علاقة غير متناظرة

العلاقات الثنائية المتعدية  v ت هـ
متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل توتال، سيميكونكس مضاد للانعكاس علاقة التكافؤ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب مسبق (طلب شبه رسمي) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب جزئي ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلبات المسبقة ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلب ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ الطلب المسبق ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب شبه جيد ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب جيد ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ شعرية ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ الانضمام إلى شبه الشبكة ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ لقاء شبه شبكة ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ ترتيب جزئي صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y ترتيب ضعيف صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y إجمالي الطلب الصارم ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل التعريفات، للجميع${\displaystyle a,b}$و${\displaystyle S\neq \varnothing$ :} ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ و }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{يوجد}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
يشير الرمز Y إلى أن خاصية العمود صحيحة دائمًا بالنسبة لعنصر الصف (في أقصى اليسار)، بينما يشير الرمز ✗ إلى أن الخاصية غير مضمونة بشكل عام (قد تكون صحيحة أو خاطئة). على سبيل المثال، يُشار إلى أن كل علاقة تكافؤ متناظرة، ولكن ليس بالضرورة مضادة للتناظر، بالرمز Y في عمود "متناظر" والرمز ✗ في عمود "مضاد للتناظر". تتطلب جميع التعريفات ضمنيًا العلاقة المتجانسة${\displaystyle R}$يكون متعدياً : للجميع${\displaystyle a,b,c,}$لو${\displaystyle aRb}$و${\displaystyle bRc}$ثم${\displaystyle aRc.}$ قد يتطلب تعريف المصطلح خصائص إضافية غير مدرجة في هذا الجدول.

في الرياضيات ، العلاقة غير المتناظرة هي علاقة ثنائية${\displaystyle R}$على مجموعة${\displaystyle X}$أين للجميع${\displaystyle a,b\in X,}$لو${\displaystyle a}$يرتبط بـ${\displaystyle b}$ثم${\displaystyle b}$لا علاقة له بـ${\displaystyle a.}$^{[ 1 ]}

ومن أمثلة العلاقات غير المتناظرة علاقة " أصغر من ".${\displaystyle \,<\,}$بين الأعداد الحقيقية : إذا${\displaystyle x<y}$ثم بالضرورة${\displaystyle y}$لا يقل عن${\displaystyle x.}$بشكل عام، أي ترتيب جزئي صارم هو علاقة غير متناظرة. ليست كل العلاقات غير المتناظرة ترتيبات جزئية صارمة. مثال على علاقة غير متناظرة غير متعدية، بل وحتى علاقة مضادة للتعدي، هي علاقة حجر ورقة مقص : إذا${\displaystyle X}$إيقاعات${\displaystyle Y,}$ثم${\displaystyle Y}$لا يهزم${\displaystyle X;}$وإذا${\displaystyle X}$إيقاعات${\displaystyle Y}$و${\displaystyle Y}$إيقاعات${\displaystyle Z,}$ثم${\displaystyle X}$لا يهزم${\displaystyle Z.}$

القيود وعكس العلاقات غير المتناظرة هي أيضاً غير متناظرة. على سبيل المثال، قيد${\displaystyle \,<\,}$لا يزال الانتقال من الأعداد الحقيقية إلى الأعداد الصحيحة غير متناظر، والعكس أو الثنائي${\displaystyle \,>\,}$ل${\displaystyle \,<\,}$وهو غير متماثل أيضاً.

لا يشترط أن تمتلك العلاقة غير المتناظرة خاصية الاتصال . على سبيل المثال، علاقة المجموعة الجزئية الصارمة${\displaystyle \,\subsetneq \,}$غير متناظر، ولا أي من المجموعتين${\displaystyle \{1,2\}}$و${\displaystyle \{3,4\}}$هي مجموعة جزئية صارمة من الأخرى. العلاقة متصلة إذا وفقط إذا كان مكملها غير متماثل.

ومن الأمثلة غير الصحيحة علاقة "أقل من أو يساوي".${\displaystyle \leq }$هذا ليس غير متماثل، لأنه عند عكسه على سبيل المثال،${\displaystyle x\leq x}$منتج${\displaystyle x\leq x}$وكلاهما صحيح. تُعد علاقة "أصغر من أو يساوي" مثالاً على علاقة ليست متناظرة ولا غير متناظرة، مما يدل على أن عدم التناظر ليس هو نفسه "عدم التناظر ".

العلاقة الفارغة هي العلاقة الوحيدة التي تكون ( بشكل فارغ ) متناظرة وغير متناظرة في نفس الوقت.

الشروط التالية كافية لإقامة علاقة${\displaystyle R}$أن يكون غير متماثل: ^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle R}$غير انعكاسي وغير متناظر (وهذا ضروري أيضاً)
• ${\displaystyle R}$هي علاقة غير انعكاسية ومتعدية. تكون العلاقة المتعدية غير متناظرة إذا وفقط إذا كانت غير انعكاسية: ^{[ 4 ]} إذا${\displaystyle aRb}$و${\displaystyle bRa,}$خاصية التعدي تعطي${\displaystyle aRa,}$تناقض اللاانعكاسية. هذه العلاقة هي ترتيب جزئي صارم .
• ${\displaystyle R}$غير انعكاسي ويحقق خاصية شبه الترتيب 1 (لا يوجد ترتيبان خطيان ثنائيا النقاط غير قابلين للمقارنة المتبادلة)
• ${\displaystyle R}$مضاد للتعدي ومضاد للتناظر
• ${\displaystyle R}$مضاد للتعدي ومتعدي
• ${\displaystyle R}$مضاد للتعدي ويحقق خاصية شبه الترتيب 1

• إن بديهيات تارسكي للأعداد الحقيقية – جزء من هذا هو الشرط الذي ينص على أن${\displaystyle \,<\,}$تكون الأعداد الحقيقية غير متناظرة.