مجموعة مرتبة جزئيا

في الرياضيات ، وخاصة نظرية الترتيب ، الترتيب الجزئي لمجموعة هو ترتيب بحيث يكون أحد العناصر يسبق الآخر بالنسبة لأزواج معينة من العناصر. تُستخدم كلمة جزئي للإشارة إلى أنه ليس من الضروري أن يكون كل زوج من العناصر قابلاً للمقارنة؛ أي أنه قد تكون هناك أزواج لا يسبق فيها أي عنصر الآخر. وبالتالي فإن الترتيبات الجزئية تعمم الترتيبات الكلية ، حيث يكون كل زوج قابلاً للمقارنة.

رسميًا، الترتيب الجزئي هو علاقة ثنائية متجانسة انعكاسية ، وغير متماثلة ، ومتعدية . المجموعة المرتبة جزئيًا ( اختصارًا مجموعة جزئية) هي زوج مرتب يتكون من مجموعة (تسمى المجموعة الأساسية لـ ) وترتيب جزئي على . عندما يكون المعنى واضحًا من السياق ولا يوجد غموض حول الترتيب الجزئي، تسمى المجموعة نفسها أحيانًا مجموعة جزئية.${\displaystyle P=(X,\leq )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

يشير مصطلح الترتيب الجزئي عادةً إلى علاقات الترتيب الجزئي الانعكاسية، المشار إليها في هذه المقالة باسم الترتيبات الجزئية غير الصارمة . ومع ذلك، يستخدم بعض المؤلفين هذا المصطلح للإشارة إلى النوع الشائع الآخر من علاقات الترتيب الجزئي، علاقات الترتيب الجزئي غير الانعكاسية، والتي تسمى أيضًا الترتيبات الجزئية الصارمة. يمكن وضع الترتيبات الجزئية الصارمة وغير الصارمة في تطابق واحد لواحد ، لذلك لكل ترتيب جزئي صارم يوجد ترتيب جزئي غير صارم فريد مقابل، والعكس صحيح.

انعكاسي ، ضعيف ، [ ^1] أوالترتيب الجزئي غير الصارم ،^[2]والذي يُشار إليه عادةً ببساطة باسمالترتيب الجزئي، هوعلاقة متجانسة≤ علىمجموعة انعكاسية،وغير متماثلة،ومتعدية.أي أنهيجب أن يرضي جميع الشروط التالية: ${\displaystyle P}$${\displaystyle a,b,c\in P,}$

1. الانعكاسية : أي أن كل عنصر مرتبط بنفسه.${\displaystyle a\leq a}$
2. عدم التماثل : إذا و ، أي لا يوجد عنصرين متميزين يسبقان بعضهما البعض.${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle b\leq أ}$${\displaystyle أ=ب}$
3. التعدية : إذا و ثم .${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle b\leq c}$${\displaystyle a\leq c}$

الترتيب الجزئي غير الصارم يُعرف أيضًا باسم الترتيب المسبق غير المتماثل .

غير انعكاسي ، قوي ، ^[1] أوالترتيب الجزئي الصارم هو علاقة متجانسة < على مجموعةمتعديةوغير انعكاسيةوغيرمتماثلة؛أي أنها تلبي الشروط التالية لجميع${\displaystyle P}$${\displaystyle a,b,c\in P:}$

1. التعدية : إذا و ثم .${\displaystyle a<b}$${\displaystyle b<c}$${\displaystyle a<c}$
2. عدم الانعكاسية : أي عدم وجود عنصر مرتبط بنفسه (وتسمى أيضًا مضادة للانعكاس).${\displaystyle \neg \left(a<a\right)}$
3. عدم التماثل : إذا فلما لا .${\displaystyle a<b}$${\displaystyle b<a}$

تكون العلاقة المتعدية غير متماثلة إذا وفقط إذا كانت غير انعكاسية. ^[3] لذا فإن التعريف هو نفسه إذا كان يغفل إما عدم الانعكاسية أو عدم التماثل (ولكن ليس كليهما).

الترتيب الجزئي الصارم يُعرف أيضًا باسم الترتيب المسبق الصارم غير المتماثل .

ترتبط الترتيبات الجزئية الصارمة وغير الصارمة في المجموعة ارتباطًا وثيقًا. يمكن تحويل الترتيب الجزئي غير الصارم إلى ترتيب جزئي صارم بإزالة جميع العلاقات من النموذج ، أي أن الترتيب الجزئي الصارم هو المجموعة حيث تكون علاقة الهوية على و تشير إلى طرح المجموعة . وعلى العكس من ذلك، يمكن تحويل الترتيب الجزئي الصارم < على إلى ترتيب جزئي غير صارم عن طريق ربط جميع العلاقات من هذا النموذج؛ أي أن الترتيب الجزئي غير الصارم. وبالتالي، إذا كان ترتيبًا جزئيًا غير صارمًا، فإن الترتيب الجزئي الصارم المقابل < هو النواة غير الانعكاسية المعطاة بواسطة وعلى العكس من ذلك، إذا كان < ترتيبًا جزئيًا صارمًا، فإن الترتيب الجزئي غير الصارم المقابل هو الإغلاق الانعكاسي المعطى بواسطة: ${\displaystyle P}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle a\leq a;}$${\displaystyle <\;:=\ \leq \ \setminus \ \Delta _{P}}$${\displaystyle \Delta _{P}:=\{(p,p):p\in P\}}$${\displaystyle P\times P}$${\displaystyle \;\setminus \;}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \leq \;:=\;\Delta _{P}\;\cup \;<\;}$${\displaystyle \leq }$$${\displaystyle a<b{\text{ إذا }}a\leq b{\text{ و }}a\neq b.}$$${\displaystyle \leq }$$${\displaystyle a\leq b{\text{ إذا كانت }}a<b{\text{ أو }}a=b.}$$

يتم تعريف الثنائي (أو العكس ) لعلاقة الترتيب الجزئي بجعل تكون العلاقة العكسية لـ ، أي إذا وفقط إذا . الثنائي لترتيب جزئي غير صارم هو ترتيب جزئي غير صارم، ^[4] والثنائي لترتيب جزئي صارم هو ترتيب جزئي صارم. الثنائي لثنائي علاقة هو العلاقة الأصلية. ${\displaystyle R^{\text{op}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{\text{op}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle xR^{\text{op}}y}$${\displaystyle yRx}$

بالنظر إلى مجموعة وعلاقة ترتيب جزئية، عادةً ما تكون الترتيب الجزئي غير الصارم ، يمكننا توسيع تدويننا بشكل فريد لتحديد أربع علاقات ترتيب جزئي و ، حيث هي علاقة ترتيب جزئي غير صارمة على ، هي علاقة الترتيب الجزئي الصارمة المرتبطة على ( النواة غير الانعكاسية لـ )، هي ثنائية ، و هي ثنائية . بالمعنى الدقيق للكلمة، يشير مصطلح المجموعة المرتبة جزئيًا إلى مجموعة مع تحديد كل هذه العلاقات بشكل مناسب. ولكن عمليًا، لا يحتاج المرء إلا إلى النظر في علاقة واحدة، أو ، أو في حالات نادرة، العلاقات غير الصارمة والصارمة معًا، . ^[5]${\displaystyle P}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \leq ,}$ ${\displaystyle <,}$ ${\displaystyle \geq ,}$${\displaystyle >}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle P}$${\displaystyle <}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \geq }$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle >}$${\displaystyle <}$${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle (P,<)}$${\displaystyle (P,\leq ,<)}$

يُستخدم مصطلح المجموعة المرتبة أحيانًا كاختصار للمجموعة المرتبة جزئيًا ، طالما أنه من الواضح من السياق أنه لا يُقصد أي نوع آخر من الترتيب. على وجه الخصوص، يمكن أيضًا الإشارة إلى المجموعات المرتبة تمامًا باسم "المجموعات المرتبة"، وخاصةً في المناطق التي تكون فيها هذه الهياكل أكثر شيوعًا من المجموعات الجزئية. يستخدم بعض المؤلفين رموزًا مختلفة عن تلك الموجودة في ^[6] أو ^[7] للتمييز بين الترتيبات الجزئية والترتيبات الكلية. ${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \sqsubseteq }$${\displaystyle \preceq }$

عند الإشارة إلى الترتيبات الجزئية، لا ينبغي اعتبارها مكملة لـ . العلاقة هي عكس النواة غير الانعكاسية لـ ، والتي تكون دائمًا مجموعة فرعية من مكملة لـ ، ولكنها تساوي مكملة إذا، وفقط إذا كان ، ترتيبًا كليًا. ^[أ]${\displaystyle \leq }$${\displaystyle >}$${\displaystyle >}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle >}$${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \leq }$

هناك طريقة أخرى لتحديد الترتيب الجزئي، والتي توجد في علوم الكمبيوتر ، وهي من خلال مفهوم المقارنة . على وجه التحديد، كما تم تعريفه سابقًا، يمكن ملاحظة أن عنصرين x و y قد يقفان في أي من العلاقات الأربع المتبادلة الحصرية مع بعضهما البعض: إما x < y ، أو x = y ، أو x > y ، أو x و y غير قابلين للمقارنة . يمكن تمثيل ذلك بواسطة دالة تعيد أحد الرموز الأربعة عند إعطاء عنصرين. ^{[8] [9]} هذا التعريف يعادل الترتيب الجزئي على مجموعة ، حيث يتم اعتبار المساواة علاقة تكافؤ محددة بدلاً من مساواة المجموعة. ^[10]${\displaystyle \leq ,<,\geq ,{\text{ and }}>}$${\displaystyle {\text{compare}}:P\times P\to \{<,>,=,\vert \}}$

يُعرّف واليس مفهومًا أكثر عمومية للعلاقة الجزئية المرتبة على أنها أي علاقة متجانسة متعدية وغير متماثلة . وهذا يشمل كلًا من الترتيبات الجزئية الانعكاسية وغير الانعكاسية كأنواع فرعية. ^[1]

يمكن تصور مجموعة جزئية محدودة من خلال مخطط هاس الخاص بها . ^[11] على وجه التحديد، بأخذ علاقة ترتيب جزئي صارمة ، يمكن إنشاء رسم بياني غير دوري موجه (DAG) من خلال أخذ كل عنصر من ليكون عقدة وكل عنصر من ليكون حافة. ​​يكون الاختزال المتعدي لهذا الرسم البياني غير الدوري الموجه ^[b] هو مخطط هاس. وبالمثل، يمكن عكس هذه العملية لإنشاء أوامر جزئية صارمة من بعض الرسوم البيانية غير الدورية الموجهة. على النقيض من ذلك، فإن الرسم البياني المرتبط بترتيب جزئي غير صارم له حلقات ذاتية عند كل عقدة وبالتالي فهو ليس رسم بياني غير دوري موجه؛ عندما يقال إن الترتيب غير الصارم يتم تصويره بواسطة مخطط هاس، يتم عرض الترتيب الصارم المقابل في الواقع. ${\displaystyle (P,<)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle <}$

تتضمن الأمثلة القياسية للمجموعات الجزئية التي تنشأ في الرياضيات ما يلي:

• الأعداد الحقيقية ، أو بشكل عام أي مجموعة مرتبة كليًا، مرتبة حسب العلاقة القياسية أقل من أو يساوي ≤، هي ترتيب جزئي.
• بالنسبة للأعداد الحقيقية ، فإن العلاقة الأصغر من < المعتادة هي ترتيب جزئي صارم. وينطبق الأمر نفسه أيضًا على العلاقة الأكبر من > المعتادة على .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• حسب التعريف، كل ترتيب ضعيف صارم هو ترتيب جزئي صارم.
• مجموعة المجموعات الجزئية لمجموعة معينة ( مجموعة القوى الخاصة بها ) مرتبة حسب التضمين (انظر الشكل 1). وبالمثل، مجموعة التسلسلات مرتبة حسب التسلسل الفرعي ، ومجموعة السلاسل مرتبة حسب السلسلة الجزئية .
• مجموعة الأعداد الطبيعية المزودة بعلاقة قابلية القسمة . (انظر الشكل 3 والشكل 6)
• مجموعة رؤوس الرسم البياني غير الدوري الموجه مرتبة حسب إمكانية الوصول .
• مجموعة الفضاءات الجزئية لفضاء متجه مرتبة حسب التضمين.
• بالنسبة للمجموعة المرتبة جزئيًا P ، فإن مساحة التسلسل تحتوي على جميع تسلسلات العناصر من P ، حيث تسبق التسلسل a التسلسل b إذا كان كل عنصر في a يسبق العنصر المقابل في b . رسميًا، إذا وفقط إذا بالنسبة للجميع ؛ أي ترتيب مكون .${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\leq \left(b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
• بالنسبة للمجموعة X ومجموعة مرتبة جزئيًا P ، فإن فضاء الدالة الذي يحتوي على جميع الدوال من X إلى P ، حيث f ≤ g إذا وفقط إذا كانت f ( x ) ≤ g ( x ) لجميع${\displaystyle x\in X.}$
• سياج ، مجموعة مرتبة جزئيًا يتم تحديدها من خلال تسلسل متناوب من علاقات الترتيب أ < ب > ج < د ...
• مجموعة الأحداث في النسبية الخاصة ، وفي معظم الحالات، النسبية العامة ^[ج] ، حيث بالنسبة لحدثين X و Y ، فإن X ≤ Y إذا وفقط إذا كان Y في مخروط الضوء المستقبلي لـ X. يمكن أن يتأثر حدث Y سببيًا بـ X فقط إذا كان X ≤ Y.

من الأمثلة المألوفة للمجموعة المنظمة جزئيًا مجموعة من الأشخاص مرتبة حسب السلالة النسبية . بعض الأزواج من الأشخاص يحملون علاقة النسب، لكن أزواجًا أخرى من الأشخاص غير قابلة للمقارنة، حيث لا يكون أي منهم من نسل الآخر.

من أجل زيادة القوة، أي تناقص مجموعات الأزواج، فإن ثلاثة من الترتيبات الجزئية المحتملة على حاصل الضرب الديكارتي لمجموعتين مرتبتين جزئيًا هي (انظر الشكل 4):

• الترتيب المعجمي :   ( أ ، ب ) ≤ ( ج ، د ) إذا كان أ < ج أو ( أ = ج و ب ≤ د )؛
• ترتيب المنتج : ( أ ، ب ) ≤ ( ج ، د ) إذا كان أ ≤ ج و ب ≤ د ؛
• الإغلاق الانعكاسي للضرب المباشر للأوامر الصارمة المقابلة:   ( أ ، ب ) ≤ ( ج ، د ) إذا ( أ < ج و ب < د ) أو ( أ = ج و ب = د ).

يمكن تعريف الثلاثة على نحو مماثل للضرب الديكارتي لأكثر من مجموعتين.

عند تطبيقها على مساحات متجهية مرتبة على نفس المجال ، تكون النتيجة في كل حالة أيضًا مساحة متجهية مرتبة.

انظر أيضًا إلى الطلبات على حاصل الضرب الديكارتي للمجموعات المرتبة تمامًا .

هناك طريقة أخرى لدمج مجموعتين جزئيتين (منفصلتين) وهي المجموع الترتيبي ^[12] (أو المجموع الخطي )، ^[13] Z = X ⊕ Y ، والذي يتم تعريفه على اتحاد المجموعتين الأساسيتين X و Y بالترتيب a ≤ _Z b إذا وفقط إذا:

• أ ، ب ∈ X مع أ ≤ _X ب ، أو
• أ ، ب ∈ Y مع أ ≤ _Y ب ، أو
• أ ∈ X و ب ∈ Y .

إذا كانت مجموعتان جزئيتان مرتبتان بشكل جيد ، فإن مجموعهما الترتيبي يكون كذلك. ^[14]

تتكون الترتيبات الجزئية المتسلسلة المتوازية من عملية الجمع الترتيبي (في هذا السياق تسمى التركيب المتسلسل) وعملية أخرى تسمى التركيب الموازي. التركيب الموازي هو اتحاد منفصل لمجموعتين مرتبتين جزئيًا، بدون علاقة ترتيب بين عناصر إحدى المجموعتين وعناصر المجموعة الأخرى.

تستخدم الأمثلة المجموعة الجزئية المكونة من مجموعة كل المجموعات الفرعية لمجموعة مكونة من ثلاثة عناصر مرتبة حسب تضمين المجموعة (انظر الشكل 1). ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(\{x,y,z\}),\subseteq )}$${\displaystyle \{x,y,z\},}$

• ترتبط a بـ b عندما تكون a ≤ b . وهذا لا يعني أن b ترتبط أيضًا بـ a ، لأن العلاقة لا يلزم أن تكون متماثلة . على سبيل المثال، ترتبط بـ ولكن ليس العكس.${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{x,y\},}$
• a و b قابلان للمقارنة إذا كان a ≤ b أو b ≤ a . وإلا فهما غير قابلين للمقارنة . على سبيل المثال، و قابلان للمقارنة، بينما و ليسا قابلين للمقارنة.${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{x,y,z\}}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{y\}}$
• الترتيب الكلي أو الترتيب الخطي هو ترتيب جزئي يكون فيه كل زوج من العناصر قابلاً للمقارنة، أي أن التقسيم الثلاثي صحيح. على سبيل المثال، الأعداد الطبيعية بترتيبها القياسي.
• السلسلة هي مجموعة جزئية من مجموعة جزئية مرتبة بشكل كامل. على سبيل المثال، هي سلسلة.${\displaystyle \{\{\,\},\{x\},\{x,y,z\}\}}$
• السلسلة المضادة هي مجموعة فرعية من مجموعة جزئية لا يمكن مقارنة عنصرين مميزين فيها. على سبيل المثال، مجموعة العناصر الفردية ${\displaystyle \{\{x\},\{y\},\{z\}\}.}$
• يقال أن العنصر أ أقل تمامًا من العنصر ب ، إذا كان أ ≤ ب ، وعلى سبيل المثال، أقل تمامًا من${\displaystyle a\neq b.}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{x,y\}.}$
• يقال إن العنصر a مغطى بعنصر آخر b ، ويكتب a ⋖ b (أو a <: b )، إذا كان a أقل تمامًا من b ولا يوجد عنصر ثالث c بينهما؛ رسميًا: إذا كان كل من a ≤ b و صحيحين، و a ≤ c ≤ b خاطئًا لكل c مع باستخدام الترتيب الصارم <، يمكن إعادة صياغة العلاقة a ⋖ b بشكل مكافئ على أنها " a < b ولكن ليس a < c < b لأي c ". على سبيل المثال، مغطى بـ ولكن غير مغطى بـ${\displaystyle a\neq b}$${\displaystyle a\neq c\neq b.}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{x,z\},}$${\displaystyle \{x,y,z\}.}$

هناك عدة مفاهيم لـ "أعظم" و"أصغر" عنصر في المجموعة الجزئية، ومن أبرزها: ${\displaystyle P,}$

• أعظم عنصر وأصغر عنصر: العنصر هو أعظم عنصر إذا كان لكل عنصر عنصر يكون العنصر هو أصغر عنصر إذا كان لكل عنصر لا يمكن أن تحتوي المجموعة الجزئية إلا على عنصر أعظم أو أصغر عنصر. في مثالنا الجاري، المجموعة هي أعظم عنصر، وهي أصغر عنصر.${\displaystyle g\in P}$${\displaystyle a\leq g}$${\displaystyle a\in P.}$${\displaystyle m\in P}$${\displaystyle m\leq a}$${\displaystyle a\in P.}$${\displaystyle \{x,y,z\}}$${\displaystyle \{\,\}}$
• العناصر القصوى والعناصر الدنيا: يكون العنصر عنصرًا أقصى إذا لم يكن هناك عنصر مثل: وبالمثل، يكون العنصر عنصرًا أدنى إذا لم يكن هناك عنصر مثل: إذا كانت المجموعة الجزئية تحتوي على عنصر أعظم، فيجب أن يكون العنصر الأقصى الوحيد، ولكن بخلاف ذلك يمكن أن يكون هناك أكثر من عنصر أقصى، وبالمثل بالنسبة للعناصر الأصغر والعناصر الدنيا. في مثالنا الجاري، و هما العنصران الأقصى والأدنى. وبإزالة هذه العناصر، يوجد 3 عناصر قصوى و3 عناصر دنيا (انظر الشكل 5).${\displaystyle g\in P}$${\displaystyle a\in P}$${\displaystyle a>g.}$${\displaystyle m\in P}$${\displaystyle a\in P}$${\displaystyle a<m.}$${\displaystyle \{x,y,z\}}$${\displaystyle \{\,\}}$
• الحدود العليا والسفلى : لمجموعة فرعية A من P ، يكون العنصر x في P هو الحد الأعلى لـ A إذا كان a  ≤  x ، لكل عنصر a في A. وعلى وجه الخصوص، لا يلزم أن يكون x في A ليكون الحد الأعلى لـ A. وبالمثل، يكون العنصر x في P هو الحد الأدنى لـ A إذا كان a  ≥  x ، لكل عنصر a في A. يكون العنصر الأعظم لـ P هو الحد الأعلى لـ P نفسها، ويكون العنصر الأصغر هو الحد الأدنى لـ P. في مثالنا، تكون المجموعة حدًا أعلى لمجموعة العناصر${\displaystyle \{x,y\}}$${\displaystyle \{\{x\},\{y\}\}.}$

كمثال آخر، ضع في اعتبارك الأعداد الصحيحة الموجبة، مرتبة حسب قابلية القسمة: 1 هو أصغر عنصر، لأنه يقسم جميع العناصر الأخرى؛ من ناحية أخرى، لا تحتوي هذه المجموعة الجزئية المرتبة على أعظم عنصر. لا تحتوي هذه المجموعة الجزئية المرتبة حتى على أي عناصر قصوى، لأن أي g يقسم على سبيل المثال 2 g ، وهو مختلف عنها، لذا فإن g ليس أقصى عنصر. إذا تم استبعاد الرقم 1، مع الحفاظ على قابلية القسمة كترتيب للعناصر الأكبر من 1، فإن المجموعة الجزئية الناتجة لا تحتوي على أصغر عنصر، ولكن أي عدد أولي هو عنصر أدنى له. في هذه المجموعة الجزئية المرتبة، 60 هو الحد الأعلى (وإن لم يكن الحد الأعلى الأدنى) للمجموعة الفرعية التي ليس لها أي حد أدنى (لأن 1 ليس في المجموعة الجزئية المرتبة)؛ من ناحية أخرى، 2 هو الحد الأدنى للمجموعة الفرعية لقوى 2، والتي ليس لها أي حد أعلى. إذا تم تضمين الرقم 0، فسيكون هذا هو العنصر الأعظم، لأنه مضاعف لكل عدد صحيح (انظر الشكل 6). ${\displaystyle \{2,3,5,10\},}$

بالنظر إلى مجموعتين مرتبتين جزئيًا ( S ، ≤) و ( T ، ≼) ، تسمى الدالة محافظة على الترتيب ، أو رتيبة ، أو متساوية النغمة ، إذا كان لكل منها f ( x ) ≼ f ( y ) . إذا كانت ( U ، ≲) أيضًا مجموعة مرتبة جزئيًا، وكلاهما و حافظان على الترتيب، فإن تركيبهما حافظ للنظام أيضًا. تسمى الدالة عاكسة للنظام إذا كان لكل منها f ( x ) ≼ f ( y ) يعني إذا كانت f محافظة على الترتيب وتعكسه، فإنها تسمى تضمينًا للنظام لـ ( S ، ≤) في ( T ، ≼) . في الحالة الأخيرة، تكون f حقنية بالضرورة ، حيث تعني و بدورها وفقًا للتناظر المضاد لـ إذا كان هناك تضمين للنظام بين مجموعتين جزئيتين S و T ، فيمكن للمرء أن يقول أنه يمكن تضمين S في T. إذا كان تضمين الترتيب ثنائي التماثل ، فإنه يسمى تماثل الترتيب ، ويقال إن الترتيبات الجزئية ( S ، ≤) و ( T ، ≼) متماثلة . تحتوي الترتيبات المتماثلة على مخططات هاس متشابهة هيكليًا (انظر الشكل 7أ). يمكن إظهار أنه إذا كانت الخرائط المحافظة على الترتيب موجودة بحيث و تنتج دالة الهوية على S و T ، على التوالي، فإن S و T متماثلة الترتيب. ^[15]${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle x,y\in S,}$ ${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle g:T\to U}$ ${\displaystyle g\circ f:S\to U}$${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle x,y\in S,}$ ${\displaystyle x\leq y.}$${\displaystyle f(x)=f(y)}$${\displaystyle x\leq y{\text{ and }}y\leq x}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle \leq .}$${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle g:T\to U}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$

على سبيل المثال، يمكن تعريف التعيين من مجموعة الأعداد الطبيعية (المرتبة حسب قابلية القسمة) إلى مجموعة الأعداد الطبيعية ذات القوى (المرتبة حسب تضمين المجموعة) عن طريق أخذ كل رقم إلى مجموعة قواسمه الأولية . إنه يحافظ على الترتيب: إذا قسم x على y ، فإن كل قاسم أولي لـ x هو أيضًا قاسم أولي لـ y . ومع ذلك، فهو ليس حقنًا (لأنه يعين كل من 12 و6 إلى ) ولا يعكس الترتيب (لأن 12 لا يقسم 6). بدلاً من ذلك، فإن أخذ كل رقم إلى مجموعة قواسمه الأولية يحدد تعيينًا يحافظ على الترتيب ويعكس الترتيب، وبالتالي فهو تضمين للنظام. إنه ليس تماثلًا ترتيبيًا (لأنه، على سبيل المثال، لا يعين أي رقم للمجموعة )، ولكن يمكن جعله كذلك عن طريق تقييد مجاله المشترك بـ يوضح الشكل 7ب مجموعة فرعية من وصورتها المتماثلة تحت g . يمكن تعميم بناء مثل هذا التماثل الترتيبي في مجموعة قوى على فئة واسعة من الترتيبات الجزئية، تسمى الشبكات التوزيعية ؛ انظر نظرية تمثيل بيركهوف . ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {P} (\mathbb {N} )}$${\displaystyle \{2,3\}}$${\displaystyle g:\mathbb {N} \to \mathbb {P} (\mathbb {N} )}$${\displaystyle \{4\}}$${\displaystyle g(\mathbb {N} ).}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

يعطي التسلسل A001035 في OEIS عدد الطلبات الجزئية لمجموعة من العناصر المسمى n :

عدد العلاقات الثنائية المكونة من n عنصر من أنواع مختلفة

عناصر	أي	متعد	انعكاسي	متماثل	النظام السابق	ترتيب جزئي	إجمالي الطلب المسبق	مجموع الطلب	علاقة التكافؤ
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65,536	3,994	4,096	1,024	355	219	75	24	15
ن	2 ن 2		2 ن ( ن −1)	2 ن ( ن +1)/2			∑ن ك = 0 ك ! س ( ن ، ك )	ن !	∑ن ك = 0 س ( ن ، ك )
أويس	أ002416	أ006905	أ053763	أ006125	أ000798	أ001035	أ000670	أ000142	أ000110

لاحظ أن S ( n , k ) يشير إلى أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني .

عدد الأوامر الجزئية الصارمة هو نفس عدد الأوامر الجزئية.

إذا تم إجراء العد حتى التماثل فقط، يتم الحصول على التسلسل 1، 1، 2، 5، 16، 63، 318، ... (التسلسل A000112 في OEIS ).

تُسمى المجموعة الجزئية مجموعة جزئية لمجموعة جزئية أخرى بشرط أن تكون مجموعة جزئية من و تكون مجموعة جزئية من . الشرط الأخير يعادل الشرط الذي ينص على أنه بالنسبة لأي و في (وبالتالي أيضًا في )، إذا كان . ${\displaystyle P^{*}=(X^{*},\leq ^{*})}$${\displaystyle P=(X,\leq )}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \leq ^{*}}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\leq ^{*}y}$${\displaystyle x\leq y}$

إذا كانت مجموعة فرعية من و علاوة على ذلك، بالنسبة لجميع و في ، كلما كان لدينا أيضًا ، فإننا نسمي المجموعة الفرعية لـ المستحثة بواسطة ، ونكتب . ${\displaystyle P^{*}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x\leq ^{*}y}$${\displaystyle P^{*}}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle P^{*}=P[X^{*}]}$

يُطلق على الترتيب الجزئي لمجموعة ما اسم الامتداد لترتيب جزئي آخر على بشرط أن يكون لجميع العناصر متى كان الأمر كذلك أيضًا . الامتداد الخطي هو امتداد يكون أيضًا ترتيبًا خطيًا (أي كليًا). كمثال كلاسيكي، الترتيب المعجمي للمجموعات المرتبة تمامًا هو امتداد خطي لترتيب حاصل ضربها. يمكن تمديد كل ترتيب جزئي إلى ترتيب كلي ( مبدأ امتداد الترتيب ). ^[16]${\displaystyle \leq ^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle x\leq y,}$${\displaystyle x\leq ^{*}y.}$

في علوم الكمبيوتر ، تسمى الخوارزميات المستخدمة في العثور على امتدادات خطية للأوامر الجزئية (الممثلة على أنها أوامر إمكانية الوصول للرسوم البيانية غير الدورية الموجهة ) بالفرز الطوبولوجي .

يمكن اعتبار كل مجموعة جزئية (وكل مجموعة مرتبة مسبقًا ) فئة حيث، بالنسبة للأشياء و يوجد على الأكثر شكل واحد من إلى بشكل أكثر وضوحًا، دع hom( x , y ) = {( x , y )} إذا كانت x ≤ y (وإلا المجموعة الفارغة ) و تسمى هذه الفئات أحيانًا بالمجموعات الجزئية . ${\displaystyle x}$${\displaystyle y,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$${\displaystyle (y,z)\circ (x,y)=(x,z).}$

تكون المجموعات الجزئية متكافئة مع بعضها البعض إذا وفقط إذا كانت متماثلة الشكل . في المجموعة الجزئية، يكون العنصر الأصغر، إذا كان موجودًا، كائنًا أوليًا ، والعنصر الأكبر، إذا كان موجودًا، يكون كائنًا نهائيًا . أيضًا، تكون كل مجموعة مرتبة مسبقًا مكافئة لمجموعة جزئية. أخيرًا، تكون كل فئة فرعية من المجموعة الجزئية مغلقة الشكل .

إذا كانت مجموعة مرتبة جزئيًا وقد أعطيت أيضًا بنية الفضاء الطوبولوجي ، فمن المعتاد أن نفترض أن هي مجموعة مغلقة من الفضاء الطوبولوجي. تحت هذا الافتراض، تتصرف علاقات الترتيب الجزئي بشكل جيد عند الحدود بمعنى أنه إذا و و للجميع ، فإن ^[17]${\displaystyle P}$${\displaystyle \{(a,b):a\leq b\}}$ ${\displaystyle P\times P.}$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }a_{i}=a,}$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }b_{i}=b,}$${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle a_{i}\leq b_{i},}$${\displaystyle a\leq b.}$

المجموعة المحدبة في المجموعة الجزئية P هي مجموعة جزئية I من P لها الخاصية التالية: بالنسبة لأي x و y في I وأي z في P ، إذا كان x ≤ z ≤ y ، فإن z تكون أيضًا في I. يعمم هذا التعريف تعريف فترات الأعداد الحقيقية . عندما يكون هناك ارتباك محتمل مع المجموعات المحدبة للهندسة ، يتم استخدام الترتيب المحدب بدلاً من "المحدب".

الشبكة الفرعية المحدبة للشبكة L هي شبكة فرعية لـ L وهي أيضًا مجموعة محدبة لـ L. يمكن تمثيل كل شبكة فرعية محدبة غير فارغة بشكل فريد على أنها تقاطع مرشح ومثالي لـ L.

الفاصل الزمني في المجموعة الجزئية P هو مجموعة جزئية يمكن تعريفها باستخدام تدوين الفاصل الزمني:

• بالنسبة إلى a ≤ b ، فإن الفاصل المغلق [ a , b ] هو مجموعة العناصر x التي تحقق a ≤ x ≤ b (أي، a ≤ x و x ≤ b ). ويحتوي على الأقل على العنصرين a و b .
• باستخدام العلاقة الصارمة المقابلة "<"، فإن الفاصلة المفتوحة ( a , b ) هي مجموعة العناصر x التي تحقق a < x < b (أي a < x و x < b ). قد تكون الفاصلة المفتوحة فارغة حتى لو كانت a < b . على سبيل المثال، الفاصلة المفتوحة (0, 1) على الأعداد الصحيحة فارغة لأنه لا يوجد عدد صحيح x بحيث 0 < x < 1 .
• يتم تعريف الفواصل نصف المفتوحة [ a , b ) و ( a , b ] على نحو مماثل.

عندما لا يكون a ≤ b صحيحًا، تكون كل هذه الفواصل فارغة. كل فترة هي مجموعة محدبة، لكن العكس لا يكون صحيحًا؛ على سبيل المثال، في المجموعة الجزئية من قواسم 120، مرتبة حسب قابلية القسمة (انظر الشكل 7ب)، تكون المجموعة {1، 2، 4، 5، 8} محدبة، لكنها ليست فترة.

تكون الفترة I محدودة إذا كانت هناك عناصر مثل I ⊆ [ a , b ] . من الواضح أن كل فترة يمكن تمثيلها في صيغة الفترة محدودة، ولكن العكس ليس صحيحًا. على سبيل المثال، دع P = (0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 3) كمجموعة فرعية من الأعداد الحقيقية. المجموعة الفرعية (1, 2) هي فترة محدودة، ولكن ليس لها حد أدنى أو حد أعلى في  P ، لذلك لا يمكن كتابتها في صيغة الفترة باستخدام عناصر  P.${\displaystyle a,b\in P}$

تُسمى المجموعة الجزئية محدودة محليًا إذا كانت كل فترة محدودة محدودة. على سبيل المثال، تكون الأعداد الصحيحة محدودة محليًا وفقًا لترتيبها الطبيعي. الترتيب المعجمي على حاصل الضرب الديكارتي ليس محدودًا محليًا، لأن (1, 2) ≤ (1, 3) ≤ (1, 4) ≤ (1, 5) ≤ ... ≤ (2, 1) . باستخدام تدوين الفترة، يمكن إعادة صياغة الخاصية " a مغطاة بـ b " على نحو مكافئ على النحو التالي${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$${\displaystyle [a,b]=\{a,b\}.}$

لا ينبغي الخلط بين مفهوم الفاصل الزمني في الترتيب الجزئي والفئة الخاصة من الترتيبات الجزئية المعروفة باسم ترتيبات الفاصل الزمني .

الوسائط المتعلقة بمخططات هاسه في ويكيميديا ​​كومنز؛ حيث يُظهر كل منها مثالاً لترتيب جزئي