التماثل

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 67 صور
الموسوعة الحرة
الجذور الخامسة للوحدة
دوران خماسي الأضلاع
مجموعة الجذور الخامسة للوحدة تحت الضرب متماثلة مع مجموعة دورانات الخماسي المنتظم تحت التركيب.

في الرياضيات ، التشاكل هو تطبيق أو تماثل يحافظ على البنية بين بنيتين من نفس النوع، ويمكن عكسه بتطبيق عكسي . تكون بنيتان رياضيتان متماثلتين إذا وُجد بينهما تشاكل، ويُرمز لذلك غالبًا بـ ⁠أ≅ب{\displaystyle A\cong B}⁠ . الكلمة مشتقة من اليونانية القديمة ἴσος ( isos ) ' يساوي ' و μορφή ( مورفي ) ' شكل، شكل ' .  

تكمن أهمية التشاكلات في أن كائنين متماثلين يمتلكان نفس الخصائص (باستثناء معلومات إضافية كالبنية أو أسماء الكائنات). لذا، لا يمكن التمييز بين البنى المتماثلة من منظور البنية فقط، وغالبًا ما يمكن تحديدها. في المصطلحات الرياضية ، يُقال إن كائنين متطابقان حتى التشاكل. ومن الأمثلة الشائعة التي لا يمكن فيها تحديد البنى المتماثلة، عندما تكون هذه البنى بنى فرعية لبنية أكبر. على سبيل المثال، جميع الفضاءات الفرعية ذات البعد الواحد في فضاء متجهي متماثلة ولا يمكن تحديدها.

التشاكل الذاتي هو تماثل من بنية إلى نفسها. يكون التماثل بين بنيتين تماثلاً قانونياً (أي تطبيق قانوني متماثل) إذا كان هناك تماثل واحد فقط بين البنيتين (كما هو الحال بالنسبة لحلول خاصية شاملة )، أو إذا كان التماثل أكثر طبيعية (بمعنى ما) من التماثلات الأخرى. على سبيل المثال، لكل عدد أولي p ، تكون جميع الحقول التي تحتوي على p عنصراً متماثلة قانونياً، مع وجود تماثل وحيد. توفر نظريات التماثل تماثلات قانونية غير وحيدة.

يُستخدم مصطلح التشاكل بشكل أساسي للإشارة إلى البنى الجبرية والفئات . في حالة البنى الجبرية، تُسمى التطبيقات بالتشاكلات ، ويكون التشاكل تشاكلاً إذا وفقط إذا كان تقابلياً .

في مختلف مجالات الرياضيات، أُطلقت على التشاكلات أسماء متخصصة، وذلك تبعاً لنوع البنية قيد الدراسة. على سبيل المثال:

توفر نظرية الفئات ، التي يمكن اعتبارها صياغة رسمية لمفهوم الربط بين الهياكل، لغة يمكن استخدامها لتوحيد النهج المتبع في هذه الجوانب المختلفة للفكرة الأساسية.

أمثلة

اللوغاريتم والأسّي

يتركR+{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}لتكن المجموعة الضربية للأعداد الحقيقية الموجبة ، ولتكنR{\displaystyle \mathbb {R} }لتكن المجموعة الجمعية للأعداد الحقيقية.

دالة اللوغاريتمسجل:R+→R{\displaystyle \log :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} } يحققسجل⁡(xy)=سجل⁡x+سجل⁡y{\displaystyle \log(xy)=\log x+\log y}للجميعx،y∈R+،{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{+},}إذن فهو تماثل زمر . الدالة الأسيةخبرة:R→R+{\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}} يحقق الشرط التاليخبرة⁡(x+y)=(خبرة⁡x)(خبرة⁡y){\displaystyle \exp(x+y)=(\exp x)(\exp y)}للجميعx،y∈R،{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,}إذن فهو أيضاً تماثل.

الهوياتسجل⁡خبرة⁡x=x{\displaystyle \log \exp x=x}وخبرة⁡سجل⁡y=y{\displaystyle \exp \log y=y}أظهر ذلكسجل{\displaystyle \log }وخبرة{\displaystyle \exp }هما معكوسان لبعضهما البعض. لذا، خبرة:R→R+وسجل:R+→R{\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}\quad {\text{and}}\quad \log  :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} } هي تماثلات زمر معكوسة لبعضها البعض.

السجل{\displaystyle \log }الدالة هي تماثل يحول ضرب الأعداد الحقيقية الموجبة إلى جمعها. هذه الخاصية تُمكّن من ضرب الأعداد الحقيقية باستخدام مسطرة وجدول اللوغاريتمات ، أو باستخدام مسطرة حسابية ذات مقياس لوغاريتمي.

الأعداد الصحيحة بتردد 6

تأمل في الخاتمZ6{\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}مجموعة الأعداد الصحيحة من 0 إلى 5 مع الجمع والضرب بتردد  6. ضع في اعتبارك أيضًا الحلقةZ2×Z3{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3}}من الأزواج المرتبة حيث يكون العنصر الأول عددًا صحيحًا بتردد 2 والعنصر الثاني عددًا صحيحًا بتردد 3، مع الجمع والضرب بتردد 2 و3.

هذه الحلقات متماثلة تحت التحويل التالي: (0،0)↦0(1،1)↦1(0،2)↦2(1،0)↦3(0،1)↦4(1،2)↦5{\displaystyle {\begin{alignat}{4}(0,0)&\mapsto 0\\(1,1)&\mapsto 1\\(0,2)&\mapsto 2\\(1,0)&\mapsto 3\\(0,1)&\mapsto 4\\(1,2)&\mapsto 5\\\end{محاذاة}}} أو بشكل عام(أ،ب)↦(3أ+4ب)مود6.{\displaystyle (a,b)\mapsto (3a+4b)\mod 6.}

على سبيل المثال،(1،1)+(1،0)=(0،1)،{\displaystyle (1,1)+(1,0)=(0,1),}والذي يُترجم في النظام الآخر إلى1+3=4.{\displaystyle 1+3=4.}

هذه حالة خاصة من نظرية الباقي الصينية التي تنص على أنه إذا ⁠م{\displaystyle m}و​​ن{\displaystyle n}هي أعداد صحيحة أولية فيما بينها ،حلقة الأعداد الصحيحة بتردد ⁠من{\displaystyle mn}⁠ متماثل مع حاصل الضرب المباشر للأعداد الصحيحة بتردد ⁠م{\displaystyle m}والأعداد الصحيحة بتردد ⁠ن{\displaystyle n}⁠ .

التماثل الحافظ للعلاقات

إذا كان أحد الكائنين يتكون من مجموعة X ذات علاقة ثنائية R، وكان الكائن الآخر يتكون من مجموعة Y ذات علاقة ثنائية S، فإن التشاكل من X إلى Y هو دالة تقابلية.و:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}بحيث: [ 1 ]S⁡(و(u)،و(v)) إذا وفقط إذا R⁡(u،v){\displaystyle \operatorname {S} (f(u),f(v))\quad {\text{ إذا وفقط إذا }}\quad \operatorname {R} (u,v)}

S انعكاسي ، غير انعكاسي ، متناظر ، مضاد للتناظر ، غير متناظر ، متعدٍ ، كلي ، ثلاثي التفرع ، ترتيب جزئي ، ترتيب كلي ، ترتيب جيد ، ترتيب ضعيف صارم ، ترتيب كلي مسبق (ترتيب ضعيف)، علاقة تكافؤ ، أو علاقة ذات أي خصائص خاصة أخرى، إذا وفقط إذا كان R كذلك.

على سبيل المثال، R هو ترتيب ≤ و S هو ترتيب⊑،{\displaystyle \scriptstyle \sqsubseteq ,}إذن، التشاكل من X إلى Y هو دالة تقابليةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}بحيث و(u)⊑و(v) إذا وفقط إذا u≤v.{\displaystyle f(u)\sqsubseteq f(v)\quad {\text{ إذا وفقط إذا }}\quad u\leq v.} يُطلق على هذا النوع من التشاكل اسم التشاكل الترتيبي أو (بشكل أقل شيوعًا) التشاكل المتساوي النغمة .

لوX=Y،{\displaystyle X=Y,}إذن هذا تماثل ذاتي يحافظ على العلاقة .

التطبيقات

في الجبر ، تُعرَّف التشاكلات لجميع البنى الجبرية . ويتم دراسة بعضها بشكل أكثر تحديدًا؛ على سبيل المثال:

كما تُشكّل التشاكلات الذاتية لبنية جبرية زمرة ، فإن التشاكلات بين جبرين يشتركان في بنية مشتركة تُشكّل كومة . وإذا ما حدّد تشاكلٌ معين البنيتين، فإن هذه الكومة تتحول إلى زمرة .

في التحليل الرياضي ، يُعد تحويل لابلاس تماثلاً يحول المعادلات التفاضلية الصعبة إلى معادلات جبرية أسهل .

في نظرية المخططات ، يُعرَّف التشاكل بين مخططين G و H بأنه دالة تقابلية f من رؤوس G إلى رؤوس H تحافظ على "بنية الحواف" بمعنى أنه توجد حافة من الرأس u إلى الرأس v في G إذا وفقط إذا كانت هناك حافة منو(u){\displaystyle f(u)}لو(v){\displaystyle f(v)}في H. انظر إلى تماثل الرسم البياني .

في نظرية الترتيب ، يكون التشاكل بين مجموعتين مرتبتين جزئيًا P و Q عبارة عن تطبيق تقابليو{\displaystyle f}من P إلى Q التي تحافظ على بنية الترتيب بمعنى أنه لأي عناصرx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}لدينا من Px{\displaystyle x}أقل منy{\displaystyle y}في P إذا وفقط إذاو(x){\displaystyle f(x)}أقل منو(y){\displaystyle f(y)}في السؤال Q. على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الصحيحة {1، 2، 3، 6} المرتبة وفقًا لعلاقة "عامل من عوامل" متماثلة مع مجموعة فصائل الدم { O ، A ، B ، AB } المرتبة وفقًا لعلاقة "يمكن التبرع لـ" . انظر: تماثل الترتيب .

في التحليل الرياضي، التشاكل بين فضاءين من فضاءات هيلبرت هو تقابل يحافظ على الجمع والضرب القياسي والضرب الداخلي.

في النظريات المبكرة للذرية المنطقية ، افترض برتراند راسل ولودفيج فيتجنشتاين أن العلاقة الشكلية بين الحقائق والقضايا الصحيحة متماثلة. ويمكن إيجاد مثال على هذا التوجه الفكري في كتاب راسل " مقدمة في الفلسفة الرياضية" .

في علم التحكم الآلي ، تنص نظرية المنظم الجيد أو نظرية كونانت-آشبي على أن "كل منظم جيد لنظام ما يجب أن يكون نموذجًا لهذا النظام". وسواء كان النظام منظمًا أو ذاتي التنظيم، فإن التماثل مطلوب بين المنظم وأجزاء المعالجة في النظام.

وجهة نظر نظرية الفئات

في نظرية الفئات ، إذا كانت لدينا فئة C ، فإن التشاكل هو شكل من أشكال التشاكل.و:أ→ب{\displaystyle f:a\to b}الذي له تشاكل عكسيز:ب→أ،{\displaystyle g:b\to a,}إنه،وز=1ب{\displaystyle fg=1_{b}}وزو=1أ.{\displaystyle gf=1_{a}.}

تكون الفئتان C و D متماثلتين إذا وُجدت دوالF:ج→د{\displaystyle F:C\to D}وجي:د→ج{\displaystyle G:D\to C}والتي تكون معكوسة لبعضها البعض، أيFجي=1د{\displaystyle FG=1_{D}}(دالة التطابق على D ) وجيF=1ج{\displaystyle GF=1_{C}}(دالة الهوية على C ).

التشاكل مقابل التشاكل التقابلي

في فئة ملموسة (بشكل عام، فئة تكون عناصرها مجموعات (ربما ذات بنية إضافية) وتكون تشاكلاتها دوالًا تحافظ على البنية)، مثل فئة الفضاءات الطوبولوجية أو فئات الكائنات الجبرية (مثل فئة الزمر ، وفئة الحلقات ، وفئة الوحدات )، يجب أن يكون التشاكل تقابليًا على المجموعات الأساسية . في الفئات الجبرية (وتحديدًا، فئات الأصناف بمعنى الجبر الشامل )، يكون التشاكل هو نفسه التماثل الذي يكون تقابليًا على المجموعات الأساسية. مع ذلك، توجد فئات ملموسة لا تكون فيها التشاكلات التقابلية بالضرورة تشاكلات (مثل فئة الفضاءات الطوبولوجية ).

فئات التماثل

بما أن تركيب التشاكلات هو تشاكل، والتطابق هو تشاكل، ومعكوس التشاكل هو تشاكل، فإن العلاقة بين كائنين رياضيين متماثلين هي علاقة تكافؤ . وتُسمى فئة التكافؤ المُعطاة بواسطة التشاكلات عادةً فئة التشاكل . [ 2 ]

أمثلة

تكثر الأمثلة على فئات التماثل في الرياضيات.

ومع ذلك، هناك ظروف تخفي فيها فئة التماثل لكائن ما معلومات حيوية عنه.

  • في بنية رياضية معينة ، من الشائع أن تنتمي بنيتان فرعيتان إلى نفس فئة التشاكل. مع ذلك، لا يمكن دراسة كيفية اندماجهما في البنية الكلية إذا تم تحديدهما. على سبيل المثال، في فضاء متجهي محدود الأبعاد، تكون جميع الفضاءات الفرعية ذات البعد نفسه متشاكلة، ولكن يجب تمييزها لدراسة تقاطعها ومجموعها، وما إلى ذلك.
  • في نظرية التماثل ، المجموعة الأساسية للفضاءX{\displaystyle X}في نقطةص{\displaystyle p}، على الرغم من أنها تُسمى تقنياًπ1(X،ص){\displaystyle \pi _{1}(X,p)}للتأكيد على الاعتماد على نقطة الأساس، غالبًا ما تُكتب بشكل كسول ببساطةπ1(X){\displaystyle \pi _{1}(X)}لوX{\displaystyle X}هل المسار متصل ؟ والسبب في ذلك هو أن وجود مسار بين نقطتين يسمح بتحديد الحلقات عند إحداهما مع الحلقات عند الأخرى؛ ومع ذلك، ما لمπ1(X،ص){\displaystyle \pi _{1}(X,p)}إذا كانت المجموعة أبيلية، فإن هذا التشاكل غير وحيد. علاوة على ذلك، يشير تصنيف الفضاءات المغطاة بشكل صارم إلى مجموعات فرعية محددة منπ1(X،ص){\displaystyle \pi _{1}(X,p)}إن التمييز على وجه التحديد بين المجموعات الفرعية المتماثلة ولكن المترافقة ، وبالتالي دمج عناصر فئة التماثل في كائن واحد بلا سمات، يقلل بشكل كبير من مستوى التفاصيل التي توفرها النظرية.

العلاقة بالمساواة

على الرغم من وجود حالات يمكن فيها اعتبار الكائنات المتماثلة متساوية، إلا أنه يجب التمييز بين المساواة والتماثل . [ 3 ] المساواة هي عندما يكون الكائنان متطابقين، وبالتالي فإن كل ما ينطبق على أحدهما ينطبق على الآخر. أما التماثل، فهو مرتبط ببنية معينة، ولا يشترك الكائنان المتماثلان إلا في الخصائص المرتبطة بهذه البنية.

على سبيل المثال، المجموعات أ={x∈Z|x2<2} و ب={-1،0،1}{\displaystyle A=\left\{x\in \mathbb {Z} \mid x^{2}<2\right\}\quad {\text{ و }}\quad B=\{-1,0,1\}} هما متساويتان ؛ إنهما مجرد تمثيلين مختلفين - الأول تمثيل قصدي (في تدوين بناء المجموعة )، والثاني تمثيل امتدادي (عن طريق التعداد الصريح) - لنفس المجموعة الفرعية من الأعداد الصحيحة. على النقيض من ذلك، فإن المجموعات{4،5،6}{\displaystyle \{4,5,6\}}و{1،2،3}{\displaystyle \{1,2,3\}}ليست متساوية لأنها لا تحتوي على نفس العناصر. هي متماثلة كمجموعات، ولكن هناك العديد من الخيارات (في الواقع 6) للتماثل بينها: أحد هذه الخيارات هو

4↦1،5↦2،6↦3،{\displaystyle {\text{4}}\mapsto 1,{\text{5}}\mapsto 2,{\text{6}}\mapsto 3,}

بينما الآخر هو

4↦3،5↦2،6↦1،{\displaystyle {\text{4}}\mapsto 3,{\text{5}}\mapsto 2,{\text{6}}\mapsto 1,}

ولا يوجد تماثل واحد أفضل جوهرياً من أي تماثل آخر. [ ملاحظة 1 ]

كذلك، فإن الأعداد الصحيحة والأعداد الزوجية متماثلة مثل المجموعات المرتبة والمجموعات الأبيلية (للجمع)، ولكن لا يمكن اعتبارها مجموعات متساوية، لأن إحداها مجموعة جزئية فعلية من الأخرى.

من جهة أخرى، عندما تُحدد المجموعات (أو غيرها من الكائنات الرياضية ) بخصائصها فقط، يُفترض غالبًا أن تحققين ملموسين مختلفين متساويان، ويُستخدم رمز المساواة (=) للتمييز بينهما، حتى لو احتوت المجموعات الناتجة عن هذه الإنشاءات على عناصر غير متساوية نظريًا (أو حتى قابلة للمقارنة في بعض الحالات). هذا هو الحال عمومًا بالنسبة للكائنات المُعرَّفة بخصائص شاملة . على سبيل المثال، حلقات كثيرات الحدودZ[X،Y]{\displaystyle \mathbb {Z} [X,Y]}،​​(Z[X])[Y]{\displaystyle (\mathbb {Z} [X])[Y]}و​​(Z[Y])[X]{\displaystyle (\mathbb {Z} [Y])[X]}تُعتبر متساوية، لأنها جميعًا تُحقق نفس الخاصية العامة. كمثال آخر، التموضع الحلقيRو{\displaystyle R_{f}}،Rو2{\displaystyle R_{f^{2}}}، وR[X]/(1-وX){\displaystyle R[X]/(1-fX)}تُعتبر هذه العناصر متساوية لنفس السبب. في هذه الأمثلة، تحتوي العناصر "المتساوية" على عناصر غير متطابقة نظريًا، لذا فهي ليست متساوية بالمعنى الدقيق. مع ذلك، ولأنها فريدة حتى التشاكل الفريد، يمكن تحديدها ومعاملتها ككائن رياضي واحد.

عندما تُساوى الكائنات المُعرَّفة بخصائصها بهذه الطريقة، يُمكننا الحديث عنها ككيانات فريدة (مثل زمرة كلاين الرباعية أو الأعداد المركبة )، حتى وإن اختلف شخصان في تصوراتهما أو تطبيقاتهما. على سبيل المثال، تُعرَّف الأعداد النسبية رسميًا على أنها فئات تكافؤ لأزواج من الأعداد الصحيحة. وتتمثل الخاصية العامة للأعداد النسبية في أنها تُشكِّل حقلًا يحتوي على الأعداد الصحيحة ولا يحتوي على أي حقل فرعي فعلي. عند وجود حقلين بهذه الخصائص، يوجد تماثل حقلي فريد بينهما. وهذا يسمح بتحديد هذين الحقلين، إذ يُمكن نقل كل خاصية من أحدهما إلى الآخر عبر هذا التماثل. تُشكِّل الأعداد الحقيقية التي يُمكن التعبير عنها كحاصل قسمة أعداد صحيحة أصغر حقل فرعي من الأعداد الحقيقية. وبالتالي، يوجد تماثل فريد من هذا الحقل الفرعي من الأعداد الحقيقية إلى الأعداد النسبية المُعرَّفة بفئات التكافؤ. لذلك، يُمكن تعريف الأعداد النسبية بعناصر مجموعة فرعية من الأعداد الحقيقية. مع ذلك، لا يُسمح بهذا التعريف في بعض السياقات. على سبيل المثال، في لغات البرمجة ونظرية الأنواع ، يكون للأعداد الحقيقية والأعداد النسبية تمثيلات مختلفة، ويجب استبدال عملية التعريف بتحويل النوع .

الترميز

أكثر الرموز شيوعاً للدلالة على أن كائنين A و B متماثلان هوأ≅ب{\displaystyle A\cong B}وإذاو:أ→ب{\displaystyle f:A\to B}إذا كانت A تُسقط B بشكل متماثل ، فيمكن للمرء أيضًا كتابةو:أ⟶∼ب{\displaystyle f:A\;{\overset {\sim }{\longrightarrow }}\;B}ومع ذلك، وبحسب السياق، قد يستخدم بعض المؤلفين رموزًا تشمل≃{\displaystyle \simeq }، أو≈{\displaystyle \approx }للدلالة على التشاكل.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑4،5،6{\displaystyle 4,5,6}و​1،2،3{\displaystyle 1,2,3}لكلتا المجموعتين الترتيب المعتاد للأعداد الصحيحة. عند النظر إليهما كمجموعات مرتبة، يوجد تماثل واحد فقط بينهما، وهو 4↦1،5↦2،6↦3.{\displaystyle 4\mapsto 1,5\mapsto 2,6\mapsto 3.}

مراجع

  1. ↑ فينبرغ، إرنست بوريسوفيتش (2003). دورة في الجبر . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص  3. ISBN 9780821834138.
  2. ↑ أوودي، ستيف (2006). "التشاكلات" . نظرية الفئات . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 11. ISBN  9780198568612.
  3. ↑ مازور 2007

للمزيد من القراءة