المتباينة (الرياضيات)

في الرياضيات ، المتباينة هي علاقة تُجري مقارنة غير متساوية بين عددين أو تعبيرين رياضيين آخرين. ^{[ 1 ]} تُستخدم غالبًا لمقارنة عددين على خط الأعداد من حيث قيمتهما. النوعان الرئيسيان للمتباينة هما أصغر من وأكبر من ( يرمز لهما بـ < و > ، على التوالي ) .

توجد عدة رموز مختلفة تُستخدم لتمثيل أنواع مختلفة من المتباينات:

• الرمز a < b يعني أن a أصغر من b .
• الرمز a > b يعني أن a أكبر من b .

في كلتا الحالتين، لا يساوي a قيمة b . تُعرف هذه العلاقات بالمتباينات الصارمة ، ^{[ 1 ]} مما يعني أن a أصغر من b بشكل صارم أو أكبر من b بشكل صارم . ويُستبعد التساوي.

على النقيض من عدم المساواة الصارمة، هناك نوعان من علاقات عدم المساواة غير الصارمة:

• يشير الرمز a ≤ b أو a ⩽ b أو a ≦ b إلى أن a أقل من أو يساوي b (أو، بشكل مكافئ، على الأكثر b ).
• يشير الرمز a ≥ b أو a ⩾ b أو a ≧ b إلى أن a أكبر من أو يساوي b (أو، بشكل مكافئ، على الأقل b ).

في القرنين السابع عشر والثامن عشر، استُخدمت رموز شخصية أو علامات مطبوعة للدلالة على المتباينات. ^{[ 2 ]} على سبيل المثال، في عام 1670، استخدم جون واليس خطًا أفقيًا واحدًا أعلى الرمزين < و > بدلًا من أسفلهما. وفي وقت لاحق، في عام 1734، ظهر الرمزان ≦ و ≧، المعروفان باسم "أصغر من (أكبر من) يساوي" أو "أصغر من (أكبر من) يساوي بخطين أفقيين"، لأول مرة في كتابات بيير بوجيه . ^{[ 3 ]} بعد ذلك، بسّط علماء الرياضيات رمز بوجيه إلى "أصغر من (أكبر من) يساوي بخط أفقي واحد" (≤)، أو "أصغر من (أكبر من) يساوي بخط مائل" (⩽).

يمكن أيضًا تمثيل العلاقة التي لا تزيد عن بواسطة${\displaystyle a\ngtr b,}$رمز "أكبر من" مقسم بخط مائل، "ليس". وينطبق الشيء نفسه على " ليس أصغر من " .${\displaystyle a\nless b.}$

يشير الرمز a ≠ b إلى أن a لا يساوي b ؛ وتُعتبر هذه المتباينة أحيانًا شكلاً من أشكال المتباينة الصارمة. ^{[ 4 ]} وهي لا تعني أن أحدهما أكبر من الآخر؛ بل لا تشترط حتى أن يكون a و b عنصرين في مجموعة مرتبة .

في العلوم الهندسية، يتمثل الاستخدام الأقل رسمية للرمز في الإشارة إلى أن كمية ما "أكبر بكثير" من كمية أخرى، ^{[ 5 ]} عادة بعدة مراتب من حيث الحجم .

• يشير الرمز a ≪ b إلى أن a أقل بكثير من b . ^{[ 6 ]}
• يشير الرمز a ≫ b إلى أن a أكبر بكثير من b . ^{[ 7 ]}

وهذا يعني أنه يمكن إهمال القيمة الأصغر مع تأثير ضئيل على دقة التقريب ( مثل حالة الحد النسبي الفائق في الفيزياء).

في جميع الحالات المذكورة أعلاه، يكون أي رمزين يعكسان بعضهما البعض متناظرين؛ a < b و b > a متكافئان، إلخ.

تخضع المتباينات للخصائص التالية . وتظل جميع هذه الخصائص سارية حتى في حالة استبدال جميع المتباينات غير الصارمة (≤ و ≥) بالمتباينات الصارمة المقابلة لها (< و >)، وفي حالة تطبيق دالة، تقتصر الدوال الرتيبة على الدوال الرتيبة الصارمة .

الجمع والطرح

يمكن إضافة ثابت مشترك c إلى طرفي المتباينة أو طرحه منهما. ^{[ 4 ]} لذا، لأي أعداد حقيقية a و b و c :

إذا كان a ≤ b ، فإن a + c ≤ b + c و a − c ≤ b − c .

بمعنى آخر، يتم الحفاظ على علاقة عدم المساواة تحت الجمع (أو الطرح) وتكون الأعداد الحقيقية مجموعة مرتبة تحت الجمع.

الضرب والقسمة

تنص الخصائص المتعلقة بالضرب والقسمة على أنه لأي أعداد حقيقية، a و b و c غير الصفرية :

إذا كان a ≤ b و c > 0 ، فإن ac ≤ bc و a / c ≤ b / c .

إذا كان a ≤ b و c < 0 ، فإن ac ≥ bc و a / c ≥ b / c .

بمعنى آخر، تبقى علاقة المتباينة قائمة عند الضرب والقسمة مع ثابت موجب، ولكنها تنعكس عند وجود ثابت سالب. وبشكل أعم، ينطبق هذا على الحقول المرتبة . لمزيد من المعلومات، انظر §  الحقول المرتبة .

تطبيق دالة على كلا الجانبين

أي دالة متزايدة رتيبة ، بحسب تعريفها ^{[ 9 ]،} يمكن تطبيقها على طرفي متباينة دون الإخلال بعلاقة المتباينة (شريطة أن يكون كلا التعبيرين ضمن مجال تلك الدالة). مع ذلك، فإن تطبيق دالة متناقصة رتيبة على طرفي متباينة يعني عكس علاقة المتباينة. تُعد قواعد المعكوس الجمعي والمعكوس الضربي للأعداد الموجبة مثالين على تطبيق دالة متناقصة رتيبة.

إذا كانت المتباينة قطعية ( أ < ب ، أ > ب ) وكانت الدالة رتيبة قطعياً، فإن المتباينة تبقى قطعية. أما إذا كان أحد هذين الشرطين فقط قطعياً، فإن المتباينة الناتجة تكون غير قطعية. في الواقع، تُعد قواعد المعكوس الجمعي والمعكوس الضربي مثالين على تطبيق دالة متناقصة رتيبة قطعياً .

بعض الأمثلة على هذه القاعدة هي:

• رفع طرفي المتباينة إلى قوة n > 0 (أو ما يعادلها، − n < 0)، عندما يكون a و b عددين حقيقيين موجبين:
  0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ a ⁿ ≤ b ⁿ .
  0 ≤ a ≤ b ⇔ a ^{− n} ≥ b ^{− n} ≥ 0.
• بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا طرفي المتباينة، عندما يكون a و b عددين حقيقيين موجبين:
  0 < أ ≥ ب ⇔ ln( a ) ≥ ln( b ).
  0 < أ < ب ⇔ ln( أ ) < ln( ب ).
  (هذا صحيح لأن اللوغاريتم الطبيعي دالة متزايدة تمامًا.)

الترتيب الجزئي (غير الصارم) هو علاقة ثنائية ≤ على مجموعة P، وهي علاقة انعكاسية ، ومتناظرة عكسيًا ، ومتعدية . ^{[ 10 ]} أي أنه بالنسبة لجميع a و b و c في P ، يجب أن تحقق الشروط الثلاثة التالية:

• أ ≤ أ ( انعكاسية )
• إذا كان a ≤ b و b ≤ a ، فإن a = b ( التناظر العكسي )
• إذا كان a ≤ b و b ≤ c ، فإن a ≤ c ( خاصية التعدي ).

تُسمى المجموعة ذات الترتيب الجزئي مجموعة مرتبة جزئياً . ^{[ 11 ]} هذه هي البديهيات الأساسية التي يجب أن يستوفيها كل نوع من أنواع الترتيب.

الترتيب الجزئي الصارم هو علاقة تحقق الشرط التالي:

• a ≮ a ( عدم الانعكاسية )،
• إذا كان a < b ، فإن b ≮ a ( عدم التناظر ).
• إذا كان a < b و b < c ، فإن a < c ( خاصية التعدي ).

حيث تعني ≮ أن < لا تنطبق.

يتم تحديد بعض أنواع الترتيبات الجزئية عن طريق إضافة بديهيات أخرى، مثل:

• الترتيب الكلي : لكل a و b في P ، a ≤ b أو b ≤ a .
• الترتيب الكثيف : لكل a و b في P بحيث a < b ، يوجد c في P بحيث a < c < b .
• خاصية الحد الأعلى الأدنى : كل مجموعة جزئية غير فارغة من P ذات حد أعلى لها حد أعلى أدنى (القيمة العليا) في P.

يرمز الرمز a < b < c إلى " a < b و b < c "، ومنه، وفقًا لخاصية التعدي المذكورة أعلاه، ينتج أيضًا أن a < c . وبحسب القوانين السابقة، يمكن إضافة أو طرح نفس العدد من الحدود الثلاثة، أو ضرب أو قسمة جميع الحدود الثلاثة على نفس العدد غير الصفري، وعكس جميع المتباينات إذا كان هذا العدد سالبًا. لذا، على سبيل المثال، a < b + e < c يكافئ a − e < b < c − e .

يمكن تعميم هذه الصيغة على أي عدد من الحدود: على سبيل المثال، a ₁ ≤ a ₂ ≤ ... ≤ a _n يعني أن a _i ≤ a _{i +1} لـ i = 1، 2، ...، n − 1. وبسبب خاصية التعدي، فإن هذا الشرط يكافئ a _i ≤ a _j لأي 1 ≤ i ≤ j ≤ n .

عند حل المتباينات باستخدام الترميز المتسلسل، من الممكن، بل ومن الضروري أحيانًا، تقييم الحدود بشكل مستقل. على سبيل المثال، لحل المتباينة 4x < 2x + 1 ≤ 3x + 2، لا يمكن عزل x في أي جزء من المتباينة عن طريق الجمع أو الطرح . بدلًا من ذلك، يجب حل المتباينتين بشكل مستقل، مما ينتج عنه x < 1/2 و x ≥ -1 على التوالي ، واللتان يمكن دمجهما في الحل النهائي -1 ≤ x < 1/2 .

أحيانًا، يُستخدم الترميز المتسلسل مع المتباينات في اتجاهات مختلفة، وفي هذه الحالة يكون المعنى هو الربط المنطقي بين المتباينات بين الحدود المتجاورة. على سبيل المثال، يُكتب الشرط المحدد لمجموعة جزئية مرتبة متعرجة على _{النحو التالي: a1 < a2 > a3} < a4 > a5 _< a6 > ... _. يُستخدم _{الترميز} المتسلسل المختلط بشكل أكثر شيوعًا مع العلاقات المتوافقة، مثل <، =، ≤. على سبيل المثال، _a < b = c ≤ d يعني أن a < b ، و b = c ، و c ≤ d . يوجد هذا الترميز في بعض لغات البرمجة مثل بايثون . في المقابل، في لغات البرمجة التي توفر ترتيبًا لأنواع نتائج المقارنة، مثل لغة C ، قد يكون للسلاسل المتجانسة معنى مختلف تمامًا. ^{[ 14 ]}

تُوصف المتباينة بأنها دقيقة إذا لم يكن بالإمكان تخفيفها مع الحفاظ على صحتها بشكل عام. وبصورة رسمية، تُسمى المتباينة المُكمّمة عالميًا φ دقيقة إذا كان، لكل متباينة مُكمّمة عالميًا صحيحة ψ ، إذا تحققت ψ ⇒ φ ، فإن ψ ⇔ φ تتحقق أيضًا. على سبيل المثال، المتباينة ∀ a ∈ R . a ² ≥ 0 دقيقة، بينما المتباينة ∀ a ∈ R . a ² ≥ −1 غير دقيقة.

توجد العديد من المتباينات بين المتوسطات. على سبيل المثال، لأي أعداد موجبة a₁ _، a₂ _، ...، aₙ ، _لدينا

${\displaystyle H\leq G\leq A\leq Q,}$

حيث تمثل هذه الوسائل ما يلي من المتتالية:

• المتوسط ​​التوافقي  :${\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}$
• المتوسط ​​الهندسي  :${\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}$
• المتوسط ​​الحسابي  :${\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}$
• المتوسط ​​التربيعي  :${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}$

تنص متباينة كوشي-شفارتز على أنه بالنسبة لجميع المتجهات u و v في فضاء الضرب الداخلي، يكون صحيحًا أن $${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$$ أين${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$هو الضرب الداخلي . من أمثلة الضرب الداخلي الضرب القياسي الحقيقي والضرب القياسي المركب ؛ في الفضاء الإقليدي Rⁿ مع الضرب الداخلي القياسي، تكون متباينة كوشي-شفارتز كما يلي ^:$${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}{\biggr )}^{2}\leq {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}{\biggr )}.}$$

المتباينة الأسية هي متباينة تحتوي على حدود من الشكل a + ^b ، حيث a و b أعداد حقيقية موجبة أو تعبيرات متغيرة. وتظهر هذه المتباينات غالباً في تمارين الأولمبياد الرياضي .

أمثلة:

• لأي عدد حقيقي x ،$${\displaystyle e^{x}\geq 1+x.}$$
• إذا كان x > 0 و p > 0، فإن$${\displaystyle {\frac {1}{p}}\left(x^{p}-1\right)\geq \ln(x)\geq {\frac {1}{p}}\left(1-{\frac {1}{x^{p}}}\right).}$$في حالة p → 0، تتقارب الحدود العليا والسفلى إلى ln( x ).
• إذا كانت x > 0، فإن$${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.}$$
• إذا كانت x > 0، فإن$${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x.}$$
• إذا كانت x و y و z > 0، فإن$${\displaystyle \left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.}$$
• لأي عددين حقيقيين مختلفين a و b ،$${\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{ba}}>e^{\frac {a+b}{2}}.}$$
• إذا كان x و y > 0 و 0 < p < 1، فإن$${\displaystyle x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.}$$
• إذا كانت x و y و z > 0، فإن$${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{\frac {x+y+z}{3}}.}$$
• إذا كان a و b > 0، فإن ^{[ 15 ]}$${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.}$$
• إذا كان a و b > 0، فإن ^{[ 16 ]}$${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.}$$
• إذا كانت قيم a و b و c أكبر من الصفر، فإن$${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.}$$
• إذا كان a و b > 0، فإن$${\displaystyle a^{b}+b^{a}>1.}$$

كثيراً ما يستخدم علماء الرياضيات المتباينات لتقييد الكميات التي يصعب حساب صيغها الدقيقة. بعض المتباينات شائعة الاستخدام لدرجة أنها تحمل أسماءً خاصة بها.

مجموعة الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$يُعد حقلاً بما يحتويه من عمليات الجمع والضرب ، ولكن من المستحيل تعريف أي علاقة ≤ بحيث${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$يصبح حقلاً مرتباً . لجعل${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$إذا كان الحقل مرتبًا ، فيجب أن يستوفي الخاصيتين التاليتين:

• إذا كان a ≤ b ، فإن a + c ≤ b + c ؛
• إذا كان 0 ≤ a و 0 ≤ b ، فإن 0 ≤ ab .

لأن ≤ ترتيب كلي ، فإنه لأي عدد a ، إما أن ^يكون 0 ≤ a أو a ≤ 0 (وفي هذه الحالة، تشير الخاصية الأولى أعلاه إلى أن 0 ≤ − a ). في كلتا الحالتين ^، 0 ≤ a² ؛ وهذا يعني أن i² > 0 و 1² > 0 ؛ وبالتالي ⁻¹ > 0 و 1 > 0 ، مما يعني أن (−1 + 1) > 0؛ وهذا تناقض.

مع ذلك، يمكن تعريف عملية ≤ بحيث تحقق الخاصية الأولى فقط (أي، "إذا كان a ≤ b ، فإن a + c ≤ b + c "). أحيانًا يُستخدم تعريف الترتيب المعجمي .

• إذا كان a ≤ b
  • Re( a ) < Re( b ) أو
  • Re( a ) = Re( b ) و Im( a ) ≤ Im( b )

يمكن إثبات بسهولة أنه بالنسبة لهذا التعريف، فإن a ≤ b يستلزم a + c ≤ b + c .

يمكن تبسيط أنظمة المتباينات الخطية عن طريق حذف فورييه-موتزكين . ^{[ 17 ]}

يُعدّ التحليل الجبري الأسطواني خوارزميةً تُتيح اختبار ما إذا كان لنظام من المعادلات والمتباينات متعددة الحدود حلول، وفي حال وجودها، وصفها. وتتضاعف تعقيدات هذه الخوارزمية أُسّيًا مع عدد المتغيرات. ويُعتبر تصميم خوارزميات أكثر كفاءة في حالات مُحددة مجالًا بحثيًا نشطًا.

• العلاقة الثنائية
• القوس (في الرياضيات) ، لاستخدام علامتي ‹  و  › المتشابهتين كأقواس
• الاحتواء (نظرية المجموعات)
• عدم المساواة
• الفترات (الرياضيات)
• قائمة أوجه عدم المساواة
• قائمة متباينات المثلث
• مجموعة مرتبة جزئياً
• عوامل المقارنة ، المستخدمة في لغات البرمجة للدلالة على عدم المساواة

• هاردي، ج.؛ ليتلوود ، ج. إي .؛ بوليا، ج. (1999). المتباينات . مكتبة كامبريدج الرياضية، مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-05206-8.
• بيكنباخ، إي إف ؛ بيلمان، آر. (1975). مقدمة في المتباينات . دار راندوم هاوس للنشر. رقم ISBN 0-394-01559-2.
• دراشمان، بايرون سي؛ كلاود، مايكل جيه (1998). المتباينات: مع تطبيقات في الهندسة . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-98404-6.
• غرينشبان، أ.ز. (2005)، "المتباينات العامة، والنتائج، والتطبيقات"، التقدم في الرياضيات التطبيقية ، 34 (1): 71-100 ، doi : 10.1016/j.aam.2004.05.001
• كلامكين، موراي س. "متباينات "سريعة" (ملف PDF) . استراتيجيات رياضية . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2022-10-09.
• لوهواتر، آرثر (1982). مقدمة في عدم المساواة (ملاحظات المحاضرة).
• شابيرو، هارولد (2005). "حل المسائل الرياضية" . ندوة المشكلة القديمة . Kungliga Tekniska högskolan.
• "الفرقة الثالثة لعلم النفس العسكري الأمريكي" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2008-02-03.
• باتشباتي، بي جي (2005). المتباينات الرياضية . مكتبة شمال هولندا الرياضية. المجلد  67 (  الطبعة الأولى). أمستردام، هولندا: إلسيفير . ISBN 0-444-51795-2. ISSN 0924-6509 . السيد 2147066 . زبل 1091.26008 .   
• إرغوت، ماتياس (2005). التحسين متعدد المعايير . سبرينغر-برلين. ISBN 3-540-21398-8.
• ستيل، ج. مايكل (2004). دورة كوشي-شفارتز المتقدمة: مقدمة في فن المتباينات الرياضية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-54677-5.

• "عدم المساواة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• رسم بياني للمتباينات من إعداد إد بيج الابن.
• مقالة ويكي AoPS حول عدم المساواة