الدالة الأسية

في الرياضيات ، الدالة الأسية هي الدالة الحقيقية الوحيدة التي تربط الصفر بالواحد ولها مشتقة تساوي قيمتها في كل مكان. ويرمز لها بالرمز ⁠ $e^{x}$ أو $\exp x$ ⁠ ؛ يُفضّل الخيار الأخير عندما يكون الوسيط ⁠ $x$ ⁠ تعبير معقد.^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} يُطلق عليه اسم الدالة الأسية لأن وسيطها يُمكن اعتباره أسًا مرفوعًا إليه عدد ثابت $e \approx 2.718$ ، وهو الأساس. توجد عدة تعريفات أخرى للدالة الأسية، وهي جميعها متكافئة رغم اختلاف طبيعتها اختلافًا كبيرًا.

تحوّل الدالة الأسية المجاميع إلى نواتج ضرب : $\exp(x+y)=\exp x\cdot \exp y$ ودالتها العكسية ، اللوغاريتم الطبيعي ، $\ln$ أو $\log$ ، يحول نواتج الضرب إلى مجاميع : $\ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y$ ⁠ .

تُسمى الدالة الأسية أحيانًا بالدالة الأسية الطبيعية ، تماشيًا مع اسم اللوغاريتم الطبيعي ، وذلك لتمييزها عن بعض الدوال الأخرى التي تُسمى أيضًا بالدوال الأسية . وتشمل هذه الدوال الدوال التي تأخذ الشكل ⁠ $f(x)=b^{x}$ ، وهو عملية رفع الأس باستخدام أساس ثابت $b$ وبشكل أعم، وخاصة في التطبيقات، الدوال ذات الشكل العام $f(x)=ab^{x}$ تُسمى أيضًا بالدوال الأسية. وهي تنمو أو تتلاشى بشكل أسي، حيث أن معدل نموها أو اضمحلالها يعتمد على معدل تغيرها . $f(x)$ يتغير عندما $x$ تزداد قيمة بما يتناسب مع قيمتها الحالية . $f(x)$ ⁠ .

يمكن تعميم الدالة الأسية لتشمل الأعداد المركبة كمعاملات. وهذا يكشف عن علاقات بين ضرب الأعداد المركبة، والدوران في المستوى المركب ، وعلم المثلثات . صيغة أويلر $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ يعبّر عن هذه العلاقات ويلخصها.

يمكن تعميم الدالة الأسية بشكل أكبر لقبول أنواع أخرى من الوسائط، مثل المصفوفات وعناصر جبر لي .

الرسم البياني

الرسم البياني لـ $y=e^{x}$ وهي دالة ذات ميل تصاعدي، وتزداد أسرع من أي قوة من ⁠ $x$ [ ³^] يقع الرسم البياني دائمًا فوق $المحور السيني$ ، ولكنه يقترب منه بشكل كبير عند $قيم x$ السالبة الكبيرة ؛ وبالتالي، فإنالمحور^السيني $هو$ خط تقارب أفقي. المعادلة ${\tfrac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$ يعني ذلك أن ميل المماس للرسم البياني عند كل نقطة يساوي ارتفاعه (إحداثيه الصادي $)$ عند تلك النقطة.

التعريفات والخصائص الأساسية

توجد عدة تعريفات مكافئة للدالة الأسية، على الرغم من اختلاف طبيعتها اختلافاً كبيراً.

معادلة تفاضلية

الدالة الأسية هي الدالة الوحيدة القابلة للتفاضل التي تساوي مشتقتها ، وتأخذ القيمة $1$ عندما تكون قيمة متغيرها $0 .$

يتطلب هذا التعريف برهانًا على التفرد وبرهانًا على الوجود، ولكنه يسمح باستنتاج سهل للخصائص الرئيسية للدالة الأسية.

معكوس اللوغاريتم الطبيعي

الدالة الأسية هي الدالة العكسية للوغاريتم الطبيعي . أي،

{\begin{aligned}\ln(\exp x)&=x\\\exp(\ln y)&=y\end{aligned}}

لكل عدد حقيقي $x$ وكل عدد حقيقي موجب $y.$

سلسلة الطاقة

الدالة الأسية هي مجموع متسلسلة القوى ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} ${\begin{aligned}\exp(x)&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},\end{aligned}}$

أين $n!$ هو مضروب العدد n $($ حاصل ضرب أول $n$ عدد صحيح موجب). هذه المتسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا لكل $x$ ، وذلك باختبار النسبة . وهذا يُظهر أن الدالة الأسية مُعرَّفة لكل $x$ ، وهو في كل مكان مجموع سلسلة ماكلورين الخاصة به .

المعادلة الوظيفية

الدالة الأسية تحقق المعادلة الوظيفية $\exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)$ وتُحوّل الدالة المحايد الجمعي $0$ إلى الدالة المحايد الضربي $1.$ وتُحقق الدوال المتصلة الأخرى المعادلة نفسها. $f(x)=b^{x}$ الذين يضاعفون حجتهم بقاعدة اعتباطية $b$ ^{[ 6 ]} من بين هذه الدوال ، تتميز الدالة الأسية بخاصية أن مشتقتها ^عند $0$ تساوي $1.$ [ ^{7 ]}

حد قوى الأعداد الصحيحة

الدالة الأسية هي النهاية ، عندما يؤول العدد الصحيح $n$ إلى اللانهاية، ^{[ 8 ]}^{[ 5 ]} $\exp(x)=\lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$

ملكيات

المقلوب : المعادلة الوظيفية تعني ⁠ $e^{x}e^{-x}=1$ لذلك $e^{x}\neq 0$ لكل $x$ و ${\frac {1}{e^{x}}}=e^{-x}.$

الإيجابية : $e^{x}>0$ لكل عدد حقيقي $x$ ينتج هذا عن نظرية القيمة المتوسطة ، لأن $e^{0}=1$ وإذا كان لدى المرء $e^{x}<0$ بالنسبة للبعض $x$ ، سيكون هناك $y$ بحيث $e^{y}=0$ بين $0$ و $x$ بما أن الدالة الأسية تساوي مشتقتها، فإن هذا يعني أن الدالة الأسية متزايدة بشكل رتيب .

تعميم الأسية على أساسات حقيقية موجبة: ليكن $b$ عددًا حقيقيًا موجبًا. بما أن الدالة الأسية واللوغاريتم الطبيعي دالتان معكوسة، فإن $b=\exp(\ln b).$ إذا كان $n$ عددًا صحيحًا، فإن المعادلة الوظيفية للوغاريتم تعني $b^{n}=\exp(\ln b^{n})=\exp(n\ln b).$ بما أن التعبير الموجود في أقصى اليمين مُعرَّف إذا كان $n$ أي عدد حقيقي، فإن هذا يسمح بتعريف ⁠ $b^{x}$ لكل عدد حقيقي موجب $b$ ولكل عدد حقيقي $x$ : $b^{x}=\exp(x\ln b).$ على وجه الخصوص، إذا كان $b$ هو عدد أويلر $e=\exp(1),$ يمتلك المرء $\ln e=1$ (الدالة العكسية) وبالتالي $e^{x}=\exp(x).$ وهذا يوضح تكافؤ الترميزين للدالة الأسية.

الدوال الأسية العامة

تُسمى الدالة عادةً بالدالة الأسية - مع أداة تعريف غير محددة - إذا كانت على الشكل التالي : $x\mapsto b^{x}$ ، أي إذا تم الحصول عليها من خلال عملية الأسس عن طريق تثبيت الأساس والسماح للأس بالتغير.

وبشكل عام، وخاصة في السياقات التطبيقية، يُستخدم مصطلح الدالة الأسية عادةً للإشارة إلى الدوال التي تأخذ الشكل التالي : $f(x)=ab^{x}$ قد يكون هذا مدفوعًا بحقيقة أنه إذا كانت قيم الدالة تمثل كميات ، فإن تغيير وحدة القياس يغير قيمة . $a$ وبالتالي ، من غير المنطقي فرض $a=1$ ⁠ .

هذه الدوال الأسية الأكثر عمومية هي الدوال القابلة للتفاضل التي تحقق الخصائص المكافئة التالية.

⁠ $f(x)=ab^{x}$ لكل $x$ وبعض الثوابت $a$ و $b>0$ ⁠ .
⁠ $f(x)=ae^{kx}$ لكل $x$ وبعض الثوابت $a$ و $k$ ⁠ .
قيمة $f'(x)/f(x)$ مستقل عن $x$ .
لكل $d,$ قيمة $f(x+d)/f(x)$ مستقل عن $x;$ إنه، ${\frac {f(x+d)}{f(x)}}={\frac {f(y+d)}{f(y)}}$ لكل $x$ و $y$ . ^{[ 9 ]}

أساس الدالة الأسية هو أساس عملية الرفع إلى الأس التي تظهر فيها عند كتابتها على النحو التالي : $x\to ab^{x}$ ، أي $b$ [ ¹⁰ ]القاعدة هي $e^{k}$ في التوصيف الثاني ، ${\textstyle \exp {\frac {f'(x)}{f(x)}}}$ في الثالث، و ${\textstyle \left({\frac {f(x+d)}{f(x)}}\right)^{1/d}}$ في الأخير.

في التطبيقات

يُعدّ التوصيف الأخير مهمًا في العلوم التجريبية ، حيث يسمح بإجراء اختبار تجريبي مباشر لمعرفة ما إذا كانت الدالة دالة أسية.

يتم نمذجة النمو الأسي أو التضاؤل الأسي - حيث يكون تغير المتغير متناسبًا مع قيمته - باستخدام الدوال الأسية. ومن الأمثلة على ذلك النمو السكاني غير المحدود الذي يؤدي إلى كارثة مالتوسية ، والفائدة المركبة باستمرار ، والتحلل الإشعاعي .

إذا كانت دالة النمذجة على الشكل التالي $x\mapsto ae^{kx},$ أو ، بصورة مكافئة، هو حل للمعادلة التفاضلية $y'=ky$ ، الثابت $k$ يُطلق عليه، حسب السياق، ثابت الاضمحلال ، أو ثابت التفكك ،^{[ 11 ]} أو ثابت المعدل ،^{[ 12 ]} أو ثابت التحول .^{[ 13 ]}

برهان التكافؤ

لإثبات تكافؤ الخصائص المذكورة أعلاه، يمكن للمرء أن يتبع الخطوات التالية.

الوصفان الأولان متكافئان، لأنه إذا $b=e^{k}$ و $k=\ln b$ ، لدى المرء $e^{kx}=(e^{k})^{x}=b^{x}.$ إن الخصائص الأساسية للدالة الأسية (المشتقة والمعادلة الوظيفية) تستلزم مباشرة الشرط الثالث والأخير.

لنفترض أن الشرط الثالث قد تحقق، ولنفرض أن $k$ ليكن القيمة الثابتة لـ $f'(x)/f(x).$ منذ ${\textstyle {\frac {\partial e^{kx}}{\partial x}}=ke^{kx},}$ تنص قاعدة القسمة للاستنتاج على أن ${\frac {\partial }{\partial x}}\,{\frac {f(x)}{e^{kx}}}=0,$ وبالتالي فإن هناك ثابتًا $a$ بحيث $f(x)=ae^{kx}.$

إذا تحقق الشرط الأخير، فليكن ${\textstyle \varphi (d)=f(x+d)/f(x),}$ وهو أمر مستقل عن $x$ باستخدام $\varphi (0)=1$ ، يحصل المرء ${\frac {f(x+d)-f(x)}{d}}=f(x)\,{\frac {\varphi (d)-\varphi (0)}{d}}.$ الوصول إلى الحد الأقصى عندما $d$ عندما يقترب من الصفر، يتضح أن الشرط الثالث قد تم التحقق منه . $k=\varphi '(0)$ وبالتالي ، فإن $f(x)=ae^{kx}$ بالنسبة للبعض $a,$ و $\varphi (d)=e^{kd}.$ وكنتيجة ثانوية، يحصل المرء على ذلك $\left({\frac {f(x+d)}{f(x)}}\right)^{1/d}=e^{k}$ مستقل عن كليهما $x$ و $d$ ⁠ .

الفائدة المركبة

كان أول ظهور للدالة الأسية في دراسة جاكوب برنولي للفوائد المركبة عام 1683. ^{[ 14 ]} هذه الدراسة هي التي دفعت برنولي إلى النظر في عدد $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ يُعرف الآن باسم عدد أويلر ويُرمز له بـ $e$ ⁠ .

تُستخدم الدالة الأسية على النحو التالي في حساب الفوائد المركبة باستمرار .

$إذا كان مبلغ رأس مال$ قدره 1 يحقق فائدة سنوية قدرها $x$ تُضاف شهريًا، فإن الفائدة المكتسبة شهريًا تساوي $x / 12 مضروبة$ في القيمة الحالية، وبالتالي تُضرب القيمة الإجمالية شهريًا في $(1 + x / 12) ،$ وتكون القيمة في نهاية العام $(1 + x$ $/$ $12$ $)$ $¹²$ $.$ $أما إذا كانت الفائدة تُضاف يوميًا، فإنها تصبح (1 + x/365)$ $³⁶⁵$ . $يؤدي السماح$ $لعدد$ $الفترات$ $الزمنية$ $في$ $السنة$ بالنمو بلا حدود إلى $تعريف$ النهاية للدالة الأسية. $\exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ قدمها ليونارد أويلر لأول مرة . ^{[ 8 ]}

المعادلات التفاضلية

تظهر الدوال الأسية بشكل متكرر في حلول المعادلات التفاضلية .

يمكن تعريف الدوال الأسية على أنها حلول للمعادلات التفاضلية . في الواقع، الدالة الأسية هي حل لأبسط معادلة تفاضلية ممكنة، وهي ⁠ $y'=y$ . كل دالة أسية أخرى، من الشكل ⁠ $y=ab^{x}$ ، هو حل للمعادلة التفاضلية $y'=ky$ ، وكل حل لهذه المعادلة التفاضلية له هذا الشكل.

حلول معادلة من الشكل $y'+ky=f(x)$ تتضمن الدوال الأسية بطريقة أكثر تعقيدًا، لأنها تأخذ الشكل التالي $y=ce^{-kx}+e^{-kx}\int f(x)e^{kx}dx,$ أين $c$ ⁠ ثابت اختياري، والتكامل يشير إلى أي دالة أصلية لمتغيره.

بشكل عام، يمكن التعبير عن حلول أي معادلة تفاضلية خطية ذات معاملات ثابتة بدلالة الدوال الأسية، وعندما لا تكون متجانسة، بدلالة الدوال الأصلية. وينطبق هذا أيضاً على أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة.

الأس المركب

مخطط معقد لـ $z\mapsto \exp z$ ، مع الحجة $\operatorname {Arg} \exp z$ يُعبَّر عنها بدرجات لونية متفاوتة. ويُظهر الانتقال من الألوان الداكنة إلى الفاتحة أن $\left|\exp z\right|$ يزداد فقط باتجاه اليمين. تشير الأشرطة الأفقية الدورية التي تتوافق مع نفس اللون إلى أن $z\mapsto \exp z$ دورية في الجزء التخيلي من $z$ .

{\displaystyle z\mapsto \exp z} — مخطط معقد لـ $z\mapsto \exp z$ ، مع الحجة $\operatorname {Arg} \exp z$ يُعبَّر عنها بدرجات لونية متفاوتة. ويُظهر الانتقال من الألوان الداكنة إلى الفاتحة أن $\left|\exp z\right|$ يزداد فقط باتجاه اليمين. تشير الأشرطة الأفقية الدورية التي تتوافق مع نفس اللون إلى أن $z\mapsto \exp z$ دورية في الجزء التخيلي من $z$ .

يمكن توسيع الدالة الأسية بشكل طبيعي إلى دالة مركبة ، وهي دالة يكون مجالها ومجالها المقابل الأعداد المركبة ، بحيث يكون تقييدها على الأعداد الحقيقية هو الدالة الأسية المعرّفة أعلاه، والتي تُسمى الدالة الأسية الحقيقية فيما يلي. تُسمى هذه الدالة أيضًا بالدالة الأسية ، ويُرمز لها أيضًا بـ ⁠ $e^{z}$ أو $\exp(z)$ ⁠ . ولتمييز الحالة المركبة عن الحالة الحقيقية، تسمى الدالة الممتدة أيضًا بالدالة الأسية المركبة أو ببساطة الدالة الأسية المركبة .

يمكن استخدام معظم تعريفات الدالة الأسية حرفيًا لتعريف الدالة الأسية المركبة، ويكون إثبات تكافؤها هو نفسه كما في الحالة الحقيقية.

يمكن تعريف الدالة الأسية المركبة بعدة طرق مكافئة وهي نفسها في الحالة الحقيقية.

الدالة الأسية المركبة هي الدالة المركبة الوحيدة التي تساوي مشتقتها المركبة وتأخذ القيمة ⁠ $1$ بالنسبة للحجة $0$ ⁠ : ${\frac {de^{z}}{dz}}=e^{z}\quad {\text{and}}\quad e^{0}=1.$

الدالة الأسية المركبة هي مجموع المتسلسلة $e^{z}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}.$ هذه المتسلسلة متقاربة تقارباً مطلقاً لكل عدد مركب $z$ إذن ، الدالة الأسية المركبة هي دالة كاملة .

الدالة الأسية المركبة هي النهاية $e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}$

كما هو الحال مع الدالة الأسية الحقيقية (انظر § المعادلة الوظيفية أعلاه)، فإن الدالة الأسية المركبة تحقق المعادلة الوظيفية $\exp(z+w)=\exp(z)\cdot \exp(w).$ من بين الدوال المعقدة، الحل الوحيد هو الحل التام الشكل عند النقطة ⁠ $z=0$ ويأخذ المشتقة $1$ هناك . ^{[ 15 ]}

اللوغاريتم المركب هو دالة عكسية يمنى للدالة الأسية المركبة: $e^{\log z}=z.$ لكن بما أن اللوغاريتم المركب دالة متعددة القيم ، فإن المرء لديه $\log e^{z}=\{z+2ik\pi \mid k\in \mathbb {Z} \},$ ويصعب تعريف الدالة الأسية المركبة من اللوغاريتم المركب. على النقيض من ذلك، فإن هذا هو اللوغاريتم المركب الذي يُعرَّف غالبًا من الدالة الأسية المركبة.

للدالة الأسية المركبة الخصائص التالية: ${\frac {1}{e^{z}}}=e^{-z}$ و $e^{z}\neq 0\quad {\text{for every }}z\in \mathbb {C} .$ هي دالة دورية ذات دورة ⁠ $2i\pi$ أي $e^{z+2ik\pi }=e^{z}\quad {\text{for every }}k\in \mathbb {Z} .$ هذا ناتج عن متطابقة أويلر $e^{i\pi }=-1$ والهوية الوظيفية.

المرافق المركب للدالة الأسية المركبة هو ${\overline {e^{z}}}=e^{\overline {z}}.$ معامل مرونته هو $|e^{z}|=e^{\Re (z)},$ أين $\Re (z)$ يرمز إلى الجزء الحقيقي من $z$ ⁠ .

العلاقة مع علم المثلثات

ترتبط الدوال الأسية والمثلثية المركبة ارتباطًا وثيقًا بصيغة أويلر : $e^{it}=\cos(t)+i\sin(t).$

توفر هذه الصيغة تحليل الدوال الأسية المركبة إلى أجزاء حقيقية وتخيلية : $e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}\,\cos y+ie^{x}\,\sin y.$

يمكن التعبير عن الدوال المثلثية بدلالة الدوال الأسية المركبة: ${\begin{aligned}\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\\\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\\tan x&=i\,{\frac {1-e^{2ix}}{1+e^{2ix}}}\end{aligned}}$

في هذه الصيغ ، $x,y,t$ تُفسَّر هذه الصيغ عادةً على أنها متغيرات حقيقية، ولكنها تظل صالحة حتى لو فُسِّرت على أنها متغيرات مركبة. ويمكن استخدام هذه الصيغ لتعريف الدوال المثلثية لمتغير مركب.^{[ 16 ]}

مخططات

رسومات ثلاثية الأبعاد للجزء الحقيقي والجزء التخيلي وقيمة الدالة الأسية
$z = Re(e x + iy)$
$z = Im(e x + iy)$
$z = | e x + iy |$

باعتبار الدالة الأسية المركبة دالة تتضمن أربعة متغيرات حقيقية: $v+iw=\exp(x+iy)$ الرسم البياني للدالة الأسية هو سطح ثنائي الأبعاد ينحني عبر أربعة أبعاد.

بدءاً بجزء مُرمّز بالألوان من $xy$ في هذا المجال، فيما يلي تصويرات للرسم البياني كما تم إسقاطه بشكل مختلف في بعدين أو ثلاثة أبعاد.

رسوم بيانية للدالة الأسية المركبة
0: أخضر، س < 0: أحمر، ص > 0: أصفر، ص < 0: أزرق" id="mwAgo">
مفتاح رقعة الشطرنج: $x>0:\;{\text{green}}$ $x<0:\;{\text{red}}$ $y>0:\;{\text{yellow}}$ $y<0:\;{\text{blue}}$
إسقاط على المستوى المركب (V/W). قارن بالصورة المنظورية التالية.
إسقاط في $x$ ، $v$ ، و $w$ الأبعاد، مما ينتج عنه شكل بوق متوهج أو شكل قمع (متصور كصورة منظور ثنائية الأبعاد)
إسقاط في $y$ ، $v$ ، و $w$ الأبعاد، مما ينتج عنه شكل حلزوني ( $y$ تم توسيع النطاق إلى ±2 $π$ ، مرة أخرى كصورة منظور ثنائية الأبعاد)

تُظهر الصورة الثانية كيفية تحويل المستوى المركب للمجال إلى المستوى المركب للمدى:

يتم تعيين الصفر إلى 1
الحقيقي $x$ يتم تعيين المحور إلى الأعداد الحقيقية الموجبة $v$ محور
الخيالي $y$ يلتف المحور حول دائرة الوحدة بمعدل زاوي ثابت
يتم تمثيل القيم ذات الأجزاء الحقيقية السالبة داخل دائرة الوحدة
يتم تعيين القيم ذات الأجزاء الحقيقية الموجبة خارج دائرة الوحدة
يتم تمثيل القيم ذات الجزء الحقيقي الثابت بدوائر مركزها الصفر
يتم تمثيل القيم ذات الجزء التخيلي الثابت بأشعة تمتد من الصفر

تُظهر الصورتان الثالثة والرابعة كيف يمتد الرسم البياني في الصورة الثانية إلى أحد البعدين الآخرين غير الموضحين في الصورة الثانية.

تُظهر الصورة الثالثة الرسم البياني ممتدًا على طول الخط الحقيقي $x$ المحور. يوضح ذلك أن الرسم البياني هو سطح دوران حول $x$ محور الرسم البياني للدالة الأسية الحقيقية، مما ينتج عنه شكل بوق أو قمع.

تُظهر الصورة الرابعة الرسم البياني ممتدًا على طول الجزء التخيلي $y$ المحور. يوضح أن سطح الرسم البياني للموجب والسالب $y$ لا تلتقي القيم فعليًا على طول الجزء الحقيقي السالب $v$ المحور، ولكنه يشكل بدلاً من ذلك سطحًا حلزونيًا حول $y$ محور. لأنه $y$ تم توسيع القيم إلى $\pm 2π$ ، كما تُظهر هذه الصورة بشكل أفضل $دورية$ $2π$ في الجزء التخيلي $y$ قيمة.

التسامي

الدالة $e z$ هي دالة متسامية ، مما يعني أنها ليست جذرًا لكثير حدود على حقل الكسور النسبية. $\mathbb {C} (z);$ في الواقع، هذا صحيح لأي دالة أسية ذات أساس حقيقي موجب لا يساوي 1.

وينتج هذا من العبارة الأقوى التي تنص على أنه إذا كانت $a₁$ $,$ $...$ $,$ $an$ $أعدادًا$ $مركبة$ $مختلفة$ ، فإن $eₐ₁z$ $, ..., eₐₙz مستقلة$ خطيًا على $\mathbb {C} (z)$ .

والنتيجة الأكثر صعوبة هي أن الأساس e للدالة الأسية الطبيعية هو عدد متسامي ، انظر نظرية ليندمان-فايرشتراس .

حساب

يُعد تعريف متسلسلة تايلور أعلاه فعالاً بشكل عام لحساب (تقريب لـ) $e^{x}$ ومع ذلك، عند إجراء الحسابات بالقرب من الوسيط $x=0$ ، ستكون النتيجة قريبة من 1، وحساب قيمة الفرق $e^{x}-1$ قد يؤدي استخدام العمليات الحسابية ذات الفاصلة العائمة إلى فقدان (ربما كل) الأرقام المعنوية ، مما ينتج عنه خطأ نسبي كبير، وربما حتى نتيجة لا معنى لها.

بناءً على اقتراح ويليام كاهان ، قد يكون من المفيد وجود روتين مخصص، يُطلق عليه غالبًا اسم expm1، يقوم بحساب $e x - 1$ مباشرةً، متجاوزًا حساب $e x$ . على سبيل المثال، يمكن استخدام متسلسلة تايلور: $e^{x}-1=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots .$

تم تطبيق ذلك لأول مرة في عام 1979 في آلة حاسبة هيوليت-باكارد HP-41C ، وتم توفيره بواسطة العديد من الآلات الحاسبة، ^{[ 17 ]}^{[ 18 ]} وأنظمة التشغيل (على سبيل المثال Berkeley UNIX 4.3BSD ^{[ 19 ]} )، وأنظمة الجبر الحاسوبي ، ولغات البرمجة (على سبيل المثال C99 ). ^{[ 20 ]}

بالإضافة إلى الأساس $e$ ، يحدد معيار IEEE 754-2008 دوال أسية مماثلة بالقرب من 0 للأساس 2 و 10: $2^{x}-1$ و $10^{x}-1$ .

تم استخدام نهج مماثل للوغاريتم؛ انظر log1p .

متطابقة بدلالة الظل الزائدي ، $\operatorname {expm1} (x)=e^{x}-1={\frac {2\tanh(x/2)}{1-\tanh(x/2)}},$ يعطي قيمة عالية الدقة للقيم الصغيرة لـ $x$ على الأنظمة التي لا تنفذ $expm1(x)$ .

الكسور المستمرة

يمكن أيضًا حساب الدالة الأسية باستخدام الكسور المستمرة .

يمكن الحصول على الكسر المستمر لـ $e x$ من خلال متطابقة أويلر : $e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}$

الكسر المستمر المعمم التالي لـ $e z$ ، والذي يعود أيضًا إلى أويلر، ^{[ 21 ]} يتقارب بشكل أسرع: ^{[ 22 ]} $e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}$

أو بتطبيق الاستبدال $z = ⁠ x / y ⁠$ : $e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}$ مع حالة خاصة لـ $z = 2$ : $e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}$

تتقارب هذه الصيغة أيضًا، وإن كان ذلك ببطء أكبر، عندما تكون قيمة $z أكبر من 2.$ على سبيل المثال: $e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots }}}}}}}}$

التعميمات

المصفوفات وجبر باناخ

يُعد تعريف متسلسلة القوى للدالة الأسية منطقيًا للمصفوفات المربعة (حيث تُسمى الدالة بالدالة الأسية للمصفوفة )، وبشكل أعم في أي جبر باناخ أحادي $B.$ في هذا السياق، $يكون e₀$ $= 1$ ، وتكون $الدالة eₓ$ قابلة للعكس ولها معكوس $e⁻ᵧ$ لأي عنصر $x$ $في$ B. $إذا$ كان $xy$ $=$ $yx$ $،$ فإن $eₓ$ $+$ $y$ $=$ $eₓ$ $eᵧ$ $،$ ولكن هذه المتطابقة قد لا تتحقق في حالة عدم $تبادل$ $x$ $و$ y $.$

تؤدي بعض التعريفات البديلة إلى نفس الوظيفة. على سبيل المثال، يمكن تعريف $e x على النحو التالي:$ $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$

أو يمكن تعريف $e x$ $على أنه f x (1)$ ، حيث $f x : R \to B$ هو حل المعادلة التفاضلية $⁠$ $df$ $x$ $/$ $dt$ $⁠$ $($ $t$ $) =$ $x$ $f$ $x$ $($ $t$ $)$ ، مع الشرط الأولي $f$ $x$ $(0) = 1$ ؛ ويترتب على ذلك أن $f$ $x$ $($ $t$ $) =$ $e$ $tx$ لكل $t$ في $R$ .

جبر لي

بفرض وجود زمرة لي $G$ وجبر لي المرتبط بها ${\mathfrak {g}}$ ، الخريطة الأسية هي خريطة ${\mathfrak {g}}\to G$ تتمتع هذه الدوال بخصائص مماثلة. في الواقع، بما أن $R$ هي جبر لي لمجموعة لي لجميع الأعداد الحقيقية الموجبة تحت الضرب، فإن الدالة الأسية العادية للمتغيرات الحقيقية هي حالة خاصة من حالة جبر لي. وبالمثل، بما أن مجموعة لي $GL(n, R)$ للمصفوفات القابلة للعكس من الرتبة $n \times n$ لها جبر لي $M(n, R)$ ، وهو فضاء جميع المصفوفات من الرتبة $n \times n$ ، فإن الدالة الأسية للمصفوفات المربعة هي حالة خاصة من تطبيق الدالة الأسية في جبر لي.

الهوية $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ يمكن أن تفشل بالنسبة لعناصر جبر لي $x$ و $y$ التي لا تتبادل؛ توفر صيغة بيكر-كامبل-هاوسدورف مصطلحات التصحيح اللازمة.

انظر أيضاً

دالة كارليتز الأسية ، وهي دالة مميزة من النوع $p$
الدالة الأسية المزدوجة – دالة أسية لدالة أسية
الحقل الأسي – حقل رياضي مع عملية إضافية
دالة غاوس
الدالة نصف الأسية ، وهي الجذر التربيعي التركيبي للدالة الأسية
دالة لامبرت W# حل المعادلات – دالة متعددة القيم في الرياضيات – تُستخدم لحل المعادلات الأسية
قائمة المواضيع الأسية
قائمة تكاملات الدوال الأسية
دالة ميتاج-ليفلر ، وهي تعميم للدالة الأسية
دالة أسية $p -adic$
جدول باديه للدالة الأسية – تقريب باديه للدالة الأسية بجزء من الدوال متعددة الحدود
عامل الطور

مراجع

↑ "دليل أسلوب مراجعات الفيزياء الحديثة" (ملف PDF) . XVI.B.1(d): الجمعية الفيزيائية الأمريكية. ص 18. تاريخ الاسترجاع: 30-12-2025 . أي نموذج يُستخدم ، $e$ أو $\exp$ يتم تحديد ذلك من خلال عدد الأحرف ومدى تعقيد الوسيط. $e$ يكون الشكل مناسبًا عندما تكون الحجة قصيرة وبسيطة، أي $e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$ بينما $\exp$ ينبغي استخدامها إذا كانت الحجة أكثر تعقيدًا.{{cite web}}: CS1 maint: location ( link )
↑ تي دبليو تشاوندي؛ بي آر باريت؛ تشارلز باتي (1954). طباعة الرياضيات . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 31.
↑ "مرجع الدالة الأسية" . www.mathsisfun.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 أغسطس 2020 .
↑ رودين، والتر (1987). التحليل الحقيقي والمركب ( الطبعة الثالثة). نيويورك: ماكجرو هيل . ص 1. ISBN 978-0-07-054234-1.
1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "الدالة الأسية" . mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 28 أغسطس 2020 .
↑ جونغ، سون-مو (2011). "الفصل 9: المعادلات الوظيفية الأسية". استقرار هايرز-أولام-راسيس للمعادلات الوظيفية في التحليل غير الخطي . سبرينغر: التحسين وتطبيقاته. المجلد 48. سبرينغر نيويورك. الصفحات 207-225 . doi : 10.1007/978-1-4419-9637-4_9 . ISBN 9781441996374.
↑ أكزيل، ج.؛ دومبريس، ج. (1989). المعادلات الوظيفية في عدة متغيرات . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد 31. مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج. ص 10. doi : 10.1017/CBO9781139086578 . ISBN 0-521-35276-2MR 1004465 .
1 2 ماور، إيلي . هـ: قصة رقم . ص 156.
↑ ج. هارنيت، حساب التفاضل والتكامل 1 ، 1998، الدوال (تابع): "تتميز الدوال الأسية العامة بخاصية أن نسبة مخرجين تعتمد فقط على الفرق بين المدخلات. نسبة المخرجات لتغير وحدة واحدة في المدخلات هي الأساس."
↑ جي. هارنيت، حساب التفاضل والتكامل 1 ، 1998؛ الدوال مستمرة / الدوال الأسية واللوغاريتمية: "نسبة المخرجات لتغيير وحدة واحدة في المدخلات هي أساس الدالة الأسية العامة."
↑ سيرواي، ريموند أ.؛ موسى، كليمنت ج.؛ موير، كورت أ. (1989). الفيزياء الحديثة . فورت وورث: هاركورت بريس جوفانوفيتش . ص 384. ISBN 0-03-004844-3.
↑ سيمونز، جورج ف. (1972). المعادلات التفاضلية مع تطبيقات وملاحظات تاريخية . نيويورك: ماكجرو هيل . ص 15. LCCN 75173716 .
↑ موسوعة ماكجرو هيل للعلوم والتكنولوجيا ( الطبعة العاشرة). نيويورك: ماكجرو هيل . 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
↑ أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "الدالة الأسية" ، أرشيف ماكتيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
↑ هيل، إينار (1959). "الدالة الأسية". نظرية الدوال التحليلية . المجلد 1. والتهام، ماساتشوستس: بليسديل. § 6.1، ص 138-143.
↑ أبوستول، توم م. ( 1974). التحليل الرياضي ( الطبعة الثانية). ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون ويسلي . ص 19. ISBN 978-0-201-00288-1.
↑ سلسلة HP 48G - دليل المستخدم المتقدم ( الطبعة الرابعة ). هيوليت-باكارد . ديسمبر 1994 [1993]. HP 00048-90136، 0-88698-01574-2 . تاريخ الاسترجاع: 2015-09-06 .
↑ دليل المستخدم المتقدم لآلة حاسبة بيانية HP 50g / 49g+ / 48gII (الطبعة الثانية ). هيوليت-باكارد . 14 يوليو 2009 [2005]. HP F2228-90010 . تاريخ الاسترجاع: 10 أكتوبر 2015 .
↑ بيبي، نيلسون إتش إف (22 أغسطس 2017). "الفصل 10.2. الدالة الأسية بالقرب من الصفر". دليل حساب الدوال الرياضية - البرمجة باستخدام مكتبة برامج MathCW المحمولة ( الطبعة الأولى). سولت ليك سيتي، يوتا، الولايات المتحدة الأمريكية: سبرينغر إنترناشونال بابليشينج إيه جي . الصفحات 273-282 . doi : 10.1007/978-3-319-64110-2 . ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN 2017947446 . S2CID 30244721 . قدمت Berkeley UNIX 4.3BSD وظيفة expm1() في عام 1987.
↑ بيبي، نيلسون إتش إف (9 يوليو 2002). "حساب expm1 = exp(x)−1" (ملف PDF) . الإصدار 1.00. سولت ليك سيتي، يوتا، الولايات المتحدة الأمريكية: قسم الرياضيات، مركز الحوسبة العلمية، جامعة يوتا . تاريخ الاسترجاع: 2 نوفمبر 2015 .
↑ خوفانسكي، أليكسي نيكولايفيتش (1963). تطبيق الكسور المستمرة وتعميماتها على مسائل نظرية التقريب . ترجمة وين، بيتر. جرونينجن، هولندا: بي. نوردوف إن في
↑ لورنتزن، ل .؛ وادلاند، هـ. (2008). "أ.2.2 الدالة الأسية" . الكسور المستمرة . دراسات أتلانتس في الرياضيات. المجلد 1. ص 268. doi : 10.2991/978-94-91216-37-4 . ISBN 978-94-91216-37-4.

روابط خارجية

"الدالة الأسية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]

[1] "دليل أسلوب مراجعات الفيزياء الحديثة" (ملف PDF) . XVI.B.1(d): الجمعية الفيزيائية الأمريكية. ص 18. تاريخ الاسترجاع: 30-12-2025 . أي نموذج يُستخدم ، $e$ أو $\exp$ يتم تحديد ذلك من خلال عدد الأحرف ومدى تعقيد الوسيط. $e$ يكون الشكل مناسبًا عندما تكون الحجة قصيرة وبسيطة، أي $e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$ بينما $\exp$ ينبغي استخدامها إذا كانت الحجة أكثر تعقيدًا.{{cite web}}: CS1 maint: location ( link )

[2] تي دبليو تشاوندي؛ بي آر باريت؛ تشارلز باتي (1954). طباعة الرياضيات . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 31.

[3] "مرجع الدالة الأسية" . www.mathsisfun.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 أغسطس 2020 .

[Rudin_1987-4] رودين، والتر (1987). التحليل الحقيقي والمركب ( الطبعة الثالثة). نيويورك: ماكجرو هيل . ص 1. ISBN 978-0-07-054234-1.

[:0-5] 1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "الدالة الأسية" . mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 28 أغسطس 2020 .

[6] جونغ، سون-مو (2011). "الفصل 9: المعادلات الوظيفية الأسية". استقرار هايرز-أولام-راسيس للمعادلات الوظيفية في التحليل غير الخطي . سبرينغر: التحسين وتطبيقاته. المجلد 48. سبرينغر نيويورك. الصفحات 207-225 . doi : 10.1007/978-1-4419-9637-4_9 . ISBN 9781441996374.

[7] أكزيل، ج.؛ دومبريس، ج. (1989). المعادلات الوظيفية في عدة متغيرات . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد 31. مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج. ص 10. doi : 10.1017/CBO9781139086578 . ISBN 0-521-35276-2MR 1004465 .

[Maor-8] 1 2 ماور، إيلي . هـ: قصة رقم . ص 156.

[9] ج. هارنيت، حساب التفاضل والتكامل 1 ، 1998، الدوال (تابع): "تتميز الدوال الأسية العامة بخاصية أن نسبة مخرجين تعتمد فقط على الفرق بين المدخلات. نسبة المخرجات لتغير وحدة واحدة في المدخلات هي الأساس."

[10] جي. هارنيت، حساب التفاضل والتكامل 1 ، 1998؛ الدوال مستمرة / الدوال الأسية واللوغاريتمية: "نسبة المخرجات لتغيير وحدة واحدة في المدخلات هي أساس الدالة الأسية العامة."

[Serway-Moses-Moyer_1989-11] سيرواي، ريموند أ.؛ موسى، كليمنت ج.؛ موير، كورت أ. (1989). الفيزياء الحديثة . فورت وورث: هاركورت بريس جوفانوفيتش . ص 384. ISBN 0-03-004844-3.

[Simmons_1972-12] سيمونز، جورج ف. (1972). المعادلات التفاضلية مع تطبيقات وملاحظات تاريخية . نيويورك: ماكجرو هيل . ص 15. LCCN 75173716 .

[McGrawHill_2007-13] موسوعة ماكجرو هيل للعلوم والتكنولوجيا ( الطبعة العاشرة). نيويورك: ماكجرو هيل . 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.

[O'Connor_2001-14] أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "الدالة الأسية" ، أرشيف ماكتيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز

[15] هيل، إينار (1959). "الدالة الأسية". نظرية الدوال التحليلية . المجلد 1. والتهام، ماساتشوستس: بليسديل. § 6.1، ص 138-143.

[Apostol_1974-16] أبوستول، توم م. ( 1974). التحليل الرياضي ( الطبعة الثانية). ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون ويسلي . ص 19. ISBN 978-0-201-00288-1.

[HP48_AUR-17] سلسلة HP 48G - دليل المستخدم المتقدم ( الطبعة الرابعة ). هيوليت-باكارد . ديسمبر 1994 [1993]. HP 00048-90136، 0-88698-01574-2 . تاريخ الاسترجاع: 2015-09-06 .

[HP50_AUR-18] دليل المستخدم المتقدم لآلة حاسبة بيانية HP 50g / 49g+ / 48gII (الطبعة الثانية ). هيوليت-باكارد . 14 يوليو 2009 [2005]. HP F2228-90010 . تاريخ الاسترجاع: 10 أكتوبر 2015 .

[Beebe_2017-19] بيبي، نيلسون إتش إف (22 أغسطس 2017). "الفصل 10.2. الدالة الأسية بالقرب من الصفر". دليل حساب الدوال الرياضية - البرمجة باستخدام مكتبة برامج MathCW المحمولة ( الطبعة الأولى). سولت ليك سيتي، يوتا، الولايات المتحدة الأمريكية: سبرينغر إنترناشونال بابليشينج إيه جي . الصفحات 273-282 . doi : 10.1007/978-3-319-64110-2 . ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN 2017947446 . S2CID 30244721 . قدمت Berkeley UNIX 4.3BSD وظيفة expm1() في عام 1987.

[Beebe_2002-20] بيبي، نيلسون إتش إف (9 يوليو 2002). "حساب expm1 = exp(x)−1" (ملف PDF) . الإصدار 1.00. سولت ليك سيتي، يوتا، الولايات المتحدة الأمريكية: قسم الرياضيات، مركز الحوسبة العلمية، جامعة يوتا . تاريخ الاسترجاع: 2 نوفمبر 2015 .

[21] خوفانسكي، أليكسي نيكولايفيتش (1963). تطبيق الكسور المستمرة وتعميماتها على مسائل نظرية التقريب . ترجمة وين، بيتر. جرونينجن، هولندا: بي. نوردوف إن في

[Lorentzen_2008-22] لورنتزن، ل .؛ وادلاند، هـ. (2008). "أ.2.2 الدالة الأسية" . الكسور المستمرة . دراسات أتلانتس في الرياضيات. المجلد 1. ص 268. doi : 10.2991/978-94-91216-37-4 . ISBN 978-94-91216-37-4.

[ 1 ]

[ 2 ]

3

[ 4 ]

[ 6 ]

عند

[ 8 ]

[ 9 ]

10

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]