العلاقة العكسية

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 58 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، عكس العلاقة الثنائية هو العلاقة التي تحدث عند عكس ترتيب العناصر فيها. على سبيل المثال، عكس علاقة "ابن  " هو علاقة "والد  ". بعبارة أخرى، إذاX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}هي مجموعات ول⊆X×Y{\displaystyle L\subseteq X\times Y}هي علاقة منX{\displaystyle X}لY،{\displaystyle Y,}ثملتي{\displaystyle L^{\operatorname {T} }}هل العلاقة محددة بحيثyلتيx{\displaystyle yL^{\operatorname {T} }x}إذا وفقط إذاxلy.{\displaystyle xLy.}في تدوين بناء المجموعات ،

لتي={(y،x)∈Y×X:(x،y)∈ل}.{\displaystyle L^{\operatorname {T} }=\{(y,x)\in Y\times X:(x,y)\in L\}.}

بما أن العلاقة يمكن تمثيلها بمصفوفة منطقية ، والمصفوفة المنطقية للعلاقة العكسية هي منقولة المصفوفة الأصلية، فإن العلاقة العكسية [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] تُسمى أيضًا علاقة النقل . [ 5 ] كما تُسمى أيضًا معاكسة أو ثنائية العلاقة الأصلية، [ 6 ] أو معكوس العلاقة الأصلية، [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] أو مقلوبها.ل∘{\displaystyle L^{\circ }}العلاقةل.{\displaystyle L.}[ 11 ]

تتضمن الرموز الأخرى للعلاقة العكسية ما يلي:لج،ل-1،ل˘،ل∘،{\displaystyle L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },}أول∨.{\displaystyle L^{\vee }.}

يشابه هذا الترميز ترميز الدالة العكسية . مع أن العديد من الدوال لا تمتلك دالة عكسية، إلا أن لكل علاقة معكوسًا فريدًا. العملية الأحادية التي تربط علاقةً ما بمعكوسها هي عملية انعكاس ، لذا فهي تُنشئ بنية شبه زمرة مع انعكاس على العلاقات الثنائية في مجموعة، أو، بشكل أعم، تُنشئ فئة خنجر على فئة العلاقات كما هو موضح أدناه . وباعتبارها عملية أحادية ، فإن أخذ المعكوس (الذي يُسمى أحيانًا التحويل أو النقل ) يتبادل مع العمليات المتعلقة بالترتيب في حساب العلاقات، أي أنه يتبادل مع الاتحاد والتقاطع والمتمم.

أمثلة

بالنسبة لعلاقات الترتيب المعتادة (ربما الصارمة أو الجزئية) ، فإن العكس هو الترتيب "المعاكس" المتوقع بشكل ساذج، على سبيل المثال،≤تي=≥،<تي=>.{\displaystyle {\leq ^{\operatorname {T} }}={\geq },\quad {<^{\operatorname {T} }}={>}.}في نظرية الترتيب ، عكس الترتيب الجزئي≤{\displaystyle \leq }يُطلق عليه عادةً اسم نظيره ويُرمز إليه إما بـ≤د{\displaystyle \leq ^{d}}أو عن طريق≤*{\displaystyle \leq ^{\ast }}.

يمكن تمثيل العلاقة بمصفوفة منطقية مثل (1111010100100001).{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}

ثم يتم تمثيل العلاقة العكسية بواسطة مصفوفة النقل الخاصة بها : (1000110010101101).{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&1&0&1\end{pmatrix}}.}

توجد في اللغة الإنجليزية العديد من علاقات القرابة التي لها مقابلات تحمل أسماءً أيضًا. فعلى سبيل المثال، علاقة "ابن/ابنة" لها مقابل " والد/والدة" . وبالمثل، فإن مقابل "ابن / ابنة أخ/أخت" هو " عم / عمة " . أما علاقة "شقيق / شقيقة " ، فهي مقابلها، لأنها علاقة متناظرة .

ملكيات

في شبه الزمرة للعلاقات الثنائية على مجموعة (حيث تكون العملية الثنائية على العلاقات هي تركيب العلاقات )، فإن العلاقة العكسية لا تحقق تعريف المعكوس من نظرية الزمر، أي إذال{\displaystyle L}هي علاقة اعتباطية علىX،{\displaystyle X,}ثمل∘لتي{\displaystyle L\circ L^{\operatorname {T} }}لا يساوي علاقة الهوية علىX{\displaystyle X}بشكل عام. العلاقة العكسية تحقق البديهيات (الأضعف) لشبه المجموعة مع الانعكاس :(لتي)تي=ل{\displaystyle \left(L^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=L}و(ل∘R)تي=Rتي∘لتي.{\displaystyle (L\circ R)^{\operatorname {T} }=R^{\operatorname {T} }\circ L^{\operatorname {T} }.}[ 12 ]

بما أنه يمكن عمومًا النظر في العلاقات بين مجموعات مختلفة (والتي تُشكّل فئةً بدلًا من مجموعة أحادية، أي فئة العلاقات Rel )، فإن العلاقة العكسية في هذا السياق تتوافق مع بديهيات فئة الخنجر ( المعروفة أيضًا باسم الفئة ذات الانعكاس). [ 12 ] العلاقة التي تساوي عكسها هي علاقة متناظرة ؛ وفي لغة فئات الخنجر، هي علاقة ذاتية الترافق .

علاوة على ذلك، فإن شبه المجموعة للعلاقات الداخلية على مجموعة ما هي أيضًا بنية مرتبة جزئيًا (مع تضمين العلاقات كمجموعات)، وهي في الواقع كمية انعكاسية . وبالمثل، فإن فئة العلاقات غير المتجانسة ، Rel، هي أيضًا فئة مرتبة. [ 12 ]

في حساب العلاقات ، يتبادل التحويل (العملية الأحادية المتمثلة في أخذ العلاقة العكسية) مع العمليات الثنائية الأخرى للاتحاد والتقاطع. كما يتبادل التحويل مع عملية المكمل الأحادية ، وكذلك مع أخذ القيم العليا والدنيا. ويتوافق التحويل أيضًا مع ترتيب العلاقات بالتضمين. [ 5 ]

إذا كانت العلاقة انعكاسية ، أو غير انعكاسية ، أو متناظرة ، أو مضادة للتناظر ، أو غير متناظرة ، أو متعدية ، أو متصلة ، أو ثلاثية التفرع ، أو ترتيب جزئي ، أو ترتيب كلي ، أو ترتيب ضعيف صارم ، أو ترتيب كلي مسبق (ترتيب ضعيف)، أو علاقة تكافؤ ، فإن عكسها يكون كذلك أيضًا.

المعكوسات

لوأنا{\displaystyle I}يمثل علاقة الهوية، ثم علاقةR{\displaystyle R}قد يكون له معكوس كما يلي:R{\displaystyle R}يُطلق عليه اسم

قابل للانعكاس إلى اليمين
إذا كانت هناك علاقةX،{\displaystyle X,}يُطلق عليه اسمالعكس الأيمن لـR،{\displaystyle R,}ذلك يرضيR∘X=أنا.{\displaystyle R\circ X=I.}
قابل للانعكاس إلى اليسار
إذا كانت هناك علاقة Y،{\displaystyle Y,}يُطلق عليه اسم عكس اليسار منR،{\displaystyle R,}ذلك يرضيY∘R=أنا.{\displaystyle Y\circ R=I.}
قابل للعكس
إذا كانت قابلة للانعكاس من اليمين وقابلة للانعكاس من اليسار.

لعلاقة متجانسة قابلة للعكسR،{\displaystyle R,}تتطابق جميع المعكوسات اليمنى واليسرى؛ وتسمى هذه المجموعة الفريدة مجموعتهامعكوسه ويرمز له بـR-1.{\displaystyle R^{-1}.}في هذه الحالة،R-1=Rتي{\displaystyle R^{-1}=R^{\operatorname {T} }}[ 5 ] : 79​

العلاقة العكسية للدالة

تكون الدالة قابلة للعكس إذا وفقط إذا كانت علاقتها العكسية دالة، وفي هذه الحالة تكون العلاقة العكسية هي الدالة العكسية.

العلاقة العكسية للدالةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هل العلاقةو-1⊆Y×X{\displaystyle f^{-1}\subseteq Y\times X}يُعرَّف بواسطةالرسم البيانيو-1={(y،x)∈Y×X:y=و(x)}.{\displaystyle \operatorname {graph} \,f^{-1}=\{(y,x)\in Y\times X:y=f(x)\}.}

هذا ليس بالضرورة دالة: أحد الشروط الضرورية هو أنو{\displaystyle f}يجب أن تكون دالة حقنية ، وإلا و-1{\displaystyle f^{-1}}متعددة القيم . هذا الشرط كافٍ لـو-1{\displaystyle f^{-1}}كونها دالة جزئية ، ومن الواضح أنو-1{\displaystyle f^{-1}}تكون الدالة (الكليّة) إذا وفقط إذاو{\displaystyle f}هي دالة شاملة . في هذه الحالة، بمعنى إذاو{\displaystyle f}هي دالة تقابلية ،و-1{\displaystyle f^{-1}}يمكن تسميتها الدالة العكسية لـو.{\displaystyle f.}

على سبيل المثال، الدالةو(x)=2x+2{\displaystyle f(x)=2x+2}لها وظيفة عكسيةو-1(x)=x2-1.{\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {x}{2}}-1.}

ومع ذلك، فإن الوظيفةز(x)=x2{\displaystyle g(x)=x^{2}}توجد علاقة عكسيةز-1(x)=±x،{\displaystyle g^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}},}وهو ليس دالة، كونه متعدد القيم.

التأليف ذو الصلة

باستخدام تركيب العلاقات ، يمكن تركيب علاقة مع عكسها.

بالنسبة لعلاقة المجموعة الجزئية⊆{\displaystyle \subseteq }على مجموعة الطاقةP(يو){\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}من كونيو{\displaystyle U}كلا التركيبين مع عكسهما يمثلان العلاقة العالمية علىP(يو){\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}:

(⊆)∘(⊇)=P(يو)×P(يو)و(⊇)∘(⊆)=P(يو)×P(يو).{\displaystyle (\subseteq )\circ (\supseteq )={\mathcal {P}}(U)\times {\mathcal {P}}(U)\quad {\text{and}}\quad (\supseteq )\circ (\subseteq )={\mathcal {P}}(U)\times {\mathcal {P}}(U).}

في الواقع، بالنسبة لأيأ،ج⊆يو{\displaystyle A,C\subseteq U}،

أ((⊆)∘(⊇))ج⟺∃ب⊆يو: أ⊆ب∧ج⊆ب{\displaystyle A{\big (}(\subseteq )\circ (\supseteq ){\big )}C\iff \exists B\subseteq U:\ A\subseteq B\land C\subseteq B}

وهو ما يتحقق بأخذب=أ∪ج{\displaystyle B=A\cup C}؛ بصورة مماثلة،

أ((⊇)∘(⊆))ج⟺∃ب⊆يو: ب⊆أ∧ب⊆ج،{\displaystyle A{\big (}(\supseteq )\circ (\subseteq ){\big )}C\iff \exists B\subseteq U:\ B\subseteq A\land B\subseteq C,}

وهو ما يتحقق بأخذب=أ∩ج{\displaystyle B=A\cap C}.

والآن، لننظر في علاقة عضوية المجموعة∈⊆ يو×P(يو){\displaystyle \in \;\subseteq \ U\times {\mathcal {P}}(U)}وعكسها∋⊆ P(يو)×يو{\displaystyle \ni \;\subseteq \ {\mathcal {P}}(U)\times U}للمجموعاتأ،ب⊆يو{\displaystyle A,B\subseteq U}،

أ(∋∘∈)ب⟺∃z∈يو: z∈أ∧z∈ب⟺أ∩ب≠∅،{\displaystyle A\,(\ni \circ \in )\,B\iff \exists z\in U:\ z\in A\land z\in B\iff A\cap B\neq \emptyset ,}

لذا∋∘∈{\displaystyle \ni \circ \in }هي علاقة "التقاطع غير الفارغ" علىP(يو){\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}. وعلى العكس من ذلك، بالنسبة للعناصرx،y∈يو{\displaystyle x,y\in U}،

x(∈∘∋)y⟺∃أ⊆يو: x∈أ∧y∈أ،{\displaystyle x\,(\in \circ \ni )\,y\iff \exists A\subseteq U:\ x\in A\land y\in A,}

وهو ما ينطبق دائماً (على سبيل المثال لـأ={x،y}{\displaystyle A=\{x,y\}})؛ لذلك∈∘∋ =يو×يو{\displaystyle \in \circ \ni =U\times U}هي العلاقة العالمية علىيو{\displaystyle U}.

تُستخدم التركيبات لتصنيف العلاقات حسب نوعها: بالنسبة للعلاقة Q ، عندما تحتوي علاقة التطابق على مدى Q على QᵀQ ، تُسمى Q أحادية القيمة. عندما تحتوي علاقة التطابق على مجال Q على QᵀQ، تُسمى Q كلية . عندما تكون Q أحادية القيمة وكلية في آنٍ واحد ، تُسمى دالة . عندما تكون Qᵀ أحادية القيمة ، تُسمى Q أحادية التباين . عندما تكون Qᵀ كلية، تُسمى Q شاملة . [ 13 ]

إذا كانت Q أحادية القيمة، فإن QQ T هي علاقة تكافؤ على مجال Q ، انظر العلاقة المتعدية#الخصائص ذات الصلة .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ إرنست شرودر ، (1895)، جبر المنطق (المنطق الدقيق) فرقة دريتر، الجبر والمنطق النسبي ، لايبزيغ: بي جي تيوبنر عبر أرشيف الإنترنت Seite 3 Konversion
  2. ↑ برتراند راسل (1903) مبادئ الرياضيات ، صفحة 97 عبر أرشيف الإنترنت
  3. ↑ سي آي لويس (1918) مسح للمنطق الرمزي، صفحة 273 عبر أرشيف الإنترنت
  4. ↑ شميدت، غونتر (2010). الرياضيات العلائقية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ص  39. ISBN 978-0-521-76268-7.
  5. 1 2 3 غونتر شميدت؛ توماس سترولين (1993). العلاقات والرسوم البيانية: الرياضيات المتقطعة لعلماء الحاسوب . سبرينغر برلين هايدلبرغ. الصفحات 9-10 . ISBN  978-3-642-77970-1.
  6. ↑ سيليستينا كوتي فيريرو؛ جيوفاني فيريرو (2002). الحلقات القريبة: بعض التطورات المرتبطة بأنصاف المجموعات والمجموعات . دار نشر كلوير الأكاديمية. ص 3. ISBN  978-1-4613-0267-4.
  7. ↑ دانيال ج. فيلمان (2006). كيف تثبت ذلك: منهج منظم . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 173. ISBN  978-1-139-45097-3.
  8. ↑ شلومو ستيرنبرغ؛ لين لوميس (2014). حساب التفاضل والتكامل المتقدم . شركة وورلد ساينتيفيك للنشر. ص 9. ISBN  978-9814583930.
  9. ↑ روزن، كينيث هـ. (2017). دليل الرياضيات المتقطعة والتوافقية . روزن، كينيث هـ.، شير، دوغلاس ر.، غودارد، واين. ( الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا. ص 43. ISBN   978-1-315-15648-4. OCLC 994604351 . {{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  10. ↑ جيرارد أوريجان (2016): دليل الرياضيات المتقطعة: مقدمة مبسطة للتاريخ والنظرية والمنطق والتطبيقات ISBN 9783319445618
  11. ^ بيتر جيه فريد وأندريه سسيدروف (1990) الفئات، الرموز، الصفحة 79، شمال هولندا ISBN 0-444-70368-3
  12. 1 2 3 يواكيم لامبيك (2001). "العلاقات القديمة والجديدة". في: إيفا أورلوفسكا ؛ أندريه شالاس (محرران). الأساليب العلائقية لتطبيقات علوم الحاسوب . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 135-146 . ISBN  978-3-7908-1365-4.
  13. ↑ غونتر شميدت ومايكل وينتر (2018) الطوبولوجيا العلائقية ، سلسلة محاضرات سبرينغر في الرياضيات #2208، صفحة 8، ISBN 978-3-319-74450-6