وحدة مولدة بشكل نهائي

في الرياضيات ، الوحدة المولدة نهائياً هي وحدة لها مجموعة مولدة نهائية . ويمكن أيضاً تسمية الوحدة المولدة نهائياً على حلقة R بوحدة R- نهائية ، أو وحدة نهائية على R ، ^{[ 1 ]} أو وحدة من النوع النهائي .

تشمل المفاهيم ذات الصلة الوحدات المتولدة بشكل محدود ، والوحدات المعروضة بشكل محدود ، والوحدات المرتبطة بشكل محدود ، والوحدات المتماسكة ، وكلها مُعرّفة أدناه. وعلى حلقة نوثرية، تتطابق مفاهيم الوحدات المتولدة بشكل محدود، والوحدات المعروضة بشكل محدود، والوحدات المتماسكة.

الوحدة المولدة بشكل محدود على حقل ما هي ببساطة فضاء متجهي ذو أبعاد محدودة ، والوحدة المولدة بشكل محدود على الأعداد الصحيحة هي ببساطة مجموعة أبيلية مولدة بشكل محدود .

تكون الوحدة النمطية R اليسرى M مولدة بشكل نهائي إذا كان هناك a ₁ ، a ₂ ، ... ، _an في M بحيث أنه لأي x في M ، يوجد r ₁ ، r ₂ ، ... _، rn في R مع x = r ₁ a ₁ + r ₂ a ₂ + ... ₊ rn _an .

تُسمى المجموعة {a₁, a₂, ..., an} في هذه الحالة _مجموعة مولدة _{للمجموعة} M. لا يشترط _أن تكون المجموعة المولدة المنتهية أساسًا، لأنها لا يشترط أن تكون مستقلة خطيًا على R. والصحيح هو: أن M مولدة منتهية إذا وفقط إذا وُجد تطبيق خطي شامل على R.

${\displaystyle R^{n}\to M}$

لبعض n ؛ بعبارة أخرى، M هو خارج قسمة وحدة حرة ذات رتبة محدودة.

إذا ولّدت مجموعة S وحدةً مولدةً توليدًا منتهيًا، فإنّ هناك مجموعة مولدة منتهية مُضمنة في S ، إذ يكفي عدد منتهٍ فقط من عناصر S للتعبير عن المولدات في أي مجموعة مولدة منتهية، وهذه العناصر المحدودة تُشكّل مجموعة مولدة. مع ذلك، قد يحدث ألا تحتوي S على أي مجموعة مولدة منتهية ذات عدد عناصر أدنى . على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة مولدة لـ${\displaystyle \mathbb {Z} }$يُنظر إليه على أنه${\displaystyle \mathbb {Z} }$-وحدة، ومجموعة توليد مكونة من أعداد أولية تحتوي على عنصرين على الأقل، في حين أن المجموعة الأحادية {1} هي أيضًا مجموعة توليد.

في الحالة التي يكون فيها النموذج M عبارة عن فضاء متجهي على حقل R ، وتكون المجموعة المولدة مستقلة خطيًا ، فإن n يكون محددًا جيدًا ويشار إليه باسم بُعد M ( محدد جيدًا يعني أن أي مجموعة مولدة مستقلة خطيًا تحتوي على n عنصرًا : هذه هي نظرية الأبعاد للفضاءات المتجهة ).

أي وحدة نمطية هي اتحاد المجموعة الموجهة لوحداتها الفرعية المولدة بشكل نهائي.

تكون الوحدة M مولدة توليدًا منتهيًا إذا وفقط إذا كانت أي سلسلة متزايدة من الوحدات الفرعية Mᵢ التي اتحادها Mⁿ مستقرة؛ أي، يوجد عدد صحيح موجب i بحيث يكون Mᵢ = _Mⁿ . هذه الحقيقة، بالإضافة إلى _مبرهنة زورن، تعني أن كل وحدة مولدة توليدًا منتهيًا غير صفرية تقبل وحدات فرعية قصوى . إذا كانت أي سلسلة متزايدة من الوحدات الفرعية مستقرة (أي، أي وحدة فرعية مولدة توليدًا منتهيًا)، فإن الوحدة M تُسمى وحدة نوثرية .

• إذا تم توليد وحدة نمطية بواسطة عنصر واحد، فإنها تسمى وحدة نمطية دورية .
• ليكن R مجالًا تكامليًا، و K حقل كسوره . عندئذٍ، كل وحدة فرعية مولدة نهائيًا من R، I ، من K ، هي مثالي كسري : أي، يوجد عدد غير صفري r في R بحيث يكون rI محصورًا في R. في الواقع، يمكن اعتبار r حاصل ضرب مقامات مولدات I. إذا كان R نوثريًا، فإن كل مثالي كسري ينشأ بهذه الطريقة.
• تتطابق الوحدات المولدة نهائياً على حلقة الأعداد الصحيحة Z مع الزمر الأبيلية المولدة نهائياً . (يتم تصنيف هذه الزمر بشكل كامل بواسطة نظرية البنية ، مع اعتبار Z مجال المثالي الرئيسي ).
• الوحدات المولدة بشكل محدود (على سبيل المثال، اليسار) فوق حلقة القسمة هي بالضبط فضاءات متجهة ذات أبعاد محدودة (فوق حلقة القسمة).

كل صورة متماثلة لوحدة مولدة نهائيًا هي وحدة مولدة نهائيًا. عمومًا، لا يشترط أن تكون الوحدات الفرعية للوحدات المولدة نهائيًا مولدة نهائيًا. على سبيل المثال، لننظر إلى الحلقة R  = Z [ X1 _, X2 _, ...] التي تضم جميع كثيرات الحدود في عدد قابل للعد من المتغيرات. R نفسها وحدة مولدة نهائيًا على R ( مع {1} كمجموعة مولدة). لننظر إلى الوحدة الفرعية K التي تتكون من جميع كثيرات الحدود ذات الحد الثابت الصفري. بما أن كل كثيرة حدود تحتوي فقط على عدد محدود من الحدود التي معاملاتها غير صفرية، فإن الوحدة K على R ليست مولدة نهائيًا. 

بشكل عام، يُقال عن وحدة نمطية أنها نوثرية إذا كانت كل وحدة نمطية فرعية فيها مولدة توليدًا منتهيًا. الوحدة النمطية المولدة توليدًا منتهيًا على حلقة نوثرية هي وحدة نمطية نوثرية (وهذه الخاصية تميز الحلقات النوثرية): تكون الوحدة النمطية على حلقة نوثرية مولدة توليدًا منتهيًا إذا وفقط إذا كانت وحدة نمطية نوثرية. يشبه هذا، ولكنه ليس مطابقًا تمامًا، نظرية أساس هيلبرت ، التي تنص على أن حلقة كثيرات الحدود R [ X ] على حلقة نوثرية R هي حلقة نوثرية. تشير كلتا الحقيقتين إلى أن الجبر التبادلي المولد توليدًا منتهيًا على حلقة نوثرية هو أيضًا حلقة نوثرية.

بشكلٍ أعم، يُعتبر الجبر (مثل الحلقة) الذي يُمثل وحدةً مولدةً توليداً منتهياً جبراً مولداً توليداً منتهياً . وعلى العكس، إذا كان الجبر المولد توليداً منتهياً صحيحاً (على حلقة المعاملات)، فإنه يُعتبر وحدةً مولدةً توليداً منتهياً. (انظر العنصر الصحيح لمزيد من المعلومات).

ليكن 0 → M ′ → M → M ″ → 0 متتالية تامة من الوحدات. عندئذٍ، تكون M مولدة توليدًا منتهيًا إذا كانت M ′ و M ″ مولدتين توليدًا منتهيًا. وهناك بعض العكس الجزئي لهذه القاعدة. إذا كانت M مولدة توليدًا منتهيًا و M ″ معروضة عرضًا منتهيًا (وهو أقوى من كونها مولدة توليدًا منتهيًا؛ انظر أدناه)، فإن M ′ تكون مولدة توليدًا منتهيًا. كذلك، تكون M نوثرية (أو أرتينية) إذا وفقط إذا كانت M ′ و M ″ نوثرية (أو أرتينية).

لتكن B حلقة و A حلقة جزئية منها بحيث تكون B وحدة نمطية يمنى مسطحة بأمانة من A. عندئذٍ تكون الوحدة النمطية اليسرى F من A مولدة توليدًا منتهيًا (أو معروضة منتهيًا) إذا وفقط إذا كانت الوحدة النمطية B ⊗ _A F مولدة توليدًا منتهيًا (أو معروضة منتهيًا). ^{[ 2 ]}

بالنسبة للوحدات المولدة نهائيًا على حلقة تبديلية R ، تُعدّ مبرهنة ناكاياما أساسية. في بعض الأحيان، تسمح هذه المبرهنة بإثبات ظواهر الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة للوحدات المولدة نهائيًا. على سبيل المثال، إذا كان f  : M → M تشاكلًا داخليًا شاملًا على R لوحدة مولدة نهائيًا M ، فإن f يكون أيضًا تشاكلًا داخليًا أحاديًا ، وبالتالي فهو تشاكل ذاتي لـ M. ^{[ 3 ]} هذا يعني ببساطة أن M وحدة هوبفية . وبالمثل، فإن الوحدة الأرتينية M هي وحدة هوبفية مشتركة : أي تشاكل داخلي أحادي f هو أيضًا تشاكل داخلي شامل. ^{[ 4 ]} تُعطي مبرهنة فورستر-سوان حدًا أعلى للحد الأدنى لعدد مولدات الوحدة المولدة نهائيًا M على حلقة تبديلية نوثرية.

أي وحدة نمطية R هي نهاية استقرائية لوحدات نمطية R فرعية مولدة بشكل محدود . وهذا مفيد لتخفيف افتراض ما إلى الحالة المحدودة (على سبيل المثال، توصيف التسطيح باستخدام دالة تور ).

يُمكن إيجاد مثال على العلاقة بين التوليد المحدود والعناصر الصحيحة في الجبر التبادلي. يُقال إن الجبر التبادلي A هو حلقة مولدة توليدًا محدودًا على R، _وهذا يعني وجود مجموعة من العناصر G = { x₁ , ..., xₙ _} من A بحيث تكون أصغر حلقة جزئية من A تحتوي على G و R هي A نفسها. ولأن ضرب الحلقة يُمكن استخدامه لدمج العناصر، فإنه يتم توليد أكثر من مجرد تركيبات خطية R لعناصر G. على سبيل المثال، حلقة كثيرات الحدود R [ x ] مولدة توليدًا محدودًا بواسطة {1, x } كحلقة، ولكن ليس كوحدة نمطية . إذا كان A جبرًا تبادليًا (مع عنصر محايد) على R ، فإن العبارتين التاليتين متكافئتان: ^{[ 5 ]}

• A عبارة عن وحدة R مولدة بشكل نهائي .
• A هي حلقة مولدة بشكل نهائي على R وامتداد تكاملي لـ R.

ليكن M وحدة نمطية مولدة نهائياً على مجال تكاملي A مع حقل الكسور K. عندئذٍ يكون البعد${\displaystyle \operatorname {dim} _{K}(M\otimes _{A}K)}$يُطلق عليه الرتبة العامة للمجموعة M على A. هذا العدد هو نفسه عدد المتجهات المستقلة خطيًا القصوى في M بالنسبة لـ A، أو ما يُكافئه رتبة وحدة فرعية حرة قصوى من M ( انظر: رتبة المجموعة الأبيلية ).${\displaystyle (M/F)_{(0)}=M_{(0)}/F_{(0)}=0}$،${\displaystyle M/F}$هو وحدة التواء . عندما تكون A نوثرية، وبحسب الحرية العامة ، يوجد عنصر f (يعتمد على M ) بحيث${\displaystyle M[f^{-1}]}$هو مجاني${\displaystyle A[f^{-1}]}$-وحدة. ثم يكون ترتيب هذه الوحدة الحرة هو الترتيب العام لـ M.

لنفترض الآن أن المجال التكاملي A هو${\displaystyle \mathbb {N} }$- الجبر المتدرج على حقل k مولد بواسطة عدد محدود من العناصر المتجانسة من الدرجات${\displaystyle d_{i}}$لنفترض أن M يتم تقييمها أيضًا، ولندع${\displaystyle P_{M}(t)=\sum (\operatorname {dim} _{k}M_{n})t^{n}}$لتكن متسلسلة بوانكاريه لـ M. وبحسب نظرية هيلبرت-سير ، يوجد متعدد حدود F بحيث${\displaystyle P_{M}(t)=F(t)\prod (1-t^{d_{i}})^{-1}}$. ثم${\displaystyle F(1)}$هي الرتبة العامة ^لـ M. [ ^{6 ]}

تكون الوحدة المولدة نهائيًا على مجال مثالي رئيسي خالية من الالتواء إذا وفقط إذا كانت حرة. هذه نتيجة لنظرية البنية للوحدات المولدة نهائيًا على مجال مثالي رئيسي ، والتي تنص في صيغتها الأساسية على أن الوحدة المولدة نهائيًا على مجال مثالي رئيسي هي مجموع مباشر لوحدة التواء ووحدة حرة. ولكن يمكن أيضًا إثبات ذلك مباشرةً كما يلي: ليكن M وحدة مولدة نهائيًا خالية من الالتواء على مجال مثالي رئيسي A، وليكن F وحدة فرعية حرة قصوى. ولتكن f في A بحيث${\displaystyle fM\subset F}$. ثم${\displaystyle fM}$هو مجاني لأنه وحدة فرعية من وحدة مجانية، و A هو مُعرّف عملية (PID). ولكن الآن${\displaystyle f:M\to fM}$هو تماثل لأن M خالٍ من الالتواء.

بناءً على الحجة نفسها المذكورة أعلاه، فإنّ الوحدة المولدة نهائيًا على مجال ديديكيند A (أو بشكل أعم، على حلقة شبه وراثية ) تكون خالية من الالتواء إذا وفقط إذا كانت إسقاطية ؛ وبالتالي، فإنّ الوحدة المولدة نهائيًا على A هي مجموع مباشر لوحدة التواء ووحدة إسقاطية. الوحدة الإسقاطية المولدة نهائيًا على مجال تكاملي نوثري لها رتبة ثابتة، ولذا فإنّ الرتبة العامة للوحدة المولدة نهائيًا على A هي رتبة جزئها الإسقاطي.

الشروط التالية مكافئة لكون M مولدة نهائياً (fg):

• لأي عائلة من الوحدات الفرعية { N _i | i ∈ I } في M ، إذا${\displaystyle \sum _{i\in I}N_{i}=M\,}$، ثم${\displaystyle \sum _{i\in F}N_{i}=M\,}$لبعض المجموعات الجزئية المحدودة F من I.
• لأي سلسلة من الوحدات الفرعية { N _i | i ∈ I } في M ، إذا${\displaystyle \bigcup _{i\in I}N_{i}=M\,}$، إذن N _i = M لبعض i في I .
• لو${\displaystyle \phi$ إذا كان `\bigoplus _{i\in I}R\to M\,}` تشاكلاً شاملاً ، فإن التقييد${\displaystyle \phi$ :\bigoplus _{i \ in F}R\to M\,} هو شكل شامل لمجموعة جزئية منتهية F من I.

من هذه الشروط، يتضح بسهولة أن خاصية التوليد المحدود هي خاصية محفوظة بتكافؤ موريتا . كما أن هذه الشروط ملائمة لتعريف مفهوم ثنائي للوحدة النمطية M ذات التوليد المشترك المحدود . الشروط التالية مكافئة لكون الوحدة النمطية ذات توليد مشترك محدود (f.cog.):

• لأي عائلة من الوحدات الفرعية { N _i | i ∈ I } في M ، إذا${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$، ثم${\displaystyle \bigcap _{i\in F}N_{i}=\{0\}\,}$لبعض المجموعات الجزئية المحدودة F من I.
• لأي سلسلة من الوحدات الفرعية { N _i | i ∈ I } في M ، إذا${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$، ثم N _i = {0} لبعض i في I .
• لو${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in I}N_{i}\,}$هو أحادي الشكل ، حيث كل${\displaystyle N_{i}}$إذا كان وحدة R ، فإن ${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in F}N_{i}\,}$هو شكل أحادي لبعض المجموعات الجزئية المحدودة F من I.

ترتبط كل من الوحدات fg والوحدات f.cog بعلاقات مثيرة للاهتمام مع الوحدات النويثرية والأرتينية، ومع جذر جاكوبسون J ( M ) وقاعدة الوحدة soc( M ). توضح الحقائق التالية الازدواجية بين الشرطين. بالنسبة للوحدة M :

• تكون M نوثرية إذا وفقط إذا كان كل نمط فرعي N من M هو fg
• M يكون أرتينيًا إذا وفقط إذا كان كل وحدة قسمة M / N هي f.cog.
• تكون M دالة fg إذا وفقط إذا كانت J ( M ) وحدة فرعية زائدة من M ، و M / J ( M ) دالة fg
• تكون M دالة معرفية إذا وفقط إذا كانت soc( M ) وحدة فرعية أساسية من M ، و soc( M ) دالة معرفية
• إذا كان M وحدة نمطية شبه بسيطة (مثل soc( N ) لأي وحدة نمطية N )، فإنها fg إذا وفقط إذا كان f.cog.
• إذا كانت M دالة fg وغير صفرية، فإن M لها وحدة فرعية قصوى ، وأي وحدة قسمة M / N تكون fg
• إذا كانت M f.cog. وغير صفرية، فإن M لها وحدة فرعية دنيا، وأي وحدة فرعية N من M هي f.cog.
• إذا كانت N و M / N دالة fg، فإن M كذلك . وينطبق الشيء نفسه إذا تم استبدال "fg" بـ "f.cog".

يجب أن تمتلك الوحدات المتولدة توليدًا مشتركًا محدودًا بُعدًا منتظمًا محدودًا . ويتضح ذلك بسهولة بتطبيق التوصيف باستخدام القاعدة الأساسية المتولدة توليدًا محدودًا. وبشكل غير متناظر إلى حد ما، لا تمتلك الوحدات المتولدة توليدًا محدودًا بالضرورة بُعدًا منتظمًا محدودًا. على سبيل المثال، يُعد حاصل الضرب المباشر اللانهائي للحلقات غير الصفرية وحدة متولدة توليدًا محدودًا (دورية!) على نفسها، ومع ذلك، من الواضح أنها تحتوي على مجموع مباشر لانهائي من الوحدات الفرعية غير الصفرية. كما لا تمتلك الوحدات المتولدة توليدًا محدودًا بالضرورة بُعدًا منتظمًا مشتركًا محدودًا أيضًا: فأي حلقة R ذات عنصر محايد بحيث لا تكون R / J ( R ) حلقة شبه بسيطة تُعد مثالًا مضادًا.

وهناك صيغة أخرى هي: الوحدة النمطية المولدة بشكل نهائي M هي وحدة نمطية يوجد لها تحويل فوقي يربط R ^k بـ M  :

f  : R ^k → M .

لنفترض الآن وجود عملية تحويل شاملة،

φ  : F → M .

لوحدة نمطية M ووحدة نمطية حرة F.

• إذا كانت نواة φ مولدة توليداً منتهياً، فإن M تُسمى وحدة نمطية مرتبطة ارتباطاً منتهياً . وبما أن M متماثلة مع F /ker( φ )، فإن هذا يُعبّر أساساً عن أن M تُستنتج بأخذ وحدة نمطية حرة وإدخال عدد منتهٍ من العلاقات داخل F (مولدات ker( φ )).
• إذا كانت نواة φ مولدة توليدًا منتهيًا، وكان لـ F رتبة منتهية (أي F = R ^k )، فإن M يُقال إنها وحدة نمطية ذات عرض منتهٍ . هنا، تُحدد M باستخدام عدد منتهٍ من المولدات (صور المولدات k لـ F = R ^k ) وعدد منتهٍ من العلاقات (مولدات نواة φ ). انظر أيضًا: العرض الحر . يمكن تمييز الوحدات النمطية ذات العرض المنتهي بخاصية مجردة ضمن فئة الوحدات النمطية R : فهي تحديدًا الكائنات المدمجة في هذه الفئة.
• الوحدة المتماسكة M هي وحدة مولدة بشكل محدود يتم تقديم وحداتها الفرعية المولدة بشكل محدود بشكل محدود.

في أي حلقة R ، تكون الوحدات المتماسكة معروضة بشكل محدود، وتكون الوحدات المعروضة بشكل محدود مولدة بشكل محدود ومرتبطة بشكل محدود. بالنسبة لحلقة نوثرية R ، فإن التوليد المحدود والعرض المحدود والتماسك شروط متكافئة على الوحدة.

يحدث بعض التداخل بين الوحدات الإسقاطية والوحدات المسطحة. فالوحدة الإسقاطية المولدة بشكل محدود تكون معروضة بشكل محدود، والوحدة المسطحة المرتبطة بشكل محدود تكون إسقاطية.

صحيح أيضاً أن الشروط التالية متكافئة بالنسبة للحلقة R :

1. R هي حلقة متماسكة يمينية .
2. الوحدة R _R هي وحدة متماسكة.
3. كل وحدة R يمينية معروضة بشكل نهائي تكون متماسكة.

على الرغم من أن التماسك يبدو وكأنه شرط أكثر تعقيدًا من التوليد المحدود أو العرض المحدود، إلا أنه أفضل منهما لأن فئة الوحدات المتماسكة هي فئة تبديلية ، بينما بشكل عام، لا تشكل الوحدات المولدة بشكل محدود ولا الوحدات المعروضة بشكل محدود فئة تبديلية.

• عنصر متكامل
• ليمّا أرتين-ريس
• وحدة توليد قابلة للعد
• الجبر المنتهي
• الحزمة المتماسكة ، تعميم يستخدم في الهندسة الجبرية

• أتيياه، إم إف ؛ ماكدونالد، آي جي (1969)، مقدمة في الجبر التبادلي ، شركة أديسون-ويسلي للنشر، ريدينغ، ماساتشوستس - لندن - دون ميلز، أونتاريو، الصفحات  9+128، MR 0242802 
• بورباكي، نيكولاس (1998)، الجبر التبادلي. الفصول 1-7. مترجم من الفرنسية. طبعة مُعاد طباعتها من الترجمة الإنجليزية لعام 1989 ، عناصر الرياضيات، برلين: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 3-540-64239-0
• كابلانسكي، إيرفينغ (1970)، الحلقات التبادلية ، بوسطن، ماساتشوستس: ألين وبيكون، الصفحات  x+180، MR 0254021 
• لام، تي واي (1999)، محاضرات في الوحدات والحلقات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات رقم 189، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-98428-5
• لانغ، سيرج (1997)، الجبر (  الطبعة الثالثة)، أديسون-ويسلي ، رقم ISBN 978-0-201-55540-0
• ماتسومورا، هيديوكي (1989)، نظرية الحلقات التبادلية ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد  8، ترجمة من اليابانية بقلم م. ريد (  الطبعة الثانية)، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، 320 صفحة  + 14 صفحة تمهيدية، رقم ISBN 0-521-36764-6، MR 1011461 
• سبرينغر، توني أ. (1977)، نظرية الثوابت ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  585، سبرينغر، doi : 10.1007/BFb0095644 ، ISBN 978-3-540-08242-2.