مجموعة موجهة

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 120 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، المجموعة الموجهة (أو الترتيب المسبق الموجه أو المجموعة المُرشَّحة ) هي مجموعة مرتبة مسبقًا يكون لكل مجموعة جزئية منتهية فيها حد أعلى . [ 1 ] بعبارة أخرى، هي مجموعة مرتبة مسبقًا غير فارغةأ{\displaystyle A}بحيث يكون لأيأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}فيأ{\displaystyle A}يوجدج{\displaystyle c}فيأ{\displaystyle A}معأ≤ج{\displaystyle a\leq c}وب≤ج{\displaystyle b\leq c}. [ أ ] يُطلق على الترتيب المسبق للمجموعة الموجهة اسم الاتجاه .

يُطلق على المفهوم المحدد أعلاه أحيانًا اسممجموعة موجهة للأعلى . أتُعرَّف المجموعة الموجهة نحو الأسفل تعريفًا متناظرًا، [ 2 ] بمعنى أن لكل مجموعة جزئية منتهيةحدًا أدنى. [ 3 ] يفترض بعض المؤلفين (وهذه المقالة) أن المجموعة الموجهة موجهة نحو الأعلى، ما لم يُنص على خلاف ذلك. بينما يُطلق مؤلفون آخرون على المجموعة اسم "موجهة" إذا وفقط إذا كانت موجهة نحو الأعلى والأسفل معًا. [ 4 ]

المجموعات الموجهة هي تعميم للمجموعات المرتبة كليًا غير الفارغة . أي أن جميع المجموعات المرتبة كليًا هي مجموعات موجهة (على عكس المجموعات المرتبة جزئيًا ، التي لا يشترط أن تكون موجهة). الشبكات شبه المتصلة (وهي مجموعات مرتبة جزئيًا) هي أيضًا مجموعات موجهة، ولكن ليس العكس. وبالمثل، فإن الشبكات هي مجموعات موجهة لأعلى ولأسفل.

في علم الطوبولوجيا ، تُستخدم المجموعات الموجهة لتعريف الشبكات ، التي تعمم المتتاليات وتوحد المفاهيم المختلفة للنهاية المستخدمة في التحليل . كما تُنتج المجموعات الموجهة نهايات مباشرة في الجبر المجرد ، وبشكل أعم، في نظرية الفئات .

أمثلة

مجموعة الأعداد الطبيعيةشمال{\displaystyle \mathbb {N} }بالترتيب المعتاد≤{\displaystyle \,\leq \,}يُعدّ هذا أحد أهم الأمثلة على المجموعات الموجهة. كل مجموعة مرتبة ترتيبًا كليًا هي مجموعة موجهة، بما في ذلك(Z،≤)،{\displaystyle (\mathbb {Z} ,\leq ),}(سؤال،≤)،{\displaystyle (\mathbb {Q} ,\leq ),}و(R،≤).{\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq ).}

مثال (بسيط) على مجموعة مرتبة جزئياً وغير موجهة هو المجموعة{أ،ب}،{\displaystyle \{a,b\},}حيث تكون علاقات الترتيب الوحيدة هيأ≤أ{\displaystyle a\leq a}وب≤ب.{\displaystyle b\leq b.}ومن الأمثلة الأقل وضوحًا المثال التالي عن "الأعداد الحقيقية الموجهة نحوx0{\displaystyle x_{0}}"ولكن حيث لا تنطبق قاعدة الترتيب إلا على أزواج العناصر الموجودة على نفس الجانب منx0{\displaystyle x_{0}}(أي، إذا أخذ المرء عنصرًا)أ{\displaystyle a}إلى يسارx0،{\displaystyle x_{0},}وب{\displaystyle b}إلى يمينها، إذنأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}لا يمكن مقارنتها، والمجموعة الفرعية{أ،ب}{\displaystyle \{a,b\}}ليس له حد أعلى).

إذا كان نظام إعادة كتابة مجرد(X،→){\displaystyle (X,\to )}إذا كانت متصلة ، فإن إغلاقها المتعدي(X،→*){\displaystyle (X,\to ^{*})}هي مجموعة موجهة.

ناتج المجموعات الموجهة

يتركد1{\displaystyle \mathbb {D} _{1}}ود2{\displaystyle \mathbb {D} _{2}}تكون مجموعات موجهة. ثم مجموعة الضرب الديكارتيد1×د2{\displaystyle \mathbb {D} _{1}\times \mathbb {D} _{2}}يمكن تحويلها إلى مجموعة موجهة عن طريق تعريف(ن1،ن2)≤(م1،م2){\displaystyle \left(n_{1},n_{2}\right)\leq \left(m_{1},m_{2}\right)}إذا وفقط إذان1≤م1{\displaystyle n_{1}\leq m_{1}}ون2≤م2.{\displaystyle n_{2}\leq m_{2}.}قياسًا على ترتيب الضرب، هذا هو اتجاه الضرب في الضرب الديكارتي. على سبيل المثال، المجموعةشمال×شمال{\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }يمكن تحويل أزواج الأعداد الطبيعية إلى مجموعة موجهة عن طريق تعريف(ن0،ن1)≤(م0،م1){\displaystyle \left(n_{0},n_{1}\right)\leq \left(m_{0},m_{1}\right)}إذا وفقط إذان0≤م0{\displaystyle n_{0}\leq m_{0}}ون1≤م1.{\displaystyle n_{1}\leq m_{1}.}

موجه نحو نقطة

لوx0{\displaystyle x_{0}}إذا كان عددًا حقيقيًا، فإن المجموعةأنا:=R∖{x0}{\displaystyle I:=\mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace }يمكن تحويلها إلى مجموعة موجهة عن طريق تعريفأ≤أناب{\displaystyle a\leq _{I}b}لو|أ-x0|≥|ب-x0|{\displaystyle \left|a-x_{0}\right|\geq \left|b-x_{0}\right|}(لذا فإن العناصر "الأكبر" أقرب إلىx0{\displaystyle x_{0}}ثم نقول إن الأعداد الحقيقية قد وُجِّهت نحوx0.{\displaystyle x_{0}.}هذا مثال على مجموعة موجهة ليست مرتبة جزئياً ولا مرتبة كلياً . وذلك لأن خاصية التناظر العكسي تتلاشى لكل زوج من العناصر.أ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}على مسافة متساوية منx0،{\displaystyle x_{0},}أينأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}يقعان على جانبين متقابلين منx0.{\displaystyle x_{0}.}يحدث هذا بشكل صريح عندما{أ،ب}={x0-ر،x0+ر}{\displaystyle \{a,b\}=\left\{x_{0}-r,x_{0}+r\right\}}لبعض الأشياء الحقيقيةر≠0،{\displaystyle r\neq 0,}وفي هذه الحالةأ≤أناب{\displaystyle a\leq _{I}b}وب≤أناأ{\displaystyle b\leq _{I}a}بالرغم منأ≠ب.{\displaystyle a\neq b.}هل تم تحديد هذا الطلب المسبق فيR{\displaystyle \mathbb {R} }بدلاً منR∖{x0}{\displaystyle \mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace }عندئذٍ ستظل تشكل مجموعة موجهة، ولكنها ستحتوي الآن على عنصر أعظم (فريد) ، على وجه التحديدx0{\displaystyle x_{0}}ومع ذلك، فإنه لن يكون مرتبًا جزئيًا. يمكن تعميم هذا المثال على فضاء متري(X،د){\displaystyle (X,d)}عن طريق التعريف علىX{\displaystyle X}أوX∖{x0}{\displaystyle X\setminus \left\{x_{0}\right\}}الطلب المسبقأ≤ب{\displaystyle a\leq b}إذا وفقط إذاد(أ،x0)≥د(ب،x0).{\displaystyle d\left(a,x_{0}\right)\geq d\left(b,x_{0}\right).}

أقصى العناصر وأعظمها

عنصرم{\displaystyle m}من مجموعة تم طلبها مسبقًا(أنا،≤){\displaystyle (I,\leq )}يكون عنصرًا أقصى إذا كان لكلج∈أنا،{\displaystyle j\in I,}م≤ج{\displaystyle m\leq j}يشير إلىج≤م.{\displaystyle j\leq m.}[ ب ] إنهعنصر عظيمإذا كان لكلج∈أنا،{\displaystyle j\in I,}ج≤م.{\displaystyle j\leq m.}

أي مجموعة مرتبة ترتيباً مسبقاً تحتوي على عنصر أكبر هي مجموعة موجهة لها نفس الترتيب المسبق. على سبيل المثال، في مجموعة مرتبة ترتيباً جزئياًP،{\displaystyle P,}كل إغلاق سفلي لعنصر ما؛ أي كل مجموعة جزئية من الشكل{أ∈P:أ≤x}{\displaystyle \{a\in P:a\leq x\}}أينx{\displaystyle x}هو عنصر ثابت منP،{\displaystyle P,}موجه.

تكون المجموعة المرتبة مسبقًا موجهة إذا وفقط إذا كانت مجموعة العناصر القصوى (التي قد تكون فارغة) تساوي مجموعة العناصر الأكبر.

إدراج المجموعة الفرعية

علاقة احتواء المجموعة الفرعية⊆،{\displaystyle \,\subseteq ,\,}إلى جانب ازدواجيتها⊇،{\displaystyle \,\supseteq ,\,}يمكن تعريف الترتيبات الجزئية على أي عائلة معينة من المجموعات . تُعتبر عائلة المجموعات غير الفارغة مجموعة موجهة بالنسبة للترتيب الجزئي.⊇{\displaystyle \,\supseteq \,}(على التوالى،⊆{\displaystyle \,\subseteq \,}) إذا وفقط إذا كان تقاطع (أو اتحاد) أي عنصرين من عناصره يحتوي على عنصر ثالث كمجموعة جزئية (أو يحتوي على عنصر ثالث كمجموعة جزئية من). بالرموز، عائلةأنا{\displaystyle I}يتم توجيه المجموعات فيما يتعلق بـ⊇{\displaystyle \,\supseteq \,}(على التوالى،⊆{\displaystyle \,\subseteq \,}) إذا وفقط إذا

للجميعأ،ب∈أنا،{\displaystyle A,B\in I,}يوجد بعضج∈أنا{\displaystyle C\in I}بحيثأ⊇ج{\displaystyle A\supseteq C}وب⊇ج{\displaystyle B\supseteq C}(على التوالى،أ⊆ج{\displaystyle A\subseteq C}وب⊆ج{\displaystyle B\subseteq C})

أو ما يعادل ذلك،

للجميعأ،ب∈أنا،{\displaystyle A,B\in I,}يوجد بعضج∈أنا{\displaystyle C\in I}بحيثأ∩ب⊇ج{\displaystyle A\cap B\supseteq C}(على التوالى،أ∪ب⊆ج{\displaystyle A\cup B\subseteq C}).

يمكن تعريف العديد من الأمثلة المهمة للمجموعات الموجهة باستخدام هذه الترتيبات الجزئية. على سبيل المثال، بحسب التعريف، فإن المرشح المسبق أو قاعدة المرشح هي عائلة غير فارغة من المجموعات التي تُعد مجموعة موجهة بالنسبة للترتيب الجزئي.⊇{\displaystyle \,\supseteq \,}وهذا أيضًا لا يحتوي على المجموعة الفارغة (يمنع هذا الشرط التافهة لأنه بخلاف ذلك، ستكون المجموعة الفارغة أكبر عنصر بالنسبة لـ⊇{\displaystyle \,\supseteq \,}كل نظام π ، وهو عائلة غير فارغة من المجموعات مغلقة تحت تقاطع أي عنصرين من عناصرها، هو مجموعة موجهة بالنسبة إلى⊇.{\displaystyle \,\supseteq \,.}كل نظام λ هو مجموعة موجهة بالنسبة إلى⊆.{\displaystyle \,\subseteq \,.}كل مرشح ، وطوبولوجيا ، وجبر سيجما هي مجموعة موجهة بالنسبة لكليهما⊇{\displaystyle \,\supseteq \,}و⊆.{\displaystyle \,\subseteq \,.}

ذيول الشباك

بحسب التعريف، الشبكة هي دالة من مجموعة موجهة، والمتتالية هي دالة من الأعداد الطبيعية.شمال.{\displaystyle \mathbb {N} .}كل تسلسل يصبح شبكة بشكل أساسي من خلال التزويدشمال{\displaystyle \mathbb {N} }مع≤.{\displaystyle \,\leq .\,}

لوx∙=(xأنا)أنا∈أنا{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}أي شبكة من مجموعة موجهة(أنا،≤){\displaystyle (I,\leq )}ثم لأي فهرسأنا∈أنا،{\displaystyle i\in I,}المجموعةx≥أنا:={xج:ج≥أنا مع ج∈أنا}{\displaystyle x_{\geq i}:=\left\{x_{j}:j\geq i{\text{ with }}j\in I\right\}}يُطلق عليه اسم ذيل(أنا،≤){\displaystyle (I,\leq )}ابتداءً منأنا.{\displaystyle i.}العائلةالذيل⁡(x∙):={x≥أنا:أنا∈أنا}{\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right):=\left\{x_{\geq i}:i\in I\right\}}جميع الذيول هي مجموعة موجهة بالنسبة إلى⊇؛{\displaystyle \,\supseteq في الواقع، إنها حتى مرشح مسبق.

الأحياء

لوتي{\displaystyle T}هو فضاء طوبولوجي وx0{\displaystyle x_{0}}هي نقطة فيتي،{\displaystyle T,}مجموعة جميع الأحياء لـx0{\displaystyle x_{0}}يمكن تحويلها إلى مجموعة موجهة عن طريق كتابةيو≤V{\displaystyle U\leq V}إذا وفقط إذايو{\displaystyle U}يتضمنV.{\displaystyle V.}لكليو،{\displaystyle U,}V،{\displaystyle V,}ودبليو{\displaystyle W}:

  • يو≤يو{\displaystyle U\leq U}منذيو{\displaystyle U}يحتوي على نفسه.
  • لويو≤V{\displaystyle U\leq V}وV≤دبليو،{\displaystyle V\leq W,}ثميو⊇V{\displaystyle U\supseteq V}وV⊇دبليو،{\displaystyle V\supseteq W,}وهذا يعنييو⊇دبليو.{\displaystyle U\supseteq W.}هكذايو≤دبليو.{\displaystyle U\leq W.}
  • لأنx0∈يو∩V،{\displaystyle x_{0}\in U\cap V,}وبما أن كليهمايو⊇يو∩V{\displaystyle U\supseteq U\cap V}وV⊇يو∩V،{\displaystyle V\supseteq U\cap V,}لدينايو≤يو∩V{\displaystyle U\leq U\cap V}وV≤يو∩V.{\displaystyle V\leq U\cap V.}

المجموعات الجزئية المنتهية

المجموعةمحدود⁡(أنا){\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}جميع المجموعات الجزئية المنتهية لمجموعةأنا{\displaystyle I}موجه فيما يتعلق بـ⊆{\displaystyle \,\subseteq \,}بما أن أي اثنين معطىأ،ب∈محدود⁡(أنا)،{\displaystyle A,B\in \operatorname {Finite} (I),}اتحادهمأ∪ب∈محدود⁡(أنا){\displaystyle A\cup B\in \operatorname {Finite} (I)}يمثل الحد الأعلى لـأ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}فيمحدود⁡(أنا).{\displaystyle \operatorname {Finite} (I).}تُستخدم هذه المجموعة الموجهة تحديدًا لتعريف المجموع∑أنا∈أنارأنا{\displaystyle {\textstyle \sum \limits _{i\in I}}r_{i}}من سلسلة معممة منأنا{\displaystyle I}مجموعة أرقام مفهرسة(رأنا)أنا∈أنا{\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}(أو بشكل أعم، مجموع العناصر في زمرة طوبولوجية أبيلية ، مثل المتجهات في فضاء متجهي طوبولوجي ) كحد لشبكة المجاميع الجزئيةF∈محدود⁡(أنا)↦∑أنا∈Fرأنا؛{\displaystyle F\in \operatorname {Finite} (I)\mapsto {\textstyle \sum \limits _{i\in F}}r_{i};}إنه: ∑أنا∈أنارأنا := ليمF∈محدود⁡(أنا) ∑أنا∈Fرأنا = ليم{∑أنا∈Fرأنا:F⊆أنا،F محدود }.{\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}~:=~\lim _{F\in \operatorname {Finite} (I)}\ \sum _{i\in F}r_{i}~=~\lim \left\{\sum _{i\in F}r_{i}\,:F\subseteq I,F{\text{ finite }}\right\}.}

منطق

يتركS{\displaystyle S}أن تكون نظرية رسمية ، وهي عبارة عن مجموعة من الجمل ذات خصائص معينة (يمكن الاطلاع على تفاصيلها في المقالة المتعلقة بالموضوع ). على سبيل المثال،S{\displaystyle S}قد تكون نظرية من الدرجة الأولى (مثل نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ) أو نظرية أبسط من الدرجة الصفرية . المجموعة المرتبة مسبقًا(S،⇐){\displaystyle (S,\Leftarrow )}هي مجموعة موجهة لأنه إذاأ،ب∈S{\displaystyle A,B\in S}وإذاج:=أ∧ب{\displaystyle C:=A\wedge B}يشير إلى الجملة المكونة من خلال العطف المنطقي∧،{\displaystyle \,\wedge ,\,}ثمأ⇐ج{\displaystyle A\Leftarrow C}وب⇐ج{\displaystyle B\Leftarrow C}أينج∈S.{\displaystyle C\in S.} لوS/∼{\displaystyle S/\sim }جبر ليندنبوم -تارسكي المرتبط بـS{\displaystyle S}ثم(S/∼،⇐){\displaystyle \left(S/\sim ,\Leftarrow \right)}هي مجموعة مرتبة جزئياً وهي أيضاً مجموعة موجهة.

قارن مع الشبكات شبهية

مثال على مجموعة موجهة ليست شبه شبكة وصل

تُعد المجموعة الموجهة مفهومًا أكثر عمومية من شبه الشبكة (الوصلية): فكل شبه شبكة وصلية هي مجموعة موجهة، لأن الوصل أو الحد الأعلى الأدنى لعنصرين هو المطلوبج.{\displaystyle c.} لكن العكس ليس صحيحًا، انظر إلى المجموعة الموجهة {1000,0001,1101,1011,1111} المرتبة بتيًا (على سبيل المثال1000≤1011{\displaystyle 1000\leq 1011}يصمد، لكن٠٠٠١≤1000{\displaystyle 0001\leq 1000}لا ينطبق ذلك، لأن الجزء الأخير 1 > 0، حيث أن المجموعة {10000001} لها ثلاثة حدود عليا ولكن ليس لها حد أدنى أعلى، انظر الصورة. (لاحظ أيضًا أنه بدون 1111، فإن المجموعة غير موجهة).

المجموعات الفرعية الموجهة

لا يُشترط أن تكون علاقة الترتيب في مجموعة موجهة متناظرة عكسيًا ، وبالتالي فإن المجموعات الموجهة ليست دائمًا ترتيبات جزئية . ومع ذلك، يُستخدم مصطلح " مجموعة موجهة" أيضًا بشكل متكرر في سياق المجموعات المرتبة جزئيًا. في هذا السياق، تُعرَّف المجموعة الجزئية بأنها مجموعة جزئية من مجموعة موجهة.أ{\displaystyle A}من مجموعة مرتبة جزئياً(P،≤){\displaystyle (P,\leq )}تُسمى المجموعة مجموعةً جزئيةً موجهةً إذا كانت مجموعةً موجهةً وفقًا لنفس الترتيب الجزئي: بعبارة أخرى، ليست المجموعة الفارغة ، ولكل زوج من العناصر حدٌ أعلى. هنا، علاقة الترتيب على عناصر المجموعةأ{\displaystyle A}موروث منP{\displaystyle P}لهذا السبب، لا يلزم اشتراط الانعكاسية والتعدية بشكل صريح.

لا يُشترط أن تكون المجموعة الجزئية الموجهة من مجموعة مرتبة جزئيًا مغلقةً نحو الأسفل ؛ فالمجموعة الجزئية من مجموعة مرتبة جزئيًا تكون موجهة إذا وفقط إذا كان إغلاقها نحو الأسفل مثاليًا . بينما يُعرَّف مصطلح المجموعة الموجهة بأنه مجموعة "موجهة نحو الأعلى" (لكل زوج من العناصر حد أعلى)، فمن الممكن أيضًا تعريف مجموعة موجهة نحو الأسفل يكون لكل زوج من العناصر فيها حد أدنى مشترك. وتكون المجموعة الجزئية من مجموعة مرتبة جزئيًا موجهة نحو الأسفل إذا وفقط إذا كان إغلاقها العلوي مرشحًا .

تُستخدم المجموعات الجزئية الموجهة في نظرية المجال ، التي تدرس الترتيبات الجزئية الموجهة الكاملة . [ 5 ] وهي مجموعات مرتبة جزئيًا حيث يُشترط أن يكون لكل مجموعة موجهة لأعلى حد أدنى أعلى . في هذا السياق، تُقدم المجموعات الجزئية الموجهة تعميمًا للمتتاليات المتقاربة.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ في التعريف المكافئ الذي ينص على أن "لكل مجموعة جزئية منتهية حد أعلى"، فإن المجموعةأ{\displaystyle A}يُشترط تلقائيًا أن تكون المجموعة غير فارغة لأنه يجب أن يكون هناك حد أعلى للمجموعة الفارغة.
  2. ↑ هذا يعنيج=م{\displaystyle j=m}لو(أنا،≤){\displaystyle (I,\leq )}هي مجموعة مرتبة جزئياً .

الحواشي

  1. ↑ كيلي 1975 ، ص 65.
  2. ↑ روبرت س. بوردن (1988). دورة في حساب التفاضل والتكامل المتقدم . شركة كورير. ص  20. ISBN 978-0-486-15038-3.
  3. ↑ آرلين براون ؛ كارل بيرسي (1995). مقدمة في التحليل . سبرينغر. ص 13. ISBN  978-1-4612-0787-0.
  4. ↑ سيغفريد كارل؛ سيبو هيكيلّا (2010). نظرية النقطة الثابتة في المجموعات المرتبة وتطبيقاتها: من المعادلات التفاضلية والتكاملية إلى نظرية الألعاب . سبرينغر. ص 77. ISBN  978-1-4419-7585-0.
  5. ↑ جيرز وآخرون 2003 ، ص. 2.

المراجع