الكم العالمي

الكم العالمي

يكتب	الكمي
مجال	المنطق الرياضي
إفادة	${\displaystyle \لجميع xP(x)}$يكون صحيحًا عندما يكون صحيحًا لجميع قيم .${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle x}$
بيان رمزي	${\displaystyle \لجميع xP(x)}$

في المنطق الرياضي ، يعتبر التكميم الشامل نوعًا من أنواع الكميات ، وهو ثابت منطقي يتم تفسيره على أنه " معطى لأي "، أو " للجميع "، أو " لأي ". ويعبر عن أنه يمكن تلبية المسند من قبل كل عضو في مجال الخطاب . بعبارة أخرى، إنه تنبؤ بخاصية أو علاقة بكل عضو في المجال. ويؤكد أن المسند ضمن نطاق الكم الشامل ينطبق على كل قيمة لمتغير المسند .

يُشار إليه عادةً بالرمز المقلوب للعامل المنطقي A (∀) ، والذي يُطلق عليه عند استخدامه مع متغير مسند اسم مُقدر عالمي (" ∀ x "، " ∀( x ) "، أو أحيانًا يُطلق عليه " ( x ) " بمفرده). يختلف التحديد الكمي العالمي عن التحديد الكمي الوجودي ("يوجد")، والذي يؤكد فقط أن الخاصية أو العلاقة تنطبق على عضو واحد على الأقل من المجال.

يتم تناول القياس الكمي بشكل عام في المقالة الخاصة بالقياس الكمي (المنطق) . يتم ترميز المقدار الكمي العالمي على أنه U+2200 ∀ FOR ALL في Unicode ، وكما هو الحال \forallفي LaTeX ومحرري الصيغ ذات الصلة.

افترض أنه تم إعطاء ذلك

2·0 = 0 + 0، و2·1 = 1 + 1، و 2·2 = 2 + 2 ، وهكذا.

يبدو أن هذا عبارة عن حرف عطف منطقي بسبب الاستخدام المتكرر لـ "و". ومع ذلك، لا يمكن تفسير "إلخ" كحرف عطف في المنطق الرسمي . بدلاً من ذلك، يجب إعادة صياغة البيان على النحو التالي:

بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية n ، لدينا 2· n = n + n .

هذا بيان واحد يستخدم القياس الكمي العالمي.

يمكن القول إن هذا البيان أكثر دقة من البيان الأصلي. فبينما يشمل "إلخ" بشكل غير رسمي الأعداد الطبيعية ، ولا شيء أكثر من ذلك، لم يتم تقديم ذلك بدقة. ومن ناحية أخرى، في التقدير الكمي الشامل، يتم ذكر الأعداد الطبيعية صراحةً.

هذا المثال صحيح ، لأنه يمكن استبدال أي عدد طبيعي بـ n ، وستكون العبارة "2· n = n + n " صحيحة. وعلى النقيض من ذلك،

بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية n ، لدينا 2· n > 2 + n

خطأ ، لأنه إذا تم استبدال n بـ، على سبيل المثال ، 1، فإن العبارة "2·1 > 2 + 1" خاطئة. لا يهم أن تكون "2· n > 2 + n " صحيحة لمعظم الأعداد الطبيعية n : حتى وجود مثال مضاد واحد يكفي لإثبات خطأ التقدير الكمي الشامل.

من ناحية أخرى، بالنسبة لجميع الأعداد المركبة n ، يكون لدينا 2· n > 2 + n صحيحًا، لأنه لا يوجد أي من الأمثلة المضادة عبارة عن أعداد مركبة. يشير هذا إلى أهمية مجال الخطاب ، الذي يحدد القيم التي يمكن أن يأخذها n . ^{[ملاحظة 1]} على وجه الخصوص، لاحظ أنه إذا تم تقييد مجال الخطاب بحيث يتكون فقط من تلك الأشياء التي تلبي مسندًا معينًا، فإن هذا يتطلب للقياس الكمي الشامل شرطًا منطقيًا . على سبيل المثال،

بالنسبة لجميع الأعداد المركبة n ، لدينا 2· n > 2 + n

هو معادل منطقيا لـ

بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية n ، إذا كان n مركبًا، فإن 2· n > 2 + n .

هنا يشير بناء "إذا ... ثم" إلى الشرط المنطقي.

في المنطق الرمزي ، يتم استخدام رمز الكم العالمي (حرف " A " مقلوب بخط بدون تشعبات ، Unicode U+2200) للإشارة إلى الكم العالمي. تم استخدامه لأول مرة بهذه الطريقة بواسطة Gerhard Gentzen في عام 1935، على غرار تدوين Giuseppe Peano ( المحول إلى E) للكم الوجودي والاستخدام اللاحق لتدوين Peano بواسطة Bertrand Russell . ^[1]${\displaystyle \للجميع}$${\displaystyle \يوجد }$

على سبيل المثال، إذا كان P ( n ) هو المسند "2· n > 2 + n " و N هي مجموعة الأعداد الطبيعية، إذن

${\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;P(n)}$

هي العبارة (الخاطئة)

"لجميع الأعداد الطبيعية n ، لدينا 2· n > 2 + n ".

وبالمثل، إذا كان Q ( n ) هو المسند " n مركب"، إذن

${\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;{\bigl (}Q(n)\rightarrow P(n){\bigr )}}$

هي العبارة (الحقيقية)

"لجميع الأعداد الطبيعية n ، إذا كان n مركبًا، فإن 2· n > 2 + n ".

يمكن العثور على العديد من الاختلافات في تدوين القياس الكمي (والتي تنطبق على جميع الأشكال) في مقالة Quantifier .

يتم الحصول على نفي الدالة الكمية عالميًا عن طريق تغيير الكم العالمي إلى كم وجودي ونفي الصيغة الكمية. أي،

${\displaystyle \lnot \forall x\;P(x)\quad {\text{يعادل}}\quad \exists x\;\lnot P(x)}$

حيث يدل على النفي . ${\displaystyle \lnot }$

على سبيل المثال، إذا كانت P ( x ) هي الدالة الافتراضية " x متزوج"، فبالنسبة لمجموعة X لجميع البشر الأحياء، فإن التقدير الكمي العالمي

إذا كان أي شخص حي x ، فهذا الشخص متزوج

مكتوب

${\displaystyle \لكل x\في X\,P(x)}$

هذا القول غير صحيح، والحق أن ما ورد فيه:

ليس من الصحيح أن أي شخص حي x ، هذا الشخص متزوج

أو رمزيا:

${\displaystyle \lليس \ \لجميع x\in X\,P(x)}$.

إذا لم تكن الدالة P ( x ) صحيحة لكل عنصر من عناصر X ، فيجب أن يكون هناك عنصر واحد على الأقل تكون العبارة خاطئة بالنسبة له. أي أن نفيها يعادل منطقيًا "يوجد شخص حي x غير متزوج"، أو: ${\displaystyle \لكل x\في X\,P(x)}$

${\displaystyle \يوجد x\في X\،\ليس P(x)}$

من الخطأ الخلط بين "ليس كل الأشخاص متزوجين" (أي "لا يوجد شخص متزوج") و "ليس كل الأشخاص متزوجين" (أي "يوجد شخص غير متزوج"):

${\displaystyle \lnot \ \exists x\in X\,P(x)\equiv \ \forall x\in X\,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall x\in X\,P(x)\equiv \ \exists x\in X\,\lnot P(x)}$

يتحرك المقدار العالمي (والوجودي) دون تغيير عبر الروابط المنطقية ∧ و ∨ و → و ↚ ، طالما أن المتغير الآخر غير متأثر؛ ^[2] أي:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\land (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y))\\P(x)\lor (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\to (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nleftarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y))\\P(x)\land (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\lor (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y))\\P(x)\to (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y))\\P(x)\nleftarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \end{aligned}}}$

وعلى العكس من ذلك، بالنسبة للروابط المنطقية ↑ و ↓ و ↛ و ← ، تنقلب المحددات الكمية:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\uparrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y))\\P(x)\downarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nrightarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\gets (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y))\\P(x)\uparrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\downarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y))\\P(x)\nrightarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y))\\P(x)\gets (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\\end{aligned}}}$

قاعدة الاستدلال هي قاعدة تبرر خطوة منطقية من الفرضية إلى النتيجة. هناك العديد من قواعد الاستدلال التي تستخدم الكم العالمي.

يخلص التمثيل الشامل إلى أنه إذا كان من المعروف أن الوظيفة القضائية صحيحة عالميًا، فيجب أن تكون صحيحة لأي عنصر تعسفي في عالم الخطاب. يتم تمثيل هذا رمزيًا على النحو التالي:

${\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to P(c)}$

حيث أن c هو عنصر تعسفي تمامًا في عالم الخطاب.

يستنتج التعميم الشامل أن الوظيفة التقريرية يجب أن تكون صحيحة عالميًا إذا كانت صحيحة لأي عنصر تعسفي في عالم الخطاب. رمزيًا، بالنسبة لعنصر تعسفي ،

${\displaystyle P(c)\to \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x).}$

يجب أن يكون العنصر  c تعسفيًا تمامًا؛ وإلا فلن يكون هناك منطق: إذا لم يكن c تعسفيًا، بل كان بدلاً من ذلك عنصرًا محددًا في عالم الخطاب، فإن P ( c ) يعني فقط كمية وجودية للوظيفة المقترحة.

حسب الاتفاقية، تكون الصيغة صحيحة دائمًا، بغض النظر عن الصيغة P ( x )؛ انظر الحقيقة الفارغة . ${\displaystyle \forall {x}{\in }\emptyset \,P(x)}$

الإغلاق الشامل لصيغة φ هو الصيغة التي لا تحتوي على متغيرات حرة والتي يتم الحصول عليها عن طريق إضافة كمية عالمية لكل متغير حر في φ. على سبيل المثال، الإغلاق الشامل لـ

${\displaystyle P(y)\land \exists xQ(x,z)}$

يكون

${\displaystyle \forall y\forall z(P(y)\land \exists xQ(x,z))}$.

في نظرية الفئات ونظرية الطوبولوجيا الأولية ، يمكن فهم الكمي الشامل باعتباره المرافق الأيمن لمتجه بين مجموعات القوى ، ومتجه الصورة العكسي لدالة بين المجموعات؛ وعلى نحو مماثل، يكون المقدر الوجودي هو المرافق الأيسر . ^[3]

بالنسبة لمجموعة ، دعها تشير إلى مجموعة القوى الخاصة بها . لأي دالة بين مجموعات و ، يوجد مُستدِل صورة معكوس بين مجموعات القوى، يأخذ مجموعات فرعية من المجال المشترك لـ f إلى مجموعات فرعية من مجالها. المُستدِل الأيسر لهذا المُستدِل هو المُقدّر الوجودي والمُستدِل الأيمن هو المُقدّر الشامل . ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}X}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{*}:{\mathcal {P}}Y\to {\mathcal {P}}X}$${\displaystyle \exists _{f}}$${\displaystyle \forall _{f}}$

وهذا يعني أن هناك مُستدِلًا يعطي لكل مجموعة فرعية المجموعة الفرعية المعطاة بواسطة ${\displaystyle \exists _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y}$${\displaystyle S\subset X}$${\displaystyle \exists _{f}S\subset Y}$

${\displaystyle \exists _{f}S=\{y\in Y\;|\;\exists x\in X.\ f(x)=y\quad \land \quad x\in S\},}$

تلك الموجودة في صورة تحت . وبالمثل، فإن المحدد الكمي الشامل هو مُستدِل يعطي لكل مجموعة فرعية المجموعة الفرعية المعطاة بواسطة ${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \forall _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y}$${\displaystyle S\subset X}$${\displaystyle \forall _{f}S\subset Y}$

${\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\;|\;\forall x\in X.\ f(x)=y\quad \implies \quad x\in S\},}$

أولئك الذين صورتهم الأولية موجودة في . ${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$

يتم الحصول على الشكل الأكثر شيوعًا للكميات المستخدمة في المنطق من الدرجة الأولى عن طريق أخذ الدالة f لتكون الدالة الفريدة بحيث تكون المجموعة المكونة من عنصرين تحمل القيمتين true وfalse، والمجموعة الفرعية S هي المجموعة الفرعية التي ينطبق عليها المسند ، و ${\displaystyle !:X\to 1}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(1)=\{T,F\}}$ ${\displaystyle S(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}{\mathcal {P}}(!)\colon {\mathcal {P}}(1)&\to {\mathcal {P}}(X)\\T&\mapsto X\\F&\mapsto \{\}\end{array}}}$

${\displaystyle \exists _{!}S=\exists x.S(x),}$

وهو صحيح إذا لم يكن فارغًا، و ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \forall _{!}S=\forall x.S(x),}$

وهو أمر خاطئ إذا كان S ليس X.

إن الكميات الكلية والوجودية المذكورة أعلاه تعمم على فئة ما قبل الحزمة .

• الكم الوجودي
• المنطق من الدرجة الأولى
• قائمة الرموز المنطقية — للرمز Unicode ∀

• هينمان، ب. (2005). أساسيات المنطق الرياضي . إيه كيه بيترز . رقم ISBN 1-56881-262-0.
• فرانكلين، ج. وداود، أ. (2011). الإثبات في الرياضيات: مقدمة. كتب كيو. رقم ISBN 978-0-646-54509-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)(الفصل 2)

• تعريف القاموس لـ every في ويكاموس