صيغة مفتوحة

الصيغة المفتوحة هي صيغة تحتوي على متغير حر واحد على الأقل . ^{[ 1 ]}

لا تُسند قيمة منطقية للصيغة المفتوحة ، على عكس الصيغة المغلقة التي تُمثل قضية، وبالتالي يمكن أن يكون لها قيمة منطقية مثل "صحيح" أو "خطأ" . يمكن تحويل الصيغة المفتوحة إلى صيغة مغلقة بتطبيق مُكمِّم على كل متغير حر. يُسمى هذا التحويل "استحواذ المتغيرات الحرة" لجعلها متغيرات مقيدة.

على سبيل المثال، عند التفكير في الأعداد الطبيعية ، فإن الصيغة " س + ٢ > ص " مفتوحة، لأنها تحتوي على المتغيرين الحرين س و ص . في المقابل، فإن الصيغة " يوجد ص لكل س : س + ٢ > ص " مغلقة، وقيمتها المنطقية صحيحة .

تُستخدم الصيغ المفتوحة غالبًا في التعريفات الرياضية الدقيقة للخصائص، مثل

" تُعتبر x عمة لـ y إذا كان، بالنسبة لشخص ما z ، z هو أحد والدي y ، و x أخت لـ z "

(مع متغيرات حرة x و y ومتغير مقيد z ) تُعرّف مفهوم "العمة" بدلالة "الأب" و"الأخت". مثال آخر أكثر رسمية، يُعرّف خاصية كون العدد أوليًا ، هو

" P ( x ) إذا كان ∀ m , n ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$: m >1 ∧ n >1 → x ≠ m ⋅ n ",

(مع متغير حر x ومتغيرات مقيدة m و n ).

من الأمثلة على الصيغة المغلقة ذات القيمة الصحيحة الخاطئة متتالية أعداد فيرما

${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1,}$

درس فيرما الأعداد الأولية. يُعطي ربط الحرف P ( أولي ) بكل عدد من متتالية فيرما مجموعة من الصيغ المغلقة. ورغم صحة هذه الصيغ للأعداد n = 0، ...، 4، إلا أنه لم تُعرف أي قيمة أكبر لـ n تُعطي صيغة صحيحة حتى عام 2023.؛ على سبيل المثال،${\displaystyle F_{5}=4\,294\,967\,297=641\cdot 6\,700\,417}$ليس عددًا أوليًا. وبالتالي فإن الصيغة المغلقة ∀ n P ( F _n ) خاطئة.

في نظرية قواعد البيانات ، عند التعبير عن استعلام كصيغة مفتوحة من الدرجة الأولى ، تمثل المتغيرات الحرة تلك التي تظهر في جملة SELECT في استعلام SQL . على سبيل المثال، صيغة مثل:

${\displaystyle \varphi (son)=birthYear(son,2020)\land \exists mom{\textbf {.}}(motherOf(mom,son)\land birthYear(mom,1999))}$

أين${\displaystyle son}$المتغير الحر الوحيد، ويمكن التعبير عنه بلغة SQL على النحو التالي:

SELECT y1.person AS son FROM birth_year y1 WHERE y1.year = 2020 AND EXISTS ( SELECT * FROM mother_of m1 JOIN birth_year y2 ON m1.mother = y2.person WHERE m1.son = y1.person AND y2.year = 1999 )​​​​​​​​​​​​​​

والتي تختار جميع الأشخاص المولودين في عام 2020 والذين لديهم أم مولودة في عام 1999.

بصورة رسمية، فإن تنفيذ استعلام SQL المذكور أعلاه على قاعدة بيانات يعادل البحث عن جميع عمليات الاستبدال.${\displaystyle \sigma }$من المتغيرات الحرة لـ${\displaystyle \varphi }$بثوابت بحيث يكون تفسير هيربراند لـ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$يرضي${\displaystyle \sigma (\varphi )}$، أين${\displaystyle {\mathcal {D}}}$هي مجموعة الذرات الأرضية التي تمثل قاعدة البيانات.

• منطق الرتبة الأولى
• المنطق من الرتبة العليا
• المُكمِّم (المنطقي)
• المسند (المنطق الرياضي)
• النطاق (المنطقي)
• مسرد المصطلحات المنطقية

• Wolfgang Rautenberg (2008)، Einführung in die Mathematische Logik (بالألمانية) (3.  ed.)، فيسبادن: Vieweg+Teubner، ISBN 978-3-8348-0578-2
• H.-P. Tuschik، H. Wolter (2002)، Mathematische Logik – kurzgefaßt (في المانيا)، هايدلبرغ: Spektrum، Akad. فيرلاج، ISBN 3-8274-1387-7