سلامة

📅 آخر تحديث: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 14 صور
الموسوعة الحرة

في المنطق ، يمكن أن تشير السلامة إما إلى خاصية من خصائص الحجج أو خاصية من خصائص الأنظمة الاستنتاجية الرسمية .

تكون الحجة سليمة إذا (وفقط إذا) كانت صحيحة من حيث الشكل ولا تحتوي على مقدمات خاطئة . [ 1 ]

يكون النظام الرسمي سليماً إذا (وفقط إذا) كانت كل صيغة سليمة يمكن إثباتها في النظام صحيحة منطقياً فيما يتعلق بالدلالات المنطقية للنظام.

هاتان الخاصيتان مختلفتان ولكنهما مرتبطتان ارتباطاً وثيقاً. الأولى أكثر أهمية في سياقات الاستدلال الاستنباطي التمهيدية ، بينما تظهر الثانية في المنطق الميتافيزيقي والمنطق الرياضي .

تعريف الوسائط

في الاستدلال الاستنتاجي ، الحجة السليمة هي حجة صحيحة ، وجميع مقدماتها صحيحة (وبالتالي تكون نتيجتها صحيحة أيضًا). وتكون الحجة سليمة إذا كانت النتيجة صحيحة بالضرورة ، بافتراض صحة مقدماتها. ومن أمثلة الحجة السليمة القياس المنطقي المعروف التالي :

(مقدمات)
كل البشر فانون.
سقراط رجل.
(خاتمة)
لذلك، فإن سقراط فانٍ.

بسبب الضرورة المنطقية للنتيجة، فإن هذه الحجة صحيحة؛ ولأن الحجة صحيحة ومقدماتها صحيحة، فإن الحجة سليمة.

مع ذلك، قد تكون الحجة صحيحة دون أن تكون سليمة. على سبيل المثال:

جميع الطيور تستطيع الطيران.
البطاريق طيور.
لذلك، تستطيع طيور البطريق الطيران.

هذه الحجة صحيحة لأن النتيجة يجب أن تكون صحيحة بافتراض صحة المقدمات. مع ذلك، فإن المقدمة الأولى خاطئة. فليست كل الطيور قادرة على الطيران (مثل طيور البطريق). ولكي تكون الحجة سليمة، يجب أن تكون الحجة صحيحة وأن تكون مقدماتها صحيحة. [ 2 ]

استخدم بعض المؤلفين، مثل ليمون ، مصطلح "السلامة" كمرادف لما يُقصد به الآن "الصحة"، [ 3 ] مما تركهم دون مصطلح محدد لما يُسمى الآن "السلامة". ولكن في الوقت الحاضر، أصبح هذا التقسيم للمصطلحات شائعًا جدًا.

تعريف الأنظمة الرسمية

في المنطق الرياضي ، يتمتع النظام المنطقي بخاصية السلامة إذا كانت كل صيغة يمكن إثباتها فيه صحيحة منطقيًا وفقًا لدلالات النظام. وفي معظم الحالات، يرجع ذلك إلى امتلاك قواعده خاصية الحفاظ على الحقيقة . [ 4 ] يُعرف عكس السلامة بالكمال .

نظام منطقي ذو استلزام نحوي⊢{\displaystyle \vdash }والاستلزام الدلالي⊨{\displaystyle \models }يكون الصوت صحيحًا إذا كان لأي تسلسلأ1،أ2،...،أن{\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}من الجمل في لغتها، إذاأ1،أ2،...،أن⊢ج{\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}\vdash C}، ثمأ1،أ2،...،أن⊨ج{\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}\models C}بمعنى آخر، يكون النظام سليماً عندما تكون جميع نظرياته صحيحة .

تُعدّ السلامة من أهمّ الخصائص الأساسية للمنطق الرياضي. وتُشكّل خاصية السلامة السبب الرئيسي لاعتبار النظام المنطقي مرغوبًا فيه. أما خاصية الاكتمال فتعني أن كل صحة (حقيقة) قابلة للإثبات. وبذلك، فإنّ كل صحة، لا غير، قابلة للإثبات.

معظم براهين السلامة بديهية. [ 5 ] على سبيل المثال، في نظام بديهي ، يقتصر برهان السلامة على التحقق من صحة البديهيات وأن قواعد الاستدلال تحافظ على صحتها (أو الخاصية الأضعف، وهي الصدق). إذا كان النظام يسمح بالاستنتاج على طريقة هيلبرت ، فإنه يتطلب فقط التحقق من صحة البديهيات وقاعدة استدلال واحدة، وهي قاعدة القياس المنطقي (وأحيانًا قاعدة الاستبدال).

تتنوع خصائص السلامة إلى نوعين رئيسيين: السلامة الضعيفة والسلامة القوية، حيث تُعدّ الأولى شكلاً مقيداً من الثانية. السلامة القوية هي التعريف الوارد سابقاً في هذا القسم، بينما تقتصر السلامة الضعيفة على الجمل التي يمكن إثباتها دون مقدمات، أي عندما لا توجد جمل على يمين البوابات الدوارة.

ضعف الصحة

ضعف سلامة النظام الاستنتاجي هو خاصية أن أي جملة يمكن إثباتها دون مقدمات في ذلك النظام الاستنتاجي تكون صحيحة أيضًا في جميع تفسيرات أو بنى النظرية الدلالية للغة التي تستند إليها تلك النظرية. ونكتب ذلك رمزيًا: إذا⊢ج{\displaystyle \vdash C}ثم⊨ج{\displaystyle \vDash C}بعض الكتّاب سيذكرون المجموعة الفارغة صراحةً، ويذكرون إذا∅⊢ج{\displaystyle \emptyset \vdash C}ثم∅⊨ج{\displaystyle \emptyset \models C}باستخدام التعريف الضيق للنظرية، بالنسبة للجمل التي يمكن إثباتها بدون مقدمات، فإن السلامة الضعيفة تقول أن جميع النظريات هي تحصيل حاصل.

سلامة قوية

إن قوة النظام الاستنتاجي هي الخاصية التي تجعل أي جملةج{\displaystyle C}يمكن إثبات ذلك من خلال مجموعة (ربما فارغة) من المقدمات/الجملΓ={أ1،أ2،...،أن}{\displaystyle \Gamma =\{A_{1},A_{2},...,A_{n}\}}وهو أيضاً نتيجة دلالية لتلك المجموعة، أيج{\displaystyle C}ينطبق هذا على أي نموذج يجعل جميع أعضاءΓ{\displaystyle \Gamma }نكتب رمزياً، إذاΓ⊢ج{\displaystyle \Gamma \vdash C}، ثمΓ⊨ج{\displaystyle \Gamma \models C}لاحظ ذلك عندماΓ{\displaystyle \Gamma }إذا كان فارغًا، فلدينا بيان السلامة الضعيفة.

سلامة الحساب

إذا كانت T نظرية يمكن تفسير موضوعاتها على أنها أعداد طبيعية ، نقول إن T سليمة حسابيًا إذا كانت جميع نظرياتها صحيحة فعليًا فيما يتعلق بالأعداد الصحيحة الرياضية القياسية. لمزيد من المعلومات، انظر نظرية ω-المتسقة .

العلاقة بالاكتمال

إن عكس خاصية السلامة هو خاصية الاكتمال . يكون النظام الاستنتاجي ذو النظرية الدلالية مكتملاً بقوة إذا كانت كل جملةج{\displaystyle C} هذا نتيجة دلالية لمجموعة من الجملΓ{\displaystyle \Gamma }يمكن استنتاجها في نظام الاستدلال من تلك المجموعة. بالرموز: إذاΓ⊨ج{\displaystyle \Gamma \models C}ثمΓ⊢ج{\displaystyle \Gamma \vdash C}تم إثبات اكتمال منطق الرتبة الأولى بشكل صريح لأول مرة بواسطة غودل ، على الرغم من أن بعض النتائج الرئيسية كانت موجودة في أعمال سابقة لسكوليم .

بصورة غير رسمية، تنص نظرية سلامة النظام الاستنتاجي على أن جميع الجمل القابلة للإثبات صحيحة. أما نظرية الاكتمال فتنص على أن جميع الجمل الصحيحة قابلة للإثبات.

تُبيّن نظرية عدم الاكتمال الأولى لغودل أنه بالنسبة للغات الكافية لإجراء قدرٍ مُعين من العمليات الحسابية، لا يُمكن أن يوجد نظام استنتاجي متسق وفعّال كامل فيما يتعلق بالتفسير المقصود لرموز تلك اللغة. وبالتالي، ليست كل الأنظمة الاستنتاجية السليمة كاملة بهذا المعنى الخاص للاكتمال، حيث تقتصر فئة النماذج (حتى التماثل ) على النموذج المقصود. ينطبق برهان الاكتمال الأصلي على جميع النماذج الكلاسيكية، وليس على فئة فرعية خاصة من النماذج المقصودة.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ سميث، بيتر (2010). "أنواع أنظمة الإثبات" (ملف PDF) . ص  5.
  2. ↑ جينسلر، هاري جيه، 1945- (6 يناير 2017). مقدمة في المنطق ( الطبعة الثالثة). نيويورك. ISBN  978-1-138-91058-4. OCLC 957680480 . {{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط ) CS1 maint: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط ) CS1 maint: أسماء رقمية: قائمة المؤلفين ( رابط )
  3. ↑ ليمون، إدوارد جون (1998). مدخل إلى المنطق . بوكا راتون، فلوريدا: تشابمان آند هول/سي آر سي. رقم ISBN 978-0-412-38090-7.
  4. ↑ ميندوس، باتريشيا (18-09-2009). عقل حقيقي: حياة وأعمال أكسل هاجرستروم . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-90-481-2895-2.
  5. ↑ إندرتون، هربرت ب. (2001). مقدمة رياضية في المنطق ( الطبعة الثانية). دار النشر الأكاديمية. الصفحات 131-132 . ISBN   978-0122384523.

فهرس

  • هينمان، ب. (2005). أساسيات المنطق الرياضي . إيه كيه بيترز. ISBN 1-56881-262-0.
  • كوبي، إيرفينغ (1979)، المنطق الرمزي (  الطبعة الخامسة)، شركة ماكميلان للنشر، رقم ISBN 0-02-324880-7
  • بولوس، بورغيس، جيفري. الحوسبة والمنطق ، الطبعة الرابعة، كامبريدج، 2002.