الطلب المسبق

العلاقات الثنائية المتعدية  v ت هـ
متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل توتال، سيميكونكس مضاد للانعكاس علاقة التكافؤ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب مسبق (طلب شبه رسمي) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب جزئي ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلبات المسبقة ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلب ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ الطلب المسبق ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب شبه جيد ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب جيد ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ شعرية ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ الانضمام إلى شبه الشبكة ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ شبكة اللقاءات ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ ترتيب جزئي صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y ترتيب ضعيف صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y إجمالي الطلب الصارم ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل التعريفات، للجميع${\displaystyle a,b}$و${\displaystyle S\neq \varnothing$ :} ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ و }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{يوجد}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
يشير الرمز Y إلى أن خاصية العمود صحيحة دائمًا بالنسبة لعنصر الصف (في أقصى اليسار)، بينما يشير الرمز ✗ إلى أن الخاصية غير مضمونة بشكل عام (قد تكون صحيحة أو خاطئة). على سبيل المثال، يُشار إلى أن كل علاقة تكافؤ متناظرة، ولكن ليس بالضرورة مضادة للتناظر، بالرمز Y في عمود "متناظر" والرمز ✗ في عمود "مضاد للتناظر". تتطلب جميع التعريفات ضمنيًا العلاقة المتجانسة${\displaystyle R}$يكون متعدياً : للجميع${\displaystyle a,b,c,}$لو${\displaystyle aRb}$و${\displaystyle bRc}$ثم${\displaystyle aRc.}$ قد يتطلب تعريف المصطلح خصائص إضافية غير مدرجة في هذا الجدول.

في نظرية المجموعات ، الترتيب المسبق على مجموعة${\displaystyle X}$هذا طلب مسبق${\displaystyle \leq }$على${\displaystyle X}$( علاقة متعدية وانعكاسية على${\displaystyle X}$) التي ترتبط ارتباطًا وثيقًا (بمعنى أن أي نقطتين قابلتان للمقارنة) ومؤسسة بشكل جيد بمعنى أن العلاقة المستحثة${\displaystyle x<y}$محدد بواسطة${\displaystyle x\leq y{\text{ و }}y\nleq x}$هي علاقة راسخة .

طلب مسبق على مجموعة${\displaystyle X}$هي علاقة ثنائية متجانسة${\displaystyle \,\leq \,}$على${\displaystyle X}$التي تستوفي الشروط التالية: ^{[ 1 ]}

1. الانعكاسية :${\displaystyle x\leq x}$للجميع${\displaystyle x\in X.}$
2. التعدي : إذا${\displaystyle x<y}$و${\displaystyle y<z}$ثم${\displaystyle x<z}$للجميع${\displaystyle x,y,z\in X.}$
3. متصل تمامًا/متصل بقوة :${\displaystyle x\leq y}$أو${\displaystyle y\leq x}$للجميع${\displaystyle x,y\in X.}$
4. لكل مجموعة جزئية غير فارغة${\displaystyle S\subseteq X,}$يوجد بعض${\displaystyle m\in S}$بحيث${\displaystyle m\leq s}$للجميع${\displaystyle s\in S.}$
   • هذا الشرط يعادل الترتيب المسبق الصارم المستحث${\displaystyle x<y}$محدد بواسطة${\displaystyle x\leq y}$و${\displaystyle y\nleq x}$كونها علاقة راسخة .

علاقة ثنائية متجانسة${\displaystyle \,\leq \,}$على${\displaystyle X}$يكون ترتيبًا جيدًا مسبقًا إذا وفقط إذا وُجد تطبيق شامل.${\displaystyle \pi :X\to Y}$في مجموعة منظمة جيدًا${\displaystyle (Y,\lesssim )}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle x,y\in X,}$${\textstyle x\leq y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \pi (x)\lesssim \pi (y).}$^{[ 1 ]}

أمثلة

بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle A,}$العلاقة الثنائية على المجموعة${\displaystyle X:=\operatorname {Finite} (A)}$من جميع المجموعات الجزئية المنتهية من${\displaystyle A}$محدد بواسطة${\displaystyle S\leq T}$إذا وفقط إذا${\displaystyle |S|\leq |T|}$(أين${\displaystyle |\cdot |}$يشير إلى عدد عناصر المجموعة ) هو ترتيب مسبق جيد. ^{[ 1 ]}

لو${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$هي فئة نقطية من مجموعات جزئية من مجموعة ما${\displaystyle {\mathcal {F}}}$من المساحات البولندية ،${\displaystyle {\mathcal {F}}}$مغلق بموجب الضرب الديكارتي ، وإذا${\displaystyle \leq }$هو ترتيب مسبق لمجموعة فرعية${\displaystyle P}$من عنصر ما${\displaystyle X}$ل${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ثم${\displaystyle \leq }$يقال إنه${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$- طلب مسبق لـ${\displaystyle P}$إذا كانت العلاقات${\displaystyle <^{*}}$و${\displaystyle \leq ^{*}}$هي عناصر من${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }},}$أين لـ${\displaystyle x,y\in X,}$

1. ${\displaystyle x<^{*}y{\text{ إذا وفقط إذا }}x\in P\land (y\notin P\lor (x\leq y\land y\not \leq x))}$
2. ${\displaystyle x\leq ^{*}y{\text{ إذا وفقط إذا }}x\in P\land (y\notin P\lor x\leq y)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$يُقال إن لها خاصية الترتيب المسبق إذا كانت كل مجموعة في${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$يعترف بـ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$-طلب مسبق للسل.

ترتبط خاصية الترتيب المسبق الجيد بخاصية المقياس الأقوى ؛ من الناحية العملية، فإن العديد من فئات النقاط التي تتمتع بخاصية الترتيب المسبق الجيد تتمتع أيضًا بخاصية المقياس، مما يسمح باستخلاص استنتاجات أقوى.

• نظرية المجموعات الوصفية – فرع من فروع المنطق الرياضي 
• المجموعة المرتبة جزئيًا المتدرجة - مجموعة مرتبة جزئيًا مزودة بدالة رتبة - تشبه المجموعة المرتبة جزئيًا المتدرجة الترتيب المسبق مع معيار، حيث يتم استبدال خريطة الأعداد الترتيبية بخريطة الأعداد الطبيعية. 
• خاصية المقياس