sub> 0</sub> → M → 0 إلى أن السهم في المركز هو تماثل، وبالتالي فإن M نفسه إسقاطي.

الوحدات الإسقاطية فوق الحلقات التبادلية

تتمتع الوحدات الإسقاطية فوق الحلقات التبادلية بخصائص جيدة.

إن توطين وحدة إسقاطية هو وحدة إسقاطية فوق الحلقة الموضعية. والوحدة الإسقاطية فوق حلقة محلية تكون حرة. وبالتالي، فإن الوحدة الإسقاطية حرة محليًا (بمعنى أن توطينها عند كل مثالي أولي يكون حرًا فوق التوطين المقابل للحلقة). وينطبق العكس على الوحدات المولدة نهائيًا فوق حلقات نوثرية : فالوحدة المولدة نهائيًا فوق حلقة نوثرية تبديلية تكون حرة محليًا إذا وفقط إذا كانت إسقاطية.

مع ذلك، توجد أمثلة على وحدات مولدة نهائيًا على حلقة غير نوثرية تكون حرة محليًا وغير إسقاطية. على سبيل المثال، جميع التموضعات في الحلقة البوليانية متماثلة مع F² ، حقل العنصرين، لذا فإن أي وحدة على حلقة بوليانية تكون حرة محليًا، ولكن توجد بعض الوحدات غير الإسقاطية على الحلقات البوليانية. أحد الأمثلة هو R / I حيث R هو حاصل ضرب مباشر لعدد معدود من نسخ F² وI هو مجموع مباشر لعدد معدود من نسخ F² داخل R. الوحدة R / I حرة محليًا لأن R بوليانية ( وهي مولدة نهائيًا كوحدة R أيضًا ، بمجموعة شاملة حجمها 1)، لكن R / I ليست إسقاطية لأن I ليس مثاليًا رئيسيًا. (إذا كانت وحدة القسمة R / I ، لأي حلقة تبديلية R ومثالي I ، وحدة R إسقاطية، فإن I يكون مثاليًا رئيسيًا).

ومع ذلك، فإنه صحيح أنه بالنسبة للوحدات النمطية M المعروضة بشكل محدود على حلقة تبديلية R (على وجه الخصوص إذا كانت M وحدة نمطية R مولدة بشكل محدود و R نوثرية)، فإن ما يلي متكافئ. [ 5 ]

  1. م{\displaystyle M}مسطح.
  2. م{\displaystyle M}هو إسقاطي.
  3. مم{\displaystyle M_{\mathfrak {m}}}مجانيRم{\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}وحدة نمطية لكل مثال أقصىم{\displaystyle {\mathfrak {m}}}من R.​
  4. مص{\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}مجانيRص{\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}وحدة لكل مثالي أوليص{\displaystyle {\mathfrak {p}}}من R.​
  5. يوجدو1،...،ون∈R{\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in R}توليد المثالي الوحدوي بحيثم[وأنا-1]{\displaystyle M[f_{i}^{-1}]}مجانيR[وأنا-1]{\displaystyle R[f_{i}^{-1}]}-وحدة لكل i .
  6. م~{\displaystyle {\widetilde {M}}}هي حزمة مجانية محلية على المخطط الأفينيالمواصفات⁡R{\displaystyle \operatorname {Spec} R}(أينم~{\displaystyle {\widetilde {M}}}( الحزمة المرتبطة بـ M. )

علاوة على ذلك، إذا كانت R مجالًا تكامليًا نوثريًا ، فإن هذه الشروط، وفقًا لفرضية ناكاياما ، تُكافئ ما يلي:

  • أبعاد​​ك(ص){\displaystyle k({\mathfrak {p}})}- فضاء متجهيم⊗Rك(ص){\displaystyle M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})}ينطبق الأمر نفسه على جميع المُثُل الأوليةص{\displaystyle {\mathfrak {p}}}من R، حيثك(ص){\displaystyle k({\mathfrak {p}})}هو حقل البقايا عندص{\displaystyle {\mathfrak {p}}}[ 6 ] أي أن M لها رتبة ثابتة (كما هو محدد أدناه) .

لتكن A حلقة تبديلية. إذا كانت B جبرًا على A (ربما غير تبديلي) وهو وحدة نمطية إسقاطية منتهية التوليد على A تحتوي على A كحلقة فرعية ، فإن A عامل مباشر لـ B. [ 7 ]

رتبة

ليكن P وحدة إسقاطية مولدة نهائيًا على حلقة تبديلية R، وليكن X طيف R. رتبة P عند مثالي أوليص{\displaystyle {\mathfrak {p}}}يمثل X رتبة الأحرارRص{\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}-وحدةPص{\displaystyle P_{\mathfrak {p}}}هي دالة ثابتة محليًا على X. على وجه الخصوص، إذا كانت X متصلة (أي إذا لم يكن لدى R عناصر متساوية القوة غير 0 و1)، فإن P لها رتبة ثابتة.

حزم المتجهات والوحدات المجانية محليًا

تتمثل إحدى الدوافع الأساسية لهذه النظرية في أن الوحدات الإسقاطية (على الأقل فوق حلقات تبديلية معينة) تُشابه حزم المتجهات . ويمكن توضيح ذلك بدقة بالنسبة لحلقة الدوال الحقيقية المتصلة على فضاء هاوسدورف متراص ، وكذلك بالنسبة لحلقة الدوال الملساء على مشعب أملس (انظر نظرية سير-سوان التي تنص على أن الوحدة الإسقاطية المولدة نهائيًا فوق فضاء الدوال الملساء على مشعب متراص هي فضاء المقاطع الملساء لحزمة متجهات ملساء ).

تكون حزم المتجهات حرة محليًا . إذا كان هناك مفهوم "للتوطين" يمكن نقله إلى الوحدات، مثل التوطين المعتاد للحلقة ، فيمكن تعريف وحدات حرة محليًا، وعادةً ما تتطابق الوحدات الإسقاطية مع الوحدات الحرة محليًا.

الوحدات الإسقاطية فوق حلقة متعددة الحدود

تُعدّ نظرية كويلين-سوسلين ، التي تحلّ مشكلة سير، نتيجةً عميقةً أخرى : إذا كان K حقلاً، أو بشكلٍ أعمّ مجالاً مثالياً رئيسياً ، و R = K [ X1 , ..., Xn ] حلقةً متعددة الحدود فوق K ، فإنّ كلّ وحدة إسقاطية فوق R تكون حرة. وقد طرح سير هذه المشكلة لأول مرة عندما كان K حقلاً (وكانت الوحدات مولدةً توليداً منتهياً). حسم باس هذه المشكلة للوحدات غير المولدة توليداً منتهياً، [ 8 ] بينما تناول كلٌّ من كويلين وسوسلين ، بشكلٍ مستقلٍّ ومتزامن، حالة الوحدات المولدة توليداً منتهياً.

بما أن كل وحدة إسقاطية على مجال مثالي رئيسي حرة، فقد يُطرح السؤال التالي: إذا كانت R حلقة تبديلية بحيث تكون كل وحدة إسقاطية (مولّدة نهائيًا) على R حرة، فهل كل وحدة إسقاطية (مولّدة نهائيًا) على R [ X ] حرة؟ الإجابة هي لا . يوجد مثال مضاد عندما تكون R مساوية للحلقة المحلية للمنحنى y² = x³ عند نقطة الأصل. وبالتالي ، لا يمكن إثبات نظرية كويلين-سوسلين بالاستقراء البسيط على عدد المتغيرات.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ هازوينكل وآخرون  (2004). "النتيجة 5.4.5". الجبر، الحلقات والوحدات، الجزء 1. ص  131.
  2. ↑ هازوينكل وآخرون (2004). "ملاحظة بعد النتيجة 5.4.5". الجبر، الحلقات والوحدات، الجزء 1. ص 131-132 .  
  3. ↑ كوهن 2003 ، النتيجة 4.6.4 خطأ في برنامج harvnb: لا يوجد هدف: CITEREFCohn2003 ( مساعدة )
  4. ↑ "القسم 10.95 (05A4): الخصائص التنازلية للوحدات - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2022-11-03 .
  5. ↑ التمارين 4.11 و4.12 والنتيجة 6.6 من كتاب ديفيد أيزنبد، الجبر التبادلي مع نظرة نحو الهندسة الجبرية ، GTM 150، سبرينغر-فيرلاغ، 1995. انظر أيضًا ميلن 1980
  6. ↑ أي،ك(ص)=Rص/صRص{\displaystyle k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}هو حقل البقايا للحلقة المحليةRص{\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}.
  7. ↑ بورباكي، الجبر التبادلي 1989 ، الفصل الثاني، §5، التمرين 4 خطأ harvnb: لا يوجد هدف: CITEREFBourbaki,_Algèbre_commutative1989 ( مساعدة )
  8. ↑ باس، هايمان (1963). "الوحدات الإسقاطية الكبيرة حرة" . مجلة إلينوي للرياضيات . 7 (1). مطبعة جامعة ديوك. النتيجة 4.5. doi : 10.1215/ijm/1255637479 .

مراجع

للمزيد من القراءة