الجبر الفرعي

تُشكّل المصفوفات من الرتبة 2×2 على الأعداد الحقيقية R ، مع ضرب المصفوفات ، جبرًا أحاديًا رباعي الأبعاد M(2, R ). أما المصفوفات من الرتبة 2×2 التي تكون جميع عناصرها أصفارًا باستثناء العنصر الأول على القطر الرئيسي، فتُشكّل جبرًا جزئيًا. وهو أيضًا أحادي، ولكنه ليس جبرًا جزئيًا أحاديًا.

العنصر المحايد في M(2, R ) هو مصفوفة الوحدة I، لذا فإن الجبر الجزئي الأحادي يحتوي على صف المصفوفات القطرية { x I  : x in R }. بالنسبة للجبر الجزئي ثنائي الأبعاد، انظر

${\displaystyle E^{2}={\begin{pmatrix}a&c\\b&-a\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}a^{2}+bc&0\\0&bc+a^{2}\end{pmatrix}}=pI\ \ {\text{حيث}}\ \ p=a^{2}+bc.}$

عندما تكون قيمة p تساوي صفرًا، يكون E مجموعةً معدومة القوة ، وتكون الجبر الجزئي { x I + y E  : x, y ∈ R } نسخةً من مستوى الأعداد الثنائية . عندما تكون قيمة p سالبة، نأخذ q = 1/√− p ، بحيث يكون ( q E) ^² = − I، وتكون الجبر الجزئي { x I + y ( q E)  : x ,y ∈ R } نسخةً من المستوى المركب . أخيرًا، عندما تكون قيمة p موجبة، نأخذ q = 1/√ p ، بحيث يكون ( q E) ^² = I، وتكون الجبر الجزئي { x I + y ( q E)  : x,y ∈ R } نسخةً من مستوى الأعداد المركبة المنقسمة . وبحسب قانون التثليث ، فإن هذه هي الجبر الجزئي المستوية الوحيدة لـ M(2, R ).

أشار ل. إي. ديكسون في عام 1914 إلى "تكافؤ الجبر الرباعي المركب والجبر المصفوفي المركب"، أي M(2, C )، وهي المصفوفات المركبة من الرتبة 2×2. ^{[ 1 ]} ولكنه أشار أيضًا إلى أن "الجبر الرباعي الحقيقي والجبر المصفوفي الحقيقي ليسا متماثلين". ويتضح هذا الاختلاف من خلال وجود ثلاث فئات تماثل للجبر المستوي الجزئي لـ M(2, R )، بينما لا يمتلك الجبر الرباعي الحقيقي سوى فئة تماثل واحدة للجبر المستوي الجزئي ، حيث إنها جميعًا متماثلة مع C.

على سبيل المثال، التوقيع القياسي للمجموعات في الجبر الشامل هو (•, ⁻¹ , 1) . (يلزم وجود الانعكاس والعنصر المحايد للحصول على المفاهيم الصحيحة للتشاكل، ولتمكين التعبير عن قوانين المجموعة كمعادلات). لذلك، فإن المجموعة الجزئية من المجموعة G هي مجموعة جزئية S من G بحيث:

• العنصر المحايد e من G ينتمي إلى S (بحيث تكون S مغلقة تحت عملية الثابت المحايد)؛
• كلما كان x ينتمي إلى S ، فإن x ⁻¹ ينتمي أيضًا (بحيث تكون S مغلقة تحت العملية العكسية)؛
• كلما كان x و y ينتميان إلى S ، فإن x • y ينتميان أيضًا إلى S (بحيث تكون S مغلقة تحت عملية الضرب للمجموعة).