رتبة المُكمِّم

يترك${\displaystyle \varphi }$لتكن صيغة من الدرجة الأولى . رتبة الكمية لـ${\displaystyle \varphi }$، مكتوب${\displaystyle \operatorname {qr} (\varphi )}$، ويُعرَّف على النحو التالي:

• ${\displaystyle \operatorname {qr} (\varphi )=0}$، لو${\displaystyle \varphi }$هو ذري.
• ${\displaystyle \operatorname {qr} (\varphi _{1}\land \varphi _{2})=\operatorname {qr} (\varphi _{1}\lor \varphi _{2})=\max(\operatorname {qr} (\varphi _{1}),\operatorname {qr} (\varphi _{2}))}$.
• ${\displaystyle \operatorname {qr} (\lnot \varphi )=\operatorname {qr} (\varphi )}$.
• ${\displaystyle \operatorname {qr} (\exists _{x}\varphi )=\operatorname {qr} (\varphi )+1}$.
• ${\displaystyle \operatorname {qr} (\forall _{x}\varphi )=\operatorname {qr} (\varphi )+1}$.

ملاحظات

• نكتب${\displaystyle \operatorname {FO} [n]}$بالنسبة لمجموعة جميع الصيغ من الدرجة الأولى${\displaystyle \varphi }$مع${\displaystyle \operatorname {qr} (\varphi )\leq n}$.
• العلاقات${\displaystyle \operatorname {FO} [n]}$(بدون رموز الدوال) يكون دائمًا ذا حجم محدود، أي أنه يحتوي على عدد محدود من الصيغ.
• في الصيغة الطبيعية السابقة ، رتبة المُكمِّم لـ${\displaystyle \varphi }$هو بالضبط عدد المحددات الكمية التي تظهر في${\displaystyle \varphi }$.

بالنسبة لمنطق النقطة الثابتة ، مع عامل النقطة الثابتة الأدنى${\displaystyle \operatorname {LFP} }$:${\displaystyle \operatorname {qr} ([\operatorname {LFP} _{\phi }]y)=1+\operatorname {qr} (\phi )}$.