علاقة متجانسة

في الرياضيات ، تُعرف العلاقة المتجانسة (وتُسمى أيضًا العلاقة الداخلية ) على مجموعة X بأنها علاقة ثنائية بين X ونفسها، أي أنها مجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي $X \times X.$ ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} ويُشار إليها عادةً بـ "علاقة على X " ^{[ 4 ]} أو "علاقة (ثنائية) فوق X ". ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} ومن أمثلة العلاقات المتجانسة علاقة القرابة ، حيث تكون العلاقة بين أشخاص.

تشمل أنواع العلاقات الداخلية الشائعة الترتيبات ، والرسوم البيانية ، والتكافؤات . وقد ساهمت الدراسات المتخصصة في نظرية الترتيب ونظرية الرسوم البيانية في تطوير فهم العلاقات الداخلية. تُستخدم مصطلحات خاصة بنظرية الرسوم البيانية للوصف، حيث يُفترض أن الرسم البياني العادي (غير الموجه) يُقابل علاقة متناظرة ، بينما تُقابل العلاقة الداخلية العامة رسمًا بيانيًا موجهًا . تُقابل العلاقة الداخلية R مصفوفة منطقية من الأصفار والآحاد، حيث يُقابل التعبير xRy ( حيث x مرتبط بـ y من R ) حافة بين x و y في الرسم البياني، وقيمة 1 في المصفوفة المربعة لـ R. تُسمى هذه المصفوفة في مصطلحات الرسوم البيانية بمصفوفة التجاور.

علاقات متجانسة خاصة

بعض العلاقات المتجانسة الخاصة على مجموعة X (بعناصر اختيارية $x 1$ و $x 2$ ) هي:

علاقة فارغة: $E = \emptyset$ ؛أي أن $x 1 Ex 2$ لا يتحقق أبداً؛
علاقة عالمية: $U = X \times X$ ؛أي أن $x 1 Ux 2$ صحيح دائمًا؛
علاقة التطابق (انظر أيضًا دالة التطابق ): $I = {(x, x) | x \in X$ };أي أن $x 1 Ix 2$ يتحقق إذا وفقط إذا كان $x 1 = x 2$ .

مثال

تمثيل مصفوفي للعلاقة "مجاور لـ" على مجموعة الصفائح التكتونية
		أف	أن	أر	أستراليا	كاليفورنيا	شركة	الاتحاد الأوروبي	في	جو	غير متوفر	نا	با	الرقم الهيدروجيني	جنوب أفريقيا	العلوم	لذا
الأفريقي	أف
أنتاركتيكا	أن
العرب	أر
أسترالي	أستراليا
منطقة البحر الكاريبي	كاليفورنيا
كوكوس	شركة
أوراسيا	الاتحاد الأوروبي
هندي	في
خوان دي فوكا	جو
أمريكا الشمالية	غير متوفر
نازكا	نا
المحيط الهادئ	با
الفلبين	الرقم الهيدروجيني
أمريكا الجنوبية	جنوب أفريقيا
سكوتيا	العلوم
الصومال	لذا

تتصل ست عشرة صفيحة تكتونية كبيرة من قشرة الأرض ببعضها البعض في علاقة متجانسة. يمكن التعبير عن هذه العلاقة بمصفوفة منطقية ، حيث يشير الرقم 1 (المُمثل بـ " ") إلى الاتصال، بينما يشير الرقم 0 ( " " إلى عدم الاتصال. يُعبّر هذا المثال عن علاقة متناظرة.

ملكيات

من الخصائص المهمة التي قد تمتلكها العلاقة المتجانسة $R$ على مجموعة $X ما يلي:$

انعكاسي: لكل $x \in X$ ، $xRx$ . على سبيل المثال، ≥ علاقة انعكاسية، لكن > ليست كذلك.
غير انعكاسي (أو صارم ): لكل $x \in X$ ، وليس $xRx$ . على سبيل المثال، > علاقة غير انعكاسية، لكن ≥ ليست كذلك.
انعكاسي: لكل $x و y \in X$ ، إذا كان $xRy$ فإن $x = y$ . ^{[ 7 ]} على سبيل المثال، العلاقة بين كل عدد فردي ونفسه في مجموعة الأعداد الصحيحة هي علاقة انعكاسية. علاقة المساواة هي المثال الوحيد لعلاقة انعكاسية وانعكاسية في آنٍ واحد، وأي علاقة انعكاسية هي مجموعة جزئية من علاقة التطابق.
شبه انعكاسي يساري: لكل $x و y \in X$ ، إذا كان $xRy$ فإن $xRx$ .
شبه انعكاسي أيمن: لكل $x و y \in X$ ، إذا كان $xRy$ فإن $yRy$ .
شبه انعكاسي: لكل $x و y \in X$ ، إذا كان $xRy$ فإن $xRx$ و $yRy$ . تكون العلاقة شبه انعكاسية إذا، وفقط إذا، كانت شبه انعكاسية من اليسار واليمين.

البدائل الستة السابقة ليست شاملة؛ فعلى سبيل المثال، العلاقة الثنائية $xRy$ المعرفة بالمعادلة $y = x²$ ليست غير انعكاسية، ولا انعكاسية جزئية، ولا انعكاسية، لأنها تحتوي على الزوج $(0, 0)$ $و$ ( $2, 4)$ ، ولكنها لا تحتوي على الزوج $(2, 2)$ . وتستبعد هاتان الحقيقتان الأخيرتان أيضًا شبه الانعكاسية (بأي شكل من الأشكال).

متماثل: لكل $x و y \in X$ ، إذا كان $xRy$ فإن $yRx$ . على سبيل المثال، "هو قريب من الدرجة الأولى" هي علاقة متناظرة، لأن $x$ يكون قريبًا من الدرجة الأولى لـ $y$ إذا وفقط إذا كان $y$ قريبًا من الدرجة الأولى لـ $x$ .
مضاد للتناظر: لكل $x و y \in X$ ، إذا كان $xRy$ و $yRx$ فإن $x = y$ . على سبيل المثال، ≥ علاقة مضادة للتناظر؛ وكذلك >، ولكن بشكل بديهي (الشرط في التعريف خاطئ دائمًا). ^{[ 8 ]}
غير متماثل: لكل $x و y \in X$ ، إذا كان $xRy$ فإن $yRx$ ليس كذلك . تكون العلاقة غير متناظرة إذا وفقط إذا كانت مضادة للتناظر وغير انعكاسية. ^{[ 9 ]} على سبيل المثال، > علاقة غير متناظرة، بينما ≥ ليست كذلك.

مرة أخرى، البدائل الثلاثة السابقة بعيدة كل البعد عن أن تكون شاملة؛ على سبيل المثال، بالنسبة للأعداد الطبيعية، فإن العلاقة $xRy$ المعرفة بواسطة $x > 2$ ليست متناظرة ولا مضادة للتناظر، ناهيك عن كونها غير متناظرة.

فعل متعدٍ: لكل $x و y و z \in X$ ، إذا كان $xRy$ و $yRz$ فإن $xRz$ . تكون العلاقة المتعدية غير انعكاسية إذا وفقط إذا كانت غير متناظرة. ^{[ 10 ]} على سبيل المثال، "سلف لـ" علاقة متعدية، بينما "والد لـ" ليست كذلك.
مضاد للتعدي: لكل $x و y و z \in X$ ، إذا كان $xRy$ و $yRz$ فلن يكون $xRz$ أبدًا .
متعدٍ مشترك: إذا كانت متممة R متعدية. أي، لكل $x و y و z \in X$ ، إذا كان $xRz$ ، فإن $xRy$ أو $yRz$ . يُستخدم هذا في الترتيبات الزائفة في الرياضيات البنائية.
شبه متعدٍ: لكل $x و y و z \in X$ ، إذا كان $xRy$ و $yRz$ ولكن ليس $yRx$ ولا $zRy$ ، فإن $xRz$ ولكن ليس $zRx$ .
خاصية التعدي في عدم المقارنة: لكل $x و y و z \in X$ ، إذا كان $x$ و $y$ غير قابلين للمقارنة بالنسبة إلى $R$ ، وإذا كان الأمر نفسه ينطبق على $y$ و $z$ ، فإن $x$ و $z$ يكونان أيضاً غير قابلين للمقارنة بالنسبة إلى $R.$ يُستخدم هذا في الترتيبات الضعيفة .

مرة أخرى، البدائل الخمسة السابقة ليست شاملة. على سبيل المثال، العلاقة $xRy$ إذا كان ( $y = 0$ أو $y = x + 1$ ) لا تحقق أيًا من هذه الخصائص. من ناحية أخرى، تحقق العلاقة الفارغة جميعها بشكل بديهي.

كثيف: لكل $x و y \in X$ بحيث $xRy$ ، يوجد $z \in X$ بحيث $xRz$ و $zRy$ . يُستخدم هذا في الترتيبات الكثيفة .
متصل: لكل $x و y \in X$ ، إذا كان $x \neq y$ فإن $xRy$ أو $yRx$ . تُسمى هذه الخاصية أحيانًا "الإجمالية"، وهي تختلف عن تعريفات "الإجمالية اليسرى/اليمنى" الواردة أدناه.
مترابطة بقوة: لكل $x و y \in X$ ، $xRy$ أو $yRx$ . تُسمى هذه الخاصية أيضًا أحيانًا "الإجمالية"، وهي تختلف عن تعريفات "الإجمالية اليسرى/اليمنى" الواردة أدناه.
ثلاثي التفرع: لكل $x و y \in X$ ، يتحقق واحد فقط من العلاقات التالية: $xRy$ أو $yRx$ أو $x = y$ . على سبيل المثال، تُعدّ العلاقة > علاقة ثلاثية على الأعداد الحقيقية، بينما العلاقة "تقسم" على الأعداد الطبيعية ليست كذلك. ^{[ 11 ]}
الإقليدي الأيمن (أو الإقليدي فقط ): لكل $x و y و z \in X$ ، إذا كان $xRy$ و $xRz$ فإن $yRz$ . على سبيل المثال، = هي علاقة إقليدية لأنه إذا كان $x = y$ و $x = z$ فإن $y = z$ .
الإقليدية اليسرى: لكل $x و y و z \in X$ ، إذا كان $yRx$ و $zRx$ فإن $yRz$ .
مؤسس بشكل جيد: تحتوي كل مجموعة جزئية غير فارغة $S$ من $X على$ عنصر أدنى بالنسبة إلى $R.$ يستلزم الأساس الجيد شرط السلسلة التنازلية (أي أنه لا يمكن أن توجد سلسلة لانهائية $... x n R ... Rx 3 Rx 2 Rx 1$ ). إذا افترضنا بديهية الاختيار التابع ، فإن الشرطين متكافئان. ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

علاوة على ذلك، فإن جميع خصائص العلاقات الثنائية بشكل عام قد تنطبق أيضًا على العلاقات المتجانسة:

مجموعة شبيهة بالمجموعة: لكل $x \in X$ ، فئة كل $y$ بحيث تكون $yRx$ مجموعة. (هذا منطقي فقط إذا كانت العلاقات على الفئات الصحيحة مسموحة.)
فريد من اليسار: لكل $x و z \in X$ ولكل $y \in Y$ ، إذا كان $xRy$ و $zRy$ فإن $x = z$ .
أحادي التكافؤ: لكل $x \in X$ ولكل $y و z \in Y$ ، إذا كان $xRy$ و $xRz$ فإن $y = z$ . ^{[ 14 ]}
المجموع (ويسمى أيضاً المجموع الأيسر): لكل $x \in X$ يوجد $y \in Y$ بحيث $xRy$ . هذه الخاصية تختلف عن تعريف الاتصال (أو ما يسميه بعض المؤلفين بالشمولية ).
شامل (يسمى أيضًا المجموع الأيمن): لكل $y \in Y$ ، يوجد $x \in X$ بحيث xRy .

الترتيب الجزئي هو علاقة انعكاسية ومتعدية. أما الترتيب الجزئي الكلي ، والذي يُسمى أيضاً الترتيب الجزئي الخطي أو الترتيب الضعيف ، فهو علاقة انعكاسية ومتعدية ومتصلة.

الترتيب الجزئي ، ويُسمى أيضًا الترتيب ، هو علاقة انعكاسية، غير متناظرة، ومتعدية. الترتيب الجزئي الصارم ، ويُسمى أيضًا الترتيب الصارم ، هو علاقة غير انعكاسية، غير متناظرة، ومتعدية. الترتيب الكلي ، ويُسمى أيضًا الترتيب الخطي ، أو الترتيب البسيط ، أو السلسلة ، هو علاقة انعكاسية، غير متناظرة، ومتعدية، ومتصلة. ^[¹⁵^] الترتيب الكلي الصارم ، ويُسمى أيضًا الترتيب الخطي الصارم ، أو الترتيب البسيط الصارم ، أو السلسلة الصارمة ، هو علاقة غير انعكاسية، غير متناظرة، ومتعدية، ومتصلة.

العلاقة الجزئية المتكافئة هي علاقة متناظرة ومتعدية. أما العلاقة المتكافئة فهي علاقة انعكاسية ومتناظرة ومتعدية. وهي أيضاً علاقة متناظرة ومتعدية وكلية، لأن هذه الخصائص تستلزم الانعكاسية.

قد تُسمى العلاقة أحادية القيمة أيضًا بالدالة الجزئية . الدالة (الكلية) هي دالة جزئية كلية من اليسار. الدالة التباينية (أو الدالة الجزئية) هي دالة يكون معكوسها أحادي القيمة. الدالة الشاملة هي دالة كلية من اليمين.

الآثار والتعارضات بين خصائص العلاقات الثنائية المتجانسة
الآثار المترتبة (باللون الأزرق) والتعارضات (باللون الأحمر) بين خصائص (باللون الأصفر) العلاقات الثنائية المتجانسة. على سبيل المثال، كل علاقة غير متناظرة هي علاقة غير انعكاسية ( " غير متناظرة ⇒ غير انعكاسية " )، ولا يمكن لأي علاقة على مجموعة غير فارغة أن تكون غير انعكاسية وانعكاسية في الوقت نفسه ( " غير انعكاسية ≠ انعكاسية " ). يؤدي حذف الحواف الحمراء إلى رسم بياني هاس .

العمليات

إذا كانت R علاقة متجانسة على مجموعة X، فإن كل مما يلي يمثل علاقة متجانسة على X :

الإغلاق الانعكاسي ، R ⁼: يُعرَّف $R بأنه {(x, x) | x \in X} \cup R$ ، أو أصغر علاقة انعكاسية على X تحتوي على R. ويمكن إثبات أن هذا يساوي تقاطع جميع العلاقات الانعكاسية التي تحتوي على R.
الاختزال الانعكاسي ، R ^≠: يُعرَّف على أنه $R ≠ = R \ {( x , x ) | x ∈ X$ } أو أكبر علاقة غير انعكاسية على X موجودة في R.
الإغلاق المتعدي ، R ⁺: يُعرَّف بأنه أصغر علاقة متعدية على X تحتوي على R. ويمكن ملاحظة أن هذا يساوي تقاطع جميع العلاقات المتعدية التي تحتوي على R.
الإغلاق الانعكاسي المتعدي ، R *: يُعرَّف على أنه $R * = (R +) =$ ، أصغر ترتيب جزئي يحتوي على R .
الإغلاق الانعكاسي المتعدي المتناظر ، R ^≡: تُعرَّف بأنها أصغر علاقة تكافؤ على X تحتوي على R.

جميع العمليات المحددة في العلاقة الثنائية § تنطبق أيضًا على العلاقات المتجانسة.

العلاقات المتجانسة حسب الخاصية
	الانعكاسية	التناظر	خاصية التعدي	رجال متصلون	رمز	مثال
الرسم البياني الموجه					→
رسم بياني غير موجه		متماثل
التبعية	انعكاسي	متماثل
البطولة	غير انعكاسي	غير متماثل				ترتيب الأهواء
النظام السابق	انعكاسي		فعل متعدٍ		≤	التفضيل
إجمالي الطلبات المسبقة	انعكاسي		فعل متعدٍ	متصل	≤
طلب جزئي	انعكاسي	مضاد للتناظر	فعل متعدٍ		≤	مجموعة فرعية
ترتيب جزئي صارم	غير انعكاسي	غير متماثل	فعل متعدٍ		<	مجموعة فرعية صارمة
إجمالي الطلب	انعكاسي	مضاد للتناظر	فعل متعدٍ	متصل	≤	الترتيب الأبجدي
إجمالي الطلب الصارم	غير انعكاسي	غير متماثل	فعل متعدٍ	متصل	<	الترتيب الأبجدي الصارم
علاقة التكافؤ الجزئي		متماثل	فعل متعدٍ
علاقة التكافؤ	انعكاسي	متماثل	فعل متعدٍ		~, ≡	المساواة

تعداد

مجموعة جميع العلاقات المتجانسة ${\mathcal {B}}(X)$ على مجموعة X، $توجد$ المجموعة $2X \times X$ ، وهي جبر بولياني مُعزز بانعكاس تطبيق علاقة على علاقتها العكسية . باعتبار تركيب العلاقات عملية ثنائية على ${\mathcal {B}}(X)$ ، فهي تشكل شبه زمرة مع انعكاس حيث يكون عنصر المحايد هو علاقة المحايد. ^{[ 16 ]}

عدد العلاقات المتجانسة المتميزة على مجموعة مكونة من n عنصر هو $2 n 2$ (التسلسل A002416 في OEIS ) :

عدد العلاقات الثنائية المكونة من n عنصر من أنواع مختلفة
العناصر	أي	فعل متعدٍ	انعكاسي	متماثل	النظام السابق	طلب جزئي	إجمالي الطلبات المسبقة	إجمالي الطلب	علاقة التكافؤ
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65,536	3994	4096	1024	355	219	75	24	15
ن	2 ^{ن ²}		2 ^{ن ( ن −1)}	2 ^{ن ( ن +1)/2}			∑ ⁿ_{k =0} k ! S ( n , k )	ن !	∑ ⁿ_{k =0} S ( n , k )
OEIS	A002416	A006905	A053763	A006125	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

لاحظ أن S ( n , k ) يشير إلى أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني .

ملحوظات:

عدد العلاقات غير الانعكاسية هو نفسه عدد العلاقات الانعكاسية.
عدد الترتيبات الجزئية الصارمة (العلاقات المتعدية غير الانعكاسية) هو نفسه عدد الترتيبات الجزئية.
عدد الطلبات الضعيفة الصارمة هو نفسه عدد الطلبات المسبقة الإجمالية.
إجمالي الطلبات هو الطلبات الجزئية التي تُعتبر أيضًا طلبات مسبقة إجمالية. وبالتالي، فإن عدد الطلبات المسبقة التي لا تُعتبر طلبًا جزئيًا ولا طلبًا مسبقًا إجماليًا هو عدد الطلبات المسبقة مطروحًا منه عدد الطلبات الجزئية، مطروحًا منه عدد الطلبات المسبقة الإجمالية، مضافًا إليه عدد الطلبات الإجمالية: 0، 0، 0، 3، و85 على التوالي.
عدد علاقات التكافؤ هو عدد التقسيمات ، وهو ما يُعرف برقم بيل .

يمكن تجميع العلاقات المتجانسة في أزواج (علاقة، مكمل )، باستثناء حالة $n = 0$ حيث تكون العلاقة مكملتها الخاصة. أما العلاقات غير المتناظرة فيمكن تجميعها في رباعيات (علاقة، مكمل، معكوس ، مكمل معكوس).

أمثلة

العلاقات النظامية ، بما في ذلك الأوامر الصارمة :
- أكبر من
- أكبر من أو يساوي
- أقل من
- أقل من أو يساوي
- يقسم (بشكل متساوٍ)
- مجموعة فرعية من
علاقات التكافؤ :
- المساواة
- بالتوازي مع ( للفضاءات الأفينية )
- التكافؤ العددي أو "التقابل مع "
- متماثل الشكل
- قطع الخطوط متساوية الأقطاب
علاقة التسامح ، وهي علاقة انعكاسية ومتناظرة:
- علاقة التبعية ، علاقة التسامح المحدودة
- علاقة الاستقلال ، هي مكمل لعلاقة التبعية.
العلاقات الأسرية

التعميمات

لا يشترط أن تكون العلاقة الثنائية متجانسة بشكل عام، فهي تُعرَّف بأنها مجموعة جزئية R ⊆ X × Y لمجموعات عشوائية X و Y.
العلاقة المنتهية هي مجموعة جزئية R ⊆ X ₁ × ... × X _n لبعض الأعداد الطبيعية n والمجموعات العشوائية X ₁ ، ... ، X _n ، وتسمى أيضًا علاقة n -ary.

مراجع

↑ مايكل وينتر (2007). فئات جوجين: منهج تصنيفي للعلاقات الضبابية من النوع L. سبرينغر. الصفحات من x إلى xi. ISBN 978-1-4020-6164-6.
↑ م. إ. مولر (2012). اكتشاف المعرفة العلائقية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 22. ISBN 978-0-521-19021-3.
↑ بيتر ج. باهل؛ رودولف دامراث (2001). الأسس الرياضية للهندسة الحاسوبية: دليل . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 496. ISBN 978-3-540-67995-0.
↑ موردسون، جون ن.؛ ناير، بريمشاند س. (8 نوفمبر 2012). الرياضيات الضبابية: مقدمة للمهندسين والعلماء . فيزيكا. ص 2. ISBN 978-3-7908-1808-6.
↑ تانايف، ف.؛ غوردون، و.؛ شافرانسكي، ياكوف م. (6 ديسمبر 2012). نظرية الجدولة. أنظمة المرحلة الواحدة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 41. ISBN 978-94-011-1190-4.
↑ ماير، برتراند (29 يونيو 2009). لمسة من الرقي: تعلم البرمجة الجيدة باستخدام الكائنات والعقود . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 509. ISBN 978-3-540-92145-5.
^ فونسيكا دي أوليفيرا، جيه إن وبيريرا كونها رودريغز، CDJ (2004). نقل العلاقات: من الوظائف المحتملة إلى جداول التجزئة رياضيات بناء البرامج، المؤتمر الدولي السابع. ستيرلينغ، اسكتلندا. ص. 337.
↑ سميث، دوغلاس؛ إيجن، موريس؛ سانت أندريه، ريتشارد (2006). الانتقال إلى الرياضيات المتقدمة (الطبعة السادسة ). بروكس/كول. ص 160. ISBN 0-534-39900-2.
↑ نيفيرجيلت، إيف (2002). أسس المنطق والرياضيات: تطبيقات في علوم الحاسوب والتشفير . سبرينغر. ص 158 . .
↑ فلاشكا، ف.؛ جيزيك، ج.؛ كيبكا، ت.؛ كورتيلاينن، ج. (2007). الإغلاقات المتعدية للعلاقات الثنائية 1 (ملف PDF) . براغ: كلية الرياضيات والفيزياء، جامعة تشارلز. ص 1. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 2013-11-02. اللمة 1.1 (رابعاً). يشير هذا المصدر إلى العلاقات غير المتناظرة على أنها "مضادة للتناظر تماماً".
↑ بما أن 5 لا يقسم 3، ولا 3 يقسم 5، ولا 3 = 5.
↑ "شرط التأسيس الجيد" . ProofWiki . مؤرشف من الأصل في 20 فبراير 2019. تم الاسترجاع في 20 فبراير 2019 .
↑ فرايس، ر. (15 ديسمبر 2000). نظرية العلاقات . المجلد 145 ( الطبعة الأولى). إلسيفير. ص 46. ISBN 9780444505422تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 فبراير 2019 .
↑ شميدت، غونتر؛ سترولين، توماس (2012) [الطبعة الأولى 1993]. العلاقات والرسوم البيانية: الرياضيات المتقطعة لعلماء الحاسوب . برلين، هايدلبرغ: سبرينغر. ص 54.
↑ روزنشتاين، جوزيف ج. (1982). الترتيبات الخطية . دار النشر الأكاديمية. ص 4. ISBN 0-12-597680-1.
↑ شميدت، غونتر؛ سترولين، توماس (1993). "العلاقات المتجانسة" . العلاقات والرسوم البيانية: الرياضيات المتقطعة لعلماء الحاسوب . برلين، هايدلبرغ: سبرينغر. ص 14. doi : 10.1007/978-3-642-77968-8_2 . ISBN 978-3-642-77968-8.

[Winter2007-1] مايكل وينتر (2007). فئات جوجين: منهج تصنيفي للعلاقات الضبابية من النوع L. سبرينغر. الصفحات من x إلى xi. ISBN 978-1-4020-6164-6.

[Müller2012-2] م. إ. مولر (2012). اكتشاف المعرفة العلائقية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 22. ISBN 978-0-521-19021-3.

[PahlDamrath2001-p496-3] بيتر ج. باهل؛ رودولف دامراث (2001). الأسس الرياضية للهندسة الحاسوبية: دليل . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 496. ISBN 978-3-540-67995-0.

[4] موردسون، جون ن.؛ ناير، بريمشاند س. (8 نوفمبر 2012). الرياضيات الضبابية: مقدمة للمهندسين والعلماء . فيزيكا. ص 2. ISBN 978-3-7908-1808-6.

[5] تانايف، ف.؛ غوردون، و.؛ شافرانسكي، ياكوف م. (6 ديسمبر 2012). نظرية الجدولة. أنظمة المرحلة الواحدة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 41. ISBN 978-94-011-1190-4.

[6] ماير، برتراند (29 يونيو 2009). لمسة من الرقي: تعلم البرمجة الجيدة باستخدام الكائنات والعقود . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 509. ISBN 978-3-540-92145-5.

[7] فونسيكا دي أوليفيرا، جيه إن وبيريرا كونها رودريغز، CDJ (2004). نقل العلاقات: من الوظائف المحتملة إلى جداول التجزئة رياضيات بناء البرامج، المؤتمر الدولي السابع. ستيرلينغ، اسكتلندا. ص. 337.

[8] سميث، دوغلاس؛ إيجن، موريس؛ سانت أندريه، ريتشارد (2006). الانتقال إلى الرياضيات المتقدمة (الطبعة السادسة ). بروكس/كول. ص 160. ISBN 0-534-39900-2.

[9] نيفيرجيلت، إيف (2002). أسس المنطق والرياضيات: تطبيقات في علوم الحاسوب والتشفير . سبرينغر. ص 158 . .

[10] فلاشكا، ف.؛ جيزيك، ج.؛ كيبكا، ت.؛ كورتيلاينن، ج. (2007). الإغلاقات المتعدية للعلاقات الثنائية 1 (ملف PDF) . براغ: كلية الرياضيات والفيزياء، جامعة تشارلز. ص 1. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 2013-11-02. اللمة 1.1 (رابعاً). يشير هذا المصدر إلى العلاقات غير المتناظرة على أنها "مضادة للتناظر تماماً".

[11] بما أن 5 لا يقسم 3، ولا 3 يقسم 5، ولا 3 = 5.

[12] "شرط التأسيس الجيد" . ProofWiki . مؤرشف من الأصل في 20 فبراير 2019. تم الاسترجاع في 20 فبراير 2019 .

[13] فرايس، ر. (15 ديسمبر 2000). نظرية العلاقات . المجلد 145 ( الطبعة الأولى). إلسيفير. ص 46. ISBN 9780444505422تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 فبراير 2019 .

[14] شميدت، غونتر؛ سترولين، توماس (2012) [الطبعة الأولى 1993]. العلاقات والرسوم البيانية: الرياضيات المتقطعة لعلماء الحاسوب . برلين، هايدلبرغ: سبرينغر. ص 54.

[15] روزنشتاين، جوزيف ج. (1982). الترتيبات الخطية . دار النشر الأكاديمية. ص 4. ISBN 0-12-597680-1.

[16] شميدت، غونتر؛ سترولين، توماس (1993). "العلاقات المتجانسة" . العلاقات والرسوم البيانية: الرياضيات المتقطعة لعلماء الحاسوب . برلين، هايدلبرغ: سبرينغر. ص 14. doi : 10.1007/978-3-642-77968-8_2 . ISBN 978-3-642-77968-8.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[

[ 16 ]